高中數學必修5章課時作業及解析

（―）

1.在△ABC中，下列等式中總能成立的是（）

A.asinA=bsinBB.Z?sinC=csinA

C.absinC=bcsinBD.absinC=bcsinA

答案D

2.在△ABC中，a=4,A=45。，6=60。，則邊人的值為（）

A.V3+1B.2小+1

C.2&D.2+2小

答案C

3.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C,則△43。為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.等腰三角形

答案A

4.在△ABC中，若嚕=竿，則的值為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案B

..sinAsinB.cosfisinB

解析?丁=丁’,?丁=丁/.cosB=sinB,從而tanB=

又0°v8<180。，：.B=45°.

5.（2013?湖南）在△ABC中，若小。=2加inA,則8為（）

、兀c兀

A-3B6

瑞或|兀

琮或1兀

答案c

解析由小。=2戾inA,得/sinA=2sinS?sinA.

/.sinB=*.?，?8=當或號.

6.在△ABC中，A：B：C=4：1：1,則〃：。：c為（）

A.3：1：1B.2：1：1

C.y[2：1：1D.小：1：1

答案D

解析由已知得A=120。，B=C=30°,

根據正弦定理的變形形式，得a：/?：c=s\nA:sinB:sinC=小：

1：1.

7.以下關于正弦定理的敘述或變形中鎮考的是（）

A.在/XABC中，a：b：c=sinA:sinB:sinC

B.在△ABC中，a=h^sin2A=sin2B

.A,ab+c

C.^2△ABC中，~si~n4"A~s~i~nBr>+I~si~nC~r^

D.在△ABC中，正弦值較大的角所對的邊也較大

答案B

解析對于3項，當Q=Z?時，sinA=sirhB且cosA=cos8,「.sin2A

=sin2B,但是反過來若sin2A=sin2B.2A=28或24=兀-2&即A=5

7T

或A+3=5.不一定a=b,.'.B選項錯誤.

8.在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為mb,c,如果c

=小電8=30。，那么角C等于（）

A.120°B.105°

C.90°D.75°

答案A

9.在△A8C中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.若

b=2,sinB+cosB=V2，則角A的大小為.

答案|

解析由sin3+cos3=啦5皿8+今）=啦,得sin（3+，=l,所以

3寸由正弦定理念=磊，得5辿=噌=學斗所以4蘭

或票舍去）.

10.已知a,b,C分別是△ABC的三個內角A,B,。所對的邊，

若a=l,b=小,A+C=2B,則sinA=.

答案I

解析由A+C=28,且A+8+C=180。，得8=60。，由正弦定

理’得^^=總和總

11.（2012?福建）在aABC中，已知NA4c=60。，NA8C=45。，

BC=小,貝i」AC=.

答案也

解析

如圖所示，由正弦定理，得益=懸，即焉=磊，

噬噂‘故AC”

22

12.(2012?北京)在△A8C中，若。=3,b=小,ZA=y則

的大小為.

答案?

解析由正弦定理，得志=舟.

從而企慮，即sin/f.

2

???/3=30。或N8=150。.

由a泌可知N3=150。不合題意，：.ZB=30°,

：.ZC=180°-60°-30°=90°.

13.已知三角形的兩角分別是45。、60°,它們夾邊的長是1,則

最小邊長為.

答案小一1

14.在△ABC中，若tanA=；,C=150°,BC=1,MAB=.

答案邛

15.ZVIBC中，〃、b、c分別是角A、B、。的對邊，則a(sinC-

sinB)+/?(sinA—sinQ+c(sinfl—sinA)=.

答案0

解析:急=磊，???.皿=如也?

同理可得asinC=csinA且Z?sinC=csinB.

??.原式=0.

16.已知在△ABC中，c=10,A=45°,C=3O°,求a、b和正

答案a=l（h/26=5（V6+V2）B=105°

17.A45C的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c若C=A/Lb

=&，B=120。，求a的值.

答案A/2

解析由正弦定理，得蓋=羔，'sinCq

又?..C為銳角，則C=30。，AA=30°.

「?△ABC為等腰三角形，a=c=y/2.

18.已知在△A3C中，NA=45。，a=2,c=*,解此三角形.

解析由正弦定理荒=赤，得

sinC邛sin45』坐X%里

因為乙4=45。，c>a,所以NA=60。或120。.

所以ZB=180o-60°-45o=75°

或ZB=180o-120°-45o=15°.

又因為匕=等手，所以匕=/+1或小一L

綜上，ZC=60°,ZB=75°,b=y[3+\

或NC=120。，ZB=15°,b=4—l.

a重點班?選作題

19.下列判斷中正確的是（）

A.當。=4,8=5,A=30。時，三角形有一解

B.當。=5,b=4,A=60。時，三角形有兩解

C.當〃=小，b=@8=120。時，三角形有一解

D.當。=±\/Lb=冊,A=60°時，三角形有一解

答案D

20./XABC的外接圓半徑為R,C=60。,則登的取值范圍是（）

A.［小，2小1B.1小,2^3）

C.（小，2啊D.（73,2小）

答案C

（-）

1.在△ABC中，a=2bcosCf則這個三角形一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案A

2.已知△A8C中，AB=小,AC=1,且3=30。，則△A8C的面

積等于（）

A近B也

A.2O.4

C.9或小D.坐或申

答案D

3.在△43C中，Q=15,b=\0,4=60。，則cosB=（）

_^22^2

A.33

C.-當D當

答案D

解析依題意得0。<8<60。，磊=忌，sin"駕+說cosB

sin/isinzjciD

=41—sin2B=?選D.

4.(2013?山東)△ABC的內角A,B,。所對的邊分別為mb,

若3=2A,a=l,b=事,則c=()

A.2yliB.2

C.yf2D.1

答案B

1

-V3

角牛木斤由正■弓玄里sirvAsinB,*sinAsin"

又??.”2A,?*舟煮J.

.\cosA=勺，AZA=30°,.\ZB=60°,ZC=90°.

c=d'+（小）2=2

5.（2013?陜西）設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,

c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

答案B

解析:Z?cosC+ccosB=asinA,由正弦定理，得sin8cosc+

sinCcosB=sin2A,sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.

IF

又?.?444>0,/.sinA=l,???A=],故△ABC為直角三角形.

6.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知A

=60。，。=小，b=l,則c等于（）

A.1B.2

C.小一1D.小

答案B

a

7.已知△ABC的面積為家且8=2,c=小,貝J()

A.A=30°B.A=60°

C.A=30。或150°D.4=60。或120°

答案D

8.已知三角形面積為京外接圓面積為71,則這個三角形的三邊

之積為()

A.1B.2

號D.4

答案A

9.在△ABC中，A=60°,a=小,b=y[2,則B等于()

A.45。或135。B.60°

C.45°D.135°

答案C

10.若△ABC的面積為小，BC=2,C=60°,則邊AB的長度為

答案2

11.AABC中，若告=芻=￡，則△ABC的形狀是______.

ADC

cos^cos,cosy

答案等邊三角形

12.在△ABC中，lg(sinA+sinO=21gsin8-lg(sinC-sinA),則該

三角形的形狀是.

答案直角三角形

解析由已知條件

lg(sin>4+sin。+lg(sinC-sinTl)=lgsin2B,

/.sin2C—sin2A—sin2^,由正弦定理，可得c2-e?2+Z?2.

故三角形為直角三角形.

JT

13.在aABC中，角A、B、。的對邊分別為〃、b、c,B=ycosA

=],b=y[3.

⑴求sinC的值;

(2)求△ABC的面積.

小

答案⑴3+-4^⑵36七+”/^§

14.在△ABC中，若/siMC+dsin%=2bc、cos3cosc試判斷三

角形的形狀.

解析由正弦定理導=七=磊=2/?(/?為△AB。外接圓半

s1IL/1sirix^

徑).將原等式化為8/?2sin2Bsin2C=8/?2sinBsinCcosBcosC.

VsinBsinC^O,sinBsinC=cosBcosC.

即cos(B+Q=0./.B+C=90°,即A=90°.

故△ABC為直角三角形.

cos2Acos2B11

15.在△入5。中,求證:下一一下一=/一"

1—2sin2A1—2sin2B

證明???左邊=

b2

11?sin2Asir?在

=/一命一2(丁一吃廠),

由正弦定理，得就^品，.sin2Asin2B

...原式成立.

A重點班?選作題

16.在△ABC中，siM=『a=10,邊長,二的取值范圍是（）

A.(呈，+°°)B.(10,+0°）

C.(0,10)D.(0,-

答案D

17.(2012?浙江)在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為mb,

已知cosA=g,sinB=y[5cosC.

(1)求tanC的值；

(2)若。=嫄，求△A6C的面積.

2

解析(1)因為0<4<71,cos4=g,

得s\nA—y]1-cosM

又小cosC=sin3=sin(A+C)=sirt4cosc+cosAsinC

2

_\cosC+^sinC,所以tanC—下.

(2)由tanC—,，得sinC—毛，cosC—

于是sinB—,cosC一毛.

由。一6及正弦定理si￡—si：C，得cf

設△ABC的面積為S,則S—；acsinB-專.

匚備選題

IKBEIXUANTI新課標版|A">-.....................................................§

1.在△ABC中，若力=1,c=y[39NC=g_,則Q=.

答案1

解析在△ABC中，由正弦定理，得烹=戔，解得sin"；,

Sinn.2兀2

sinT

因為從c,故角8為銳角，所以8=也TT則A=7T會再由正弦定理或等腰

0o

三角形性質可得。=1.

（三）

1.在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,則A等于（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

答案C

解析由正弦定理，得a2=〃+A+/,由余弦定理，得cosA=

加+2一〃

c—be-1..\A=120o.

2bc~2bc~

2.若mb,c是△ABC的三邊,且>1,則△ABC一定是

yja2+b2

)

A.直角三角形B.等邊三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

答案D

解析：尸>1,即a2+/?2<c2,次+加一/<o,

4十加一/

于是cosC=-2ah-<0.

???NC為鈍角，即得△ABC為鈍角三角形.

3.邊長5、7、8的三角形的最大角與最小角的和是（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

答案B

解析設中間的角大小為反

屋+/一爐52+82-721

由余弦定理，求得cos3=2ac=2X5X8=5

Tl

而0＜比沅，

??.最大角與最小角的和是K-1=y=120°.

4./\ABC的內角A、B、C的對邊分別為。、匕、c.若c=y/2fb

=冊，5=120°,則。等于（）

A市B.2

C.小D.也

答案D

5.在△A3C中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,C.若〃2一按

=y[3bcfsinC=2小sinB,則A=()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

答案A

解析由sinC=2小sinB,可得c=2y[3hf由余弦定理，得cosA

匕2+c2——小bc+c1S

,于是。，故選

2bc2bc2A=30A.

6.在△ABC中，己知。：b：c=3：5：7,則這個三角形最大角

的外角是（）

A.30°B.60°

C.90°D.120°

答案B

解析*：a：b:c=3：5：7,

「?可令。=3x,b=5x,c=7x（x>0）,顯然c邊最大.

,序+加一―9f+25x2—49^2J

cosC=~—=2-3x-5x=F

：.C=120°,???其外角為60。.

7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若（〃+/一

ft2）tanB=V3?c,則角B的值為（）

.兀e兀

A.ToB.T3

兀_pu57t7T_1^2兀

C，6或6D.3或3

答案D

解析本題考查邊角關系中余弦定理的應用.解斜三角形問題的

關鍵是充分挖掘題中邊角特征，選擇合理的定理求解.因此（次+/—

b2）tanB=y/3ac,所以由余弦定理cos3=---荻--，得sinB=+，選

D.

8.在5c中，己知acosA十。cos5=ccosC,則AA6c是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

答案B

解析由acosA+bcosB=ccosC,得

從+c2—df2+c2-Z?2"+—―

a，-2bc—+萬-2ac—=。-2ab-，

化簡得〃4+2//?2+〃=。4,即（4+按）2=。,4.

.??層+廬=/或/+82=—/（舍去）.

故△ABC是直角三角形.

9.若將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是

()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定

答案A

10.在△ABC中，已知a=2,6=4,C=60°,則4=.

答案30°

11,(2012?湖北)設△A5C的內角內B,C所對的邊分別為小b,

c.若(a+〃-c)(a+Z?+c)=〃/?,則角C=.

答案y

解析?由(〃+/?—c)(a+b+c)=a。，整理可得，a2+b2—c2=—

22

a-^b—^_—ab12兀

lab—=^ab=~29：.C=T

兀

12.已知△43。的三個內角4,B,C,8=］且48=1,BC=4,

則邊BC上的中線AD的長為.

答案小

JT

解析在△A3。中，B=y50=2,AB=\9

7T

則AD1=AB2+BD2-2ABBDcos^=3.

所以4。=仍.

13.在△ABC中，三個角A,B,C的對邊邊長分別為Q=3,b

=4,c=6,則bccosA+cacosB+abcosC的值為.

答案y

+心—次

解析由余弦定理可得bccosA+cacosB+abcosC=-----5-------4

U+4一加次+加一/層+6+/32+42+6261

2+2=2=2=T

14.在△ABC中，a、〃、c分別是角A、B、C的對邊，已知b2

=ac,且。2—/=此一歷，求NA的大小及空逑的值.

解析.：R=ac,又#—g=ac—bc,b2+c2—a2=bc.

在△ABC中，由余弦定理，得

步+c2—〃氏1.

cosA=-2bc—=2b^=29???/4=60。?

在aABC中，由正弦定理，得4話=”吆

..,2—/人―么八。.bsinBZ?2sin60°.

cca2

,,,,_bsinB,,?、,A/3

故NA=60。，一^的值為，.

15.已知銳角三角形ABC中，邊a、8是方程/一25x+2=0的

兩根，角A、3滿足2sin(4+B)—小=0,求角。的度數，邊c的長度

及△ABC的面積.

解析由2sin(A+5)一小=0,得sin(A+B)=，.

?:△ABC為銳角三角形，：.A+B=\20°,：.C=60°.

:。、b是方程A2—2、。尤+2=0的兩個根，

.\a+b=2yf3,ab=2.

?二/=。2+廬—2aZ?cosC=(a+〃)2—3。。=12—6=6.

.丘c=1……=酒立

??c=y6,□△4fic5^sinCy2-99.

A重點班?選作題

16.設△ABC三邊長分別為15,19,23,現將三邊長各減去x后,

得一鈍角三角形，則x的范圍為.

答案(3,11)

解析由兩邊之和大于第三邊，得

15—x+19-x>23—X,x<11.①

又因得到的三角形為鈍角三角形，

.,.(15—X)2+(19—x)2<(23—x)2.

即x2-22x+57<0,。-3)(工一19)<0,3<%<19.②

由①、②可得3<x<U,

17.在△ABC中，已知，一2(〃2+塊)/+〃4+〃2廿+及=(),求角

C.

42124224

解析c—2(a+b)c+a+ab+b=09

/.[c2—(〃+b2)]2—01bl=0,/.c2—(a2+b1)=±ab.

a2+/?2—c21卜

AcosC=-育—=±yAC=120°^C=60°.

備選題|Oo

1.已知△ABC的三個內角為4、B、C,所對的三邊分別為a、b、

c,若三角形ABC的面積為S=4—S—c)2,則tai6等于.

答案I

解析本題考查余弦定理和解三角形等.由S=/csinA,又5=

足一吩一d~\~2bc,由余弦定理知a2—b2—c2=—2bc-cosA=—

AAAA1

2/7ccosA+2/?c=sin/l=4(l-cosA)=2sin5cos5=4義2§出弓=1@!15=7

2.在AABC中，A、B、。滿足A+C=2B,且最大角與最小角的

對邊之比為(小+1)：2,求A、B、。的度數.

A+C=2B,

解析：,B=60°.

A+3+C=180。,

不妨設最大角為A,則最小角為C

由b2=a2+c2—2?ccosB,得

&=(務+1—25?COSB

將2及COS3=T代入，得空坐

?sinB_^6：.sinC=^/：c<b,/.C=45°,：.A=15°.

,?sinC=2，

3.在△ABC中，a.氏c分別為角A、B、。的對邊，設式x)=/f

—(a2—從)無一4/.

jr

(1)若式1)=0且B-C=y求角C的大小；

(2)若人2)=0,求角。的取值范圍.

解析(i)vy(i)=o,，層一(*一從)-4c2=0.

???〃=44,：.b=2c.AsinB=2sinC

TT71

又B—C=y.??sin(C+§)=2sinC.

71兀

sinC-cos^+cosC-sin2=2sinC.

3/3n

/.]sinC—A亍cosC=0,sin(C—7)=0.

-兀—兀5兀.~兀

又一4<c—個手??c—

(2)若/2)=0,則4層一2伍2—〃)-4/=0.

,Io-t〃2+R一心

/.a1+b2=2c2,/.cosC=

又a2+b2—2ab=(a—b)2^0,/.a2+b2^2ab.

?P2c2=a2+b2^2ab,:.abWc1.

1兀

/.cosC，5，0<CWQ.

JJ

(四)

1.在AABC中，若。=18,b=24,A=44。，則此三角形的情況

為()

A.無解B.兩解

C.一解D.解的個數不確定

答案B

2.若△43C的內角4、B、。滿足6sin4=4sin3=3sinC,則cos/

等于()

A.雪B.1

C嗜D.H

答案D

3.在△A8C中，若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

答案C

解析方法一在△ABC中，A+B+C=180°.

???C=180°一(A+5),sinC=sin(A+B).

已知條件可化為2sinAcosB=sinC=sin(A+B).

/.sin(A—B)=0.又一n<A—B<n,

：.A-B=0,?,.A=B.??ZV18C為等腰三角形.

方法二運用正、余弦定理將角的三角函數式化為邊的等式.

a2+U-按（1C

2?0”或二點.整理,得次一加二。，???〃=、

LdCZ/\Z/\

???ZVIBC為等腰三角形.

4.在三角形A3C中，角A、3、C的對邊分別是〃、/?、?且〃M>c,

若〃〈從+/,則NA的取值范圍是（）

71n兀、

A.5，71)B.q，2）

c-JI兀、

C.(1,5)D.(0,)

答案C

解析:a2Vb2+c2,/.^H-c2—a2>0.

加+一居

cosA=----2^----->0.A<90°.

又,：a邊最大，廠.A角最大.

???4+8+C=180。，/.3A>180°.

.\A>60°,.\60o<A<90°.

5.在△43C中，已知(力+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6,則sinA：

sin3：sinC等于()

A.6：5：4B.7：5：3

C.3：5：7D.4：5：6

答案B

7

解析設b+c=4Z,c+a=5k9a+b=6k[k>0)9從而解出。=/,

53

左，c=]鼠'.a\b\c=l15*3.

由正弦定理,得sinA：sinB：sinC=a：b：c=7：5：3.

6.在AABC中，A：8=1：2,。的平分線CO把三角形面積分

為3：2兩部分，則cosA=()

11

A.1B，2

3

C.4D.0

答案C

解析

???CD是NC的平分線,

1C

c^ACCDsin7人廠.

.XACA22ACsin5D3Q

*9S^>=l^^.C=BC=^A=2'

^BCCDnsmy

.._.sinBsin2A3

?BD—O244.sim—2cosA一亍

??cos?!=不

7.在鈍角△ABC中，a=l,b=2,則最大邊c的取值范圍是()

A.l<c<3B.2<c<3

C.y[5<c<3D.2yf2<c<3

答案C

8.三角形三邊長為a,b,y/a2+ab+b2(a>0,Z?>0),則最大角為

答案120°

9.在△A8C中，AB=2fAC=*,"C=l+小，AO為邊，C上

的高，則AO的長是.

答案小

10.已知△ABC的面積為2小，BC=5,A=60。，則△43C的周

長是.

答案12

11.已知等腰三角形的底邊長為6,一腰長為12,則它的外接圓

半徑為.

答案斗五

,加+丁一12122+122—6、7

解析cosA=2^c-=2X12X12=8,

V15

sinA=^/1-cos2A=

8-

,?,2"懸R=8屏

2sirv45,

12.已知△ABC中，ZA=60°,最大邊和最小邊的長是方程3X2

—27x+32=0的兩實根，那么3C邊長等于.

答案7

解析VA=60°,所求為8。邊的長，而3C即為角4的對邊，

???BC邊既非最大邊也非最小邊.

不妨設最大邊長為X1,最小邊長為X2,

32

由題意得：X\+X2=99XlX2=~^~.

2

由余弦定理，得BC=X?+X^—2XI^2COSA

2

=（X1+X2）—2X1X2—2X1X2COSA

=92—2X2X^-Xcos600=49.

BC=1.

13.在△ABC中,已知BC=8,AC=5,三角形面積為12,則cos2C

答案卡7

解析由題意得S—=g,AGBCsinC=12,

13

即1X8X5XsinC=12,則sinC='

37

cos2C=1-2sin2C=1-2X(^)2=TT.

J4J

14.在△ABC中，角A,B,C所對的邊為mb,c,若方=acosC

且△ABC的最大邊長為12,最小角的正弦值為

(1)判斷△ABC的形狀；

(2)求△ABC的面積.

解析(l)：b=acosC,

由正弦定理，得sinB=sinAcosC.

由A+B+C=TC,得

sinB=sin[兀—(A+C)]=sin(A+C).

/.sin(A+C)=sinAcosC.

/.sirt4cosc+cosAsinC=sirt4cosc

/.cosAsinC=0.

*.*0<A<TC,0<C<7t,sinOO.

?_5

??4cosnA-0,4??A-2,

???ZVIBC為直角三角形.

(2)?.?△ABC的最大邊長為12,

由第(1)問知，斜邊a=12.

又,??△A3C的最小角的正弦值為今

「?心△ABC中最短直角邊長為12義］=4.

另一直角邊長為"122—42=8，！

/.X4X8啦=16啦.

15.(2013?天津)在△A3C中，內角A,B,C所對的邊分別是公

b,c.已-1G知加inA=3csin5,a=3,cosB=2y

⑴求b的值；

TT

(2)求sin(23—1)的值.

解析⑴在△ABC中，由可得戾inA=asinA

又由加inA=3c3inB,可得〃=3c,又〃=3,故c=l.

由廬=〃2+寸一2accosi?,cos3=j可得8=加.

2\15

(2)由cosB—得sinB=3，進而得

14\.

cos2B=2cos、8-1=-g,sin2B=2sinBcosB=9?

兀7C兀

所以sin(25—1)=sin25cosw—cos23sing

4小+小

18

(五)

1.若P在。的北偏東44。50’，則。在「的（）

A.東偏北45。10'B.東偏北45°50'

C.南偏西44。50'D.西偏南45。50'

答案C

2.在某次測量中，在A處測得同一方向的8點的仰角為60。，C

點的俯角為70。，則N5AC等于（）

A.10°B.50°

C.120°D.130°

答案D

3.一只船速為2小米/秒的小船在水流速度為2米/秒的河水中

行駛，假設兩岸平行，要想使過河時間最短，則實際行駛方向與水流

方向的夾角為（）

A.120°B.90°

C.60°D.30°

答案B

4.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯

角分別為45。和30。，而且兩條船與炮臺底部連線成30。角，則兩條船

相距（）

A.l（h/3mB.10073m

C.2（h/30mD.30m

答案D

解析設炮臺頂部為A,兩條船分別為8、C,炮臺底部為。，可

知NBAO=45°,ZCAD=f）0°,ZBDC=30°,40=30.

分別在RtAADB,RtAADC中，

求得。8=30,。。=3即.

在△D3C中，由余弦定理，得

BC1-DB2+DC2-2DBDCcos30°,解得-30.

5.某人向正東方向走xkm后，他向右轉15（）。，然后朝新方向走

3km,結果他離出發點恰好,km,那么x的值為（）

A.V3B.2小

C.2小或小D.3

答案C

6.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于。km,燈塔A

在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A

與燈塔B的距離為（）

A.akmB.{§akm

C.y/2akmD.2akm

答案B

7.海上有A、B、。三個小島，已知A、B相距10海里，從A島

望。島和8島成60。的視角，從8島望。島和A島成75。的視角，則

B、C的距離是（）

A.1073海里B.丹值海里

C.5也海里D.5^6海里

答案D

8.

如圖所示，設A、5兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的河岸

邊選定一點C,測出AC的距離為50m,ZACB-450,ZCAB-105°

后，就可以計算A、8兩點的距離為（）

A.5072mB.5即m

C.25^/2m口.25乎m

答案A

9.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰

好與它在一條直線上，繼續航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西

60。方向上，另一燈塔在船的南偏西75。方向上，則這艘船的速度是每

小時（）

A.5海里B.5小海里

C.10海里D.10^3海里

答案D

10.已知船A在燈塔C北偏東85。且到C的距離為2km,船B

在燈塔C西偏北25。且到C的距離為小km,則4,3兩船的距離為

（）

A.2小kmB.3也km

C.y[15kmD.y[l3km

答案D

11.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔

S在船的北偏東30。方向上，15min后到點8處望見燈塔在船的北偏

東65。方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是km.（精確到

0.1km）

答案5.2

12.如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A,B,望對岸

的標記物C,測得NC45=30。，NCBA=75。,AB=120m,則河的寬

度是m.

c

ADB

答案60

13.已知船在4處測得它的南偏東30。的海面上有一燈塔C,船

以每小時30海里的速度向東南方向航行半小時后到達3點，在3處

看到燈塔在船的正西方向，問這時船和燈塔相距海里.

答案5限『）

14.A、3是海平面上的兩個點，相距800m,在A點測得山頂C

的仰角為45。，ZBAD=120°,又在B點測得NABO=45。，其中。是

點C到水平面的垂足，求山高CD

解析

如圖，由于CDJ_平面ABD,NCAD=45。，所以CD=AD

因此，只需在中求出AO即可.

在中，NBD4=180。-45。-120°=15°.

,ABAD

由sinl50=sin45。'仔

…ABsin45°

AD=---..-

sinl5co

800X當

=800(V3+l)(m).

4

???CQJ_平面AB。，ZCAD=45°,

：.CD=AD=800(73+D^2186(m).

答：山高CO為2186m.

15.如圖所示，海中小島A周圍38海里內有暗礁，一船正向南

航行，在B處測得小島4在船的南偏東30。，航行30海里后，在。

處測得小島在船的南偏東45。，如果此船不改變航向，繼續向南航行,

有無觸礁的危險?

思路分析船繼續向南航行，有無觸礁的危險，取決于A到直線

3c的距離與38海里的大小，于是我們只要先求出AC或A3的大小,

再計算出A到BC的距離，將它與38海里比較大小即可.

解析在△ABC中，BC=30,8=30。，ZACB=135°,

：.ZBAC=\5°.

由正弦定理煞4s30_AC

sinl50—sin30

：.AC=60cos15。=60cos(45°-30°)

=60(cos45°cos300+sin45°sin30°)=15(黃+的.

AA到8C的距離J=ACsin45°=15(73+1)

-40.98海里>38海里，所以繼續向南航行，沒有觸礁危險.

P備選題

IMBEIXUANTI標版I”>A..................

1.一船以4km/h的速度沿著與水流方向成120。的方向航行，己

知河水流速為2km/h,則經過小h后，該船實際航行為（）

A.2^/15kmB.6km

C.^84kmD.8km

答案B

2.

如圖，為了測量正在海面勻速行駛的某航船的速度，在海岸上選

取距離1千米的兩個觀察點C、D,在某天10:00觀察到該航船在A

處，此時測得乙4。。=30。,2分鐘后該船行駛至B處，此時測得N4CB

=60。，ZBCD=45°,ZADB=60°,則船速為（千米/分鐘）.

答案《

解析在中,

ZBDC=30°+60°=90°,CD=1,NBCD=45。,

/.BC=^2.

在△AC。中，ZCAD=180°-(60o+45o+30o)=45°,

,CDAC巫

,,sin45o-sin30°,2'

在△ABC中，

3

AB2=AC2+BC2-2ACXBCXCOS60O=2，

亞

，AB=乎,???船速為母=乎千米/分鐘.

3.

如圖，A,B是海面上位于東西方向相距5（3+小）海里的兩個觀

測點.現位于A點北偏東45°,B點北偏西60。的D點有一艘輪船發出

求救信號，位于B點南偏西60。且與B點相距2M海里的C點的救

援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達。點

需要多長時間？

答案救船到達。點需要1小時.

解析由題意知AB=5（3+小）（海里），ZDBA=90°-60°=30°,

ZDAB=90°-45°=45°9

：.Z/1DB=180°-(45°+30°)=105°.

在△D48中，由正弦定理，得一藝看.

smZDABsmZ”AD仙B.

.ABsinNZMB5（3+小）?sin45。

DB=sinZADBsin105。

5（3+V§>sin45。5小（小+1）

sin450cos60°+cos450sin60°小+1

2

=1即（海里）.

又ZDBC=ZDBA+NABC=30°+（90°-60°）=60°,BC=20小

（海里）,

在△OBC中，由余弦定理，得

CD2=BD2+BC1-2BDBC8sZDBC

=300+1200-2X1（h/3X2073X900.

30

???8=30（海里），則需要的時間看石=1（小時）.

答：救援船到達O點需要1小時.

4.

a

ABC

如圖所示，。是海面上一條南北向的海防警戒線，在。上點4處

有一個水聲監測點，另兩個監測點3、C分別在A的正東方2（）km處

和54km處.某時刻，監測點3收到發自靜止目標P的一個聲波，8s

后監測點A、20s后監測點C相繼收到這一信號.在當時的氣象條件

下，聲波在水中的傳播速度是1.5km/s.

（1）設A到尸的距離為xkm,用x表示3,。到P的距離，并求x

的值;

（2）求靜止目標尸到海防警戒線a的距離.（結果精確到0.01km）

132

答案（l）P3=x—12km,PC=18+xkm—

（2）17.71km

（六）

1.己知方程x2sinA+2xsinfi+sinC=0有重根，則△A8C的三邊〃、

b、c滿足關系式（）

A.b=acB.b2=ac

C.a=b=c