高級中學名校試題PAGEPAGE1福建省部分優質高中2025屆高三下學期3月質量檢測數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以.故選：B.2.已知雙曲線的右焦點為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為雙曲線右焦點為，又，即，所以，則雙曲線方程為，則漸近線方程為.故選：B.3.函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數的定義域為R，且，所以函數為偶函數，其圖象關于y軸對稱，所以選項A、B不滿足；當時，，顯然選項D不滿足，結合選項只有C滿足題意.故選：C4.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，即，即．又因為，所以，所以，即．又，所以，所以，所以，故選：A．5.設、是任意兩個向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由，得；反之當中有零向量時，有，而不滿足向量夾角的定義，即不能推出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B6.已知數列的前項和為，前項積為，若，則使取得最大值時的值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】由①，可得時，，即；當時，②，由：，即，故數列為首項是500，公比為的等比數列，故.則，由，因，故當時，，當時，，即，故使取得最大值時的值為9.故選：B.解題的關鍵在于利用和的關系式求得通項后，繼而化簡得到，需通過作商判斷數列的單調性，即可求得.7.在正四棱臺中，，且正四棱臺存在內切球，則此正四棱臺外接球的表面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】因為正四棱臺內切球存在時，內切球大圓是圖中梯形的內切圓，圓心為，設上下底面的中心分別為．過作于，連接，由圖可知，則，過作于，，即四棱臺的高為，設外接球球心為，設外接球的半徑為，則，解得，則外接球表面積為．故選：A.8.如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中???是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N?M處為止，則下列說法錯誤的是（）A.甲從M必須經過到達N處的方法有9種B.甲?乙兩人相遇的概率為C.甲乙兩人在處相遇的概率為D.甲從M到達N處的方法有20種【答案】B【解析】對于甲，經過到達有1種，經過到達有種，經過到達有種，經過到達有1種，甲從M到達N處的方法共有20種，同理對于乙，經過到達分別有種．對于A，甲從M必須經過到達N處的方法有9種，A正確，對于B，甲乙兩人相遇的概率，B錯誤，對于C，甲乙兩人在處相遇的概率，C正確，對于D，甲從M到達N處的方法共有20種，D正確故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的有（）A.復數z的共軛復數的模為1 B.復數z在復平面內對應的點在第一象限C.復數z是方程的解 D.【答案】AD【解析】，對于A，因為，所以，所以，所以A正確，對于B，因為，所以復數z在復平面內對應的點在第四象限，所以B錯誤，對于C，因為，所以復數z不是方程的解，所以C錯誤，對于D，因為，所以D正確.故選：AD10.已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線交C的右支于A，B兩點，若，，則（）．A.C的離心率為2 B.C.的面積為4 D.的周長為18【答案】ABD【解析】如圖所示，不妨設A在第一象限，則，由于，得，，由于，所以∽，故，可得，故，而，故，由，得，對于A，C的離心率，故A正確；對于B，由以上分析可知，故B正確；對于C，在中，，，，故，故C錯誤；對于D，的周長為，故D正確.故選：ABD．11.若定義在上的函數滿足：對任意的，都存在唯一的，使得，則稱函數是“函數”，則下列說法正確的有（）A.是“函數”B.是“函數”C.若是“函數”，則D.若“函數”，則【答案】ACD【解析】設在上的值域為集合S，在上的值域為集合T，因為對任意的，都存在唯一的，使得，則必須滿足對于A，在上的值域為，即，在上的值域為即滿足，且由的圖像可得對任意的，都存在唯一的，使得，故是“函數”，故A正確；對于B，在上的值域為即在上的值域為，即，不滿足，故不“函數”，故B錯誤；對于C，，其圖像關于對稱，當時，在上的值域為即在上的值域為，即若是“函數”，由，所以，解得，與矛盾.當時，在上的值域為，即，在上的值域為即若是“函數”，由，所以，即，解得且由的圖像可知對任意的，都存在唯一的，使得，故滿足題意.綜上所述，若是“函數”，則，故C正確；對于D，若，在上單調遞增，所以在上的值域為，即，在單調遞減，在上單調遞增，所以在上的值域為即則，所以，解得，又，所以要滿足對任意的，都存在唯一的，使得，則需，解得，所以當時，此時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的值域為，即，在上的值域為，即由的圖像可得，對任意的，都存在唯一的，使得，故符合題意.當時，在上單調遞減，在單調遞減，在上單調遞增，所以在上的值域為即在上的值域為，即此時，即，不滿足任意的，都存在唯一的，使得，綜上所述，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.圓和圓的公切線條數為__________.【答案】4【解析】∵圓，圓，∴∴圓心距，而兩圓半徑之和，∴兩個圓相離，則這兩個圓的公切線有4條.故答案為：4.13.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_______.【答案】【解析】直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則兩個切點都在直線上，設兩個切點分別為，，又，，則，，由導數的幾何意義可知，則，且切點在各自曲線上,所以則將代入可得可得，由可得，代入中可知，所以，所以.故答案為：.14.已知分別為銳角三個內角的對邊，的面積，則的取值范圍是______.【答案】【解析】在中，由及三角形面積公式，得，由余弦定理得，則，而，解得，，由正弦定理得，銳角由確定，而為銳角三角形，則，即，，顯然，而，，因此，，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.現將近幾日某地區門鎖銷售的數量進行統計，得到如下表格：第x天1234567數量y200260280350420440500（1）若y與x線性相關，求出y關于x的經驗回歸方程，并預測第10天該地區門鎖的銷售數量；（參考公式和數據:）（2）某人手里有三把鑰匙，其中只有一把可以打開門鎖，他現在無法分清哪一把能夠打．記X為他有放回的進行開鎖時的開鎖次數，Y為他無放回的進行開鎖時的開鎖次數．求的概率．解：（1）依題意可得；又，所以，可知，所以經驗回歸方程為，將代入該方程可得預測第10天該地區門鎖的銷售數量為；（2）有放回時，隨機變量對應的概率為；無放回時，隨機變量對應的概率為；若，則有以下情況：當時，，此時概率為；當時，或，此時概率為;因此可得的概率為.16.已知等差數列滿足，的前項和為.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和.解：（1）設等差數列的公差為，由可得，解得，故，（2），故，由于，，其中分別為前項中奇數項的和以及偶數項的和，故17.如圖，在四棱錐中平面ABCD，設平面PBC和平面PAD的交線為l，．（1）若，證明：平面平面PAB；（2）若，，平面ABCD與平面PCD所成角的余弦值為，求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．（1）證明：因為平面平面，所以，因為平面，所以平面，因為平面平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）解：由（1）可知，因為，所以，以為原點，所在直線分別為軸，軸，在平面內，垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，所以，設平面的法向量為，則，取，則，所以，顯然平面的一個法向量為，依題意，解得，設與平面所成的角為，因為，又平面的一個法向量為，所以，所以直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為．18.已知函數，，則（1）討論的單調性；（2）當時，恒成立，求m的取值范圍；（3）當時，若的最小值是0，求的最大值．解：（1）由函數，可得，若時，可得，所以在上單調遞增；若時，令，解得，當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增.綜上可得：當時，在上單調遞增；若時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）令函數，可得，因為當時，恒成立，所以在上恒成立，又因為，要使得在上恒成立，則恒成立，令，可得，即在上為單調遞增函數，所以，解得，即實數的取值范圍為.（3）當時，若的最小值是0，即在上恒成立，即在上恒成立，顯然相切時取得等號，由函數，設切點坐標，可得，可得，所以切線方程為，即，因為切線過原點，則，解得，所以，令，其中，可得，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，此時，可得，則，其中，只需證明：當時，，當時，，令，可得，因為和都為增函數，都可為增函數，所以，所以為增函數，因為，所以當時，，當時，，所以，當且僅當，等號成立，即的最大值為.19.設拋物線：，是大于0的常數.拋物線的焦點為，過的垂直于軸的直線交拋物線于兩點（點在軸上方），直線與直線相交于點（異于），與拋物線相交于點（異于坐標原點），直線交拋物線于另一點，直線與軸相交于點.（1）若是的重心，求的值；（2）設直線與直線相