專題(一)：常見的物理模型

一、斜面問題;

在每年各地的高考卷中幾乎都有關于斜面模型的試題.如2009年高考全國理綜卷I第25題、北京理綜卷

第18題、天津理綜卷第1題、上海物理卷第22題等,2008年高考全國理綜卷I第14題、全國理綜卷II第16

題、北京理綜卷第20題、江蘇物理卷第7題與第15題等.在前面的復習中，我們對這一模型的例舉與訓練也

比較多，遇到這類問題時，以下結論可以幫助大家更好、更快地理清解題思路與選擇解題方法.

1.自由釋放的滑塊能在斜面上(如圖9-1甲所示)勻速下滑時〃與M之間的動摩擦因數幺=gtan9.

圖9一1甲

2.自由釋放的滑塊在斜面上(如圖9—1甲所示)：

(1)靜止或勻速下滑時，斜面M對水平地面的靜摩擦力為零；

(2)加速下滑時，斜面對水平地面的靜摩擦力水平向右；

(3)減速下滑時，斜面對水平地面的靜摩擦力水平向左.

3.自由釋放的滑塊在斜面上(如圖9-1乙所示)勻速下滑時,M對水平地面的靜摩擦力為零，這一過程中再

在加上加上任何方向的作用力，(在，"停止前)"對水平地面的靜摩擦力依然為零(見一輪書中的方法概述).

圖9-1乙

4.懸掛有物體的小車在斜面上滑行(如圖9-2所示):

圖9—2

(1)向下的加速度”=gsin8時,懸繩穩定時將垂直于斜面；

(2)向下的加速度〃>gsin6時,懸繩穩定時將偏離垂直方向向上;

(3)向下的加速度〃<gsin3時,懸繩將偏離垂直方向向下.

5.在傾角為0的斜面上以速度比平拋一小球(如圖9-3所示)：

圖9-3

(1)落到斜面上的時間/=生詈；

(2)落到斜面上時，速度的方向與水平方向的夾角a恒定，且Jana=2tan。，與初速度無關;

小、々、^^otan0口5、1*日、一目一口匚田,(如sin6)2

=

(3)經過tc~小球距斜面取磔，最大距汨d=2gcos0，

6.如圖9—4所示，當整體有向右的加速度〃=gtan。時，”能在斜面上保持相對靜止.

圖9一4

7.在如圖9-5所示的物理模型中，當回路的總電阻恒定、導軌光滑時,"棒所能達到的穩定速度加=

"吆Rsin9

B-L'

B

R

圖9一5

8.如圖9一6所示，當各接觸面均光滑時在小球從斜面頂端滑下的過程中，斜面后退的位移5=禹L.

圖9-6

?例1有一些問題您可能不會求解，但就是您仍有可能對這些問題的解就是否合理進行分析與判斷.例

如從解的物理量單位，解隨某些己知量變化的趨勢，解在一些特殊條件下的結果等方面進行分析，并與預期結

果、實驗結論等進行比較，從而判斷解的合理性或正確性.

舉例如下:如圖9-7甲所示，質量為傾角為6的滑塊A放于水平地面上.把質量為m的滑塊B放在A

的斜面上.忽略一切摩擦，有人求得B相對地面的加速度gsin仇式中g為重力加速度.

IV1IJIIX./

圖9一7甲

對于上述解，某同學首先分析了等號右側的量的單位，沒發現問題.她進一步利用特殊條件對該解做了如下

四項分析與判斷，所得結論都就是“解可能就是對的”.但就是，其中有一項就是錯誤的,請您指出該項［2008年

高考?北京理綜卷］()

A.當9=0。時，該解給出“=0,這符合常識，說明該解可能就是對的

B.當6=90。時，該解給出a=g,這符合實驗結論，說明該解可能就是對的

C.當時，該解給出gsin0,這符合預期的結果，說明該解可能就是對的

D.當機》M時，該解給出a七肅，這符合預期的結果，說明該解可能就是對的

【解析】當A固定時，很容易得出a=gsin當A置于光滑的水平面時,8加速下滑的同時A向左加速運動,8

不會沿斜面方向下滑，難以求出運動的加速度.

圖9—7乙

設滑塊A的底邊長為當B滑下時A向左移動的距離為x,由動量守恒定律得:

后=嚀

解得:》=冼」

M+m

當時即B水平方向的位移趨于零,B趨于自由落體運動且加速度

選項D中，當m》M時，顯然不可能.

［答案］D

【點評】本例中，若〃?、M、&L有具體數值,可假設8下滑至底端時速度力的水平、豎直分量分別為。“、

。卬,則有：

h(M+m)h

V\xL-xML

mv\x-Mv2

解方程組即可得。我、口八功以及力的方向與山下滑過程中相對地面的加速度.

?例2在傾角為6的光滑斜面上，存在著兩個磁感應強度大小相同的勻強磁場，其方向一個垂直于斜面向

上,一個垂直于斜面向下（如圖9-8甲所示），它們的寬度均為L一個質量為相、邊長也為L的正方形線框以速

度。進入上部磁場時，恰好做勻速運動.

（1）當ah邊剛越過邊界二'時,線框的加速度為多大，方向如何？

（2）當ab邊到達gg'與ff'的正中間位置時，線框又恰好做勻速運動，則線框從開始進入上部磁場到ab邊

到達gg'與獷的正中間位置的過程中，線框中產生的焦耳熱為多少？（線框的h邊在運動過程中始終與磁場

邊界平行，不計摩擦阻力）

【解析】（1）當線框的“6邊從高處剛進入上部磁場（如圖9一8乙中的位置①所示）時，線框恰好做勻速運動,

則有：

機gsin9—Bl\L

,,,BLv

此時八=方

當線框的帥邊剛好越過邊界力"（如圖9-8乙中的位置②所示）時，由于線框從位置①到位置②始終做勻

速運動，此時將ab邊與cd邊切割磁感線所產生的感應電動勢同向疊加，回路中電流的大小等于2人.故線框的加

速度大小為：

圖9一8乙

4B/|L-/n^sin6?、——，

a=-......=3gsin。，萬向沿斜面向上.

（2）而當線框的曲邊到達gg'與貫的正中間位置（如圖9—8乙中的位置③所示）時,線框又恰好做勻速運

動，說明mgsinO—ABhL

故12=%

由/1=今^可知，此時u'=^y

從位置①到位置③，線框的重力勢能減少了j^Lsin6

動能減少了東加2一品鏟=1|/2

由于線框減少的機械能全部經電能轉化為焦耳熱，因此有：

Q=^mgLsin6+^mv1.

［答案］（l）3gsin61，方向沿斜面向上

315,

（2）］，"gLsind+yjinv"

【點評】導線在恒力作用下做切割磁感線運動就是高中物理中一類常見題型,需要熟練掌握各種情況下求

平衡速度的方法.

二、連接體模型（板塊模型）；

二、連接體問題（整體法與隔離法）

高考卷中常出現涉及兩個研究對象的動力學問題，其中又包含兩種情況:一就是兩對象的速度相同需分析

它們之間的相互作用，二就是兩對象的加速度不同需分析各自的運動或受力.隔離（或與整體法相結合）的思想

方法就是處理這類問題的重要手段.

1.整體法就是指當連接體內（即系統內）各物體具有相同的加速度時，可以把連接體內所有物體組成的系統

作為整體考慮，分析其受力情況，運用牛頓第二定律對整體列方程求解的方法.

2.隔離法就是指當研究對象涉及由多個物體組成的系統時，若要求連接體內物體間的相互作用力,則應把

某個物體或某幾個物體從系統中隔離出來，分析其受力情況及運動情況，再利用牛頓第二定律對隔離出來的物

體列式求解的方法.

3.當連接體中各物體運動的加速度相同或要求合外力時，優先考慮整體法;當連接體中各物體運動的加速

度不相同或要求物體間的作用力時，優先考慮隔離法.有時一個問題要兩種方法結合起來使用才能解決.

?例7如圖1—16所示，在光滑的水平地面上有兩個質量相等的物體，中間用勁度系數為4的輕質彈簧相

連，在外力吊、尸2的作用下運動.已知坊＞尸2,當運動達到穩定時，彈簧的伸長量為（）

―I兒I—

BA

圖1-16

Fi—2

B.2k

方+尸2吊+F2

.2kD.k

【解析】取A、8及彈簧整體為研究對象,由牛頓第二定律得:尸］一尸2=237

取B為研究對象:近一尸2=加。

（或取A為研究對象:Q—丘=）加Z）

可解得:》=當聲.

［答案］C

【點評】①解析中的三個方程任取兩個求解都可以.

②當地面粗糙時，只要兩物體與地面的動摩擦因數相同，則A、B之間的拉力與地面光滑時相同.

★同類拓展3如圖I—17所示,質量為m的小物塊A放在質量為M的木板B的左端,8在水平拉力的作

用下沿水平地面勻速向右滑動，且A、B相對靜止.某時刻撤去水平拉力，經過一段時間,B在地面上滑行了一段

距離x,A在B上相對于B向右滑行了一段距離L（設木板B足夠長）后A與B都停了下來.已知A、8間的動摩

擦因數為內,B與地面間的動摩擦因數為償，且償＞■，則尤的表達式應為（）

AB

圖1-17

(M+〃2)L

A荷M.B.x=-------

Ax=Lm

H\ML_出ML

A32—+“〃2+"i)(次+M)

【解析】設A、B相對靜止一起向右勻速運動時的速度為。，撤去外力后至停止的過程中,A受到的滑動摩

擦力為：

衣=內/ng

其加速度大小勾=《=〃遇

B做減速運動的加速度大小〃2=皿±鏟儂

由于所以〃2>〃2g>〃lg=ai

即木板B先停止后4在木板上繼續做勻減速運動，且其加速度大小不變

對4應用動能定理得:一方《十》）=0—%詁2

對B應用動能定理得：

12

"imgx—〃2（m+Mgx=0-/Mo

AT；ZS,____________N1ML____

‘牛寸/a，2—〃i）（,"+My

［答案］c

【點評】①雖然使A產生加速度的力由B施加，但產生的加速度0=〃|g就是取大地為參照系的.加速度就

是相對速度而言的，所以加速度一定與速度取相同的參照系，與施力物體的速度無關.

②動能定理可由牛頓第二定律推導，特別對于勻變速直線運動，兩表達式很容易相互轉換.

三、臨界問題

?例8如圖1—18甲所示，滑塊4置于光滑的水平面上，一細線的一端固定于傾角為45。、質量為M的光

滑楔形滑塊A的頂端P處，細線另一端拴一質量為m的小球A現對滑塊施加一水平方向的恒力F,要使小球B

能相對斜面靜止，恒力尸應滿足什么條件？

圖1一18甲

【解析】

先考慮恒力背離斜面方向（水平向左）的情況:設恒力大小為Q時,B還在斜面上且對斜面的壓力為零，此時

A、8有共同加速度的受力情況如圖1—18乙所示，有：

■>

X

圖1-18乙

7sin0—mg,TeosO=ma\

解得M=gcot0

即F\—(M+m)a\—(M+m)gcot9

由此可知,當水平向左的力大于(M+,〃)gcot(9時，小球B將離開斜面,對于水平恒力向斜面一側方向(水平向

右)的情況:設恒力大小為Fi時,8相對斜面靜止時對懸繩的拉力恰好為零，此時A、B的共同加速度為a2,B的受

力情況如圖1—18丙所示，有：

圖1-18丙

FNCOS9="?g,FNsin8=ma2

解得:a2=gtan0

即F2=(M+〃?)a2=(M+，w)gtan0

由此可知,當水平向右的力大于(M+Mgtan0,B將沿斜面上滑，綜上可知，當作用在4上的恒力F向左小于

(M+，")gcot或向右小于(Af+，w)gtan0時,8能靜止在斜面上.

［答案］向左小于(A/+/n)gcot。或向右小于(M+/n)gtan6

【點評】斜面上的物體、被細繩懸掛的物體這兩類物理模型就是高中物理中重要的物理模型，也就是高考

常出現的重要物理情境.

四、超重與失重問題

1.超重與失重只就是物體在豎直方向上具有加速度時所受支持力不等于重力的情形.

2.要注意飛行器繞地球做圓周運動時在豎直方向上具有向心加速度，處于失重狀態.

?例9為了測量某住宅大樓每層的平均高度(層高)及電梯的運行情況，甲、乙兩位同學在一樓電梯內用

電子體重計及秒表進行了以下實驗:質量，"=50kg的甲同學站在體重計上,乙同學記錄電梯從地面一樓到頂層

的過程中，體重計的示數隨時間變化的情況，并作出了如圖1-19甲所示的圖象.已知r=0時,電梯靜止不動，從

電梯內樓層按鈕上獲知該大樓共19層.求：

(1)電梯啟動與制動時的加速度大小.

(2)該大樓的層高.

體重計示數/N

600

500

400

0123

圖1-19甲

【解析】(1)對于啟動狀態有:Q—zng=?wai

得:a〕=2m/s?

對于制動狀態有:mg—F3=ma2

得:。2=2m/s^.

（2）電梯勻速運動的速度。=〃由=2義1m/s=2m/s

從圖中讀得電梯勻速上升的時間，2=26S

電梯運行的總時間f=28s

電梯運行的v—t圖象如圖1一19乙所示，

°1232930t/s

圖1-19乙

所以總位移s=*(6+0=|X2X(26+28)m=54m

尸宣,__I__54_

層司"一森―誦一3Qm.

［答案］（1）2m/s22m/s2（2）3m

連接體模型在歷年的高考中頻繁出現，一般需求解它們之間的摩擦力、相對滑動路程、摩擦生熱、多次作

用后的速度變化等，另外廣義的連接體模型可以有許多變化，涉及的問題更多.如2009年高考天津理綜卷第10

題、寧夏理綜卷第20題、山東理綜卷第24題,2008年高考全國理綜卷I的第15題、北京理綜卷第24題、

江蘇物理卷第6題、四川延考區理綜卷第25題等.

連接體模型有較多的變化，解題時往往需要進行綜合分析（前面相關例題、練習較多）,下列兩個典型的情境

與結論需要熟記與靈活運用

1.疊放防長方體物塊A、B在光滑的水平面上勻速運動或在光滑的斜面上自由釋放后變速運動的過程中

（如圖9-9所示）,A、B之間無摩擦力作用.

圖9-9

2.如圖9-10所示，一對滑動摩擦力做的總功一定為負值，其絕對值等于摩擦力乘以相對滑動的總路程或

等于摩擦產生的熱量，與單個物體的位移無關，即Qv=f-s

1^0g

圖9一10

?例3質量為M的均勻木塊靜止在光滑的水平面上，木塊左右兩側各有一位拿著完全相同的步槍與子彈

的射擊手.首先左側的射擊手開槍，子彈水平射入木塊的最大深度為4,然后右側的射擊手開槍，子彈水平射入木

塊的最大深度為心如圖9—11所示.設子彈均未射穿木塊,且兩子彈與木塊之間的作用力大小均相同.當兩顆子

彈均相對木塊靜止時，下列說法正確的就是（注:屬于選修3-5模塊）（）

a

DM

圖9-11

A.最終木塊靜止,4=4

B.最終木塊向右運動

C.最終木塊靜止,&<d2

D.最終木塊靜止

【解析】木塊與射出后的左右兩子彈組成的系統水平方向不受外力作用，設子彈的質量為也由動量守恒定

律得：

mv()—mvo—(M+2m)v

解得:。=0,即最終木塊靜止

設左側子彈射入木塊后的共同速度為0,有:

mv（）=（m+M）V\

1212

Q\=f-d\=產。0—2（^+M）v?

2

mMvo

解得:4=

對右側子彈射入的過程，由功能原理得:

1,1,

。2“2二2，"。。?+2（機+-0

（2ffl2+fflA/）p（）2

解得:“2=

2（m+My

即d\<&2.

［答案］C

【點評】摩擦生熱公式可稱之為“功能關系”或“功能原理”的公式，但不能稱之為“動能定理”的公式,

它就是由動能定理的關系式推導得出的二級結論.

三、含彈簧的物理模型；

三、含彈簧的物理模型

縱觀歷年的高考試題，與彈簧有關的物理試題占有相當大的比重.高考命題者常以彈簧為載體設計出各類

試題,這類試題涉及靜力學問題、動力學問題、動量守恒與能量守恒問題、振動問題、功能問題等，幾乎貫穿

了整個力學的知識體系.為了幫助同學們掌握這類試題的分析方法,現將有關彈簧問題分類進行剖析.

對于彈簧,從受力角度瞧，彈簧上的彈力就是變力;從能量角度瞧，彈簧就是個儲能元件.因此，彈簧問題能很

好地考查學生的綜合分析能力,故備受高考命題老師的青睞.如2009年高考福建理綜卷第21題、山東理綜卷

第22題、重慶理綜卷第24題,2008年高考北京理綜卷第22題、山東理綜卷第16題與第22題、四川延考區

理綜卷第14題等.題目類型有:靜力學中的彈簧問題,動力學中的彈簧問題，與動量與能量有關的彈簧問題.

1.靜力學中的彈簧問題

(1)胡克定律:尸=后,△尸

(2)對彈簧秤的兩端施加(沿軸線方向)大小不同的拉力，彈簧秤的示數一定等于掛鉤上的拉力.

?例4如圖9-12甲所示，兩木塊4、B的質量分別為g與“2,兩輕質彈簧的勁度系數分別為h與跖,

兩彈簧分別連接A、8,整個系統處于平衡狀態.現緩慢向上提木塊4,直到下面的彈簧對地面的壓力恰好為零,

在此過程中A與B的重力勢能共增加了()

m

爭?

圖9一12甲

7+%2

2的+%

,9,舟+42

C.(g+,"2)-g(R/

C(〃?l+〃72)2g\""(〃?1+，〃2)片

口氏2十用

【解析】取A、B以及它們之間的彈簧組成的整體為研究對象，則當下面的彈簧對地面的壓力為零時，向上

提A的力F恰好為：

F=(mi+m2)g

設這一過程中上面與下面的彈簧分別伸長的、處如圖9-12乙所示，由胡克定律得:

圖9-12乙

(ffli+ffl2)g(ffli+/n2)g

XLki血_kl

故A、B增加的重力勢能共為：

△Ep=?Jig(Xi+》2)+機2gX2

_(""+，肛)，2W|(W|+??2)^2

~2+X-

［答案］D

【點評】①計算上面彈簧的伸長量時，較多同學會先計算原來的壓縮量，然后計算后來的伸長量，再將兩者

相加,但不如上面解析中直接運用速進行計算更快捷方便.

K

②通過比較可知，重力勢能的增加并不等于向上提的力所做的功卬=7式總=("":用gjg(%2g2

ZK2ZK］K2

2.動力學中的彈簧問題

(1)瞬時加速度問題(與輕繩、輕桿不同):一端固定、另一端接有物體的彈簧，形變不會發生突變，彈力也不

會發生突變.

(2)如圖9-13所示，將A、B下壓后撤去外力,彈簧在恢復原長時刻8與A開始分離.

皿4

圖9—13

?例5一彈簧秤秤盤的質量皿=1、5kg,盤內放一質量m2=10、5kg的物體P,彈簧的質量不計,其勁度

系數左=800N/m,整個系統處于靜止狀態，如圖9—14所示.

\m/

圖9—14

現給P施加一個豎直向上的力F,使P從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在最初0、2s內尸就是變

化的，在0、2s后就是恒定的，求F的最大值與最小值.(取g=10m/s2)

【解析】初始時刻彈簧的壓縮量為：

-k—0、15m

設秤盤上升高度X時P與秤盤分離,分離時刻有:

網即一X)—/“1g

-C1

m\

又由題意知，對于0?0、2s時間內尸的運動有：

必1~2=*

解得:x=0、12m,a=6m/s2

故在平衡位置處,拉力有最小值Fmin=(M71+m2)a=72N

分離時刻拉力達到最大值Fmax=m2g+m2a=168N.

［答案］72N168N

【點評】對于本例所述的物理過程，要特別注意的就是:分離時刻如與相2之間的彈力恰好減為零,下一時

刻彈簧的彈力與秤盤的重力使秤盤產生的加速度將小于”,故秤盤與重物分離.

3.與動量、能量相關的彈簧問題

與動量、能量相關的彈簧問題在高考試題中出現頻繁，而且常以計算題出現，在解析過程中以下兩點結論

的應用非常重要：

(1)彈簧壓縮與伸長的形變相同時，彈簧的彈性勢能相等；

(2)彈簧連接兩個物體做變速運動時，彈簧處于原長時兩物體的相對速度最大，彈簧的形變最大時兩物體的

速度相等

?例6如圖9—15所示，用輕彈簧將質量均為加=1kg的物塊A與8連接起來，將它們固定在空中，彈簧

處于原長狀態4距地面的高度加=0、90m.同時釋放兩物塊必與地面碰撞后速度立即變為零，由于B壓縮彈簧

后被反彈，使A剛好能離開地面(但不繼續上升).若將8物塊換為質量為2根的物塊C(圖中未畫出)，仍將它與A

固定在空中且彈簧處于原長，從A距地面的高度為h2處同時釋放,C壓縮彈簧被反彈后/也剛好能離開地面.

已知彈簧的勁度系數％=100N/m,求h2的大小.

圖9—15

【解析】設4物塊落地時,B物塊的速度為5,則有：

^>nv^=mgh\

設A剛好離地時，彈簧的形變量為x,對A物塊有：

mg—kx

從A落地后到A剛好離開地面的過程中，對于A、B及彈簧組成的系統機械能守恒,則有：

2

^mv|=mgx+A￡p

換成C后，設4落地時,C的速度為力,則有：

12

/?2mv￡=2mgh2

從A落地后到A剛好離開地面的過程中,A、C及彈簧組成的系統機械能守恒,則有：

1,

2,2^?2=2〃?gx+AEp

聯立解得：比=0、5m.

［答案］0、5m

【點評】由于高中物理對彈性勢能的表達式不作要求，所以在高考中幾次考查彈簧問題時都要用到上述結

論“①”.如2005年高考全國理綜卷I第25題、1997年高考全國卷第25題等.

?例7用輕彈簧相連的質量均為2kg的A、8兩物塊都以。=6m/s的速度在光滑的水平地面上運動,

彈簧處于原長，質量為4kg的物塊C靜止在前方，如圖9—16甲所示.8與C碰撞后二者粘在一起運動,則在以

后的運動中：

［THWHBIPel

圖9—16甲

(1)當彈簧的彈性勢能最大時，物體A的速度為多大？

(2)彈簧彈性勢能的最大值就是多少？

(3)A的速度方向有可能向左不？為什么？

【解析】⑴當A、B、C三者的速度相等(設為)時彈簧的彈性勢能最大，由于A、B、C三者組成的系

統動量守恒,則有：

(mA+mB)v-(mA+mB+mc)vA'

”,(2+2)X6

解傳:辦=2+2+4m/s=3m/s.

(2)8、C發生碰撞時,B、C組成的系統動量守恒，設碰后瞬間8、C兩者的速度為。'，則有：

mBv—(mB+mc')v'

解得:o'=^^=2m/s

A的速度為如'時彈簧的彈性勢能最大，設其值為4,根據能量守恒定律得：

，222

Ep=1(/nB+/nc)y+^mAv-1(+mB+mc)vA'

=12J.

(3)方法一A不可能向左運動.

根據系統動量守恒有：(，”*+m^v=mAvA+(mn+mc)Vf)

設A向左，則VA<0,VB>4m/s

則8、C發生碰撞后鼻、B、C三者的動能之與為：

E'=品招+斜8+機c)彘>；(，如+小c底=48J

實際上系統的機械能為：

2

E—Ep+^(mA+mB+mc)vA'=12J+36J=48J

根據能量守恒定律可知,E'>E就是不可能的，所以A不可能向左運動.

方法二B、C碰撞后系統的運動可以瞧做整體向右勻速運動與A、B與C相對振動的合成(即相當于在

勻速運動的車廂中兩物塊相對振動)

由(1)知整體勻速運動的速度。0=%'=3m/s

圖9—16乙

取以為=3m/s勻速運動的物體為參考系，可知彈簧處于原長時,A、B與C相對振動的速率最大，分別為：

。。=°一°o=3m/s

vBo=\v'-VQ\=\m/s

由此可畫出A、B、C的速度隨時間變化的圖象如圖9一16乙所示，故A不可能有向左運動的時刻.

［答案］(1)3m/s(2)12J(3)不可能，理由略

【點評】①要清晰地想象、理解研究對象的運動過程:相當于在以3m/s勻速行駛的車廂內工、B與C儆

相對彈簧上某點的簡諧振動，振動的最大速率分別為3m/s、1m/s.

②當彈簧由壓縮恢復至原長時“最有可能向左運動,但此時A的速度為零.

?例8探究某種筆的彈跳問題時,把筆分為輕質彈簧、內芯與外殼三部分,其中內芯與外殼質量分別為m

與4九筆的彈跳過程分為三個階段：

圖9-17

①把筆豎直倒立于水平硬桌面,下壓外殼使其下端接觸桌面(如圖9-17甲所示)；

②由靜止釋放，外殼豎直上升到下端距桌面高度為九時，與靜止的內芯碰撞(如圖9-17乙所示);

③碰后，內芯與外殼以共同的速度一起上升到外殼下端距桌面最大高度為處(如圖9-17丙所示).

設內芯與外殼的撞擊力遠大于筆所受重力，不計摩擦與空氣阻力,重力加速度為g.求：

(1)外殼與內芯碰撞后瞬間的共同速度大小.

(2)從外殼離開桌面到碰撞前瞬間,彈簧做的功.

(3)從外殼下端離開桌面到上升至h2處，筆損失的機械能.

［2009年高考?重慶理綜卷］

【解析】設外殼上升到加時速度的大小為S,外殼與內芯碰撞后瞬間的共同速度大小為外

(1)對外殼與內芯，從撞后達到共同速度到上升至〃2處，由動能定理得：

12

(4m+，")g(〃2-〃1)=/(4，"+，")。2—0

解得a22g(電一吊).

(2)外殼與內芯在碰撞過程中動量守恒，即：

4mvi=(4m+m)V2

將v2代入得：0=卻2gs2-hi)

設彈簧做的功為W,對外殼應用動能定理有：

12

W—4mgh}=2X

將V\代入得:W=5“g(25〃2—9吊).

(3)由于外殼與內芯達到共同速度后上升至高度h2的過程中機械能守恒，只有在外殼與內芯的碰撞中有能

量損失，損失的能量EisX4/ny?—+m)V2

=

將0、2代入得:E^^mg(h2—hi).

［答案］(1六/2gg2——)(2)；,啾25人2—9〃1)

(3)1//zg(/z2—/?!)

由以上例題可以瞧出，彈簧類試題的確就是培養與訓練學生的物理思維、反映與開發學生的學習潛能的優

秀試題.彈簧與相連物體構成的系統所表現出來的運動狀態的變化，為學生充分運用物理概念與規律(牛頓第二

定律、動能定理、機械能守恒定律、動量定理、動量守恒定律)巧妙解決物理問題、施展自身才華提供了廣闊

空間，當然也就是區分學生能力強弱、拉大差距、選拔人才的一種常規題型.因此，彈簧試題也就成為高考物理

題中的一類重要的、獨具特色的考題.

四、傳送帶問題)

四、傳送帶問題

從1990年以后出版的各種版本的高中物理教科書中均有皮帶傳輸機的插圖.皮帶傳送類問題在現代生產

生活中的應用非常廣泛.這類問題中物體所受的摩擦力的大小與方向、運動性質都具有變化性，涉及力、相對

運動、能量轉化等各方面的知識,能較好地考查學生分析物理過程及應用物理規律解答物理問題的能力.如

2003年高考全國理綜卷第34題、2005年高考全國理綜卷I第24題等.

對于滑塊靜止放在勻速傳動的傳送帶上的模型，以下結論要清楚地理解并熟記：

(1)滑塊加速過程的位移等于滑塊與傳送帶相對滑動的距離；

(2)對于水平傳送帶，滑塊加速過程中傳送帶對其做的功等于這一過程由摩擦產生的熱量，即傳送裝置在這

2

一過程需額外(相對空載)做的功W=mv=2Ek=2Q%

?例9如圖9—18甲所示，物塊從光滑曲面上的P點自由滑下,通過粗糙的靜止水平傳送帶后落到地面上

的Q點.若傳送帶的皮帶輪沿逆時針方向勻速運動(使傳送帶隨之運動)，物塊仍從P點自由滑下，則()

->\

Q

圖9一18甲

A.物塊有可能不落到地面上

B.物塊仍將落在Q點

C.物塊將會落在。點的左邊

D.物塊將會落在。點的右邊

【解析】如圖9-18乙所示，設物塊滑上水平傳送帶上的初速度為如物塊與皮帶之間的動摩擦因數為

則：

f4°

K

圖9-18乙

物塊在皮帶上做勻減速運動的加速度大小&=曙=隔

物塊滑至傳送帶右端的速度為:

v—ylv(f—2figs

物塊滑至傳送帶右端這一過程的時間可由方程解得.

當皮帶向左勻速傳送時，滑塊在皮帶上的摩擦力也為：

f-fimg

物塊在皮帶上做勻減速運動的加速度大小為：

?=機=惡

則物塊滑至傳送帶右端的速度。'=近三蕊=。

物塊滑至傳送帶右端這一過程的時間同樣可由方程解得.

由以上分析可知物塊仍將落在Q點，選項B正確.

［答案］B

【點評】對于本例應深刻理解好以下兩點：

①滑動摩擦力與相對滑動的速度或接觸面積均無關；

②兩次滑行的初速度(都以地面為參考系)相等，加速度相等，故運動過程完全相同.

我們延伸開來思考，物塊在皮帶上的運動可理解為初速度為狗的物塊受到反方向的大小為“mg的力F的

作用,與該力的施力物體做什么運動沒有關系.

?例10如圖9—19所示，足夠長的水平傳送帶始終以。=3m/s的速度向左運動，傳送帶上有一質量

2kg的小木盒A,A與傳送帶之間的動摩擦因數"=0、3.開始時,A與傳送帶之間保持相對靜止.現有兩個光滑

的質量均為m=1kg的小球先后相隔加=3s自傳送帶的左端出發，以。o=l5m/s的速度在傳送帶上向右運動.

第1個球與木盒相遇后立即進入盒中并與盒保持相對靜止;第2個球出發后歷時A/1=|s才與木盒相遇.取g

=10m/s?,問：

---------->

圖9—19

(1)第1個球與木盒相遇后瞬間，兩者共同運動的速度為多大？

(2)第1個球出發后經過多長時間與木盒相遇？

(3)在木盒與第1個球相遇至與第2個球相遇的過程中,由于木盒與傳送帶間的摩擦而產生的熱量就是多

少？

【解析】(1)設第1個球與木盒相遇后瞬間，兩者共同運動的速度為0,根據動量守恒定律得：

—Mv=(〃?+M)V\

解得:°i=3m/s,方向向右.

(2)設第1個球與木盒的相遇點離傳送帶左端的距離為s,第1個球經過時間均與木盒相遇，則有：

h=-

設第1個球進入木盒后兩者共同運動的加速度大小為根據牛頓第二定律得:

+M)g=(m+M)a

解得:a=〃g=3m/s~,方向向左

設木盒減速運動的時間為八，加速到與傳送帶具有相同的速度的時間為殳,則:

故木盒在2s內的位移為零

依題意可知:S=&）△"+0（加+加1一八一/2一，0）

解得:s=7、5mj（）=O、5s.

（3）在木盒與第1個球相遇至與第2個球相遇的這一過程中，設傳送帶的位移為s',木盒的位移為si,則：

s'=o（A/+zVi一幻=8、5m

si=o（Af+Af|一“一以一歷）=2、5m

故木盒相對于傳送帶的位移為:As=s'-si=6m

則木盒與傳送帶間因摩擦而產生的熱量為：

。=加=54J.

［答案］（1）3m/s（2）0、5s⑶54J

【點評】本題解析的關鍵在于:①對物理過程理解清楚;②求相對路程的方法.

（一）直線運動

高考中對直線運動規律的考查一般以圖象的應用或追及問題出現.這類題目側重于考查學生應用數學知

識處理物理問題的能力.對于追及問題，存在的困難在于選用哪些公式來列方程，作圖求解，而熟記與運用好直

線運動的重要推論往往就是解決問題的捷徑.

?例1如圖1一5甲所示/、8兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛.當B車在A車前5=84m處時,8車的

速度％=4m/s,且正以a=2m/s2的加速度做勻加速運動;經過一段時間后,8車的加速度突然變為零.4車一直

以外=20m/s的速度做勻速運動，從最初相距84m時開始計時，經過tti=\2s后兩車相遇.問B車加速行駛的時

間就是多少？

圖1一5甲

【解析】設B車加速行駛的時間為工,相遇時A車的位移為:

8車加速階段的位移為：

,12

sBl^vBt+^at

勻速階段的速度。=。8十W,勻速階段的位移為：

SB2=V（tQ—t）

相遇時，依題意有：

SA=SBI+SB2+S

2[(Z>?-L')/()+.V]

聯立以上各式得:『一2的A

a一U

2=

將題中數據VA=20m/s,如=4m/s,“=2m/sJo12s,代入上式有:*—24f+108=0

解得：4=6s,，2=18s（不合題意,舍去）

因此,3車加速行駛的時間為6s.

［答案］6s

【點評】①出現不符合實際的解“2=18s）的原因就是方程“S82=。（加一并不完全描述B車的位移，還需

加一定義域K12s.

②解析后可以作出物一人vB-t圖象加以驗證.

圖1一5乙

根據。-f圖象與r圍成的面積等于位移可得J=12s時,Ai=[；X（16+4）X6+4X6]m=84m.

（二）平拋運動

平拋運動在高考試題中出現的幾率相當高，或出現于力學綜合題中，如2008年北京、山東理綜卷第24題;

或出現于帶電粒子在勻強電場中的偏轉一類問題中，如2008年寧夏理綜卷第24題、天津理綜卷第23題;或出

現于此知識點的單獨命題中，如2009年高考福建理綜卷第20題、廣東物理卷第17（1）題、2008年全國理綜卷

I第14題.對于這一知識點的復習，除了要熟記兩垂直方向上的分速度、分位移公式外，還要特別理解與運用好

速度偏轉角公式、位移偏轉角公式以及兩偏轉角的關系式（即tan6=2tana）.

?例2圖1—6甲所示明為在水平傳送帶上被傳送的小物體（可視為質點）4為終端皮帶輪.已知皮帶輪

的半徑為r,傳送帶與皮帶輪間不會打滑.當m可被水平拋出時4輪每秒的轉數最少為（）

C詬D.^/^

【解析】解法一m到達皮帶輪的頂端時，若7之網?,表示m受到的重力小于（或等于加沿皮帶輪表面做

圓周運動的向心力"將離開皮帶輪的外表面而做平拋運動

又因為轉數〃=畀=黑

2兀Z7ir

所以當。）阪，即轉數〃》樂聆時,加可被水平拋出，故選項A正確.

解法二建立如圖1一6乙所示的直角坐標系.當，“到達皮帶輪的頂端有一速度時，若沒有皮帶輪在下面甩

將做平拋運動，根據速度的大小可以作出平拋運動的軌跡.若軌跡在皮帶輪的下方，說明〃，將被皮帶輪擋住，先沿

皮帶輪下滑;若軌跡在皮帶輪的上方，說明“立即離開皮帶輪做平拋運動.

又因為皮帶輪圓弧在坐標系中的函數為:當犬+/=/

初速度為V的平拋運動在坐標系中的函數為:

平拋運動的軌跡在皮帶輪上方的條件為：當x>0時，平拋運動的軌跡上各點與。點間的距離大于r,即

即NL5鏟產+x5

解得跡

7)

又因皮帶輪的轉速〃與。的關系為:"=而

可得:當宗R時，m可被水平拋出.

［答案］A

【點評】''解法一"應用動力學的方法分析求解；“解法二”應用運動學的方法(數學方法)求解，由于加速

度的定義式為。=居，而決定式為故這兩種方法殊途同歸.

★同類拓展1高臺滑雪以其驚險刺激而聞名，運動員在空中的飛躍姿勢具有很強的觀賞性.某滑雪軌道

的完整結構可以簡化成如圖1—7所示的示意圖.其中AB段就是助滑雪道，傾角a=3(T,BC段就是水平起跳

臺,CD段就是著陸雪道,AB段與BC段圓滑相連QE段就是一小段圓弧(其長度可忽略)，在O、E兩點分別與CD、

EF相切，所就是減速雪道，傾角。=37。.軌道各部分與滑雪板間的動摩擦因數均為〃=0、25,圖中軌道最高點A

處的起滑臺距起跳臺BC的豎直高度h=\0m.A點與C點的水平距離Li=20m,C點與D點的距離為32、625

m.運動員連同滑雪板的總質量〃?=60kg.滑雪運動員從A點由靜止開始起滑,通過起跳臺從C點水平飛出，在落

到著陸雪道上時，運動員靠改變姿勢進行緩沖使自己只保留沿著陸雪道的分速度而不彈起.除緩沖外運動員均

可視為質點，設運動員在全過程中不使用雪杖助滑，忽略空氣阻力的影響,取重力加速度g=10m/s2,sin37。=0、

6,cos37°=0、8.求：

⑴運動員在。點水平飛出時的速度大小.

(2)運動員在著陸雪道CD上的著陸位置與C點的距離.

⑶運動員滑過D點時的速度大小.

h1c

【解析】⑴滑雪運動員從A到C的過程中，由動能定理得:加g/z—"Mgcos%j藐一〃加g(L］—辰016()=嚴正

解得：%=10m/s.

(2)滑雪運動員從C