陜西省周至縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法教學設計北師大版選修2-2科目授課時間節次--年—月—日（星期——）第—節指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節名稱）陜西省周至縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法教學設計北師大版選修2-2教學內容北師大版選修2-2第一章推理與證明1.3反證法。本節課將重點講解反證法的基本概念、證明過程和常見題型，包括反證法的定義、反證法的證明步驟、反證法的應用等。通過具體例題的講解和練習，使學生掌握反證法的運用，提高邏輯推理和證明能力。核心素養目標培養學生數學抽象和邏輯推理能力，通過反證法的學習，使學生能夠理解并運用抽象的數學語言表達推理過程，發展嚴密的邏輯思維。同時，提升學生的數學建模能力，通過解決實際問題，學會將反證法應用于解決數學問題，增強解決復雜問題的能力。此外，培養學生數學素養中的嚴謹性和批判性思維，使學生能夠在證明過程中學會質疑和反思。學情分析本節課面對的是陜西省周至縣高中一年級的學生，他們剛剛完成初高中數學的銜接，對高中數學的抽象思維和邏輯推理要求有了初步的認識。在知識層面，學生對初中數學中的基本概念和性質已經有一定的掌握，但對于高中數學中的抽象概念和證明方法還處于適應階段。在能力方面，學生的計算能力和解題技巧有待提高，特別是在面對較為復雜的證明問題時，往往缺乏有效的解題策略。

在素質方面，學生的自主學習能力和合作學習意識需要加強。部分學生在面對難題時容易產生畏難情緒，缺乏堅持不懈的毅力。此外，學生在課堂上的參與度不高，有時表現出對數學學習的興趣不足，這些因素都可能對反證法的學習產生不利影響。

在行為習慣上，學生普遍存在依賴老師和參考書的現象，缺乏獨立思考和探索的精神。這種習慣可能導致學生在遇到新問題時無法迅速適應，影響反證法的理解和應用。教學資源-軟硬件資源：多媒體教學設備（投影儀、計算機）、黑板、粉筆

-課程平臺：學校內部網絡教學平臺，用于發布教學資料和在線作業

-信息化資源：反證法相關教學視頻、在線證明軟件（如Geogebra、Mathematica等）

-教學手段：教學課件、教學案例、互動式問題卡、數學建模實踐軟件（如MATLAB等）

-教學輔助工具：幾何模型、數學圖形繪制工具（如GeoGebra軟件中的繪圖功能）教學過程一、導入新課

1.老師提問：同學們，我們之前學習了哪些證明方法？它們有什么特點？

2.學生回答：歸納法、演繹法、綜合法等。

3.老師總結：今天我們將學習一種新的證明方法——反證法。

二、新課講授

1.老師講解反證法的定義：反證法是一種通過否定結論，進而推出矛盾，從而證明原命題為真的證明方法。

2.老師舉例說明反證法的應用：

-例題1：證明：對于任意正整數n，n^2+n是3的倍數。

-分析：假設n^2+n不是3的倍數，即存在整數k，使得n^2+n=3k。那么n(n+1)=3k，由于n和n+1是相鄰的兩個整數，它們中必有一個是偶數，另一個是奇數。因此，n(n+1)是2的倍數，與3k是3的倍數矛盾。所以原命題成立。

3.老師引導學生總結反證法的證明步驟：

-提出反設：假設原命題的否定成立。

-推導矛盾：根據反設，推導出矛盾或不符合事實的結論。

-得出結論：由于推導出矛盾，原命題成立。

4.老師講解反證法的注意事項：

-反證法適用于證明命題的否定為假時，原命題為真。

-反證法不能用于證明全稱命題，只能用于證明存在命題。

-反證法不能用于證明命題的否定為真時，原命題為假。

三、課堂練習

1.老師提出練習題，要求學生獨立完成：

-練習題1：證明：對于任意正整數n，n^2-1是4的倍數。

-練習題2：證明：對于任意正整數n，n^3+n是3的倍數。

2.學生完成練習題，老師巡視指導。

四、課堂討論

1.老師引導學生討論反證法的應用：

-討論題1：反證法在數學證明中的優勢是什么？

-討論題2：反證法在解決實際問題中的應用有哪些？

2.學生分組討論，分享討論成果。

五、課堂小結

1.老師總結本節課的學習內容：

-反證法的定義和證明步驟。

-反證法的應用和注意事項。

2.老師強調反證法在數學證明中的重要性。

六、課后作業

1.老師布置課后作業，要求學生完成以下題目：

-課后作業1：證明：對于任意正整數n，n^4-n是3的倍數。

-課后作業2：證明：對于任意正整數n，n^5+n是3的倍數。

2.老師提醒學生按時完成作業，并鼓勵學生在課后進行復習和鞏固。

七、教學反思

1.老師對本節課的教學效果進行反思：

-學生對反證法的定義和證明步驟掌握程度如何？

-學生在課堂練習和討論中是否能夠靈活運用反證法？

-學生對反證法的應用和注意事項是否理解？

2.老師根據反思結果，調整教學策略，提高教學質量。知識點梳理一、反證法的定義

1.反證法是一種通過否定結論，進而推出矛盾，從而證明原命題為真的證明方法。

2.反證法適用于證明命題的否定為假時，原命題為真。

二、反證法的證明步驟

1.提出反設：假設原命題的否定成立。

2.推導矛盾：根據反設，推導出矛盾或不符合事實的結論。

3.得出結論：由于推導出矛盾，原命題成立。

三、反證法的應用

1.適用于證明存在命題，不適用于證明全稱命題。

2.適用于證明命題的否定為假時，原命題為真。

3.適用于證明較為復雜的數學問題。

四、反證法的注意事項

1.反證法不能用于證明命題的否定為真時，原命題為假。

2.反證法不能用于證明全稱命題。

3.反證法不能用于證明命題的否定為假時，原命題為真。

五、反證法的例子

1.證明：對于任意正整數n，n^2+n是3的倍數。

2.證明：對于任意正整數n，n^3+n是3的倍數。

六、反證法與其他證明方法的比較

1.與歸納法比較：歸納法適用于證明全稱命題，反證法適用于證明存在命題。

2.與演繹法比較：演繹法從一般到特殊，反證法從特殊到一般。

3.與綜合法比較：綜合法適用于證明簡單命題，反證法適用于證明復雜命題。

七、反證法的實際應用

1.在數學證明中的應用：證明數學定理、公式等。

2.在實際問題中的應用：解決數學問題、工程問題等。

八、反證法的拓展

1.反證法的變式：反證法的逆否命題、反證法的反證法等。

2.反證法的應用拓展：反證法在其他學科中的應用。

九、反證法的復習與鞏固

1.復習反證法的定義、證明步驟、應用和注意事項。

2.練習反證法的應用，提高解題能力。

3.分析反證法的實際應用，增強數學素養。典型例題講解例題1：證明：對于任意正整數n，n^2-1是4的倍數。

解答過程：

1.假設n^2-1不是4的倍數，即存在整數k，使得n^2-1=4k。

2.將等式變形得：n^2=4k+1。

3.由于n^2是平方數，它只能是奇數或偶數的平方。

4.假設n是偶數，則n=2m，其中m是整數。代入上式得：4m^2=4k+1，即m^2=k+1/4。這與m^2是整數的假設矛盾。

5.假設n是奇數，則n=2m+1，其中m是整數。代入上式得：4m^2+4m+1=4k+1，即4m^2+4m=4k。這與4m^2+4m是4的倍數的假設矛盾。

6.由于兩種情況都導致矛盾，所以原命題成立。

例題2：證明：對于任意正整數n，n^3+n是3的倍數。

解答過程：

1.假設n^3+n不是3的倍數，即存在整數k，使得n^3+n=3k。

2.將等式變形得：n^3=3k-n。

3.由于n^3是立方數，它只能是奇數或偶數的立方。

4.假設n是偶數，則n=2m，其中m是整數。代入上式得：8m^3=3k-2m，即8m^3+2m=3k。這與8m^3+2m是3的倍數的假設矛盾。

5.假設n是奇數，則n=2m+1，其中m是整數。代入上式得：8m^3+12m^2+6m+1=3k。這與8m^3+12m^2+6m+1是3的倍數的假設矛盾。

6.由于兩種情況都導致矛盾，所以原命題成立。

例題3：證明：對于任意正整數n，n^4-n是3的倍數。

解答過程：

1.假設n^4-n不是3的倍數，即存在整數k，使得n^4-n=3k。

2.將等式變形得：n^4=3k+n。

3.由于n^4是四次方數，它只能是奇數或偶數的四次方。

4.假設n是偶數，則n=2m，其中m是整數。代入上式得：16m^4=3k-2m，即16m^4+2m=3k。這與16m^4+2m是3的倍數的假設矛盾。

5.假設n是奇數，則n=2m+1，其中m是整數。代入上式得：16m^4+32m^3+24m^2+8m+1=3k。這與16m^4+32m^3+24m^2+8m+1是3的倍數的假設矛盾。

6.由于兩種情況都導致矛盾，所以原命題成立。

例題4：證明：對于任意正整數n，n^5+n是3的倍數。

解答過程：

1.假設n^5+n不是3的倍數，即存在整數k，使得n^5+n=3k。

2.將等式變形得：n^5=3k-n。

3.由于n^5是五次方數，它只能是奇數或偶數的五次方。

4.假設n是偶數，則n=2m，其中m是整數。代入上式得：32m^5=3k-2m，即32m^5+2m=3k。這與32m^5+2m是3的倍數的假設矛盾。

5.假設n是奇數，則n=2m+1，其中m是整數。代入上式得：32m^5+80m^4+80m^3+40m^2+10m+1=3k。這與32m^5+80m^4+80m^3+40m^2+10m+1是3的倍數的假設矛盾。

6.由于兩種情況都導致矛盾，所以原命題成立。

例題5：證明：對于任意正整數n，n^6-n是4的倍數。

解答過程：

1.假設n^6-n不是4的倍數，即存在整數k，使得n^6-n=4k。

2.將等式變形得：n^6=4k+n。

3.由于n^6是六次方數，它只能是奇數或偶數的六次方。

4.假設n是偶數，則n=2m，其中m是整數。代入上式得：64m^6=4k-2m，即64m^6+2m=4k。這與64m^6+2m是4的倍數的假設矛盾。

5.假設n是奇數，則n=2m+1，其中m是整數。代入上式得：64m^6+192m^5+240m^4+160m^3+60m^2+12m+1=4k。這與64m^6+192m^5+240m^4+160m^3+60m^2+12m+1是4的倍數的假設矛盾。

6.由于兩種情況都導致矛盾，所以原命題成立。教學評價與反饋1.課堂表現：

學生在課堂上的表現總體積極，對于反證法的概念和證明步驟理解較快。在課堂提問環節，大部分學生能夠準確回答問題，展現了良好的課堂參與度。然而，部分學生在面對較為復雜的證明問題時，表現出一定的困惑和猶豫，需要進一步指導。

2.小組討論成果展示：

在小組討論環節，學生能夠積極參與，分工合作，共同探討反證法的應用。各小組的討論成果展示充分體現了學生的思維過程和團隊合作精神。通過討論，學生能夠更好地理解反證法的原理和應用，提高了解題能力。

3.隨堂測試：

隨堂測試結果顯示，學生對反證法的基本概念和證明步驟掌握較好，但部分學生在具體應用反證法解決實際問題時，存在一定的困難。測試中，學生在選擇反設、推導矛盾和得出結論等環節，出現了一些錯誤。這表明需要加強學生對反證法實際應用的訓練。

4.學生自評與互評：

學生自評環節，學生能夠反思自己在學習過程中的優點和不足，提出改進措施。互評環節，學生能夠客觀評價同伴的表現，提出建設性的意見。這種自評與互評機制有助于學生更好地認識自己，提高學習效果。

5.教師評價與反饋：

針對學生在反證法學習中的表現，教師評價如下：

-針對學生對反證法基本概念的理解，教師評價：學生對反證法的定義和證明步驟掌握較好，能夠運用反證法解決一些簡單問題。

-針對學生對反證法實際應用的能力，教師評價：學生在實際應用反證法解決復雜問題時，存在一定的困難，需要加強練習和指導。

-針對學生的小組討論和合作學習，教師評價：學生在小組討論中表現積極，能夠相互配合，共同解決問題。但部分學生在討論中過于依賴他人，需要提高獨立思考能力。

-針對學生對反證法的反思和改進，教師評價：學生能夠認真反思自己的學習過程，提出切實可行的改進措施，體現了良好的學習態度。

本節課教學評價與反饋主要圍繞學生對反證法的學習效果進行。通過課堂表現、小組討論、隨堂測試和學生自評與互評等方面，教師能夠全面了解學生的學習情況。針對學生在反證法學習中的不足，教師將采取相應的教學策略，加強練習和指導，以提高學生的數學素養和邏輯推理能力。教學反思與總結哎呀，這節課上完之后，我真是感慨良多。咱們來聊聊這節課的得與失吧。

首先，我覺得這節課的教學方法還是挺有效的。我采用了提問、講解、例題分析、小組討論等多種教學方法，盡量讓每個學生都能參與到課堂中來。看到大家積極參與，我真心覺得挺欣慰的。不過，我也發現了一個