山西省平遙縣高中數學第三章函數的應用3.1函數與方程（1）教學設計新人教A版必修1課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內容新人教A版必修1山西省平遙縣高中數學第三章函數的應用3.1節“函數與方程（1）”主要包括：一元二次方程的定義、解法及性質，函數概念及其性質，以及函數圖像的基本畫法。二、核心素養目標1.培養學生運用數學語言表達數學思維的能力。

2.培養學生分析問題和解決問題的能力，提高邏輯推理和抽象思維能力。

3.培養學生數學建模和數學應用意識，提升解決實際問題的能力。三、重點難點及解決辦法重點：

1.一元二次方程的解法：掌握配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程的方法。

2.函數概念的理解：理解函數的定義域、值域、對應法則等基本屬性。

難點：

1.解一元二次方程時，方程的解的性質和圖形的對應關系理解困難。

2.函數圖像的繪制和性質分析，缺乏直觀感受和抽象思維能力。

解決辦法：

1.通過實例講解和練習，幫助學生理解一元二次方程解的性質和函數圖像的對應關系。

2.結合圖形工具，如坐標系和函數圖像，直觀展示函數性質，加強學生的直觀感受。

3.設計多樣化的練習題，包括實際問題，提高學生的邏輯推理和抽象思維能力，逐步突破難點。四、教學方法與策略1.采用講授法結合案例分析法，講解一元二次方程的解法和函數概念，確保學生理解基本概念。

2.通過小組討論，讓學生探索不同解方程的方法，培養合作學習和批判性思維能力。

3.利用多媒體展示函數圖像，通過動畫演示函數性質的變化，增強學生的直觀理解。

4.設計“函數尋寶”游戲，讓學生在游戲中應用所學知識解決實際問題，提高學習興趣和參與度。五、教學過程一、導入

（老師）同學們，我們今天要學習的是函數與方程這一章節，這一節我們將重點探討函數與方程的關系。首先，請大家回顧一下之前學習的函數知識，比如一次函數、二次函數等，看看你們對函數的定義、性質和圖像是否已經掌握得比較熟練。

（學生）老師，我們已經學習過一次函數和二次函數，知道它們的圖像和性質。

（老師）很好，那今天我們就從一元二次方程入手，探究函數與方程之間的關系。

二、新課導入

（老師）接下來，我們先來看一道例題：解一元二次方程x^2-5x+6=0。

（學生）這是一個一元二次方程，我們可以嘗試使用配方法、公式法或者因式分解法來解。

（老師）很好，同學們都能想到這些方法。我們先來嘗試一下配方法，看看能否解出這個方程。

（學生）x^2-5x+6=0，可以將方程左邊寫成完全平方的形式，即(x-3)(x-2)=0。

（老師）非常好，現在我們得到了方程的兩個解，x1=3和x2=2。接下來，我們再來看一下這個方程的圖像。

（學生）一元二次方程的圖像是一個拋物線，這個拋物線與x軸的交點就是方程的解。

（老師）沒錯，這就是函數與方程之間的關系。現在我們知道了，一元二次方程的解可以通過函數圖像上的點來表示。

三、探究活動

（老師）下面我們來進行一個探究活動，請同學們分組討論以下問題：

1.一次函數和二次函數的圖像分別是什么樣的？

2.如何通過函數圖像來理解函數的性質？

3.如何將一元二次方程的解表示為函數圖像上的點？

（學生）我們小組討論后，發現一次函數的圖像是一條直線，二次函數的圖像是一個拋物線；通過函數圖像可以直觀地看出函數的單調性、極值點等性質；一元二次方程的解可以通過拋物線與x軸的交點來表示。

四、課堂練習

（老師）接下來，我們來做一些練習題，鞏固一下今天學習的知識。

1.解一元二次方程x^2-6x+9=0。

2.根據函數f(x)=x^2+4x+4，找出函數的極值點和單調區間。

（學生）通過練習，我們掌握了如何解一元二次方程，以及如何分析函數的極值點和單調區間。

五、總結

（老師）今天我們學習了函數與方程的關系，掌握了一元二次方程的解法和函數圖像的基本性質。在今后的學習中，我們要注意以下幾點：

1.理解一元二次方程的解與函數圖像之間的關系。

2.學會運用配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程。

3.通過函數圖像來理解函數的性質。

（學生）好的，老師，我們明白了。在今后的學習中，我們會更加努力地掌握這些知識。六、學生學習效果學生學習效果主要體現在以下幾個方面：

1.**知識掌握程度**：

-學生能夠熟練掌握一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法。

-學生能夠理解并應用函數的定義域、值域和對應法則，區分不同類型的函數。

-學生能夠識別并繪制一次函數和二次函數的基本圖像，理解其幾何意義。

2.**技能提升**：

-學生在解決實際問題時，能夠運用函數與方程的知識，將實際問題轉化為數學模型。

-學生在分析函數性質時，能夠運用圖像和代數方法，提高邏輯推理和問題解決能力。

-學生在小組討論和合作學習中，能夠有效溝通，共同解決問題，提升團隊協作能力。

3.**思維發展**：

-學生通過探究活動，培養了抽象思維和空間想象能力，能夠從幾何圖形中抽象出數學關系。

-學生在解決復雜問題時，能夠運用歸納和演繹的方法，提高邏輯思維和批判性思維能力。

-學生在分析函數圖像和性質時，能夠從不同角度思考問題，發展多向思維。

4.**情感態度**：

-學生對數學學科的興趣和積極性得到提升，愿意主動探索數學問題。

-學生在面對挑戰時，能夠保持耐心和毅力，克服困難，增強自信心。

-學生在合作學習中，學會了尊重他人，理解團隊合作的重要性。

5.**評價與反思**：

-學生能夠對自己的學習過程進行評價，識別自己的優勢和不足，制定改進計劃。

-學生能夠反思學習經驗，總結有效的學習方法和策略，提高學習效率。

-學生在自我評價和同伴評價中，能夠接受反饋，調整學習態度和行為。七、重點題型整理1.**一元二次方程的解法**

例題：解一元二次方程x^2-4x-12=0。

解答：首先，嘗試因式分解法。尋找兩個數，它們的乘積等于-12，和等于-4。這兩個數是-6和2。因此，方程可以因式分解為(x-6)(x+2)=0。解得x1=6和x2=-2。

2.**函數圖像的繪制**

例題：繪制函數f(x)=x^2-4x+4的圖像。

解答：這是一個標準的二次函數，開口向上，頂點為(h,k)。首先，找到頂點，通過完成平方得到f(x)=(x-2)^2，所以頂點是(2,0)。然后，找到對稱軸x=2，畫出頂點，再找到與x軸的交點（解方程x^2-4x+4=0，得x=2），畫出圖像。

3.**函數性質的分析**

例題：分析函數f(x)=-x^2+4x+3的性質。

解答：這是一個開口向下的二次函數，首先找到頂點。通過完成平方得到f(x)=-(x-2)^2+7，頂點是(2,7)。對稱軸是x=2。函數在x=2處達到最大值7。因為開口向下，函數在頂點左側單調遞增，在頂點右側單調遞減。

4.**函數與方程的應用**

例題：一個物體的運動方程是s(t)=t^2-4t+4，其中s是時間t秒后的位移（單位：米）。求物體停止運動的時間。

解答：物體停止運動意味著位移s(t)=0。因此，解方程t^2-4t+4=0。通過因式分解得到(t-2)^2=0，解得t=2。所以，物體在2秒后停止運動。

5.**復合函數的求解**

例題：已知函數f(x)=2x+3和g(x)=x^2-1，求復合函數(f°g)(x)和(g°f)(x)。

解答：(f°g)(x)表示先應用g(x)，再應用f(x)。所以，(f°g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=2(x^2-1)+3=2x^2+1。同樣，(g°f)(x)=g(f(x))=g(2x+3)=(2x+3)^2-1=4x^2+12x+8。八、教學評價與反饋1.課堂表現：

-學生在課堂上的參與度較高，積極回答問題，對一元二次方程的解法和函數概念表現出濃厚的興趣。

-在繪制函數圖像和性質分析環節，大部分學生能夠準確找到函數的頂點和對稱軸，并能描述函數的單調性。

2.小組討論成果展示：

-在小組討論環節，學生能夠有效合作，共同解決問題，展示出良好的團隊協作能力。

-學生在討論中能夠提出不同的解題思路，并通過辯論和討論達成共識，提高了邏輯思維和表達能力。

3.隨堂測試：

-隨堂測試涵蓋了本節課的主要知識點，包括一元二次方程的解法、函數圖像的繪制和性質分析。

-測試結果顯示，大部分學生能夠正確解答測試題，對一元二次方程的解法和函數概念有了較深的理解。

4.學生自評與互評：

-學生在課后對自己的學習過程進行了自評，能夠認識到自己在學習中的優點和不足。

-同學之間進行了互評，能夠提出建設性的意見和建議，幫助彼此提高。

5.教師評價與反饋：

-針對課堂表現，教師對學生的積極參與和良好的學習態度給予了肯定。

-對于小組討論成果，教師鼓勵學生繼續保持團隊協作精神，提高問題解決能力。

-在隨堂測試中，教師對學生的掌握程度進行了評價，并對部分學生存在的疑惑進行了個別輔導。

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