柱、錐、臺和球

【學習目標】

1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征.

2.能用上述結構特征描繪現實生活中簡單物體的結構.

3.了解柱、錐、臺、球的概念.

【要點梳理】

【高清課堂：空間幾何體的結構394899棱柱的結構特征】

要點一：棱柱的結構特征

1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,

由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱

柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱.側面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點.棱柱中不在同一平面上

的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線.過不相鄰的兩條側棱所形成的面叫做棱柱的對角面.

2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3、棱柱的表示方法：

①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為ABC。-A4G2、

ABCDE-ABCQE、ABCDEF-ABSDEK；

②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱AC或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱

ACt、棱柱ADt等；六棱柱可表示為棱柱AC；、棱柱ADt、棱柱\EX等.

4、棱柱的性質：棱柱的側棱相互平行.

要點詮釋：

有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱.如下圖所示的幾何

體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱.

判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這

兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側棱互相平行”這一

條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱.

【高清課堂：空間幾何體的結構394899棱錐的結構特征】

要點二：棱錐的結構特征

1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.這

個多邊形面叫做棱錐的底面.有公共頂點的各個三角形叫做棱錐的側面.各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.相

鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱；

2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；

3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐S-A8CO.

要點詮釋:

棱錐有兩個本質特征:

(1)有一個面是多邊形:

(2)其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可.

【高清課堂：空間幾何體的結構394899旋轉體的結構特征】

要點三：圓柱的結構特征

1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱.旋轉軸叫

做圓柱的軸.垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的底面.平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面.無

論旋轉到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線.

2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱。。

要點詮釋:

（1）用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面.

（2）經過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直

徑，經過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面.

（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸.

要點四：圓錐的結構特征

1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐.旋

轉軸叫做圓錐的軸.

垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的底面.不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面.無論旋

轉到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線.

2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐S。.

要點詮釋：

（1）用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面.

（2）經過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側面的兩條母線.

（3）圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側面的母線.

【高清課堂：空間幾何體的結構394899棱臺的結構特征】

要點五：棱臺和圓臺的結構特征

1、定義：用一個平行于棱錐（圓錐）底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺（圓臺）；

原棱錐（圓錐）的底面和截面分別叫做棱臺（圓臺）的下底面和上底面；原棱錐（圓錐）的側面被截去后剩余的曲面

叫做棱臺（圓臺）的側面；原棱錐的側棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側棱；原圓錐的母線被平面截去后

剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角

邊旋轉而成，因此旋轉的軸叫做圓臺的軸.

2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺A8CD—A4G。；

3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺0。'；

要點詮釋：

(1)棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體.所以，棱臺可還原為棱錐，即延長棱臺的所有

側棱，它們必相交于同一點.

(2)棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方.

(3)圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉而成.

(4)圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方.

要點六：球的結構特征

1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球.半圓的半徑

叫做球的半徑.半圓的圓心叫做球心.半圓的直徑叫做球的直徑.

2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球0.

要點詮釋：

(1)用一個平面去截一個球，截面是一個圓面.如果截面經過球心，則截面圓

的半徑等于球的半徑；如果截面不經過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑.

(2)若半徑為R的球的一個截面圓半徑為r,球心與截面圓的圓心的距離為d,則有d=—尸.

要點七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺

特殊的棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直

棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；

特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；

側棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；

特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；

注：簡單幾何體的分類如下表：

圓柱

柱體「三棱柱棱柱

〔棱柱《四犢柱

多面體\棱錐

I五棱柱

〔棱臺

錐體三核推

尚單

四援推或者幾何體〈

幾何體

五接推r圓柱

圓錐

,三槌臺

臺體旋轉體

圓臺

I棱臺《四棱臺

I球體

五棱臺

球體

要點八：簡單組合體的結構特征

1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的

幾何體;

2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉體的組合；③旋轉體與旋轉體的組合.

①多面體與多面體的組合體

由兩個或兩個以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體.如下圖（1）是一個四棱柱與一個

三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖（3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組

合體.

②多面體與旋轉體的組合體

由一個多面體與一個旋轉體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉體的組合體如圖（1）是一個三棱柱與一個

圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成

的.

③旋轉體與旋轉體的組合體

由兩個或兩個以上的旋轉體組合而成的兒何體稱為旋轉體與旋轉體的組合體.如圖(1)是由一個球體和一

個圓柱體組合而成的；如圖(2)是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖(3)是由一個圓臺、一個圓柱和

一個圓錐組合而成的.

(1)(2)(3)

要點九：幾何體中的計算問題

幾何體的有關計算中要注意下列方法與技巧：

(1)在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側面、等腰三角形中的斜高及高與側棱所構成的兩個直角三角形，有

關證明及運算往往與兩者相關.

(2)正四棱臺中要掌握其對角面與側面兩個等腰梯形中關于上、下底及梯形高的計算，有關問題往往要轉化

到這兩個等腰梯形中.另外要能夠將正四棱臺、正三棱臺中的高與其斜高、側棱在合適的平面圖形中聯系起來.

(3)研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關

元素之間的位置、數量關系.

(4)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開是把立體幾何問題轉化為平面幾何問題處理的重要手段之一.

(5)圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決.

(6)關于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應用平面幾何的有關知識解決；關于

球與多面體的切接問題，要恰當地選取截面，化“空間”為平面.

【經典例題】

類型一：簡單幾何體的結構特征

例1.判斷下列說法是否正確.

(1)棱柱的各個側面都是平行四邊形；

(2)一個n(n，3)棱柱共有2n個頂點；

(3)棱柱的兩個底面是全等的多邊形；

(4)如果棱柱有一個側面是矩形，則其余各側面也都是矩形.

【答案】(1)(2)(3)正確，(4)不正確.

【解析】(1)由棱柱的定義可知，棱柱的各側棱互相平行，同一個側面內兩條底邊也互相平行，所以各

側面都是平行四邊形.（2）一個n棱柱的底面是一個n邊形，因此每個底面都有n個項點，兩個底面的頂點數

之和即為棱柱的頂點數，即2n個.（3）因為棱柱同一個側面內的兩條底邊平行且相等，所以棱柱的兩個底面的

對應邊平行且相等，故棱柱的兩個底面全等.（4）如果棱柱有一個側面是矩形，只能保證側棱垂直于該側面的

底邊，但其余側面的側棱與相應底邊不一定垂直，因此其余側面不一定是矩形.

故（1）（2）（3）正確，（4）不正確.

【總結升華】解決這類與棱柱、棱錐、棱臺有關的命題真假判定的問題，其關鍵在于準確把握它們的結構

特征，也就是要以棱柱、棱錐、棱臺概念的本質內涵為依據，以具體實物和圖形為模型來進行判定.

舉一反三：

【變式1】如下圖中所示幾何體中是棱柱有（）

【答案】C

例2.有下面五個命題：

（1）側面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；

（2）側棱都相等的棱錐是正棱錐；

（3）底面是正方形的棱錐是正四棱錐；

（4）正四面體就是正四棱錐；

（5）頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內心，又是底面多邊形的外心的棱錐必是正棱錐.

其中正確命題的個數是（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】本題主要考查正棱錐的概念，關鍵看是否滿足定義中的兩個條件.

命題（1）中的“各側面都是全等的等腰三角形”并不能保證底面是正多邊形，也不能保證頂點在底面上的

射影是底面的中心，故不是正棱錐，如下圖（1）中的三棱錐S-ABC,可令SA=SB=BC=Ac=3,SC=AB=1,則

此三棱錐的各側面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱錐；命題（2）中的“側棱都相等”并不能保證底面

是正多邊形，如下圖（2）中的三棱錐P-DEF,可令PD=PE=PF=1,DE=DF=42,EF=1,三條側棱都相等,

但它不是正三棱錐；命題（3）中的“底面是正方形的棱錐”，其頂點在底面上的射影不一定是底面的中心，如

下圖（3）,從正方體中截取一個四棱錐D「ABCD,底面是正方形，但它不是正四棱錐；命題（4）中的“正四

面體”是正三棱錐.三棱錐中共有4個面，所以三棱錐也叫四面體.四個面都是全等的正三角形的正三棱錐也

叫正四面體；命題（5）中的“頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內心，又是外心”，說明了底面是一個正

多邊形，符合正棱錐的定義.

舉一反三:

【變式1】如果一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐.這

種說法是否正確？如果正確說明理由；如果不正確，舉出反例.

【答案】不正確

【解析】如圖所示的幾何體由兩個底面相等的四棱錐組合而成，它有一個面是

四邊形，其余各面都是三角形，但是該幾何體不是棱錐.

類型二：幾何體中的基本計算

例3、若三棱錐的底面為正三角形，側面為等腰三角形，側棱長為2,底面周長為9,求棱錐的高.

【解析】底面正三角形中，邊長為3,高為3xsin60°=地，中心到頂點距離為九3x2=6,則棱

223

錐的高為J2?—（、Q）2=1.

例4、用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1:16,截去的圓錐的

母線長是3cm,求圓臺的母線長.

【解析】設圓臺的母線為/,截得圓臺的上、下底面半徑分別為r,4r.

3r

根據相似三角形的性質得，—,解得/=9.

3+/4r

所以，圓臺的母線長為9。〃.

【總結升華】用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質（與底面全等或相似），

同時結合旋轉體中的軸截面（經過軸的截面）的幾何性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方

程組而解得.

例5.如圖（單位：cm）,求圖中陰影部分繞A8旋轉一周所形成的幾何體的表面積和體積.

【思路點撥】所形成的旋轉體為一個圓臺，并從上底挖去一個半球.

【解析】由題意知，所求旋轉體的表面積由三部分組成：

圓臺下底面、側面和一半球面.

S半球=84,S圓臺側=354,端臺底=254.

故所求幾何體的表面積為68萬.

22

由%臺=-x[^-x2+7（^X22）X（^-X52）+x5]=52TT,

4116

/球=§萬*2.X—=—萬.

23

所以，旋轉體的體積為：/臺一/球=527—方乃=千]（eV）.

【總結升華】平面圖形繞某軸旋轉一周所形成的旋轉體，需認真分析其結構，結果一般由圓柱、圓錐、圓

臺、球等簡單旋轉體組合。

舉一反三：

【變式1】如圖，在四邊形A3CO中，Z￡)AB=90°,ZADC=135°,AB=5,CD=272,AD=2,

求四邊形ABC。繞AO旋轉一周所成幾何體的表面積及體積.

【答案】

s表面=s圓臺底面+s圓臺側面+s圓錐側面

=TTX52+^X(2H-5)X3V24-^X2X2A/2

=25(0+1)〃，

V=/臺一%錐=|?(Y++r；)h-；兀戶h=畢萬?

【變式2】將圓心角為120°,面積為3%的扇形，作為圓錐的側面，求圓錐的表面積和體積.

【答案】設扇形的半徑和圓錐的母線都為/,圓錐的半徑為廣，則

上9萬八=3萬,/=3;—x3=Inr,r=1；

3603

S表面積=S惻面+S底面=nrl+"=4況

v1cz112c弁20

V--Sh^—XTixix2,2=----Ti

333

【變式3】一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長

與各側棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側棱長也都相等.設四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為％，也，

h,則%:用：力=()

A.存1:1B.73:2:2C.存2:0D.技2：6

【答案】B

【解析】依據題意，正四棱錐B-ADFC與正三棱錐3-OEf組合而成三棱柱A5C-。W,且三棱柱的

棱長都相等，假設棱=可以求出正三棱錐3-OER與三棱柱ABC-OEF的高都為—a,正四棱錐

3

3—AOEC的高為e-a,故九：4：〃=6：2:2。

類型三、簡單幾何體的組合體

例6.指出下圖中的圖形是由哪些簡單幾何體構成的.

(1)⑵

【解析】分割原圖，使它們的每一部分構成簡單幾何體.

（1）是一個三棱柱和一個四棱柱組合而成的；

（2）是一個圓錐和一個四棱柱組合而成的.

【總結升華】判定實物圖是由哪些簡單幾何體所組成的圖形問題，首先要熟練掌握簡單幾何體的結構特征,

其次要善于將復雜的組合體“分割”成幾個簡單的幾何體.會識別較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，因

此我們應注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進而培養我們的空間想象能力和識

圖能力.

舉一反三：

【變式1】如下圖，觀察下列幾何體，分析它們是由哪些基本幾何體組成的，并說出它們的主要結構特征.

(1)(2}(3)

【答案】圖（1）是由一個四棱柱在它的上、下底面上向內挖去一個三棱柱組成的幾何體，它有9個面，14

個頂點，21條棱，具有四棱柱和三棱柱的結構特征.

圖（2）是一個四棱柱和一個底面與該四棱柱上底面重合的四棱錐組成的幾何體，它有9個面，9個頂點，

16條棱，具有四棱柱和四棱錐的結構特征.

圖（3）是由一個三棱柱和一個底面與該三棱柱的上底面重合的三棱臺組成的幾何體，它有9個頂點，8個

面，15條棱，具有三棱柱和三棱臺的結構特征.

【變式2】如下圖（1）是由圖（2）中的平面圖形（）旋轉得到的.

⑴⑵

【答案】A

【總結升華】要作出一個平面圖形繞某一條直線旋轉一周所形成的幾何體，一般是先作出這個平面圖形的

各頂點(如果是半圓形，則取垂直于這條直線的半徑的端點)關于這條直線的對稱點，再把這些相互對稱的兩

點用圓弧連接起來，也就得出相應的幾何體，進而便可判定其是由哪些簡單的幾何體所組成的幾何體.

例7.(1)一個正方體內接于一個球,過球心作一截面，如下圖所示，則截面可能的圖形是()

①缸③④

A.①③B.②④C.??③D.②③④

(2)如右圖所示，在棱長為1的正方體內有兩個球相外切且又分別與正方體內切，求兩

球半徑之和.

【答案】(1)C；(2)土18.

2

【解析】(1)當截面平行于正方體的一個側面時得③，當截面過正方體的體對角

線時得②，當截面不平行于任何側面也不過對角線時得①，但無論如何都不能截出④.

(2)此題的關鍵在于作截面.球不可能與邊AB、CD相切，一個球在正方體內，一

般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對

角面，得如右圖所示的截面圖.球心01和。2在AC上，過Oi、。2分別作AD、BC的垂線交于E、F兩點.設

小球半徑為r,大球半徑為R.

則由AB=1,AC—V3,得CO2=V37?>

r+/?+V3(r+/?)..*./?+r=2^=-~

G+l2

【總結升華】作適當的截面是解決球與其他兒何體形成的組合體問題的關鍵.

舉一反三:

【變式1】圓錐底面半徑為1削，高為血C7”，其中有一個內接正方體，求這個內接正方體的棱長.

【答案】—

2

【解析】過圓錐的頂點S和正方體底面的一條對角線CD作圓錐的截面，得圓錐的軸截面SEF,正方體對角

面CDD￡,如圖所示.

設正方體棱長為x,則CC,=x,C,D,=叵x.

作S01EF于0,貝USO=&，0E=l,

,V2

,?AECC^AEOS,；?箓霧即hl

也

x=也(cm),即內接正方體棱長為

22

【總結升華】此題也可以利用ASCDsaSEF而求.兩個幾何體相接、相切的問題，關鍵在于發現一些截面之

間的圖形關系.常常是通過分析幾個軸截面組合的平面圖形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面

圖形中各線段長度的計算.

類型四、簡單幾何體的表面展開與折疊問題

例8.請畫出下圖所示的幾何體的表面展開圖.

【解析】將立體圖形沿著某些棱剪開，然后伸展到平面上.

表面展開圖如下圖所示.

【總結升華】要畫一個多面體的表面展開圖，可以先用硬紙做一個相應的多面體的實物模型，然后沿著某

些棱把它剪開，并鋪成平面圖形，進而畫出相應的平面圖形.將多面體的表面展開成平面圖形，有利于我們解

決與多面體表面有關的計算問題.

舉一反三:

【變式1】如下圖所示的兩個圖形都是立體圖形的平面展開圖，你能分別說出這些立體圖形的名稱嗎？

⑴(2)

【答案】（1）正方體（2）正四棱錐

例9.有一根長為10。加，底面半徑是0.5cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞8圈，并使鐵絲的兩

個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少厘米？

【思路點撥】可以把圓柱沿這條母線展開，將問題轉化為平面幾何問題.

【解析】如圖，把圓柱表面及纏繞其上的鐵絲展開在平面上，得到矩形ABC。。

由題意知，BC=l（）c/n,AB=2^x0.5x8=Sent,

點A與點C就是鐵絲的起止位置，

故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度.

AC=:。、（阮了=2,25+169（cm）.

所以，鐵絲的最短長度約為2525+16萬2cm。

【總結升華】探究幾何體表面上最短距離，常將幾何體的表面或側面展開，化折（曲）為直，使空間圖形問

題轉化為平面圖形問題.空間問題平面化，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.

例10.長方體ABCD-A|BiGD|（如圖）中，AB=3,BC=4,AtA=5,現有一甲殼蟲從A出發沿長方體表面

爬行到C.來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值.

【答案】V74

【解析】把長方體的部分面展開，如右圖所示.

對甲、乙、丙三種展開圖利用勾股定理可得AG的長分別為炳、/、麻，由此可見乙是最短線路，

所以甲殼蟲可以先在長方形ABB|A|內由A到E,再在長方形BCC|B|內由E到C”也可以先在長方形AA,D|D

內由A到F,再在長方形DCCQi內到F到Ci，其最短路程為J7Z.

【總結升華】在幾何體表面求最短路徑問題，就是要“化折為直”，因此需要把幾何體表面展開，本題注

意要分三種情況討論.

【鞏固練習】

1.一個正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距離一定可以形成（）.

A.棱錐B.四棱柱C.正四棱柱D.長方體

2.從長方體的一個頂點出發的三條棱上各取一點（不與頂點重合），過此三點作長方體的截面，那么

這個截面的形狀是（）.

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.以上都有可能

3.下列命題中，正確的是（）.

A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的側面

C.棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形

4.下列圖形不是正方體表面展開圖的是（）.

①圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個；②用任意一個平面去截球體得到的截嘶一定是一個圓面;

③用任意一個平面去截圓錐得到的截斷一定是一個圓面.

其中正確的個數是（）.

A.0B.IC.2D.3

6.一個直角梯形以較長底為軸進行旋轉，得到的幾何體是（）

A.一個圓臺B.一個圓錐

C.由兩個圓錐組成的組合體D.由一個圓錐一個圓柱組成的組合體

7.一個棱臺至少有個面；面數最少的一個棱錐有個頂點；頂點最少的一個棱臺有

_________條側棱.

8.正六棱臺的兩底邊長分別為1cm,2cm，高是1cm,它的斜高為.

9.為球面上相異兩點，則通過A8兩點可作的球大圓有個.

10.長方體的全面積為11,十二條棱的長度之和為24,求這個長方體的一條對角線長.

11.已知三棱錐的底面是邊長為a的正三角形，求過各側棱中點的截面面積.

12.一個四棱臺的上、下底面均為正方形，且面積分別為S2,側面是全等的等腰梯形，棱臺的高為h,求

此棱臺的側棱長和斜高（側面等腰梯形的高）.

13.正四棱錐的高為耳，側棱長為J7,求側面上斜高（棱錐側面三角形的高）為多少？

14.如右圖，圓柱側面上有兩點B、D,在D處有一只蜘蛛，在B處有一只蒼蠅，蜘蛛沿怎

樣的路線行走才能以最短的路程逮著蒼蠅？最短路程是多少？rI

【答案與解析】

1.【答案】B

【解析】由棱柱定義可知，選B.

2.【答案】A

【解析】連結區RG三點，用余弦定理證明知，這個三角形是銳角三角形.

3.【答案】D

【解析】緊扣棱柱的定義可知選D.

4.【答案】C

【解析】由展開圖折回去形不成正方體可知選C.

5.【答案】C

【解析】①②正確，③中截面也可以是一個三角形或橢圓等.

6.【答案】D

【解析】由圓柱和圓錐的定義可知，該圖形是一個圓錐和圓柱.

7.【答案】543

【解析】面數最少的棱臺是三棱臺：面數最少的棱錐是三棱錐；頂點最少的棱臺是三棱臺.

8.【答案】—

2

【解析】在正六棱臺ABCQE"A'中，連結ocO,BQ，作

OG±BC,OGIBC^GH±OG,垂足為“，解Rt\GHG得斜高GGcm.

9.【答案】一個或無窮多個

10.【答案】5

2(ab+bc+ac)=11_，一，

【解析】設長方體的長、寬、高分別為a、b、c,則《.而對角線長

4(a+b+c)-24

I=^a1+b2+c2-+b+c)2-2ah-2bc-lac=,62-11-5.

11.【答案】--ci~

16

【解析】如右圖，XA'B'C'為所求的截面圖形，由三角形中位線性質定理，得^

A'B'Cs^ABC,且對應邊長之比為1：2.【答案】

S^r/rc

q

3&ABC

又^MHC~~7~a'1"

?【答案】R（卮-用力

12

【解析】上、下底面正方形的邊長為國、瘋，此棱臺對角面、過兩相對斜高的截面都是等腰梯形，則側棱

13?【解析】如圖所示，正四棱錐S—A8C。中高OS=JL

側棱SA=SB=SC=SD=x/7,

在Rt/XSOA中，

OA=V&l2-OS2=2,；.AC=4.

：.AB=BC=CD=DA^2y/2.

作OE_LAB于E,則E為AB中點.

連接SE,則SE即為斜高.

在Rt/XSOE中，

OE=-BC=V2,SO=B

：.SE=45,即側面上的斜高為J5.

14?【解析】如右圖，將圓柱的側面沿母線AB展開即得矩形AA'B'B,其中D'、C'分別為AA'與BB'

的中點.在矩形AD'C'B中，AB=C1D'=/。AD'=BC'=、乂2兀r=兀廠,連接BD',則

2

BD=JAB2+AD°=J〃+%2戶根據平面內兩點間線段最短知蜘蛛沿著線段＞B直走時路程最短，最

短路程為JL+萬2,。

------------￡_______f，

y^、、側停

：，、、、、嚼

中心投影和平行投影,一洛、7及直觀圖畫法

---------rr--------A'

【學習目標】

1.了解平行投影與中心投影，了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特

點，了解空間圖形的不同表現形式；

2.了解畫立體圖形三視圖的原理，并能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱的簡易組合體）

的三視圖.能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.

【要點梳理】

【高清課堂：空間幾何體的三視圖與直觀圖395059中心投影與平行投影】

要點一：中心投影與平行投影

1.投影、投影線和投影面

由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現象叫做投影.其中的光線叫

做投影線，留下物體影子的屏幕叫做投影面.

2.中心投影

我們把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影.中心投影的投影線交于一點，它的實質是一個點光源

把一個物體射到一個平面上，這個物體的影子就是它在這個平面上的中心投影.

3.中心投影的性質

（1）中心投影的投影線交于一點；

（2）點光源距離物體越近，投影形成的影子越大.

4.平行投影

我們把在一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影.投影線正對著投影面時，叫做正投影，否則叫做

斜投影.

5.平行投影的性質

(1)平行投影的投影線互相平行.

(2)在平行投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與這個平面圖形的形狀和大小完全相同.

6.中心投影與平行投影的區別與聯系

(1)平行投影包括斜二測畫法和三視圖.中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性強，看

起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體.

(2)畫實際效果圖時，一般用中心投影法，畫立體幾何中的圖形時，一般用平行投影法.

要點二：空間幾何體的三視圖

【高清課堂：空間幾何體的三視圖與直觀圖395059三視圖】

1.三視圖的概念

把一個空間幾何體投影到一個平面上，可以獲得一個平面圖形，但是只有一個平面圖形很難把握幾何體的

全貌，因此我們需要從多個角度進行投影，這樣才能較好地把握幾何體的形狀和大小.通常，我們總是選擇三

種投影.

(1)光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖；

(2)光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側視圖；

(3)光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖.

幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統稱為幾何體的三視圖.

2.三視圖的畫法規則

畫三視圖時，以正視圖為準，俯視圖在正視圖的正下方，側視圖在正視圖的正右方，正、俯、側三個視圖

之間必須互相對齊，不能錯位.

正視圖反映物體的長度和高度，俯視圖反映物體的長度和寬度，側視圖反映物體的寬度和高度，由此，每

兩個視圖之間有一定的對應關系，根據這種對應關系得到三視圖的畫法規則：

(1)正、俯視圖都反映物體的長度一一“長對正”；

(2)正、側視圖都反映物體的高度一一“高平齊”；

(3)俯、側視圖都反映物體的寬度一一“寬相等”.

【高清課堂：空間幾何體的三視圖與直觀圖395059斜二測畫法及典型例題1】

要點三：斜二測畫法

在立體幾何中，空間兒何體的直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形.要畫空間幾何體的直觀圖，首

先要學會水平放置的平面圖形的直觀圖畫法.

對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖，斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法.

斜二測畫法的步驟：

(1)在已知圖形中取互相垂直的z軸和y軸，兩軸相交于點0.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x'軸與

y'軸，兩軸交于點0',且使Nx'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.

(2)已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于X'軸、y'軸的線段，并使它們

和所畫坐標軸的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同.

(3)已知圖形中，平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變為原

來的一半.畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了平面圖形的直觀圖.

要點詮釋：

用斜二測畫法畫圖的關鍵是在原圖中找到決定圖形位置與形狀的點并在直觀圖中畫出.一般情況下，這些

點的位置都要通過其所在的平行于x、y軸的線段來確定，當原圖中無需線段時，需要作輔助線段.

要點四：立體圖形的直觀圖

(1)用斜二測畫法畫空間幾何體的步驟

①在已知圖形中，取互相垂直的x軸和y軸，再取z軸，使/x0z=90°,且/y0z=90°；

②畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸x',y',z',使Nx'O'y'=45°(或135°),Nx'O'z'=90°,

x'O'y'所確定的平面表示水平平面；

③已知圖形中平行于x軸，y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸，y'軸或z'軸的線段;

④在已知平面圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變

為原來的一半；

⑤擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間幾何體的直觀圖.

(2)斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質

①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相

交；③平行于x,z軸的長度不變.

(3)畫立體圖形與畫水平放置的平面圖形相比多了一個z軸，其直觀圖中對應于z軸的是z'軸，平面x'

O'y'表示水平平面，平面y'O'z'和x'O'z'表示直立平面.平行于z軸(或在：軸上)的線段，其平行

性和長度都不變.

(4)三視圖與直觀圖的聯系與區別

三視圖與直觀圖都是用平面圖形來刻畫空間圖形的位置特征與度量特征，二者有以下區別：

①三視圖從細節上刻畫了空間幾何體的結構，由三視圖可以得到一個精確的幾何體，如零件、建筑圖紙等

都是三視圖.

②直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，可視性高，立體感強，由此可以想象實物的形狀.

要點五：已知三視圖畫直觀圖

三視圖和直觀圖是空間幾何體的兩種不同的表現形式.直觀圖是在某一定點觀察到的圖形，三視圖是投射

線從不同位置將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形，對于同一個物體，兩者可以相互轉換.

由三視圖畫直觀圖，一般可分為兩步：

第一步：想象空間幾何體的形狀.

三視圖是按照正投影的規律，使平行光線分別從物體的正面、側面和上面投射到投影面后得到的投影圖，

包括正視圖、側視圖和俯視圖.

正視圖反映出物體的長和高，側視圖反映出物體高和寬，所以正視圖和側視圖可以確定幾何體的基本形狀,

如柱體、錐體或臺體等.俯視圖反映出物體的長和寬.對于簡單幾何體來說，當俯視圖是圓形時，該幾何體是

旋轉體；當俯視圖是多邊形時，該幾何體是多面體.

第二步：利用斜二測畫法畫出直觀圖.

當幾何體的形狀確定后，用斜二測畫法畫出相應物體的直觀圖.注意用實線表示看得見的部分，用虛線表

示看不見的部分.畫完直觀圖后還應注意檢驗.

【典型例題】

類型一、平行投影與中心投影

例1.下列命題中正確的是（）

A.矩形的平行投影一定是矩形

B.梯形的平行投影一定是梯形

C.兩條相交直線的投影可能平行

D.一條線段的平行投影如果仍是一條線段，那么這條線段中點的投影必是這條線段投影的中心

【答案】D

【解析】平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影改變幾何圖形的形狀，因而A、B不正確.

兩條直線的交點無論是平行投影還是中心投影仍是同一個點，這個點在兩條直線的投影上，因而兩條直線

的投影不可能平行，故C錯.

兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比，因而D正確.

【總結升華】空間圖形經過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線，如照片中由近

到遠，物體之間的距離越來越近，最后相交于一點.中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性

強，看起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體，所以在繪畫時，經常使用這種方法.

例2.如下圖所示，正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AAi、CD的中點，G是正方形BCCB的中心，則

四邊形AGFE在該正方體的各個面上的射影可能是下圖中的—

【答案】(1)(2)(3)

【解析】要畫出四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點A、G、F、E在每個面上的

投影，再順次連接即得在該面上的投影，并且在兩個平行平面上的投影是相同的.由此可得在面ABCD和面ABCD

上的投影是上圖(1)；在面ADDA和面BCCB上的投影是上圖(2)；在面ABBA和面DCCD上的投影是上圖(3).故

填(1)(2)(3).

【總結升華】畫出一個圖形在一個平面上的投影的關鍵是確定該圖形的關鍵點如頂點等，畫出這些關鍵點的

投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影.

舉一反三：

【變式1】如下圖所示，E、F分別為正方體面ADUA'、面BCC'B'的中心，則四邊形BFD'E在該正方體

的各個面上的投影可能是下圖中的.

【答案】②③

類型二、空間幾何體的三視圖

例3.螺栓是棱柱和圓柱構成的組合體，如下圖，畫出它的三視圖.

【解析】該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的.正視圖反映正六棱柱的三個側面和圓柱側面，

側視圖反映正六棱柱的兩個側面和圓柱側面，俯視圖反映該物體正投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合).

它的三視圖如下圖.

正視圖制視圖

俯視圖

【總結升華】（1）對于簡單空間幾何體的組合體，一定要認真觀察，先認識它的基本結構，然后再畫它的

三視圖.

（2）在繪制三視圖時，應注意：若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分

界線和可見輪廓線都用實線畫出.

（3）畫簡單組合體的三視圖應注意兩個問題：首先，確定正視、側視、俯視的方向，同一物體放置的位置

不同，所畫的三視圖就可能不同；其次，簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體構成的，并注意它們的構成方式，

特別是它們的交線位置.

例4.某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）

俯視圖

【思路點撥】先由三視圖判斷出幾何體形狀，再利用幾何體體積公式求解。

【答案】B

【解析】由四棱臺的三視圖可知該四棱臺的上底面是邊長為1的正方形，

下底面是邊長為2的正方形,高為2,

由棱臺的體積公式可知該四棱臺的體積丫=；（仔+廬方+22卜2=與，故選民

舉一反三：

【變式1】若某幾何體的三視圖如下圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（）

【答案】B

【變式2］某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

T

4

*

T正（主）視圖側（左）視圖

-

3

t

-

A

?

T

3

T

5

60580

3(B)——(0200(D)240

【答案】C

【解析】由三視圖可知該幾何體是直四棱柱，底面是等腰梯形.底面面積S=（2+8）x4=20,幾何體的體

2

積V=S?h=20X10=200.選C.

例5.已知某一多面體內接于球構成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側視圖、俯視圖均如圖所示，

且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是.

【答案】⑵

【解析】由三視圖知：邊長為2的正方體內接于球，故正方體的體對角線長2百，即為球的直徑長，所以球的

表面積為5==13To

舉一反三:

【變式】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是.

【答案】167r—16

【解析】由三視圖可知該幾何體是由圓柱中間除去正四棱柱得到的,

故體積是47rx4—2x2x4=16兀一16。

例6.某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為.

【思路點撥】先由三視圖判斷出幾何體形狀，再利用幾何體體積公式求解。

【答案】-

3

【解析】該幾何體為一個半圓錐，故其體積為V=」XLMTX12X2=U

323,

舉一反三：

【變式1］右圖是長和寬分別相等的兩個矩形.給定下列三個命題，其中真命題的個數是

正（主那圖

（）.

①存在三棱柱.其正（主）視圖、俯視圖如右圖②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖③存

在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【變式2】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（）

正視圖側視圖

?

俯視圖

尸一"yLz*—|x

ABCD

【答案】D

【解析】由俯視圖易知，只有選項D符合題意,故選D。

【變式3】若某幾何的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于________cm

口

正視圖側視圖

、

俯視圖

【答案】24

【解析】此三視圖所表示的幾何體由一個直三棱柱截去一個三棱錐所得（如圖所示）,

故其體積V=,x3x4x5—Lx'x3x4x3=24。

232

類型三、空間幾何體的直觀圖

例7.畫出水平放置的等邊三角形的直觀圖.

【解析】畫法，如圖：

(1)在三角形ABC中，取AB所在直線為x軸，AB邊的高所在直線為y軸；畫出相應的x'軸和y'軸，兩軸

交于點0',且使4'Oy=45；

(2)以。'為中點，在x'軸上取A'8'=A8,在y'軸上取0'C'=g0C；

(3)連接AC'、B'C,并擦去輔助線x'軸和y'軸，便獲得正△ABC的直觀圖△A'3'C'.

【總結升華】斜二測畫法的作圖技巧：

1.在已知圖中建立直角坐標系，理論上在任何位置建立坐標系都行，但實際作圖時，一般建立特殊的直角

坐標系，盡量運用原有直線為坐標軸或圖形的對稱軸為坐標軸，以線段的中點或圖形的對稱點為原點；

2.在原圖中平行于無軸和y軸的線段在直觀圖中仍然平行于x'軸和y'軸，原圖中不與坐標軸平行的線段可

以先畫出線段的端點再連線，畫端點時利用與坐標軸平行的線段;

3.畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要再畫一條與平面x