課程基本信息

課例編

2020QJ10SXRA044學科數學年級高一學期上

號

課題三角函數的概念

書名：普通高中教科書數學必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教胡芳北京市第五中學

師

指導教

師

教學目標

教學目標：1.初步理解借助單位圓上點的坐標定義三角函數，理解任意角的三角函

數的概念；

2.在三角函數定義的過程中進一步認知函數的本質，體會數形結合思想

方法的作用；

3.經歷三角函數概念的抽象過程，提升學生思維的嚴謹性，發展數學抽象

素養.

教學重點：任意角的三角函數概念.

教學難點：用單位圓上點的坐標定義三角函數.

教學過程

教

時學

主要師生活動

間環

節

問題引入：在客觀世界中存在大量循環往復、周而復始的周期現象，比如日出日落、

鐘擺運動等，勻速圓周運動是這類現象的代表，在前面的學習中我們已經知道函數是

創描述客觀世界變化規律的重要數學模型，那么勻速圓周運動

設

的運動規律該用什么函數模型刻畫呢？

情

如右圖所示,圓上的點P以A為起點做逆時針旋轉,在

景O

把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角的大小變化

，

導刻畫點P的位置變化.根據弧度制的定義，角的大小與圓

入O的半徑無關，我們能否建立一個函數模型，刻畫點P的位

新置變化情況?

課【設計意圖】開門見山引出研究內容、過程與研究方法，指明點P隨著角度的變化而

變化，明確構建函數模型的目標，讓學生初步了解本節課學習的方向，為具體研究指

明方向.

分析要解決這個問題，我們需要什么工具？

①建立函數模型,要利用直角坐標系.

②根據任意角的定義，需要借助單位圓.

如圖，以單位圓的圓心O為坐標原點，

以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標

系，點A的坐標是1,0，點P的坐標是

x,y.把該問題抽象為一個質點P從點

A1,0開始在單位圓上的運動.

問題1：這個運動過程中的有哪些變量，判

斷它們之間是否具有函數關系.如果有，能否寫出函數解析式？

（1）點P在單位圓上運動過程中涉及的變量有：點P的橫坐標x、縱坐標

y，弧長l，旋轉角度；

引（2）判斷變量：x,y,l,間的哪兩個變量能否構成

導

探函數關系？

究過過點P作PMx軸于M,根據勾股定理可知

，OM2PM21，即x2y21，顯然變量x、y間的

形

成對應關系不符合函數定義.在弧度制學習中我們已

新經知道變量l,之間的關系，并且變量x,y與的關系和x,y與l的關系等

知

價，所以我們研究變量x,y與的關系.

問題2:若角終邊與單位圓交于點P，如何求點P的坐標呢？

追問1：當我們遇到一般性問題應該如何研究？

特殊化：

不妨設，此時點P在第一象限,構造直角三角形，過點P向x軸引垂

3

1313

線交x軸于M,RtOMP中,可得OM,PM,即x,y,所

2222

以點的坐標為13.

P,

22

2

追問2:當時，點P的坐標是什么？

3

213

同樣,當時，點P在第二象限,可得x,y,所以點P的坐

322

標為13.

,

22

追問3：任意給定一個角，點P的坐標唯一確定嗎？

因為單位圓的半徑不變，點P的坐標只與角的大小有關，當角確定時，點P的

坐標是x,y也唯一確定.

追問4：在展示的運動變化的過程中，觀察角的終邊與單位圓的交點P的坐標，有

什么發現？能否運用函數的語言刻畫這種對應關系呢？

對任意一個實數，它的終邊OP與單位圓的交點P的橫、縱坐標x、

y都是唯一確定的，有如下對應關系：

任意角(弧度)→唯一實數x；①

任意角(弧度)→唯一實數y．②

一般地，任意給定一個角R，它的終

邊OP與單位圓交點P的坐標，無論是橫

坐標x，還是縱坐標y，都是唯一確定的.

所以，點P的橫坐標x、縱坐標y都是角

的函數.

【設計意圖】以函數的對應關系為指向，使學生確認相應的對應關系滿足函數的定義，

角的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標都是圓心角(弧度)的函數，為引出三角函

數的定義做好鋪墊.

下面給出這些函數的定義：

如圖，設是一個任意角，R，它的終邊OP與單位圓相交于點Px,y，那么

把點P的縱坐標y叫做的正弦函數，記做sin，即ysin；

把點P的橫坐標x叫做的余弦函數，記做cos，即xcos；

y

把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切函數，記做tan，即

x

y

tanx0.

x

問題3:正弦函數、余弦函數、正切函數的對應關系各是什么？

實數(弧度)對應于點P的縱坐標y→正弦函數；

實數(弧度)對應于點P的橫坐標x→余弦函數；

當點P的橫坐標為0時，角的終邊在y軸上，此時kkZ，

2

y

所以tan無意義.

x

yy

因此，對于確定的角，的值也是唯一確定的，所以tanx0也是以

xx

角為自變量，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數，稱為正切函數.

實數(弧度)對應于點P的縱坐標y與橫坐標xx0之比→正切函數.

追問1:任意角三角函數的定義是否符合高中函數的定義呢？

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或者坐標的比值為函

數值的函數.由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系，所以三角函數可以

看成是自變量為實數的函數.

按照函數的定義與常用的符號，我們通常將它們記為

正弦函數：ysinx；

余弦函數：ycosx；

正切函數：ytanx.

將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數.

追問2：任意角三角函數的定義域分別是什么呢?

很明顯，正弦函數和余弦函數的定義域都是實數集，即xR，對于正切函數而言，

要求點P的橫坐標x0，即角的終邊OP不能位于y軸上，那么正切函數的定義

域為xxk,kZ.

2

追問3：這個定義相對于銳角三角函數的定義有什么不同呢?

任意角的三角函數是通過角與單位圓交點的坐標定義的，銳角三角函數是通過直

角三角形邊長的比值定義的，在單位圓中直角三角形斜邊為1，所以銳角三角函數也

可用角的終邊與單位圓交點的坐標定義，此時終邊上的點都在第一象限，因此銳角三

角函數值都是正數，而任意角的三角函數值可以是負數.

追問4：“任意角的三角函數”與“銳角三角函數”這兩個概念有什么異同?

銳角三角函數的自變量是銳角，應理解為

ysinx,x0,；ycosx,x0,；ytanx,x0,.

222

【設計意圖】引導學生將任意角三角函數納入到函數中，豐富學生對三角函數的認知，

另外，注意任意角為軸線角的特殊情況，讓學生更全面地認識任意角的三角函數，體

現數學的嚴謹性.

理

5

解例1求的正弦、余弦和正切值.

概3

念

5

，解：在直角坐標系中，作AOB，此時AOB的終邊與單位圓的交點B的坐

運3

用

13

新標為,，

知22

53515

所以sin,cos,tan3.

32323

【設計意圖】通過概念的簡單應用，明確用定義求三角函

數值的基本步驟，進一步理解定義的內涵.

例2如圖，設是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標

為x,y，點P與原點的距離為r.

yxy

求證：sin，cos，tan

rrx

引導學生分析問題：

①你能根據三角函數的定義作圖表示sin和cos

嗎？

yxy

②在你所作的圖形中，，，表示什么？你能

rrx

找到它們與任意角的三角函數的關系嗎？

解：設角的終邊與單位圓交于點，分別過點作軸的垂線

P0x0,y0P,P0x

，垂足分別為，

PM,P0M0M,M0

則，

PMy,P0M0y0OMx,OM0x0,

OMPOM1P1.

PMPMy

所以得到00,即y.

1r0r

yy

因為y與y同號，所以y，即sin.

00rr

xy

同理可證：cos，tan.

rx

【設計意圖】通過問題引導，使學生找到OMP、

，并利用它們的相似關系，根據三角函數的定

OM1P1

義得到證明.

追問：例2實際上給出了任意角的三角函數的另外一種定

義，而且這種定義與已有的定義是等價的，能否用嚴格

的的數學語言敘述這個定義嗎？

一般地，對于任意角，角終邊上的任意一點P的坐標為x,y，它到原點O的

yx

距離為rOPOM2PM2x2y2，那么sin，cos，

rr

y

tan.

x

顯然任意角的三角函數值不會隨點的位置的變化而變化.

任意角三角函數的概念是三角函數知識的基礎，我們以后要學習的有關三角函數其他

知識都建立在我們對三角函數的概念的理解與認識上，所以同學們一定要認真學習和

體會今天所學的知識.

三角函數是如何定義的？我們除了學習單位圓定義，還有什么定義方法？

①單位圓定義法:建立直角坐標系，使角