課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA052學科數學年級高一學期第一學期

課題正切函數的性質和圖象

書名：普通高中教科書數學必修第一冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師白芳北京市第二十七中學

指導教師李穎北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.初步理解正切函數的基本性質，并借助性質把握圖象特征；

2.通過正切函數的圖象和性質的研究，進一步體會函數研究的方法，體會數形結合和類比的思想方法

的使用；

3.在正切函數的研究中，發展直觀想象和數學抽象的素養.

教學重點：正切函數的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調性，結合性質繪制圖象.

教學難點：能夠應用正切函數的圖象和性質解決相關問題.

教學過程

時間教學環節主要師生活動

問題1：什么叫正切函數？

我們已經知道，對于任意一個角x，xk,kZ，有唯一確定的正切值

2

tanx與之對應，因此ytanx是一個函數，稱為正切函數.

2分設計意圖：為研究正切函數的性質與圖象作好準備.

復習引入

鐘問題2：如何研究正切函數的性質與圖象？

前面我們研究正弦函數的方法是通過定義和單位圓繪制出正弦曲線，再通過

圖象直觀地研究正弦函數的性質。研究余弦函數是利用正弦曲線平移得到余弦曲

線，進而研究性質。正切函數的圖像不能通過平移得到，但有了前面的知識準備，

我們可以換個角度，即從正切函數的定義出發研究它的部分性質，再利用性質研

究正切函數的圖象，進而得到其他性質.

設計意圖：在回顧研究正弦函數、余弦函數的方法的基礎上引出研究正切函數的

方法.

一、正切函數ytanx的性質

1.定義域

由正切函數的定義，角的終邊不能落在y軸上，因此我們得到正切函數的定

義域：x|xk,kZ.

2

這種表示形式是在實數集中去掉了不能取到的點，還有沒有其他的表達方法

呢？我們也可以把能取到的所有值用區間形式表示出來，即

(k,k),kZ.在這個形式中，每一個取定的k值就對應著一個具體

22

3

的區間，比如當k=0時，對應的區間是(,)，當k=1時，對應的區間是(,)，

2222

3

當k=-1時，對應的區間是(,)等，定義域應取這些區間的并集，用連

22

12分接.

新課講解

鐘問題3：由此想象圖象會具有什么特點？

圖象被垂直于x軸的無窮多條直線xk,kZ隔開，兩條直線之間的

2

圖象是連續的.

2.奇偶性

正切函數的定義域關于原點對稱，由誘導公式tan(x)tanx,xR且

xk,kZ,可知，正切函數是奇函數.

2

問題4：由此想象圖象會具有什么特點？

正切函數的圖象關于原點對稱.

3.周期性

由誘導公式tan(x)tanx,xR，且xk,kZ,可知，正切函

2

數是周期函數，周期是.

問題5：正切函數的周期性和奇偶性對研究它的圖象會有什么幫助？

由于為正切函數的周期，所以我們只需要畫出他在一個周期內的圖象，然

后通過平移就可以得到在整個定義域內的圖象.選擇哪一個長度為的區間呢？

可以選擇區間,；而正切函數又是奇函數，所以只需畫出在0,的圖象.

22

π關于原點對稱ππ向左、右平移π個單位

[0,),正切函數圖象

222

下面我們研究怎樣得到函數ytanx,x0,的圖象.

2

二、正切函數ytanx的圖象

我們可以利用描點法作出ytanx,x0,圖象，為了更準確地得到點的

2

坐標，我們可以利用單位圓找到正切值的幾何意義.

如圖5.4—9，設x0,，在直角坐標系中畫出角的終邊與單位圓的交點

2

?

過點作軸的垂線，垂足為；過點作軸的垂線與角的

B(x0,y0)BxMA(1,0)xx

y0MBAT

終邊交于點T，則tanxAT；由此可見，當x0,時，

x0OMOA2

線段AT的長度就是相應角x的正切值．我們可以利用線段AT畫出函數

ytanx,x0,的圖象，如圖5.4.10所示．

2

通過動畫演示，將x0,的角四等分，通過線段AT找到對應角的縱坐標，

2

若希望更準確的繪圖，可進一步取更多的點，用光滑曲線連結取到的點，得到

ytanx,x0,的圖象.

2

設計意圖：通過正切函數定義及單位圓找到正切值得幾何表示（即正切線），繪制

正切函數的圖象.

將函數ytanx,x[0,)的圖象關于原點對稱，就可得到函數

2

ytanx,x(,0]的圖象；將函數ytanx,x(,)的圖象向左、右平

222

移，每次平移個單位，就可得到正切函數xR，且xk,kZ的圖象.

2

ytanx,xR，且xk,kZ的圖象，稱為“正切曲線”.

2

從圖5.4.11可以看出，正切曲線是被與y軸平行的一系列直線

xk,kZ所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.

2

問題6：由正切曲線，我們能夠得到正切函數的哪些其他性質呢？

4.單調性

觀察正切曲線可知，正切函數在區間(,)上單調遞增.由正切函數的周期

22

性可得，正切函數在每一個區間(k,k),kZ,上都單調遞增.

22

應注意：（1）區間端點不在定義域內，所以必須寫成開區間；

ππ

（2）正切函數在每一個開區間(k,kπ),kZ,上都是單調遞增

22

的.k的每一個取定的值都對應著一個單調區間，而正切函數的定義域是這無窮多

個區間的并，故正切函數在其整個定義域內不具有單調性.

5.值域

當x(,)時，tanx在(,)內可取到任意實數值，但沒有最大值、

22

最小值.因此，正切函數的值域是實數集R.

6.漸近線

正切函數的圖象是被相互平行的直線xk,kZ隔開的無窮多支形

2

狀完全相同的曲線組成的.當x趨近于k,kZ時，函數值趨近于正無窮或

2

負無窮，xk,kZ為其漸近線.

2

7.對稱性

問題7：正切曲線有對稱中心嗎？

由于正切函數是奇函數，不難看出正切曲線是中心對稱圖形，原點就是它的

一個對稱中心，還有別的對稱中心嗎？正切曲線與x軸的每一個交點

kπ,0,kZ都是其對稱中心；另外，每條漸近線與x軸的交點

π

kπ,0,kZ也是其對稱中心.

2

kπ

由此可知，正切曲線的對稱中心為(,0),kZ.

2

應注意，正切函數的對稱中心除了函數圖象與x軸的交點外，還有漸近線與x軸

的交點.對稱中心不一定在圖象上，比如我們熟悉的反比例函數，原點是其對稱

中心，但并不在函數圖象上.

正切曲線無對稱軸.

8.零點

觀察正切曲線可以看出，正切函數的零點為k,kZ.

以上我們研究正切函數的思路是：通過定義得到部分性質，在性質的輔助下

得到正切函數圖象，再由圖象得到其他性質，將函數的性質與圖象有機的結合起

來，充分地體現了數形結合的思想.

設計意圖：通過研究正切函數的性質畫出正切函數圖象，再通過圖象發現更多性

質.在解決問題的過程中由數想形，由形到數，反復進行數形轉化.從定義、誘導

公式、圖象等多角度認識正切函數的性質與圖象.

下面我們利用性質解決一些問題.

例1.不求值，分別比較下列各組正切值的大小.

π3π

1tan()和tan()；

57

1319

（2）tan與tan的大小.

45

π3ππ

解：10,

275

π

且ytanx在，0單調遞增,

2

6分π3π

例題解析tan()tan()；

鐘57

13π13ππ

解：2tantan3πtan,

444

19π19ππ

tantan4πtan,

555

ππππππ

,且ytanx在，單調遞增,

245222

ππ13π19π

tan()tan(),即tan()tan().

4545

例2.求函數ytan(x)的定義域、周期及單調區間.

23

分析：利用正切函數的性質，通過代數變形可以得出相應的結論.

解：自變量的取值應滿足：

1

x?k,kZ即x2k,kZ

2323

1

所以，函數的定義域是x|x2k,kZ.

3

設zx，又tan(z)ttan(z)

23

所以tan[(x)]tan[(x)]

2323

即tan[(x2))]tan[(x)]

2323