數學活動——圓的探究活動

一、活動導入

1.導入活動:日常生活中同學們經常見到的汽車、摩托車、自行車等一些交通運輸工具的

車輪是什么形狀的？請同學們思考一個問題，為什么車輪要做成圓形呢？能否做成長方形或

正方形？（板書課題）

2.活動目標:

（1）通過活動理解車輪做成圓形的數學道理.

（2）探究能過四邊形的四個頂點作圓的條件.

（3）以圓和正多邊形為基本圖形設計圖案.

3.活動重、難點：

重點：探究能過四邊形的四個頂點作圓的條件；以圓和正多邊形為基本圖形設計圖案.

難點：設計圖案.

二、活動過程

活動1車輪做成圓形的數學道理

1.活動指導：

（1）活動內容：教材第118頁活動1.

（2）活動時間：6分鐘.

（3）活動方法：完成活動參考提綱.

（4）活動參考提綱：

①按照課本活動1的要求，用筆畫出下面兩個圖形中

圓和正方形運動時的中心的運動軌跡.

②車輛在平坦的路面行駛時，圓形車輪的中心經過的

路線是直線，

正方形車輪的中心經過的路線是曲線.

③坐在圓形車輪的車上會很平穩.

2.自學：學生參考活動指導進行活動性學習.

3.助學：

（1）師助生：

①明了學情：明了學生畫圓和正方形的中心的運動軌跡等方面的情況.

②差異指導：對困難學生制作紙板和跟蹤圖形中心的運動軌跡等方面進行指導.

（2）生助生：學生同桌之間互相交流.

4.強化：

（1）圓在直線上滾動時，圓心的軌跡是直線.

（2）正方形在直線上翻滾時，其中心的軌跡是一段段以對角線長的一半為半徑，90°

的弧連接而成的曲線.

活動2探究四點共圓的條件

1.活動指導：

（1）活動內容：教材第119頁活動2.

（2）活動時間：10分鐘.

（3）活動方法：完成活動參考提綱.

（4）活動參考提綱：

①怎樣作三角形的外接圓？

找其外心，再以外心到頂點的長為半徑作圓即可.

②過平行四邊形，矩形，正方形，菱形的四個頂點能作圓嗎？如果能，這個四邊形相對

的兩個內角之間有何關系？

過平行四邊形、菱形的四個頂點不能作圓，過矩形和正方形的四個頂點可以作圓.相對

的兩個內角和為180°.

③如果過四邊形的四個頂點不能作圓，那么這個四邊形的對角和與180°之間有何關系？

試用教材第119頁圖4分兩種情況給予證明.

④如果一個四邊形對角互補，那么過這個四邊形的四個頂點可以作一個圓.

⑤請自己查找資料，歸納證明四點共圓的方法.

證明：如圖，(1)連接對角兩點，以其中一個三角形(ABC)作圓.

(2)分別連接對的兩(上述)點與圓心，根據圓心角等于圓周角兩倍.

則∠2=2∠A,∠1+∠2=360°

∠1=360°-∠2,因為∠D=180°-∠AA,所以∠1=2∠D,所以，∠D是∠1.

對應的圓周角，即PD也在圓上.命題得證.

2.自學：學生參考活動指導進行活動性學習.

3.助學:

（1）師助生：

①明了學情：明了學生是否會表示四個頂點不共圓的四邊形的對角和與180°之間的不

等關系.

②差異指導：根據學情分類指導.

（2）生助生：學生同桌之間互相交流.

4.強化：四點共圓的條件和證明方法.

活動3設計圖案

1.活動指導：

（1）活動內容：教材第119頁至第120頁的活動3.

（2）活動時間：10分鐘.

（3）活動方法：完成活動參考提綱.

（4）活動參考提綱：

①通過等分圓周設計圖案(仿照圖6).

②利用正多邊形平面鑲嵌的性質設計圖案.

2.自學：學生參考活動指導進行活動性學習.

3.助學：

（1）師助生：

①明了學情：明了學生是否會等分圓周，是否了解哪些正多邊形組合可以平面鑲嵌.

②差異指導：為困難學生提供等分圓周、正多邊形組合平面鑲嵌等方面的知識和方法.

（2）生助生：學生同桌之間互相交流.

4.強化：等分圓周的方法，正多邊形組合平面鑲嵌的條件.

三、評價

1.學生的自我評價（圍繞三維目標）：這節課你有什么收獲？有哪些不足？

2.教師對學生的評價：

（1）表現性評價：從學生回答問題，課堂的注意力等方面進行評價.

（2）紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學反思）：本課時設計了三個活動，分別探究了車輪做成圓形的

數學道理、四點共圓的條件、設計與圓有關的圖案，能夠激發學生的探究興趣，教師給予適

當的引導，讓學生知道從哪里入手，運用什么具體知識.設計圖案活動則要鼓勵學生大膽動

手操作，培養他們思維的靈活性與空間想象能力.

（時間：12分鐘滿分：100分）

一、基礎鞏固（70分）

1.（10分）四邊形ABCD內接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C=7∶6∶3，則∠D等于(B)

A.36°B.72°C.144°D.54°

2.（10分）下述美妙的圖案中，是由正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形中的三種

鑲嵌而成的為（D）

ABCD

3.（10分）現有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八

邊形，且它們的邊長都相等.同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有（B）

A.2種B.3種C.4種D.5種

4.（10分）如圖（1）是某公司的圖標，它是由一個扇環形和圓組成，其設計方法如圖

（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是該正方形的內切圓，E為切點，以B為圓心，分別以

BA、BE為半徑畫扇形，得到如圖所示的扇環形，圖（1）中的圓與扇環的面積比為4∶9.

5.（10分）如圖，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑

行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為2cm，則正六邊形的中心O運動的路程

為4πcm.

6.（10分）如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1，O2，O3，O4分別

是OA，OB，OC，OD的中點，若⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為8.

第6題圖第7題圖

7.（10分）如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則以格點為圓心，半徑為1和2的兩

種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積為2π-4.

二、綜合應用（20分）

8.（20分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC.求證：B、E、F、

C四點共圓.

證明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠AED+AFD=180°.∴A、E、D、F四點

共圓.

∴∠DEF=∠DAF.又AD⊥DC,

∴∠DAF+∠C=90°.

∴∠DEF+∠C=90°.

∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°.

∴B、E、F、C四點共圓.

三、拓展延伸（10分）

9.（10分）如圖，E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點.求證：E、F、G、H

四點共圓.

證明：連接OE、OF、OG、OH.

∵四邊形AB