第第頁(yè)2025屆廣東省深圳一模深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合M=xx<2A．0,1 B．1,2 C．0,1,2 D．?1,0,1,22．已知z=1+2i2?i（i為虛數(shù)單位），則A．1 B．2 C．2 D．43．已知向量a=?1,1,b=A．?2 B．?1 C．1 D．24．已知sinα+βsinα?βA．13 B．12 C．25．已知函數(shù)fx的周期為2，且在0,1上單調(diào)遞增，則fA．fx=sinπx B．fx=sinπ6．已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線夾角為60°，且點(diǎn)1,1在E上，則E的離心率為（）A．3 B．233 C．2 D．7．已知曲線y=ex?1與曲線y=alnx+a(a>0)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則A．1e B．1 C．e D．8．如圖，已知圓臺(tái)形水杯盛有水（不計(jì)厚度），杯口的半徑為4，杯底的半徑為3，高為6.5，當(dāng)杯底水平放置時(shí)，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個(gè)半徑為r的球（球被完全浸沒(méi)），水恰好充滿水杯，則r=（）A．1.5 B．2 C．3 D．3.25二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．一組樣本數(shù)據(jù)xi,yi,i∈1,2,3,?,100．其中xi>1895，i=1100xi=2×105，i=1100yi=970，求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：A．樣本xi,yiC．σ1210．已知函數(shù)fxA．fx為周期函數(shù) B．存在t∈R，使得y=fx的圖象關(guān)于C．fx在區(qū)間π3,3π4上單調(diào)遞減 11．已知O0,0,Aa,0,Ba,1,C0,1,D0,?1，其中a≠0．點(diǎn)M,N分別滿足AMA．當(dāng)λ=12時(shí)，直線CM與直線DNB．當(dāng)a=?1時(shí)，存在點(diǎn)P，使得DPC．當(dāng)a=2時(shí)，△PAC面積最大值為2D．若存在λ，使得DP>2，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．2x+1x213．在等比數(shù)列an中，已知a1a314．某次考試共5道試題，均為判斷題．計(jì)分的方法是：每道題答對(duì)的給2分，答錯(cuò)或不答的扣1分，每個(gè)人的基本分為10分．已知趙，錢(qián)，孫，李，周，吳6人的作答情況及前5個(gè)人的得分情況如下表，則吳的得分為．人題號(hào)趙錢(qián)孫李周吳1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c（1）求B；（2）若b=1，求△ABC的面積．16．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=23,∠BAC=120°，（1）證明：DE⊥平面B1（2）若BB1=6，求直線A17．甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為p(0<p<1)，輸?shù)母怕蕿??p，每局比賽的結(jié)果是獨(dú)立的．（1）當(dāng)p=2（2）為了增加比賽的趣味性，設(shè)置兩種積分獎(jiǎng)勵(lì)方案．方案一：最終獲勝者得3分，失敗者得?2分；方案二：最終獲勝者得1分，失敗者得0分，請(qǐng)討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數(shù)學(xué)期望更大．18．已知拋物線y2=2x，過(guò)點(diǎn)N2,0作兩條直線l1,l2分別交拋物線于A,B（1）當(dāng)l1垂直于x軸，且四邊形ACBD的面積為45，求直線（2）當(dāng)l1,l2傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線AC與直線BD交于點(diǎn)19．已知無(wú)窮數(shù)列an滿足，a1,（1）若a1=1,a（2）證明：“存在k∈N?，使得ak（3）若a1≠a2，是否存在數(shù)列an

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：解不等式x<2，可得0≤x<4，即集合M=又因?yàn)镹=?2,?1,0,1,2，所以M∩N=故答案為：C.【分析】先解不等式求得集合M，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求M∩N即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：z=(1+2i)(2+i)(2?i)(2+i)=故答案為：A.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法求復(fù)數(shù)z，再求復(fù)數(shù)模即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：易知a+λ若a⊥a+λb，則故答案為：B.【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：sinα+βsinα?β=sin即4cosαsinβ=2sinαcosβ，同除以cosαcosβ故答案為：C．【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系的商關(guān)系求值即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、函數(shù)fx=sinπx周期為T(mén)=2ππ=2，但f14B、函數(shù)sinπ2x的周期為T(mén)=2π當(dāng)0<x<1時(shí)，fx=sinπ2x=sinπ2x，因?yàn)?<π2C、函數(shù)fx=cos2πx的周期為D、函數(shù)fx=tanπ故答案為：B.【分析】求函數(shù)fx=sinπ6．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)殡p曲線E的兩條漸近線夾角為60°，所以ba=33或ba若e=2，設(shè)雙曲線方程為：x2m2?y23m2=1，由點(diǎn)1,1在若e=233，設(shè)雙曲線方程為：x23m2?y2m故答案為：C．【分析】由題意可得ba=33或ba=3，根據(jù)離心率公式求得e=27．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得：方程ex?1=alnx+1只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

因?yàn)閍>0，所以只考慮ln分離參數(shù)可得：a=ex?1lnx+1，令f令ux=1+lnx?1x，易知ux則x∈1e,1時(shí)，fx∈1,+∞時(shí)，f'而x→1e時(shí)，fx→+∞；x→+故答案為：B.【分析】將轉(zhuǎn)化為方程ex?1=alnx+1只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，分離參數(shù)a=ex?18．【答案】D【解析】【解答】解：圓臺(tái)水杯的截面圖，如圖所示：

易知O1M=4,O2N=3,OH=72，

圓臺(tái)O1O的體積V=13故答案為：D.【分析】由題意，利用圓臺(tái)的體積公式求圓臺(tái)O1O體積，再根據(jù)小球的體積恰好等于9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、樣本數(shù)據(jù)xi,yi的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=?0.02x+B、由i=1100xi=2×105，i=1100C、由圖一的數(shù)據(jù)波動(dòng)較大可得ui比ei更集中，則D、由圖一的殘差平方和較圖二的殘差平方和大可知，處理后擬合效果更好，決定系數(shù)變大，故D正確．故答案為：ABD.【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的回歸方程即可判斷A；計(jì)算樣本點(diǎn)中心，根據(jù)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)即可判斷B；根據(jù)圖象由波動(dòng)性即可判斷C；根據(jù)圖象的波動(dòng)性即可判斷D.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、fx+2π=sinx+2π+sin2x+4π=sinx+sin2x=fxB、函數(shù)fx=sinx+sin2x的定義域?yàn)榧僭O(shè)y=fx圖象關(guān)于x=t對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f即ft?x=ft+xf4t+x=?f2t+x=fx，因?yàn)閒所以fπ+x=fx，但所以fx≠fπ+x與fπ+xC、因?yàn)閒'x=cosx+2cos2x當(dāng)x∈π3,函數(shù)y=4t2+t?2若?22<t<所以當(dāng)x∈π3,3π4時(shí)，D、因?yàn)閒x≤2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1sin2x=1時(shí)取等號(hào)，但當(dāng)sinx=1，即x=π2故答案為：AC.【分析】證明fx+2π=fx，結(jié)合周期函數(shù)定義即可判斷A；證明函數(shù)fx為奇函數(shù)，結(jié)合周期性證明若函數(shù)f11．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、當(dāng)λ=12時(shí)，由O0,0，Aa,0,Ba,1，可得AB→=0,1，OA→=B、由A可知，當(dāng)a=?1時(shí)，kCP設(shè)點(diǎn)Px,y，則y?1x·y+1x=?1，即x2+y2=1x<0,y>0，點(diǎn)C、直線CM:y=λ?1ax+1，直線DN:y=設(shè)x=2a1?λ1+(1?λ)2若a=2，則點(diǎn)P的軌跡方程為x2設(shè)點(diǎn)P2cosθ,sinθ,θ∈0,則點(diǎn)P到直線AC的距離d=2cosθ+2sinθ?2因?yàn)?2<sinθ+π4≤1，所以當(dāng)θ=π4時(shí)，D、由C可知，點(diǎn)P的軌跡方程為x2設(shè)Pacosθ,sinθ，θ∈0,π即a2則a2>2，即故答案為：AD.【分析】由題意求得點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式求kCMkDN即可判斷A；結(jié)合A的判斷知，kCPkCD=?1，利用關(guān)系求點(diǎn)P的軌跡即可判斷B；寫(xiě)出直線CM與直線DN的方程，聯(lián)立CM，DN，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，消參求點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合三角換元求△PAC的面積的最值即可判斷C；結(jié)合C可得P12．【答案】240【解析】【解答】解：二項(xiàng)式2x+1x2令6?3k=0，解得k=2，則2x+1x2故答案為：240．【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，求得k，再求常數(shù)項(xiàng)即可.13．【答案】6【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍1a3=9若a2=?3，由a2+a4=9若a2=3，由a2+a4=9，可得a4=6故答案為：6.【分析】設(shè)數(shù)列an的公比為q，由已知條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得a14．【答案】14分【解析】【解答】解：易知趙、錢(qián)、孫、李四人中，只有錢(qián)的得分是11分，則錢(qián)答對(duì)兩個(gè)題，答錯(cuò)三個(gè)題，不妨將錢(qián)的答案全部考慮反面，則錢(qián)答對(duì)三個(gè)題，答錯(cuò)兩個(gè)題，共14分；人題號(hào)趙錢(qián)孫李周吳1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411對(duì)于6個(gè)人而言，前4個(gè)題，6個(gè)人的答案都是三個(gè)√，三個(gè)錯(cuò)，那前4個(gè)題，每個(gè)題都是3個(gè)人對(duì)，3個(gè)人錯(cuò)；前4個(gè)題的總分為：60+3×2?3×1現(xiàn)在考慮第5題，共5個(gè)√，一個(gè)×，若第5題正確答案是“×”，那么第5個(gè)題的得分是：1×2?5×1=?3分，最終5個(gè)題的總得分為69分；而從得分來(lái)看，14+14+14+14+11=67分，于是吳得分是2分，矛盾；于是第5題正確答案是“√”，第5題的得分是：5×2?1×1=9分，6個(gè)題的總分為：81分，

則吳得14分．故答案為：14分.

【分析】觀察前面4人的作答情況，對(duì)比不同人的答案，利用得分情況推斷正確答案，再計(jì)算吳的得分即可.15．【答案】（1）解：由c2=a2+b2?ab，根據(jù)余弦定理推論又因?yàn)閏os2B=sinC，B∈0,2π3，所以cos2B=sinC=32（2）解：由（1）可得：A=7π12，且sinB=sinπ若b=1，由正弦定理asinA=b則S=1【解析】【分析】（1）由題意，利用余弦定理的推論可得C=π3，再由cos2B=sinC求（2）由（1）的結(jié)論，利用兩角和的正弦公式分別求出角A、B的正弦值，再利用正弦定理可求出a，最后利用三角形面積公式求解即可.（1）由余弦定理推論cosC=a2+b由于C∈0,π，則C=又因?yàn)閏os2B=sinC=32，且所以2B=π6，則（2）解法1：由（1）可知A=7π且sinB=sinπsinA=sin7π由正弦定理：asinA得a=bsinA所以S=1解法2：由（1）A=π所以sinB=?cosA，由正弦定理：asinA得a=bsinAS=1解法3：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AC交BC于D，由于A=7π12，則所以AD=DB=3,CD=2，所以S=116．【答案】（1）證明：取BC中點(diǎn)M，連接AM,ME，如圖所示：

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=23，因?yàn)镋為BC1的中點(diǎn)，所以EM為△BCC又因?yàn)镋M=12CC1又因?yàn)锳A1⊥平面ABC,AM?平面ABC由于EM,BC?平面B1BCC1,EM∩BC=M又因?yàn)镈E//AM，所以DE⊥平面B1（2）解：由（1）可知：MA,MC,ME兩兩垂直，

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以MC所在直線為x軸，MA所在直線為y軸，ME所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：在△A1B1C則D0,3,3設(shè)n=x,y,z⊥則n?BD=0n?BC設(shè)直線A1B與平面DBC1所成角為即直線A1B與平面DBC【解析】【分析】（1）取BC中點(diǎn)M，連接AM,ME，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AM⊥BC，再根據(jù)中位線的性質(zhì)得到EM//CC1//AD，即可得到四邊形AMED（2）由（1）可知：MA,MC,ME兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，在△A1B（1）取BC中點(diǎn)M，連接AM,ME，因?yàn)锳B=AC，所以AM⊥BC，E為BC1的中點(diǎn)，所以EM為△BCC又EM=12CC1又因?yàn)锳A1⊥平面ABC,AM?平面ABC由于EM,BC?平面B1BCC1,EM∩BC=M又因?yàn)镈E//AM，所以DE⊥平面B1（2）解法一：由（1）可知：MA,MC,ME兩兩垂直，如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以MC所在直線為x軸，MA所在直線為y軸，ME所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在△A1B1C于是D0,則BA設(shè)n=x,y,z⊥于是n?BD=0令z=1，則n=設(shè)直線A1B與平面DBC那么sinθ=cos?即直線A1B與平面DBC解法二：在△A1B1C如圖，連接B1E，由（1），DE⊥平面B1BCC又因?yàn)锽B1=B1C1，四邊形B由于B1E∩DE=E,B1E,DE?平面B如圖，記A1B∩B1D=N，過(guò)點(diǎn)N由于BC1⊥平面B1DE,NH?又因?yàn)镈E∩BC1=E,DE,BC1?平面所以∠NBH即為直線A1B與平面DBC則B1由于DE⊥B1E，則H為DE于是sin∠NAH=NH即直線A1B與平面DBC解法三：設(shè)直線A1B與平面DBC1所成角為θ，點(diǎn)A1到平面DB在Rt△A1B1B過(guò)B作BQ⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于Q，易得BQ=3，且易證BQ⊥平面A1由于S△A1在△DBC1中，DB=DC又VA1?BD【點(diǎn)睛】17．【答案】（1）解：記事件A=“甲最終以2:1獲勝”，記事件B=“甲最終以2:0獲勝”，事件C=“甲最終獲勝”，

則C=A∪B，A與B為互斥事件，

PA=C21?p?p?1?p=8（2）解：由（1）可知，PC若選用方案一，記甲最終獲得積分為X分，則X可取3,?2，PX=3則X的分布列為：X3?2p31?3則EX若選用方案二，記甲最終獲得積分為Y分，則Y可取1，0，PY=1則Y的分布列為：Y10p31?3則EY所以EX由于0<p<1，則2p于是p=1當(dāng)0<p<12時(shí)，當(dāng)12<p<1時(shí)，【解析】【分析】（1）記事件A=“甲最終以2:1獲勝”，記事件B=“甲最終以2:0獲勝”，事件C=“甲最終獲勝”，根據(jù)甲最終獲勝有兩種情況：前2局贏、三場(chǎng)輸一場(chǎng)贏兩場(chǎng)，據(jù)此求甲最終獲勝的概率接口；（2）由（1）可得甲最終獲勝的概率，分別計(jì)算兩種方案下甲獲得積分的數(shù)學(xué)期望，通過(guò)作差比較其大小即可.（1）記“甲最終以2:1獲勝”為事件A，記“甲最終以2:0獲勝”為事件B，“甲最終獲勝”為事件C，于是C=A∪B，A與B為互斥事件，由于PA=C則PC即甲最終獲勝的概率為2027（2）由（1）可知，PC若選用方案一，記甲最終獲得積分為X分，則X可取3,?2，PX=3則X的分布列為：X3?2p31?3則EX若選用方案二，記甲最終獲得積分為Y分，則Y可取1，0，PY=1則Y的分布列為：Y10p31?3則EY所以EX由于0<p<1，則2p于是p=1當(dāng)0<p<12時(shí)，當(dāng)12<p<1時(shí)，18．【答案】（1）解：由題意，設(shè)l2:x=ty+2，傾斜角為α，由對(duì)稱(chēng)性知l2不妨設(shè)0<α<π2，那么則S=12×4×聯(lián)立y2=2xx=ty+2，消元整理可得y則CD=CDcosα=2t則t=1,x=y+2由對(duì)稱(chēng)性，另一條直線：x=?y+2，即直線l2的方程為x+y?2=0或x?y?2=0（2）解：設(shè)點(diǎn)Ax因?yàn)閗AB=y所以AB:y?y1=同理可得：CD:y3+BD:y又因?yàn)閗AB=?kCD，直線AB和直線所以2y1+y2y1?4y1=?y則y1+4y1由于y4=?y1，則x4=x設(shè)△MAB的內(nèi)切圓圓心Qn,0,?2<n<2，則Q到MA的距離點(diǎn)Q到AB的距離r=4?2n4+y化簡(jiǎn)可得：2+n2?n由于y12+16y則0<n<3?5或由4+2n4+y1令z=y12則n=(12+z??4+z)28則fz在8,+∞單調(diào)遞減，【解析】【分析】（1）由題意，設(shè)l2:x=ty+2，根據(jù)三角形的面積求得CD，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，由韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得（2）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4（1）法一：當(dāng)l1⊥x軸，令x=2，則A設(shè)直線l2:y=kx?2k,Cx則x1由于y=kx?2ky2=2x，則kx1則4+2k2所以直線l2的方程為x+y?2=0或x?y?2=0法二：設(shè)l2:x=ty+2，傾斜角為α，由對(duì)稱(chēng)性知l2不妨設(shè)0<α<π2，那么則S=12×4×由于y2=2xx=ty+2則CD=CDcosα=2t則t=1,x=y+2由對(duì)稱(chēng)性，另一條直線：x=?y+2，所以直線l2的方程為x+y?2=0或x?y?2=0（2）法一：設(shè)點(diǎn)Ax因?yàn)閗AB=y所以AB:y?y1=同理可得：CD:y3+BD:y又因?yàn)閗AB=?kCD，直線AB和直線所以2y1+y2y1?4y1=?y則y1+4y1由于y4=?y1，則x4=x設(shè)△MAB的內(nèi)切圓圓心Qn,0,?2<n<2，則Q到MA的距離點(diǎn)Q到AB的距離r=4?2n所以4+2n4+化簡(jiǎn)可得：2+n2?n由于y12+則1<2+n則0<n<3?5或由4+2n4+y1令z=y12則n=(12+z?f'則fz在8,+∞單調(diào)遞減，法二：點(diǎn)M?2,0設(shè)△MAB的內(nèi)切圓圓心Qn,0設(shè)定點(diǎn)N2,0，由于MQ=2+n,NQ設(shè)∠AMQ=α,∠ANQ=β，于是sinα=rsinπ?β=sinβ=r（或：在△AMN中，由角平分線定理：S△AMQS△ANQ設(shè)fx由于x1+4x1則0<n<3?5，則n∈19．【答案】（1）解：無(wú)窮數(shù)列an滿足，a1,令n=1，則1=a1=a2若a2=1，由a2=a若a2=3，由a2=a由a4=a（2）證明：記a1=x,a2=y，必要性：若an是周期為3的周期數(shù)列，a3=a1+a2或a2?a1，

當(dāng)a3=a1+a2時(shí)，數(shù)列an前5項(xiàng)為：x,y,x+y,x,y，

由a3=a4?a5得x+y=x?y，該式當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0時(shí)成立，與a1,a2為正整數(shù)矛盾；

當(dāng)a3=a2?a1時(shí)，數(shù)列an（3）解：不存在，理由如下：an=an+1?an+2等價(jià)于an+2=an+1?an?或an+2=an+1+an??，

首先