第一章解三角形

§1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理（一）

【課時目標】

1.熟記正弦定理的內容；

2.能夠初步運用正弦定理解斜三角形.

知識梳理?

1.在△ABC中，A+B+C=n,.+.+苧=去

2.在RtZXABC中，C=§,則:=sinA,~=sinB.

3.一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角

形的幾個元素求其他元素的過程叫做解至魚股一

4.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即總=備=肅不，這

smAsinnsinc

個比值是三角形外接圓的直徑2R.

作業設計?

一、選擇題

1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,h,c,若A：8：C=1：2：3,則

abc等于（）

A.1：2：3B.2：3：4

C.3：4：5D.1：小：2

答案D

2.若△ABC中,。=4,A=45。，B=60。，則邊方的值為（）

A."\/3+1B.2小+l

C.2^6D.2+2小

答案C

解析由正弦定理看=磊，

得sin450=sin60°'

3.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C,則△4灰;為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.等腰三角形

答案A

解析sin24=sin2B+sin2C?（2/?）2sin2A=（2/?）2sin2B+（2/?）2sin2C,即a2=b2+c2,由勾股定理的

逆定理得△ABC為直角三角形.

4.在△A8C中，若sinA>sinB,則角A與角8的大小關系為（）

A.A>BB.A<B

C.A》BD.A,8的大小關系不能確定

答案A

解析由sinA>sin8=2RsinA>2Rsin

5.在△ABC中，A=60。，a=y[3,b=y[2,則8等于（）

A.45°或135°B.60°

C.45°D.135°

答案c

解析由端得sin“等1

也sin60。走

=小=2?

'：a>b,：.A>B,5<60°

，B=45°.

6.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,如果c=,a,8=30。，那么角C等

于（）

A.120°B.105°C.90°D.75°

答案A

解析；c=ga,：.sinC=V3sinA=V3sin（180°-30°-Q

=V3sin（30°4-O=V3^sinC+|cosC），

即sinC=一小cosC.

tanC=—y[3.

又CG（0°,180°）,AC=120°.

二'填空題

7.在AABC中，AC=#,BC=2,8=60。，則C=.

答案75。

解析由正弦定理得癮=需?，?,必=坐

,：BC=2<AC=y16,為銳角.：.A=45°.

：.C=15°.

8.在△ABC中，若tanA=/,C=150°,BC=1,則AB=.

答案邛

解析,.,tanA='|,AC（0。，180°）,sin

由正弦定理知母去，

…BCsinCIXsin150°?

?,AB=^T=迎=2.

10

9.在△ABC中，b=l,c=小,。=華，則Q

答案1

d

AJ3B

解析由正弦定理，得

V3_1

.2K-sinB'

smT-

.?.sin8=/；C為鈍角，

jr

???8必為銳角，，^二不，

6

*?d=h=1.

10.在△ABC中，已知小b,。分別為內角A,B,C的對邊，若b=2a,8=A+60。，則4=

答案30。

解析?”=2。I.sinB=2sinA,又=8=A+60°,

Asin(A+60°)=2sinA

即sinAcos60°+cosAsin60°=2sinA,

化簡得：sinA=^cosA,，tanA=坐，.*./1=30°.

三、解答題

11.在aABC中，已知〃=2啦，A=30。，3=45。,解三角形.

鈕.?a_b_c

廨*sini4—sinB—sinCf

,巧X啦

.,osinB2皿sin45°"2

?4焉鏟一二。。=^^=4.

2

VC=180°~(A+B)=\80°-(30°+45°)=105°,

._4sinC_2V^sin105°_2^sin75°_r-

??c=^T=sin300=1=2+243.

2

12.在△ABC中，已知a=2小，b=6,A=30。，解三角形.

解。=2小，b=6,a<b,A=30°<90°.

又因為因inA=6sin30°=3,〃>bsin4,

所以本題有兩解，由正弦定理得：

八一sin46sin30°人,2一衿

sinB=~~~~=2/=午，故8=60°或120.

當B=60°時，C=90°,c=y]a2+b2=4yf3；

當8=120。時，C=30°,c=a=2小.

所以B=60°,C=90°,c=4小或B=120°,C=30°,c=24l

【能力提升】

13.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c若a=4Lb=2,sinB+cosB=y[2,

則角A的大小為.

答案I

解析VsinB+cos8=&sin/+B)=也.

Tt

兀

XO<B<71,A5=^.

也x乎

由正弦定理，得sinA="￥=—A—=3

7t

又a<b,A<B,/.A=%.

14.在銳角三角形ABC中，A=2B,a,b,c所對的角分別為A,B,C,求彳的取值范圍.

解在銳角三角形ABC中，4,B,C<90°,

'fi<90°,

即，2B<90°,，30°<B<45°.

J800-3B<90°,

由正弦定理知：￡=*蔣=4篙=2cos86（色，小），

故月的取值范圍是（正，小）.

⑥反思感悟

1.利用正弦定理可以解決兩類有關三角形的問題：

（1）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角.

（2）己知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角.

2.已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其它兩個角，這時三角形解的情況比較復雜，可

能無解，可能一解或兩解.例如：已知〃、方和A,用正弦定理求B時的各種情況.

psmA

a<bs\nAa=bsinAa》b

<a<b

為銳角兩解（一銳角，

A無解一解（直角）一解（銳角）

一鈍角）

A為直角ba>b

或鈍角無解一解（銳角）

1.1.1正弦定理（二）

【課時目標】

1.熟記正弦定理的有關變形公式；

2.能夠運用正弦定理進行簡單的推理與證明.

知識楂理?

「正弦定理：忘=品=舟=2R的常見變形:

(l)sinA:sin3：sinC=a:b：c；

a___bc〃+:+-

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC—'

(3)a=2/?sinA,b=2=sinB,c=2/?sinC；

,八?44.nb?c

(4)sinA=/，sin8=礪，sinC=詼.

2.三角形面積公式：S=%bsinC=、csinA=%Qsin8.

作業設計?]

一、選擇題

1.在△ABC中，sinA=sinB,則△48<7是（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

答案D

2.在^ABC中，若瓷了=屏=表，則△48（7是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

答案B

sinAsinBsinC

解析由正弦定理知:

cosA-cosB-cosC

??tunA=tunB=tunCt??A=H=C.

3

3.在△ABC中，sinA=4,a=10,則邊長c的取值范圍是()

A照,+8)

B.(10,+°°)

D(0,y]

C.(0,10)

答案D

.?“騙c.

；.0<cW當

4.在AABC中，。=2加osC,則這個三角形一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案A

解析由o=2/?cosC得，sinA=2sinBcosC,

/.sin(B+C)=2sinBcosC,

sinBcosC+cosBsinC=2sinBcos3

???sin(5-C)=0,：.B=C.

5.在△ABC中，已知S+c):(c+a)：(a+b)=4：5：6,貝ljsinA：sinB：sinC等于()

A.6：5：4B.7：5：3

C.3：5：7D.4：5：6

答案B

解析???(〃+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6,

.b+cc+。a~\-b

6+cc+a

令~1~=~5~=~6~=Z(QO),

力+c=4Z

,解得〈b=*

貝|J<c+a=5k

、a+b=6k

AsinA：sin8：sinC—a:b:c=7*5*3.

6.已知三角形面積為京外接圓面積為71,則這個三角形的三邊之積為（）

A.1B.2

C，2D.4

答案A

解析設三角形外接圓半徑為R,則由兀/?2=兀，

汨”?7.一abcabc1..,

得R=l,由Sa=/absin。=訴=丁=『??abc=T.

二、填空題

7.在△A3C中，已知6Z—3*^2,cosC=§,SAABC=,貝ljb=.

答案2小

解析；cosC=1,/.sinC=^^,

.,?%Z?sinC=4小，：.b=2小.

8.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為小b,a已知A=60。，a=小，b=T,則c=

答案2

解析由正弦定理.“4=得?四、。=JR，

sinAsinBsin60°sinB

AsinB=1,故B=30°或150°.由a>b,

得力>B,AB=30°,故C=90。，

由勾股定理得c=2.

9.在單位圓上有三點A,B,C,設△ABC三邊長分別為a,b,c,則消了+區為+親==

答案7

解析:△ABC的外接圓直徑為2R=2,

■sinA~sinB-sinC-ZK-Z,

二總+高+磊=2+1+4=7.

10.在“BC中，A=60。，廣電2⑵S—=18小，則

答案126

a+b+ca6V5

解析

sinA+sinB+sinCsinA^3一

2

=an

,**S^ABc2^C=^X6A/3X12sinC=18小,

,SET，?,?焉c=志=12'?".

三、解答題

..4、a-ccosBsinB

11.在A△ABC中，求證：7------7=-：—7.

b—ccosAsinA

證明因為在△ABC中，勺=-7=2幾

sinAsinBsinC

“…4、，2/?sinA~2Rs\nCeosB

所以左邊=0Q-口”-「------7

2Rsin6—2RsinCeosA

sin(3+C)—sinCeosBsin3cosCsinB..、.

sin(A+Q—sinCeosAsinAcosCsinA1

re、1依if—^-ccosBsinB

所以等式成乂，即nn";-------

b—ccosAsinA

12.在△ABC中,已知在tanB=,tanA,試判斷△ABC的形狀.

解，設三角形外接圓半徑為幾則/tanB=/AanA

?2sinB/AmA

<=>----~=-----

cosBcosA

4/?2sin2AsinB4/?2sin2BsinA

0-------c--o--s--B--------=------c--o--s--A--;-------

=sinAcosA=sinBcosB

Osin2A=sin2B

Q2A=2B或2A+28=TT

,、jr

QA=B或A+B=,

.,.△ABC為等腰三角形或直角三角形.

【能力提升】

13.在△ABC中，8=60。，最大邊與最小邊之比為(小+1)：2,則最大角為()

A.45°B.60°C.75°D.90°

答案C

解析設C為最大角，則A為最小角，則A+C=120。，

.sinCsin(120°—A)

**sinA-sinA

sin120°coscos120°sin)

sinA

AtanA=l,4=45°,C=75°.

TT

14.在△ABC中，a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊，若a=2,。=不

cos苧=4^，求△48C的面積S.

B3

解cosB=2cos21=；，

4

故8為銳角，sin3=亨

所以sin4=sin（7i—8—C）=sin（華一8）=^^.

.十#曰"sinC10

由正弦定理得c=丁彳二萬，

所以S/MBc=%c3inB=^X2X-yX^=1.

?反思感悟

1.在△ABC中，有以下結論：

⑴A+B+C=m

(2)sin(A+8)=sinC,cos(A+B)=—cosC；

小A+BC兀

(3)—+2=2；

A+BCA+B.CA+51

(4)sm-j-=cosy,cos-5-=sm5,tan"""5

tan~2

2.借助正弦定理可以進行三角形中邊角關系的互化，從而進行三角形形狀的判斷、三角恒等

式的證明.

1.1.2余弦定理(一)

【課時目標】

1.熟記余弦定理及其推論；

2.能夠初步運用余弦定理解斜三角形.

知識楂理?

余弦定理

三1.信中任何一邊的壬方等于其他兩邊的壬方的和減去這兩邊與它們的火兔的余弦的積的西

倍.即-2、CC0S_A,82=?2+〃2—2c〃C0S_B,=-2+/―2〃卜cos_C.

一?.余弦定理的推論

z?2+c2-a2d+J-b2/+/一?

cosA=2bc'=8=2ca；cosC=2ab.

3.在△ABC中：

(1)若/+/-02=0,則C=2Q2；

(2)若c1=a2+b2-ab,則C=6(r；

(3)若c2=a2+b2+y[2ab,則C=135°.

作業設計?

一'選擇題

1.在△ABC中，已知a=l,6=2,C=60°,則c等于（）

A幣B.3

C詬D.5

答案A

2.在△ABC中，。=7,b=4/,c=g,則△ABC的最小角為（）

人"D71

A-3B6

〃兀c兀

D?丘

答案B

解析?：a>b>c,C為最小角，

由余弦定理cosC=。+；石（

_7?+（4小）2—（也）2_小.n

~2X7X4小-2***-6,

3.在△ABC中，已知。=2,貝ijbcosC+ccos3等于（）

A.1B.V2C.2D.4

答案C

5g/+/—Jc1+a2-b12cr

解析bcosC+ccosB=b----茄---+。---溢---=石=。=2.

4.在△A8C中，已知〃=ac且c=2a,則cos8等于（）

12

解析,?p2=ac,c=2af.'.b=2ajb=y[2a,

H+c?—/a1+4a2—2a23

?*C0SB=2ac=F2/=不

在△ABC中，011考=守(a,6c分別為角A,B,C的對應邊)，則△ABC的形狀為

5.

)

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

答案B

,..11—cosAc-b

解析-嶗=-2-~2c~

222

bb+c-a222

cosA=z=2bc玉+b=c'符合勾股定理.

故△ABC為直角三角形.

6.在△ABC中，已知面積5=黯+/一,2),則角C的度數為()

A.135°B.45°C.60°D.120°

答案B

解析S=-^(a2+b2—c2)=^absmC,

221

a2+層—6.2=2absinC,/.c=a+b—2absinC.

由余弦定理得：c2=a2+b2—2abcosC,

/.sinC=cosC,

???C=45。.

二、填空題

7.在△ABC中，若/一從一行=秘，則人=

答案120°

8.△ABC中，已知。=2,〃=4,C=60。，則4=

案

答

30°

析

解c2=a2+b2—2abcosC

-

-24-42-2X2X4XCOS600

12

：.c=2yf3.

由正弦定理：焉=焉得sinA=*

V?<c,AA<60°,A=30。.

9.三角形三邊長為小b,yjcF+ab+b?(〃>0,b>0),則最大角為______

答案120°__________________

解析易知：yja?+ab+b?>a,7al+"+業>b,設最大角為仇

則cos歸--------短--------=-y

二0=120°.

10.在△ABC中，BC=\,B=?當△ABC的面積等于小時，tanC=.

答案-273

解析$44比=受仇,皿8=小，.&'=4.由余弦定理得，b2=a2+c^—2accosB=13,

a2+b2-^

..cosC=----—

/.tanC=-y1~\2——2^/3.

三、解答題

11.在△ABC中，已知C8=7,AC=8,AB=9,試求AC邊上的中線長.

AR--4-AC'-—Q2IQ2—,

解由條件知：cosA=----9ARAr-=_xoxQ=Q，設中線長為x,由余弦定理知：d=

(勻2+AB?-2?竿ABcos4=42+92-2x4x9X1=49

=>x=7.

所以，所求中線長為7.

12.在△ABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程f-2小x+2=0的兩根，2cos(4+fi)=l.

(1)求角C的度數；

(2)求AB的長；

(3)求aABC的面積.

解(l)cosC=cos[兀一(4+B)]

=-cos(A+B)=-2，

又?..。￡(0。，180°),AC=120°.

(2)Va,b是方程x2—2、/§x+2=0的兩根，

.Ja+》=2小，

[a/?=2.

:.AB2=h2+a2—2abeos120°=(a+6尸一岫=10,

10.

(3)SAABC=54加inC=2',

【能力提升】

13.(2010?濰坊一模)在△ABC中，AB=2,AC=#,BC=1+小，AD為邊BC上的高，則

AD的長是.

答案小

..「BL+AC2-4/近

解析,cosC-2XBCXAC_2,

??sinC2.

：.AD=ACsinC=yf3.

14.在△ABC中，acosA+*osB=ccosC,試判斷三角形的形狀.

解由余弦定理知

i>2+c2—a2a2+c2—b2

8SA=2bc'8s8=2—,

cr+lr-c1

cosc=F：

代入己知條件得

,2i22121222,2

b~+c~~~礦a+c~~c~—er—b~

a'-2bc-+萬-2ac-+o_2ab-=0,

22222221222

通分得a(b-\-c—a)+b\a+c—b)+c(c—a—b)=0f

展開整理得(〃2—

AtZ2-Z?2=±C2,即/==+。2或b2=°2+c2

根據勾股定理知AABC是直角三角形.

⑥反思感悟

I.利用余弦定理可以解決兩類有關三角形的問題:

(1)已知兩邊和夾角，解三角形.

(2)已知三邊求三角形的任意一角.

2.余弦定理與勾股定理

余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.

1.1.2余弦定理（二）

【課時目標】

1.熟練掌握正弦定理、余弦定理；

2.會用正、余弦定理解三角形的有關問題.

知識楂理?

1.正弦定理及其變形

品組

⑵〃=2RsinA,b=2RsinB1c=2RsinC.

r、?，。b._c

(3)sinA=赤，sin8=x，sin(7=誦.

(4)sinA:sinB：sinC=a：b：c.

2.余弦定理及其推論

⑴/=/+。2—2+ccos4

(2)cosA=-2bc-

（3）在△A8C中，c2=〃2+b20c為直角；在為鈍角；（?〈在+'0。為銳角.

3.在△A8C中，邊a、b、c所對的角分別為A、B、C,則有：

A-\~BitC

(1)A+B4-C=7i,2=2~2'

(2)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-lanC

A+BCA+BC

(3)sin——=cos,,cos-5=sin".

作業設計?]

一、選擇題

1.已知。、b、c為△48C的三邊長，若滿足(〃+匕-c)m+b+c)=a。，則NC的大小為()

A.60°B.90°

C.120°D.150°

答案C

解析*/(a+b—c)(a+b+c)=abf

。2+/—?=-ab.

AcosC=-1,AZC=120°.

2.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

答案c

解析2cosBsinA=sinC=sin（A+B）,

sinAcosB-cosAsin3=0,

即sin（A—8）=0,：.A=B.

3.在aABC中，已知5皿4：§皿8：411。=3：5：7,則這個三角形的最小外角為（）

A.30°B.60°

C.90°D.120°

答案B

解析'：a：h：c=sinA：sin：sinC=3：5：7,

不妨設a=3,b=5,c=7,C為最大內角，

32+52-721

則rllcosC=2X3X5=一了

?,.C=120°.

最小外角為60。.

4.△ABC的三邊分別為a,b,c且滿足/=ac,2%=a+c,則此三角形是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

答案D

解析'.'2b=a+c,.'.4b2=(a+c)2,即(a—c)2=0.

?**a=c.*?2Z?—ci~\~c=2,ci.??b=cif即ci—b—c.

5.在3c中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若C=120。，

c=y[2.a,貝弘)

A.a>bB.a<b

C.a—hD.a與b的大小關系不能確定

答案A

解析在△ABC中，由余弦定理得，

c2=a2+h2—2abcos120°

=a1+b2+ab.

"：c=y[2a,：.2<r=a2+b1+ab.

.\a2—b2=ab>0,.'.(r>b2,a>b.

6.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定

答案A

解析設直角三角形三邊長為a,b,C,且。2+/=。2,

則(a+x)2+(b+x)2—(c+x)2

=a2+/>2+2x2+2(a+fe)x—c2—2cx—x2=2(a+/>—cU+x2^,

，c+x所對的最大角變為銳角.

二、填空題

7.在△ABC中，邊a,方的長是方程f—5x+2=0的兩個根，C=60。，則邊c=

答案<19

解析由題意：a+b=5fab=2.

由余弦定理得：c1=a2+b2—2abcosC

2122

=a+b-ab=(a+h)-3ah=5-3X2=\9f

.\c=y[\9.

8.設2a+l,a,2a—1為鈍角三角形的三邊，那么。的取值范圍是.

答案2<加8

解析V2?—1>0,最大邊為2a+l.

?.?三角形為鈍角三角形，???。2+(2〃-1)2<(2〃+1)2,

化簡得：0<。<8.又,.?々+2。-1>2。+1,

a>2,2<n<8.

9.已知△ABC的面積為2小，BC=5,4=60。，則△ABC的周長是.

答案12

解析SAA8c=]48ACsin4

=^4BACsin60°=2小，

：.ABAC=S,BC2=AB2+AC1-2AB-ACcosA

=AB2+AC2-ABAC=(AB+AQ2-3ABAC,

：.(AB+AQ2=BC2+3>AB-AC=49,

：.AB+AC^1,.?.△ABC的周長為12.

10.在△ABC中，A=60。，b=\,SAABC=4則△ABC外接圓的面積是

答案號

解析跖Bc=/sin4=坐;=小，

；?c=4,

由余弦定理：cT=b2+c2-2Z?ccosA

=l2+42-2X1X4cos60。=13,

:.a=g.

?一一q一逅—的

??2R-sinA-亞-3'

2

?D恒?C613兀

??R=???S外接網=兀R="§一.

三'解答題

a2-b2sin(A-B)

在中，求證:

11.△ABCsinC,

sinAcosB-cosiAsinBsinA「sinB

證明右邊=;cosB-cosA

sinCsinC^C

a/+/一"btz2+c2-Z?2/?2+c2—crcr—kr4、.

晨~一3赤一=^7-=丁~=左邊

所卜"/sin(A—B)

所以匚L—sinC-

3

12.在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊的長，cosB=',

且AB,BC=-21.

(1)求△ABC的面積；

(2)若a=7,求角C.

解(1)；AB-BC=~21,：.BA?BC=21.

:.BA,BC=|BA\,\BC\,cosB=accosB=21.

34

ac=35,VcosB=—,sinB=—.

55

114

ASAABC=—acsinB=一X35X—=14.

225

(2)〃c=35,〃=7,.*.c=5.

由余弦定理得，b2=a1+c2—2accosB=32,

..方=W1由正弦定理：康=備.

.人M。=加8=余渴=坐

且B為銳角，.?.C一定是銳角.

AC=45°.

【能力提升】

13.已知△A3C中，AB=\fBC=2,則角C的取值范圍是（）

A.0<C^7B.0<C<5

oZ

C6<C<2D.產汽

答案A

解析方法一（應用正弦定理）

..AB_BC.1_2

*sinC-sinA***sinCsinA

AsinC=^sinAfV0<sin1,

0<sinCW4.

,：AB<BC.：.C<At.??C為銳角，

n

；.0<CWKo

方法二（應用數形結合）

如圖所示，以B為圓心，以1為半徑畫圓，

則圓上除了直線8c上的點外，都可作為A點.從點C向圓8作切線，設切點為A1和A?,當

A與A|、A2重合時，角C最大，易知此時：BC=2,AB=\,ACLAB,.\C=^

...OccW

6

3

14.AABC44.內角A、B、C的對邊分別為〃、b、c,已知〃=ac-且cos8=不

（】）求熊+康的值；

—-—*3

（2）設A4?BC=—,求a+c的值.

2

解（1）由cos8=*得sinB=yJ1-0=*.

由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.

十日1,1cosA,cosC

-r是---r+—T；=-：—r+-：-

tanAtanCsinAsinC

sinCeosA+cosCsinAsin（4+C）

sinAsinCsin2B

=-sin5-B=--1=-4J-7

sin~BsinB7

—"—-33

（2）由BA?BC-—得ca?cosB=—

22

3.

由cos8=1,可得ca=2,即b2=2.

由余弦定理：b1=a1+c2—2ac-cosB,

得cr+cr=b1-\-lac-cos3=5,

21

(a+c)=cr+c+2ac=5+4=9f.\a+c=3.

@反思感悟

1.解斜三角形的常見類型及解法

在三角形的6個元素中要己知三個(至少有一邊)才能求解，常見類型及其解法見下表:

已知條件應用定理一般解法

由A+B+C=180",求角A；

一邊和兩角由正弦定理求出b與c.在有

正弦定理

(如a,B,O解時只有一解.

由余弦定理求第三邊C;由正弦

定理求出小邊所對的角；再由A

兩邊和夾角余弦定理

+B+C=180。求出另一

(如a,b,Q正弦定理

角.在有解時只有一解.

由余弦定理求出角A、B；再利

三邊

余弦定理用A+B+C=180。，求出

(a,b,c)

角C.在有一解時只有一解.

由正弦定理求出角8;由4+8

兩邊和其中一邊的對角如余弦定理+C=180。，求出角C；再利用

(a,b,A)正弦定理正弦定理或余弦定理求

C.可有兩解、一解或無解.

2.根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑

(1)化邊為角；

(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉換.

§1.2應用舉例（一）

【課時目標】

1.了解數學建模的思想；

2.利用正、余弦定理解決生產實踐中的有關距離的問題.

知識楂理?

1.基線的定義：在測量上，我們根據測量需要適當確定的線段叫做基線.一般來說，基線越

長，測量的精確度越高.

2.方位角：指從正北方向線按順!蛆方向旋轉到目標方向線所成的水平角.如圖中的A點的

方位角為?.

3.計算不可直接測量的兩點間的距離是正弦定理和余弦定理的重要應用之一.

作業設計?

一、選擇題

1.若點P在點。的北偏西45。10'方向上，則點。在點尸的（）

A.南偏西45。10'B.南偏西44。50'

C.南偏東45。10'D.南偏東44。50'

答案C

2.已知兩燈塔A和13與海洋觀測站C的距離都等于?km,燈塔A在觀測站C的北偏東20。方

向上，燈塔8在觀測站C的南偏東40。方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為（）

A.akmR.yf3akm

C.yf2akmD.2akm

答案B

解析ZACB=120°,AC=BC=a,

二由余弦定理得

3.海上有A、B兩個小島相距1（）nmile,從A島望C島和B島成60。的視角，從B島望C島

和A島成75。的視角，則B、C間的距離是（）

A.Kh/3nmilenmile

C.nmileD.5#nmile

答案D

解析在△ABC中，ZC=180°-60°-75°=45°.

BC_AB

由正弦定理得:

sinAsinB

?BC_10

?'sin60。—sin45。

解得BC=5#.

4.如圖所示，設A、8兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在A所在的河岸邊選定一點

C,測出AC的距離為50m,/ACB=45。，NC4B=105。后，就可以計算4、3兩點的距離為（）

A.5（h/2m

C.25y[2m

答案A

AD

解析由題意知乙鉆C=30。由正弦定理;sinZACB，

50X坐

.ACsinNACB

-AB=sinZABC---j---=50\/2(m).

2

5.如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15。，與燈塔S相距20海里，隨后

貨輪按北偏西30。的方向航行30分鐘后到達N處，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度

為（）

川

■wV-oI7---

A.20(加+6)海里/小時

B.20(A/6-A/2)海里/小時

C.20(76+^3)海里/小時

D.20(76-^3)海里/小時

答案B

解析由題意，

NSMN=45°,ZSNM=105°,NNSM=30°.

f-r?力士e，口

由正弦定理得siMn3N00=sinM1S05°.

.…，MSsin30010，八，r-六、

??MN=sin105。=^^=I。W).

4

則=20（水—6）海里/小時.

6.甲船在島B的正南A處，AB=10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時，

乙船自B出發以每小時6千米的速度向北偏東60。的方向駛去.當甲、乙兩船相距最近時，它們所

航行的時間是（）

人.號^分鐘B.與小時

C.21.5分鐘D.2.15分鐘

答案A

解析設行駛x小時后甲到點C,乙到點。，兩船相距「km,

則N￡>8C=180°—60°=120°.

.?.y2=(io-4x)2+(6x)2—2(10-4x>6xcos1200

=28f-20x+100

當（小時）=-^-（分鐘）時，

y2有最小值.；.y最小.

二、填空題

7.如圖，A、B兩點間的距離為_______.

_____X

答案372f

8.如圖，A、N兩點之間的距離為________.

匕

答案40小

9.如圖所示，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點4、B,望對岸標記物C,測得

ZCAB=30°,NCBA=75°,AB=120m,則河的寬度為—

C—、

A30°75。，B

答案60m

解析在△4BC中，ZCAB=30°,NCBA=15。,

：.ZACB=15°.ZACB=ZABC.：.AC=AB=120m.

作CO_LAB,垂足為。，則CD即為河的寬度.

由正弦定理得屋m

.120CD

"sin90°-sin30。'

???CO=60（m）

???河的寬度為60m.

10.太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路,一輛汽車測得小島在公路的南偏西15°

的方向上，汽車行駛1km后,又測得小島在南偏西75。的方向上，則小島到公路的距離是________

km.

答案f

解析

如圖，NC4B=15°,ZCBA=180°-75°=105°,

ZACB=180°-105°-15°=60°,48=1km.

由正弦定理得

BC_AB

sinNOWsinZACB

1yl6—y[2

/.BC~-/sin15。='二』(km).

sin6n0o2y3

設C到直線AB的距離為4,

.逐一啦~\/^+也-\[3

則"=BCsin(km).

三'解答題

II.如圖，某貨輪在4處看燈塔B在貨輪的北偏東75。，距離