函數矩陣5.3函數矩陣函數矩陣的微分與積分定義5.14以變量的函數為元素的矩陣稱為函數矩陣.若每個

在上連續、可微、可積,則稱在上連續、可微、可積.當在上可微時,定義

當在上可積時,定義

可微的函數矩陣有以下簡單的運算性質.定理5.15設與是適當階的可微函數矩陣,與為可微的數量函數,與為常數,則有以下結論.(1)數字矩陣的導數為零矩陣.(2)

函數矩陣(3)

(4)(5)

(6)若可逆且可微,則證這里只證明性質(6).由于可逆,因此兩端對求導,根據性質(4)可得

從而

例5.15設證明證因為

函數矩陣所以

對任意都收斂,從而可以逐項求導,于是有

從而

同理可證注(1)本例說明與乘積可交換.(2)同理可得

函數矩陣例5.16設求和解容易計算因此注本例說明,一般地,但可以證明

因此,雖然微積分中關于微分和積分的許多運算性質對函數矩陣仍然成立,但是,因為矩陣乘法一般不可交換,所以有些性質不可照搬.函數矩陣例5.17設數字矩陣求二次型對變量的導數.解

根據求導公式,有

因為為數字矩陣,所以又因為所以

因此,所求二次型的導數為

函數矩陣可積的函數矩陣有以下簡單的運算性質.定理5.16設與是上適當階的可積函數矩陣,與為數字矩陣,與為常數,則有以下結論.(1)

(2)

(3)當在上連續時,有(4)當在上的導數連續時,有(5)當和在上的導數連續時,有

(6)

函數矩陣數量函數對矩陣變量的導數

5.3.1節討論的是函數矩陣對單變量的導數,實質上是把數量函數的求導運算推廣到了函數矩陣.在很多具體應用中,還需要數量函數對矩陣變量的導數,以及函數矩陣對矩陣變量的導數.下面來研究這兩個更一般的函數矩陣求導問題.在微積分的場論部分,數量函數的梯度定義為

可以理解為數量函數對向量變量的導數.現將這一概念推廣到數量函數對矩陣變量的導數.函數矩陣定義5.15設為向量變量,為可微的數量函數,則稱以為元素的維向量為數量函數對向量變量的導數,記為

即

而對向量變量的導數定義為

顯然

函數矩陣將定義5.15進行推廣,可得如下定義.定義5.16設為矩陣變量,為可微的數量函數,則以為元素的階矩陣稱為數量函數對矩陣變量的導數,記為即

函數矩陣例5.18設為數字向量,為向量變量,數量函數

計算解因為所以例5.19設求解

函數矩陣例5.20求二次型對的導數,其中,與無關.解因為所以

例5.21設是矩陣變量,且證明

證設的代數余子式為把按第行展開得

因此函數矩陣故

設為矩陣變量,與為數字矩陣,結合例5.17和例5.19,請讀者證明以下幾個有關矩陣的跡的導數公式.(1)

(2)

(3)

函數矩陣函數矩陣對矩陣變量的導數定義5.17設函數矩陣的每個元素都是矩陣變量的元素的函數,即

若為可微函數,則定義對的導數為

其中,

函數矩陣顯然,是分塊矩陣,且每塊都是矩陣,因此是矩陣.為了表達方便,利用矩陣的Kronecker積定義算子矩陣：

則可簡單記為函數矩陣對矩陣變量的導數滿足如下運算法則.(1)(2)其中、分別為的行數和列數.函數矩陣規則(1)可由定義,以及矩陣的運算規則證明.現在證明規則(2)：

顯然,當為數量函數時,便成為5.3.2節中的數量函數對矩陣變量的導數.例5.22求函數向量對向量變量的導數,其中

解記則根據定義5.17,有函數矩陣函數矩陣其中,矩陣稱為Jacobi矩陣.特殊地,當時,Jacobi矩陣的行列式稱為Jacobi行列式,這是我們所熟知的多元函數微分學中的行列式.根據題目的已知條件,請讀者自行計算函數矩陣例5.23設求解

函數矩陣例5.24求對的導數,其中,和是常向量.解

由此可得

事實上

由例5.20可知

又因為故因此有上述結果.函數矩陣例5.25設