高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省保定市定州市2023-2024學年高二下學期4月期中測試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.求的值為（）A.12 B.18 C.24 D.30【答案】B【解析】.故選：B.2.已知，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】故選：A.3.在數列中，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】數列中，由，，得，同理可得，，…，所以，則.故選：C.4.等比數列的各項均為正數,且,則（）A.12 B.10 C.5 D.【答案】B【解析】因為是各項均為正數的等比數列，，所以，即，則記，則，兩式相加得，所以，即.故選：B.5.如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線C的左支交于點A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依題意，設，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C6.已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】設直線與曲線的切點為且，與曲線的切點為且，又，，則直線與曲線的切線方程為，即，直線與曲線的切線方程為，即，則，解得，故，故選：A.7.令，則當時，a除以15所得余數為（）A.4 B.1 C.2 D.0【答案】D【解析】，當時，故a除以15所得余數為0.故選：D.8.設A，B，C，D為拋物線上不同的四點，A，D關于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點D處的切線l.設點D到直線和直線的距離分別為，，已知，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由題意可設，，，.拋物線方程，即，由，所以點D處切線的斜率為，，，，因此，即，平行于軸，則點D到直線和直線的距離相等，即.又，，所以.所以.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.滿足下列條件的點P的軌跡一定在雙曲線上的有（）A.A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5B.A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2C.A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1D.A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2【答案】BCD【解析】因為|PA－PB|＝5＝AB，所以點P的軌跡是兩條射線，故A不正確；設P（x，y）（x≠±2），因為kPA·kPB＝·＝2，化簡得y2＝2（x2－4），即－＝1，此時P的軌跡在雙曲線上，故B正確；設P（x，y）（x≠±2），因為kPA·kPB＝·＝1，化簡得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此時P的軌跡在雙曲線上，故C正確；因為PA－PB＝2＜5＝AB，此時P的軌跡在雙曲線上，故D正確．10.身高各不相同六位同學站成一排照相，則說法正確的是（）A.A、C、D三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B.A與同學不相鄰，共有種站法C.A、C、D三位同學必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D.A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法【答案】ABD【解析】對于A，將三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有種站法，故A正確；對于B，先排，共有種站法，A與同學插空站，有種站法，故共有種站法，故B正確；對于C，將三位同學捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種情況，捆綁后有種站法，故共有種站法，故C錯誤；對于D，當在排尾時，隨意站，則有種站法；當不在排頭也不在排尾時，有種，有種，剩下同學隨意站有種，共有種，故A不在排頭，B不在排尾，共有種站法，故D正確；故選：ABD．11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.若，則有兩個極值點B.若是的唯一極值點，則C.有唯一極值點的充要條件是D.若有三個極值點，，，則.【答案】ABD【解析】時，由可知，由函數，圖象，顯然方程有唯一負根，即有變號零點，所以有兩個變號零點，所以函數有兩個極值點，故A正確；若是的唯一極值點，則恒成立，若，為增函數，時，不成立，若，則恒成立，令，當時，，在單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以當時，，所以，B正確；，即當時，，此時由，由可得，當，當，所以函數在單調遞減，在單調遞增，顯然可得，所以，又，故存在使，所以函數有兩個零點3和，是的不變號零點，是的變號零點，所以3不是的極值點，時，有唯一極值點，C錯誤；有三個極值點，，必有兩個零點且都不為3，不妨設，則必有兩個不同零點，，不妨設，則單調遞增，且有唯一零點，故，此時零點，當時，，單調遞減，當時，單調遞增，由有兩零點可知，即，，又，所以存在零點，時，，所以必存在，且，令，即，令，下面證明，令，則是增函數，又∵，時，，即.當時，，即由可知，當時，，在單調遞減，，，，即，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.“圓排列”亦稱“循環排列”“環排列”，最早出現在中國《易經》的四象八卦組合.當A，B，C三位同學圍成一個圓時，其中一個排列“ABC”與該排列旋轉一個或幾個位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一個排列，現有六位同學圍成一個圓做游戲，其排列總數為__________.（用數字作答）【答案】120【解析】三位同學圍成一個圓，“”“”或“”是同一排列，其中每一個圓排列可以拆成任意一位同學為首的直線排列3個.三位同學圍成一個圓的排列總數為，由此可得六位同學圍成一個圓的排列總數為.故答案為：13.已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為______．【答案】10【解析】橢圓的方程為，∴，，，連接，，則由橢圓的中心對稱性可得的周長，當AB位于短軸的端點時，取最小值，最小值為，．故答案為：1014.已知函數，若，則最小值為________.【答案】【解析】解法l：隱零點處理策略函數的定義域為，求導得，令，求導得，函數在上單調遞增，由，，得在上存在唯一的零點，即，于是當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.解法2：同構變形依題意，，令，，設，求導得，當時，，當，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，所以的最小值為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或者演算步驟.15.已知，函數．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）若函數在區間上單調遞減，求的取值范圍．解：（1）因為，所以曲線在點處的切線斜率．而直線的斜率為，則，得．（2）由在上單調遞減，得上恒成立，即在上恒成立．又時，，所以，所以的取值范圍是．16.“三角垛，下廣，一面一十二個，上尖，問：計幾何?”過去，商人們在堆放瓶瓶罐罐這類物品時，為了節省地方，常把它們壘成許多層，俗稱“垛”，每層擺成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1層1個，第2層（）個，第3層（）個，這樣一道題目：用現在的話說，其意思就是：“有一個三角垛，最底層每條邊上有12個物體，最上層只有1個尖），問：總共有多少個物體?”（1）第12層有多少個?（寫出計算過程）（2）若用表示第n層的物體個數，請做如下計算：①的值為多少；②求數列的前2024項和.解：（1）第12層的物品個數為：.（2）①；②，.17.已知雙曲線的右焦點F到其漸近線的距離為，又P為雙曲線上一點，且滿足：軸，且.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過F點作直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點（A、B不與P點重合），且與交于Q點，問：是否存在常數t，使得成立?若存在，求出t值；若不存在，請說明理由.解：（1）雙曲線的漸近線方程為，即，右焦點到漸近線的距離，得.設，則，得，即，于由，得雙曲線標準方程為：.（2）由（1），不妨令，且，因為過F點作直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點（A、B不與P點重合），所以直線的斜率存在，即直線方程為，則，因此.由聯立并化簡得，令，，則，∵直線與雙曲線右支相交，，或，.存在，使得成立.18.已知函數（1）若，求的取值范圍；（2）若既存在極大值，又存在極小值.①求a的取值范圍；②當時，分別為的極大值點和極小值點，且，求實數k的取值范圍.解：（1）當時，，則有，令，所以在單調遞增，令，所以在單調遞減，所以在處取得極大值，即為的最大值，無最小值.所以.（2）.因為存在極大值和極小值，所以方程有兩個不等實根.所以且.這是必要條件，下面證明充分性.令，解得或.①當時，，令，解得或，所以在和上單調遞增；令，解得時，所以在單調遞減.故當時，取得極大值；當時，取得極小值.當時，，令，解得或，所以在和上單調遞增；令，解得，所以在單調遞減.故當時，取得極小值；當時，取得極大值.綜上所述，a的取值范圍為.②當時，由①可知的極大值點為，極小值點為，所以，.因為，令，可得對任意恒成立.由于此時在上單調遞減，所以，故，故，即.設，則，令（*），，（I）當時，，故，在上單調遞增.故，即，符合題意.（Ⅱ）當時，，設（*）的兩根為和，且，則，，故，則當時，，單調遞減.故當時，，即矛盾，不符合題意.綜上，，即，所以，故k的取值范圍為.19.在數列中，若存在常數，使得恒成立，則稱數列為“數列”．（1）若，試判斷數列是否為“數列”，請說明理由；（2）若數列為“數列”，且，數