高級中學名校試題PAGEPAGE1福建省龍巖市一級校聯盟2023-2024學年高二下學期4月期中聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若函數，則函數從到的平均變化率為（）A.6 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】因為，所以，，故函數從到的平均變化率為.故選：B.2.已知空間中三角形的三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的中線的長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得的中點坐標為，所以邊上的中線的長度，故選:C.3.已知函數的導函數為，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】由函數，可得，令，可得，解得，所以，，.故選：C.4.2023年4月5日是我國的傳統節日“清明節”.這天，王華的媽媽煮了五個青團子，其中兩個肉餡，三個豆沙餡，王華隨機拿了兩個青團子，若已知王華拿到的兩個青團子為同一種餡，則這兩個青團子都為肉餡的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設事件A為“王華拿到的兩個青團子為同一種餡”，事件AB為“兩個青團子都為肉餡”，則事件A包含的基本事件的個數為，事件AB包含的基本事件的個數為，所以,故選：A5.設O為坐標原點，向量，，，點Q在直線OP上運動，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，點Q在直線OP上運動，∴可設.又向量，，∴，，則.易得當時，取得最小值.故選：B.6.已知函數在定義域內可導，的圖象如下，則其導函數的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】觀察圖象知，當時，單調遞減，，選項B、D不滿足;當時，函數先遞增，再遞減，然后又遞增，有一個極大值點和一個極小值點，則的值先正，再負，然后又為正，有兩個不同的零點，A滿足，C錯誤.故選：A.7.在平行六面體中，M，N分別為線段，上的點，則“且”是“M，N，三點共線”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】在平行六面體中，令，，，則，由，得，因此，而，由，得，因此，則，即，又是直線和的公共點，于是和共線，即M，N，三點在一條直線上；當與重合，為的中點時，由四邊形是平行四邊形，得M，N，共線，而且不成立，所以“且”是“M，N，三點共線”的充分不必要條件.故選：B8.已知正方體，設其棱長為1（單位：）．平面與正方體的每條棱所成的角均相等，記為．平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結論正確的是（）A.可能為三角形，四邊形或六邊形B.C.的面積的最大值為D.正方體內可以放下直徑為的圓【答案】D【解析】A選項，如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，

則，.設平面法向量為，因平面與正方體每條棱所成的角均相等，則.由對稱性，不妨取，則法向量可為，又，則平面可為與垂直的平面.如圖，連接，因平面ABCD，平面ABCD，則，又平面，則平面，又平面，則，同理可得.又平面，，故平面.即平面可為與平面平行的平面，當平面與（不含A）相交時，M為與相似的正三角形；當平面與（不含）相交時，M為如圖所示的六邊形；當平面與相交時（不含），M為與相似的正三角形；則可能為三角形，六邊形，故A錯誤；B選項，由A選項分析可知，，故B錯誤.C選項，由A選項分析可知，當平面過或時，所得正三角形面積最大，由題可得邊長為，則相應面積為.當為六邊形時，如下圖所示，因，，又，結合圖形可知，又由題可知六邊形為中心對稱圖形，取其對稱中心為O，則四邊形四邊形四邊形，則六邊形面積為相應四邊形面積的3倍.取RS，RT中點分別為F，E，連接EF，OE，OF，因，則，四邊形面積為四邊形面積2倍，則六邊形面積為四邊形面積6倍.設，由題結合圖形可知，，則在中，由余弦定理，.注意到，則四點共圓，則外接圓直徑等于OR，由正弦定理，可得.則，.則六邊形面積S，當且僅當時取等號.又，則的面積的最大值為，故C錯誤；D選項，先判斷M內部的最大圓直徑最大值是否超過1.2m.當M為正三角形時，M內部的最大圓為三角形內切圓，易知當平面過或時，所得內切圓半徑最大，設此時內切圓半徑為，三角形面積為，周長為C，則內切圓直徑.當M為六邊形時，M內部的最大圓半徑滿足，由C選項分析，可知，則當時，取最大值，則此時M內部的最大圓直徑的最大值為，因，則，即正方體內可以放下直徑為的圓，故D正確.故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】AC【解析】由題，，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數在上有一個零點，當時，，即函數在上無零點，綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；令，該函數的定義域為，，則是奇函數，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.10.甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以，和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結論中錯誤的是（）A.，，是兩兩互斥的事件 B.C.事件與事件B相互獨立 D.【答案】CD【解析】由題意得可知，，是兩兩互斥的事件，故A正確；，，，故B正確；由事件與事件B不獨立，故C、D錯誤；故選：CD11.如圖，正方體的棱長等于2，K為正方形的中心，M，N分別為棱，的中點.下列結論正確的有（）A. B.C. D.的面積為【答案】ACD【解析】以點E為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，.A：，，，，A正確.B：，B錯誤.C：，C正確.D：因為，則，所以，，，所以的面積，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設表示事件發生的概率，若，則__________.【答案】【解析】因為，，則故答案為：.13.若函數，則_________.【答案】2023！【解析】設，則，，.故答案為：14.某生物科學研究院為了研究新科研項目需建筑如圖所示的生態穹頂，建筑（不計厚度，長度單位：m），其中上方為半球形，下方為圓柱形，按照設計要求生態穹頂建筑的容積為，且（其中l為圓柱的高，r為半球的半徑），假設該生態穹頂建筑的建造費用僅與其表面積有關，已知圓柱形部分每平方米的建造費用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費用為萬元，當______時該生態穹頂建筑的總建造費用最少.（公式：，）【答案】【解析】設該建筑的容積為，由題意知，又，故，由于，即，因此，設建筑總建造費用為萬元，則，于是，由于，所以，當時，，所以在上單調遞減，故當時，建筑的總建造費用取最小值，故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分（13＋15＋15＋17＋17）.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖,在空間四邊形中，,點E為的中點，設，，．（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，求的值．解：（1）因為，所以，所以，因為點E為的中點，所以.（2）因為，，所以.16.甲箱的產品中有5個正品和3個次品，乙箱的產品有4個正品和3個次品.（1）從甲箱中任取2個產品，求這2個產品都是次品的概率；（2）若從甲箱中任取2個產品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產品，求取出的這個產品是正品的概率.解：（1）從甲箱中任取2個產品的事件為，這2個產品都是次品的事件數為.所以這2個產品都是次品的概率為.（2）設事件為“從乙箱中取一個正品”，事件為“從甲箱中取出2個產品都是正品”，事件為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事件為“從甲箱中取2個產品都是次品”，則事件、事件、事件彼此互斥.，，，所以.17.已知函數，.（1）若曲線在點處的切線平行于直線，求該切線方程（2）若，求證：當時，；（3）若的極小值為，求a的值.解：（1）由函數，可得，所以，可得，所以，即切點為，所以切線方程為，即.（2）當時，，可得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以的最小值為，所以當時，成立.（3）對于函數，可得，①若，可得，此時函數無極值點，不符合題意（舍去）；令，解得或，②若，則：當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以時，函數取得極小值，令，解得.③若，則：當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以時，函數取得極小值，不符合題意（舍去）.綜上可得，實數的值為.18.如圖，在長方體中，，，點E在棱AB上移動.（1）求證：.（2）當點E為棱AB的中點時，求點E到平面的距離.（3）在棱AB上是否存在點M，使平面與平面AMC所成的角為？若存在，求出AM的值；若不存在，請說明理由.解：（1）以D為坐標原點，直線DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.設，，則，，，A1,0,0，.因為，所以，所以.（2）因為E為AB的中點，所以，從而，，.設平面的法向量為n=a,b,c，則，即，得，從而，所以點E到平面的距離.（3）設這樣的點M存在，且，，平面與平面AMC所成的角為，則，，，，.設平面的法向量為，則，取，得.平面AMC的一個法向量，所以，由，解得.所以滿足題意的點M存在，此時.19.某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關系式;右側曲線BO上任一點F