第第頁2024屆浙江省普通高校招生考試選考科目考試沖刺卷（一）數學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1．已知集合A=xx?3<1，B=A．2,3 B．2,3 C．1,3 D．1,32．已知向量a=4,m，b=m2A．4或2 B．?2 C．2 D．2或?23．已知α∈0,π2，sinA．?223 B．223 4．如圖，一個底面半徑為4?cm，母線長為45?cm的圓錐形封閉容器內部裝有一種液體，當圓錐底面向下平放在水平桌面上時，液面的高度恰好為圓錐的高的A．237?cm B．4?cm C．6?cm5．用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，則數字3在五位數中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為（）A．110 B．15 C．256．過點M0,1作圓O1：x?22+y?22=1的兩條切線，切點分別為AA．5 B．2 C．3 D．27．已知a>0，b>0，若2a2+2abA．2?2 B．2+2 C．4+228．函數fxA．e2?2 B．?2e2?2 二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.）9．已知復數z1=z2=2A．z1+zC．z1?z10．已知函數f(x)=sin(2x+πA．f(x)的最小正周期為πB．f(x)圖象關于點(5πC．f(x)在(4πD．將f(x)圖象向左平移11π2411．已知函數fx+1為偶函數，對?x∈R，fx>0，且fA．f2=2 B．f3=1 三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12．已知PA=23，PBA13．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，14．已知數列an的前n項和為Sn，且an=1n+n?1，數列bn的前n項和為T四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15．如圖，在平面內的四個動點A，B，C，D構成的四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4.（1）求△ACD面積的取值范圍；（2）若四邊形ABCD存在外接圓，求外接圓面積.16．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，∠A1AC=π（1）證明：A1（2）求平面BEF與平面A117．已知函數fx（1）當a=12時，求（2）當a=1時，判斷fx18．已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N為橢圓上異于點P的點，直線PM，PN與x軸分別交于點A，B，若tan∠PAB?tan∠PBA=1，證明：直線MN恒過定點.19．某手機銷售商為了了解一款5G手機的銷量情況，對近100天該手機的日銷量X（單位：部）進行了統計，經計算得到了樣本的平均值X=300，樣本的標準差s=50（1）經分析，可以認為該款手機的日銷售量X近似服從正態分布Nμ,σ2，用樣本的平均值X作為μ的近似值，用樣本的標準差s作為σ（2）為了促銷，該銷售商推出了“摸小球、送手機”活動，活動規則為：①每位購買了一部該款手機的顧客參加一次活動；②箱子中裝有紅球和白球各10個，顧客隨機摸取一個，如果摸到的是白球，則獲得1個積分，如果摸到的是紅球，則獲得2個積分；放回后進行下一次摸取.設顧客的初始積分為0，當積分之和達到19或20時，游戲結束，如果最終積分為19，顧客獲得二等獎，手機的售價減免1000元；如果最終積分為20，顧客獲得一等獎，手機的售價減免2000元.活動的第一天共有300位顧客各購買了一部該手機，且都參加了活動，試估計獲得一等獎的顧客人數.（結果四舍五入取整數）參考數據：若隨機變量ξ～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤ξ<μ+σ≈0.6827

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為x?3<1??1<x?3<1，得2<x<4，即A=因為18≤2?x≤12所以A∩B=x故答案為：B.【分析】利用絕對值不等式求解方法得出集合A，利用指數函數的單調性得出集合B，再結合交集的運算法則，從而得出集合A∩B.2．【答案】C【解析】【解答】解：由a//b，則4×2?m故答案為：C.【分析】根據向量平行的坐標表示，從而得出m的值.3．【答案】C【解析】【解答】解：cosα+故答案為：C.【分析】利用角之間的關系結合誘導公式，從而得出cosα+4．【答案】D【解析】【解答】解：因為圓錐的底面半徑為4?cm，母線長為45?cm，

所以高為當圓錐底面向下平放在水平桌面上時，液面的高度恰好為圓錐的高的12所以液面的半徑為2，此時液體的體積為V=π當圓錐的頂點在桌面上，且底面平行于桌面時，此時液體的形狀是倒立的圓錐，設圓錐的底面半徑為r，高為?，則有?8=r此時液體的體積為V=π由2π3r3=112π故答案為：D.【分析】利用已知條件和勾股定理得出圓錐的高，當圓錐底面向下平放在水平桌面上時，液面的高度恰好為圓錐的高的125．【答案】D【解析】【解答】解：用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，基本事件總數n=A數字3在五位數中位于1和5之間的基本事件個數m=A則數字3在五位數中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為mn故答案為：D．【分析】先求出基本事件總數n，求出數字3在五位數中位于1和5之間的基本事件數m，再利用古典概型求概率公式，從而由排列數公式得出數字3在五位數中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率.6．【答案】A【解析】【解答】解：由圖可知，O1A⊥MA，

則M,A,O1,B四點共圓，圓的直徑是MO1，點所以MO1=22所以四邊形MAO1B即x2+y兩式相減得直線AB的方程2x+y?5=0，則原點到直線2x+y?5=0的距離d=?5故答案為：A.【分析】首先求出四邊形MAO1B的外接圓的方程，求出直線AB的方程，再根據點到直線的距離公式得出原點O7．【答案】D【解析】【解答】解：ab=ab×2=2設ab則ab=2=x當x=2x時，即當x=2所以ab的最大值為4?22故答案為：D.【分析】首先變形得出ab=ab×2a2+2ab+1b8．【答案】B【解析】【解答】解：因為f'記gx=x?1當x>0時，g'x>0，函數g當x<0時，g'x<0，函數g所以，當x=0時，gx因為g2=0，且當x<0時，所以，當x<2時，gx<0，即f'x<0當x>2時，gx>0，即f'x>0所以，當x=2時，fx取得極小值f故答案為：B.【分析】利用二次求導判斷函數f'x的單調性，從而得出函數f'x的最小值，再結合函數f'9．【答案】A,C【解析】【解答】解：設z1因為z3=z1+又因為z1=z可知c2+2?d2=c2+d2，解得d=1，

則b=d=1a=?c=3或對于選項A：因為z1=3對于選項B：可知z1對于選項C：因為z1對于選項D：z1故答案為：AC.【分析】根據復數的模長公式和復數加法運算法則以及復數相等的判斷方法，可得復數z110．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：f(x)=sin(2x+=2cos對于A，T=2π對于B，因為f(5π所以點(5π24,對于C，因為f(35π所以函數f(x)的圖象關于x=35π又因為35π24∈(4π3,對于D，將f(x)圖象向左平移11π24個單位后，

得出f(x+顯然為偶函數，所以D正確.故答案為：ABD.【分析】利用二倍角的余弦公式、輔助角公式、誘導公式，則將函數f(x)轉化為余弦型函數，再利用余弦型函數的最小正周期公式，則判斷出選項A；利用換元法和余弦函數的圖象的對稱性，則判斷出函數f(x)的對稱中心，從而判斷出選項B；利用換元法和余弦函數的圖象的單調性，則判斷出函數f(x)在(4π11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由題意可知，f?x+1=fx+1，

即函數fx關于在fx+1=fxfx+2中，

又因為fx>0，所以令x=?1，得f0=f?1f1，

又因為f3由已知得fx+2=f得出fx+3=1所以函數fx是周期為6的函數，故f因為函數fx關于x=1對稱，所以f12=f3所以f1故答案為：ACD.【分析】由抽象函數結合已知條件和函數圖象的對稱性判斷方法，從而判斷出函數fx12．【答案】14【解析】【解答】解：因為PBPBA=1?P即23×1故答案為：14【分析】利用已知條件和全概率公式以及對立事件求概率公式，從而得出PB13．【答案】5【解析】【解答】解：不妨取M為漸近線y=b

因為F1M?F又因為O為F1F2因為MF1=2MF因為∠MOF1+∠MO在△MOF1和則cos∠MOF1所以c2+c2?2m2則∠MOF2為銳角，tan∠MO則b=43a，c2=故答案為：53【分析】根據F1M?F2M=0，得到F1M⊥14．【答案】15【解析】【解答】解：因為an所以Sn因為2bn?1整理得2b所以bn所以Tn=log令log2n+1≥2所以正整數n的最小值為15.故答案為：15.【分析】利用裂項相消的方法求出Sn，代入已知條件，從而整理得出2bn=n+1n，然后取對數結合裂項相消的方法可得15．【答案】（1）解：由三角形的性質可知，AB+BC>AC，

即AC<3且AC+CD>AD，

即AC>1，所以1<AC<3，在△ADC中，cos∠ADC=所以cos∠ADC∈23則S△ADC所以△ADC面積的取值范圍是0,25（2）解：在△ADC中，AC在△ABC中，AC即25?24cos因為四邊形ABCD存在外接圓，

所以∠ADC+∠ABC=180°，

即即25?24cos∠ADC=5+4cos∠ADC，

得出此時AC2=25?24×由2R=AC所以，四邊形ABCD外接圓的面積為S=πR???????【解析】【分析】（1）根據三角形的性質，從而求出AC的范圍，根據余弦定理求出cos∠ADC的取值范圍，再結合同角三角函數基本關系式得出sin∠ADC的取值范圍，利用三角形的面積公式和不等式的基本性質，從而得出三角形（2）由余弦定理和四邊形的外接圓的性質，從而求出ACd長和sin∠ADC的值，再利用正弦定理的性質得出三角形外接圓的半徑，即得出四邊形ABCD的外接圓的半徑，根據圓的面積公式得出四邊形ABCD（1）由三角形的性質可知，AB+BC>AC，即AC<3，且AC+CD>AD，即AC>1，所以1<AC<3，△ADC中，cos∠ADC=所以cos∠ADC∈23S△ADC所以△ADC面積的取值范圍是0,25（2）△ADC中，AC△ABC中，AC即25?24因為四邊形ABCD存在外接圓，所以∠ADC+∠ABC=180°，即即25?24cos∠ADC=5+4cos∠ADC，得此時AC2=25?24×由2R=AC四邊形ABCD外接圓的面積S=πR16．【答案】（1）證明：取AC中點D，因為在三棱柱ABC?A1B1C1所以三角形A1AC是等邊三角形，則因為平面A1ACC1⊥平面ABC，

A1D?所以A1D⊥平面又因為DE,DC?平面ACB，所以A1因為D,E分別是AC,AB的中點，所以DE//CB，因為AC⊥BC，所以DE⊥DC，所以DE,DC,DA則以D為原點，DE,DC,DA1分別為因為AC=BC=CC1=2所以D0,0,0A1所以A1所以A1所以A1C⊥（2）解：由（1）可知，BE設平面BEF與平面A1ABB則n1?BE令y1=y所以n1所以cosn所以平面BEF與平面A1ABB【解析】【分析】（1）利用三棱柱的結構特征和等邊三角形三線合一得出線線垂直，結合面面垂直的性質定理得出線面垂直，從而得出線線垂直，進而建立空間直角坐標系，則得出點的坐標和向量的坐標，再根據兩向量垂直數量積為0的等價關系，從而證出A1（2）由（1）得出向量的坐標，結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而得出平面BEF與平面A1ABB1的法向量，再利用數量積求向量夾角公式，從而得出平面（1）取AC中點D，因為在三棱柱ABC?A1B1C所以三角形A1AC是等邊三角形，從而而平面A1ACC1⊥平面ABC，A1D?所以A1D⊥平面因為DE,DC?平面ACB，所以A1因為D,E分別是AC,AB的中點，所以DE//CB，因為AC⊥BC，所以DE⊥DC，所以DE,DC,DA所以以D為原點，DE,DC,DA1分別為因為AC=BC=CC1=2所以D0,0,0A1所以A1所以A1所以A1C⊥（2）由（1）可知，BE=設平面BEF與平面A1ABB則有n1?BE令y1=y所以n1所以cosn所以平面BEF與平面A1ABB17．【答案】（1）解：當a=12時，fx=1當x<0時，ex<1,cosx≤1，所以所以，函數fx在?當x>0時，記gx=1因為ex>1≥sinx，所以g'所以gx>g0=0，即f'x>0綜上所述，fx的單調遞減區間為?∞,0（2）解：當a=1時，fx=e記?x=e當x>0時，ex>1≥sinx，所以?'所以?x>?0=1>0，所以fx>f0=0，當x≤?π時，因為ex所以fx=e當?π<x<0時，記nx=e因為當x趨近于0時，n'x趨近于0，所以當x=?π時，ex?x?1>?sinx，當作出函數nx和y=?

由圖可知，當?π<x<0時，兩個函數圖象有一個交點，

即fx有一個零點，易知x=0是fx綜上所述，函數fx【解析】【分析】（1）利用a的值得出函數的解析式，再利用求導的方法判斷函數的單調性，從而得出函數fx（2）當x>0時，利用二次導數判斷函數fx的單調性，當x≤?π時，利用指數函數的性質和正弦函數有界性，從而判斷出函數值的符號，當?π<x<0時，記nx=ex?x?1，再利用導數研究函數nx（1）當a=12時，fx當x<0時，ex<1,cosx≤1，所以所以，fx在?當x>0時，記gx=1因為ex>1≥sinx，所以g'所以gx>g0=0，即f'綜上，fx的減區間為?∞,0（2）當a=1時，fx=e記?x=e當x>0時，ex>1≥sinx，所以?'所以?x>?0=1>0，所以fx>f0=0，當x≤?π時，因為ex所以fx=e當?π<x<0時，記nx=e因為當x趨近于0時，n'x趨近于0，所以當x=?π時，ex?x?1>?sinx，當作出函數nx和y=?由圖可知，當?π<x<0時，兩個函數圖象有一個交點，即fx易知x=0是fx綜上，函數fx18．【答案】（1）解：聯立x2a2+y可得Δ=64化簡可得a2又因為點P2,1在橢圓上，因此4a2+1b2故橢圓C的方程為x2（2）解：設直線MN的方程為x?2m+y?1n=1，

設點M由x28+y24則x?2=故42n+1由kPM即4m+142n+1=?1則直線MN的方程為?x?2當x=65時，因此直線MN過定點65【解析】【分析】（1）聯立直線與橢圓的方程，利用直線與橢圓相切的位置關系判斷方法，則Δ=0，從而得出a，b的方程，再結合點在橢圓上和代入法，則得出a，b的另一個方程，解關于a，b的方程組，從而得出a，b的值，進而得出橢圓C（2）利用齊次化方程的思想，設出直線MN的方程，結合橢圓的標準方程，從而轉化為關于斜率的一元二次方程，再結合直線的