第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省三湘名校教育聯盟高二下學期期中考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數z滿足(1+2i)(z?1)=2?i，則z=(

)A.1?i B.1+i C.2?i D.2+i2.已知向量a=(2,?1)，b=(m,3)，且a⊥b，則A.35 B.45 C.33.已知直線y=12x是雙曲線C:x2aA.32 B.52 C.4.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A=π3，a=2，b+c=3aA.83?12 B.4335.已知函數f(x)=x3+x，且f(m2?2m+1)+f(?m?5)>0A.(?∞,?1)∪(4,+∞) B.(?1,4)

C.(?∞,?2)∪(3,+∞) D.(?2,3)6.如圖，在圓錐PO中，AB是底面圓的直徑，C在底面圓周上，AB=4，∠BAC=30°M是BC的中點，PM與圓錐底面所成角的大小為60°，則圓錐PO的體積為(

)A.123π C.43π7.曲線|y|=cosx+1(0≤x≤π)和曲線x2+(|y|?1)2=1(x≤0)組合圍成“心形圖”(如下圖所示)，記“心形圖”為曲線C，曲線A.π+6 B.π+8 C.3π D.4π8.如果對于正整數集A={x=a+i,a∈N|i=1,2,3,?,48}，將集合A拆分成16個三元子集(子集有三個元素)，且拆分的16個集合兩兩交集為空集，則稱集合A是“三元可拆集”.若存在一種拆分法，使得集合A是“三元可拆集”，且每個三元子集中都有一個數等于其他兩數之和，則a的最大值為(

)A.12 B.9 C.7 D.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.早在1733年,法國數學家棣莫弗在研究二項概率的近似計算時,提出了正態密度函數的形式,其解析式為f(x)=1σ2πe?(x?μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數.若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x),則稱隨機變量X服從正態分布,則下列說法正確的是()(參考數據:若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ???????)≈0.9545,P(A.曲線y=f(x)關于直線x=μ對稱

B.曲線y=f(x)在x=μ處達到峰值12π

C.當σ較小時,正態曲線“矮胖”,當σ較大時,正態曲線“瘦高”

D.若σ2=4,μ=60,則P(62≤10.已知函數f(x)=2sin(2x?A.f(x)的最小正周期為2π

B.若f(x)在區間(0,m)恰有兩個零點，則m的取值范圍為(5π8,9π8]

C.若f(x)≥?1，且0≤x≤2π，則0≤x≤3π4

D.11.已知函數f(x)=2x3?3axA.若f(x)在x=1處取得極小值，則a=1

B.a<0，x1>x2>1，則f(x1)<f(x2)

C.若a=2，則曲線y=f(x)關于點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知(3?2x)n的展開式中，只有第7項的二項式系數最大，則n的值為

．13.設M是拋物線y2=6x上一點，F是拋物線的焦點，O為坐標原點，∠OFM=120°，則|FM|=14.已知函數f(x)=(x+a)lnx(a>0).若當x>e時，存在過坐標原點O的直線l與曲線y=f(x)相切，則實數a的取值范圍為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，M是BC的中點，(1)證明：BC⊥平面AM(2)若AB⊥AC，AB=2，AA116.(本小題15分)已知等差數列{an}滿足a2=4，a1+a(1)求數列{an}，(2)若數列{cn}滿足cn=an?17.(本小題15分)2025年春節聯歡晚會中的創意融合舞蹈《秧BOT》轟動全球，標志著中國的服務機器人技術達到世界一流水平.某人工智能企業的服務機器人研發部，自2018年至2024年投入巨資進行服務機器人技術研究開發，取得了巨大的成就.該企業試產了三類不同型號的服務機器人H1，H2，(1)若H1型服務機器人第一次仿成年人拿水杯檢測成功，則第二次檢測成功的概率為910;若第一次檢測不成功，則第二次檢測成功的概率為34.已知H1(2)試產H1，H2，H3型服務機器人進行兩次仿成年人綜合試驗檢測，已知第一次檢測時，H1，H2，H3型合格的概率分別為34，45，35，第二次檢測時，H1，H2，H3型合格的概率分別為23，3418.(本小題17分)已知函數f(x)=axe(1)當a=?1時，求f(x)在區間[?2,0]上的最大值和最小值;(2)當a=1時，證明：f(x)≥(3)若?x∈[1e,+∞)，f(x)≤x19.(本小題17分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦點分別F1(1)求橢圓C的方程;(2)若N為圓C1:(x?5)2(3)已知直線l:y=kx+1，(k≠0)與y軸交于點D，且與橢圓C交于A，B兩點，E為坐標平面內不在直線l上的動點，若直線AE，DE，BE斜率的倒數成等差數列，證明：動點E在定直線L上，并求直線L的方程．

參考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.A

6.D

7.C

8.C

9.AD

10.BD

11.ACD

12.12

13.6

14.[e15.解：(1)由直三棱柱ABC?A1B1C1可得A1A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以A1A⊥BC，

因為M是底邊BC的中點，A1B=A1C，所以BC⊥A1M，

因為A1A，A1M?平面A1MA，A1A∩A1M=A1，BC?平面AMA1，所以BC⊥平面A1MA．

(2)由已知AA1⊥平面ABC，

AC,AB?平面ABC

所以A1A⊥AC，A1A⊥AB，又AB⊥AC，

以AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz，

由(1)可知AM⊥BC，所以AB=AC=2，則A1(0,0,2)，B(由圖知θ為銳角，則cosθ=所以二面角B?A1C116.解：(1)設等差數列{an}的公差為d，因為a1+a3+a5=3a3=18，所以a3=6，

又a2=4，所以d=a3?a2=2，所以a1=a2?d=2，所以an=a1+(n?1)d=2+(n?1)×2=2n；

設等比數列{17.解：(1)記A=“H1型服務機器人第一次仿成年人拿水杯檢測成功”，

B=“H1型服務機器人第二次仿成年人拿水杯檢測成功”，

則P(A)=45，P(A)=15，P(B|A)=910，P(B|A)=34．

因為P(B|A)=P(AB)P(A)，所以P(AB)=P(A)?P(B|A)=45×910=1825，

因為P(B|A)=P(AB)P(A)，所以P(AB)=P(A)?P(B|A)=15×34=320，

則P(B)=P(AB)+P(A18.解：(1)當a=?1時，f(x)=?xex+1，所以f′(x)=?(1+x)ex，

當x∈(?2,?1)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增;

當x∈(?1,0)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

所以f(x)在區間[?2,0]上的最大值為f(?1)=1e+1．

又f(?2)=2e2+1>f(0)=1，所以f(x)在區間[?2,0]上的最小值為f(0)=1．

所以f(x)在區間[?2,0]上的最大值為1+ee，最小值為1．

(2)證明：當a=1時，令g(x)=xex?lnx?x?1，其定義域為(0,+∞)，

因為g(x)=xex?ln(xex)?1，令t=xex>0，得?(t)=t?lnt?1，?′(t)=1?1t=t?1t，

所以當0<t<1時，?′(t)<0，?(t)單調遞減;當t>1時，?′(t)>0，?(t)單調遞增，

所以?(t)≥?(1)=0.故f(x)≥lnx+x+2．

(3)由?x∈[1e,+∞)，f(x)≤x2lnx?x3+x2+1，得?x∈[1e,+∞)，axex+1≤x2lnx?x3+x2+1，

即x∈[1e,+∞)，aex≤xlnx?x2+x，即x∈[1e,+∞)，a≤xlnx?x2+xex，

令F(x)=xlnx?x2+xex，x∈[1e,+∞)，則F′(x)=(1?x)(lnx?x+2)19.解：(1)設橢圓的半焦距為c，因為|F1F2|=2c=2，所以c=1，

由橢圓的定義|MF1|+|MF2|=2a=4，所以a=2，所以b=a2?c2=22?12=3，

所以C的方