機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，直角坐標(biāo)系下若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在D上的二重積分存在。極坐標(biāo)系下兩次定積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)于x,y的兩次定積分x,y的范圍怎樣確定？區(qū)域D的表示問題一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1、積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).－型區(qū)域出口曲線入口曲線假設(shè)D是上述x型區(qū)域，計(jì)算的值穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界不多于兩個(gè)交點(diǎn).應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.的值等于以D為底,以曲面z=f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束于是上式右端的積分稱為先對y后對x

的二次積分.即注:上式對于在區(qū)域D上的一般可積函數(shù)f(x,y)仍成立.先把x

看作常數(shù),把f(x,y)看作y

的函數(shù),并對y計(jì)算從的定積分;然后把計(jì)算的結(jié)果再對x到計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的定積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2、積分區(qū)域?yàn)椋海蛥^(qū)域穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界不多于兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

二重積分化為二次積分的關(guān)鍵是確定積分限和積分順序.

(積分域作圖)說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡便,先對x后對y積分,及直線則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解積分區(qū)域如圖例5

改變積分的次序.原式

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

計(jì)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解原式例7.

改變積分的次序.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式(１)區(qū)域D

特征如圖機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分化為二次積分的公式(２)區(qū)域D

特征如圖機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分化為二次積分的公式(３)區(qū)域D

特征如圖若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)積分區(qū)域的邊界曲線含有表達(dá)式被積函數(shù)又呈或時(shí)，注：或者常用極坐標(biāo).例1.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注:利用例1可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例1的結(jié)果,得①故①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

計(jì)算解.

令則其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

計(jì)算解.

令這里D為圓域的扇形部在第一象限中極角由0到分(極點(diǎn)在(1,0)).則D用極坐標(biāo)表示為:解:例5.

計(jì)算其D為由圓及直線

所圍成的平面閉區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí)在一形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面的容器內(nèi),已盛有的溶液,現(xiàn)又倒進(jìn),問液面較之原來升高多少？定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xoy

面上得到一個(gè)四邊形,其對應(yīng)頂點(diǎn)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同理得當(dāng)h,k

充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.

計(jì)算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.

試計(jì)算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為