高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何學(xué)案理

第七章立體幾何

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖

KEQIAN$HUANGJILUO$HIBliglElIfflj

過基礎(chǔ)知識

1.簡單幾何體

⑴多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

S您

圖形

ABAB

底面互相平行且相等多邊形互相平行

相交于一點,但不一定

側(cè)棱平行且相等延長線交于一點

相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

⑵旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

患

圖形

5JA

互相平行且相等，

母線相交于一點延長線交于一點

垂直于底面

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

⑴畫法：常用斜二測畫法.

⑵規(guī)則：

①原圖形中x軸、/軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x'軸、軸的夾角為45°（或135°）,

Z軸與X,軸和，軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于X軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長度不變,平行于尸軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

3.三視圖

⑴幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、

正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

說明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖.

（2）作、看三視圖的3原則

①位置原則：

正（:主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

②度量原則：長對正、高平齊、寬相等（即正俯同長、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬）.

③虛實原則：輪廓線——現(xiàn)則實、隱則虛.

??＞過基礎(chǔ)小題

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打或"x"）

⑴有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（）

⑵有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（）

（3）棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.（）

（4）夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.（）

⑸上下底面是兩個平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺.（）

答案：⑴x（2）X⑶M（4）X⑸x

2.用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是（）

解析：選B俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B.

3.若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面

邊長分別為（）

T

2

1

俯視圖

A.2,2乖B,2木,2

C.4,2D.2,4

解析：選D由三視圖可知，正三棱柱的高為2,底面正三角形的高為2小，故底面邊

長為4,故選D.

4.（教材習(xí)題改編）如圖，長方體ABCD-A'BCD被截去一部分，其中EHH

A'D',則剩下的幾何體是,截去的幾何體是

答案：五棱柱三棱柱

5.利用斜二測畫法得到的

①三角形的直觀圖一定是三角形；

②正方形的直觀圖一定是菱形；

③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；

④菱形的直觀圖一定是菱形.

以上結(jié)論正確的個數(shù)是.

解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯誤，是一般的平行四邊形；③錯誤，等腰

梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯誤，故結(jié)論正

確的個數(shù)為1.

答案：1

陶遨基畫1通通灘道班苗堵國酮圃

考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征基礎(chǔ)送分型考點——自主練透

［考什么,怎么考］

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)知識，很少單獨考查.多作為載體與三視圖、

表面積、體積等綜合考查，題型為選擇題或填空題，難度較低.

1.用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是（___

A.圓柱B.圓錐

C.球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體

解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體.

2.給出下列幾個命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正

多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似，

但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B①錯誤，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺

的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相

等.

3.給出下列命題：

①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；

②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；

③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

④存在每個面都是直角三角形的四面體.

其中正確命題的序號是.

解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊bc,

形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)［：,/初

面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)一二，J

棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體八B

ABCDABCD中的三棱錐Q-ABC,四個面都是直角三角形.

答案：②③④

［怎樣快解?準(zhǔn)解］

空間幾何體概念辨析題的常用方法

緊扣定義，由己知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系

定義法

或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定.

通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個結(jié)論是錯誤的，只要舉出一個反例

反例法

即可.

考點二空間幾何體的直觀圖基礎(chǔ)送分型考點——自主練透

［考什么?怎么考］

單獨考查空間幾何體的直觀圖的題目很少，多與三視圖、表面積、體積等綜合考查，題

型為選擇題或填空題，難度較低.

1.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個/，'

正方形，則原來的圖形是（）F7|

解析：選A由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為所以原圖

形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為久/1故選A.

2.已知正三角形/反7的邊長為2,那么△48。的直觀圖△?!'B'C的面積為

解析：如圖，圖①、圖②分別表示△力6C的實際圖形和直觀圖.

從圖②可知，A'F=AB=2,

A.

AO\BxA'o/aB，0

圖①圖②

1=丸亞亞

O'C=-OC=^-,dD'=O'dsin45°

224,

11\[G\[6

所以必"目V=y'g-dD'=2X2><4=4,

答案:半

3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊平行于7

軸，BC,40平行于x'軸.已知四邊形/6CD的面積為2scm2,則原

平面圖形的面積為cm-.

解析：依題意可知/以。=45°,則原平面圖形為直角梯形，上下底的長分別與8c

相等，高為梯形/6CD的高的2、「倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.

答案：8

［怎樣快解?準(zhǔn)解］

1.原圖形與直觀圖中的“三變”與“三不變”

坐標(biāo)軸的夾角改變

“三變，，

(1)與了軸平行的線段的長度改變減半

圖形改變

平行性不變

(2)“三不變”與X軸平行的線段長度不變

相對位置不變

2.原圖形與直觀圖面積的關(guān)系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系:

(1)S直觀圖S胤圖形;(2)S原圖形=2、/5S直觀圖.

考點三空間幾何體的三視圖題點多變型考點——追根溯源

空間幾何體的三視圖的辨析是高考的熱點內(nèi)容，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).

常見的命題角度有：

已知幾何體，識別三視圖；

已知三視圖，判斷幾何體；

已知幾何體的三視圖中的某兩個視圖，確定另一種視圖.

［題點全綜］

角度(一)已知幾何體，識別三視圖

1.(2018?河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖所示，在正方體ABCDA'BCD'中，E

為棱58的中點，用過點4,E,G的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視

圖為（）

ABCD

解析：選C如圖所示，過點/,E,G的截面為/EGE則剩余幾何體的側(cè)視圖為選

項C中的圖形.

［題型技法］識別三視圖的步驟

⑴弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

（2）根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；

⑶被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界

線；對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.

角度（二）已知三視圖，判斷幾何體

2.（2017?北京高考）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）

A.3yli

C.272

解析：選B在正方體中還原該四棱錐如圖所示,

從圖中易得最長的棱為

222

ACt=q、Ad+CCf=d+2~+2=2-\j3.

［題型技法］由三視圖確定幾何體的3步驟

熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是三視圖還原幾何體的基礎(chǔ)，在明確三視圖畫法規(guī)則的基

礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決此類問題:

定底面H根據(jù)俯視圖判斷出底面形狀

~~

定枝及側(cè)面一i根據(jù)正、■?視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征:

0］'

定形狀|"j注意三視圖中虛線和實線變化，確定幾何體形狀:

角度（三）已知幾何體三視圖中的某兩個視圖，確定另外一個視圖

3.如圖，一個三棱柱的正視圖和側(cè)視圖分別是矩形和正三角形，則這個三棱柱的俯視

圖為（）

正視圖側(cè)視圖

解析：選D由正視圖和側(cè)視圖可知，這是一個水平放置的正三棱柱.故選D.

［題型技法］

由幾何體的部分視圖畫出剩余視圖的方法

解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找

其剩下部分視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入檢驗.

［題“根”探求］

根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，常見的有以下幾類

三視圖的形狀對應(yīng)的幾何體

三個三角形三棱錐

兩個三角形，一個四邊形四棱錐

兩個三角形，一個圓圓徘

一個三角形，兩個四邊形三棱柱

三個四邊形四棱柱

兩個四邊形，一個圓圓柱

［沖關(guān)演練］

1.（2018-惠州調(diào)研）如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個三棱錐，得到圖②中的幾何

體，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）

解析：選B從幾何體的左側(cè)看，對角線4。在視線范圍內(nèi)，故畫為實線，右側(cè)面的棱

G尸不在視線范圍內(nèi)，故畫為虛線，且上端點位于幾何體上底面邊的中點.故選B

2.（2018?石家莊質(zhì)檢）一個三棱錐的正（主）視圖和俯視圖如圖所示，則該三

棱錐的側(cè)（左）視圖可能為（）

解析：選D由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面平面SCO,

故選D.

3.（2017?全國卷I）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視

圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等

腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積

之和為（）

A.10B.12

C.14D.16

解析：選B由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形

的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2,直

三棱柱的高為2,三棱錐的高為2,易知該多面體有2個面是梯形，這些梯形的面積之和為

X2=12,故選B.

品局。皂微灌縱KEHOUSAN魴EIYANLIAN

（一）普通高中適用作業(yè)

A級——基礎(chǔ)小題練熟練快

1.如圖，△/'Bd是利用斜二測畫法畫出的△45。的直觀圖，已

知BUy軸，O'B=4,且△46。的面積為16,過作/'C

lx軸，則4C的長為（）

A.2小B幣

C.164

解析：選A因為4UIIy軸，所以中，ABLOB.

又因為△480的面積為16,所以5月3,08=16.

因為08=0'B'=4,所以43=8,所以4R=4.

因為40Z于仁，所以*C=A'C,

所以4C=4-sin45°=2#,故選A.

2.一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）

解析：選B由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成.從上往下

看，外層輪廓線是一個矩形，矩形內(nèi)部是一條水平線段連接兩個三角形，故選B.

3.若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（）

俯視圖

解析：選D由三視圖知該幾何體的上半部分是一個三棱柱，下半部分是一個四棱柱.故

選D.

解析：選D由正視圖與俯視圖知，幾何體是一個三棱錐與半個圓錐的組合體，故側(cè)視

圖為D.

5.如圖，在正四棱柱/18CD乃中，點。是平面44G。內(nèi)

一點，則三棱錐尸-3CD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為（）

A.1：1B.2：1

C.2：3D.3：2

解析：選A根據(jù)題意，三棱錐P-8CD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面

邊長、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱

的高.故三棱錐P-8GD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1:1.

6.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3,則正視圖中的x的值是（）

俯視圖

9

A.2B-

3

D.3

解析：選D根據(jù)三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖如圖所示，則體

11+2

積V=]Xw-X2Xx=3,解得x=3,故選D.

7.設(shè)有以下四個命題：

①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；

②底面是矩形的平行六面體是長方體；

③直四棱柱是直平行六面體；

④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點.

其中真命題的序號是.

解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的

側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故

命題③是錯誤的；命題④由棱臺的定義知是正確的.

答案：①④

8.一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm,若兩底面圓心的連線長為12cm,

則這個圓臺的母線長為cm.

解析：如圖，過點力作/CLOS,交06于點C

在RtZsASC中，/C=12(cm),8c=8—3=5(cm).

AB=yj122+52=13(cm).

答案：13

9.已知正四棱錐J/LSCD中，底面面積為16,一條側(cè)棱的長為2/,則該棱錐的高

為________

解析：如圖，取正方形488的中心。，連接VO,AO,則■。就

是正四棱錐6co的高.

因為底面面積為16,所以

因為一條側(cè)棱長為2y/u.

所以VO=ylVA2-AO2=yl44-8=6.

所以正四棱錐匚八皮刀的高為6.

答案：6

10.已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在

該幾何體上任意選擇4個頂點，以這4個點為頂點的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；

②有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；③兩個面都是等腰直角三角形

的四面體.

正視圖側(cè)視圖

其中正確命題的序號是

解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖為如圖所示

的四棱柱48mA4Q。，當(dāng)選擇的4個點是同，B,C,G時，可知①正

確；當(dāng)選擇的4個點是8,A,5,C時，可知②正確；易知③不正確.

答案：①②力B

B級——中檔題目練通抓牢

1.用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該

幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是（）

03Fhn

解析：選C畫出直觀圖可知，共需要6塊.

2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視

圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）

解析：選B如圖所示，由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體是由長方體D,

AB

43s45QR截去三棱錐瓦-45G得到的，故其側(cè)視圖為選項B.

3.已知四棱錐的三視圖如圖所示，則四棱錐R/LBCD的四個側(cè)面中面積最大

的是（）

二

正視圖側(cè)視圖

z\i2

俯視圖

A.3B.24

C.6D.8

P

解析：選C四棱錐如圖所示，取的中點八BC的中點M,以

=94義小=2寸5,

連接門/,PN,則/W=/，PM=3,S*AD7…

rLMC

1

S/\PAB=S4PDC=~X2X3=3,

1

Sc=5X4X3=6.

所以四個側(cè)面中面積最大的是6.

4.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐

的四個面中，直角三角形的個數(shù)為________.

4K

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如/代1-一7

,利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部f，父

圖所示（圖中棱錐P-ABC）

是直角三角形.

答案：4

5.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m,一只小蟲從\

圓錐的底面圓上的點夕出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點〃處.若該小蟲爬行的最短路

程為4、5m,則圓錐底面圓的半徑等于m.

解析：把圓錐側(cè)面沿過點。的母線展開成如圖所示的扇形,

由題意OP=4,Pf=4^/3,

42+42-乖2,2.

則8S/Pa-2X4X4-=-2,所以NPOU-3.

2TC4

設(shè)底面圓的半徑為r,則2nr=—X4,所以r=~.

4

答案：7

6.已知正三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示.

V

心

-----1-----

正視圖側(cè)視圖

百

B

俯視圖

⑴畫出該三棱錐的直觀圖；

⑵求出側(cè)視圖的面積.

解：⑴直觀圖如圖所示.V

4

(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC=，

二側(cè)視圖中VA=

、/A(|X乎*2@=26

..VBC=]X2*^3X2y=6.

7.如圖，在四棱錐2482。中，底面為正方形,%與底面力88垂久、

它們是腰長為6cm的全等的等/iV\?

直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖,

腰直角三角形.

1\K

正視圖側(cè)視圖

⑴根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積;

⑵求PA.

解：⑴該四棱錐的俯視圖為（內(nèi)含對角線）邊長為6cm的正方形，如圖,

其面積為36cm2.

（2）由側(cè)視圖可求得PD=7叱+B=y]8+6』6幣.

由正視圖可知40=6,且

所以在改△力切中，

PA=y[p^+A^=7y（22+62=6^3cm.

C級——重難題目自主選做

1.（2018-泉州模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是

()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.圓弧B.拋物線的一部分

C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

解析：選D根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面

截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.

2.一只螞蟻從正方體4884瓦G。的頂點力出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，力——

按最短路線爬行到頂點G的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短AyY

爬行路線的正視圖的是（）V'Y

A/E視B

A.①②B.①③

C.③④D.②④

解析：選D由點/經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點G的位置，共有6種

路線（對應(yīng)6種不同的展開方式）.若把平面力844和平面8CG場展到同一個平面內(nèi)，連接

AC,,則71G是最短路線，且AC｝會經(jīng)過BB、的中點，此時對應(yīng)的正視圖為②;若把平面ABCD

和平面展到同一個平面內(nèi)，連接HG,則4G是最短路線，且/1G會經(jīng)過8的中

點，此時對應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn).故選D.

（二）重點高中適用作業(yè)

A級——保分題目巧做快做

1.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一

個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一

個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖，

圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖

可能是（）

解析：選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同

時，俯視圖為B,故選B.

2.已知點6F,G分別是正方體/188/1由GA的棱AA,CQ,

。。的中點，點M,N,Q,a分別在線段。產(chǎn)，AG,BE,上.以

M,N,Q,尸為頂點的三棱錐的俯視圖不可能是（）

解析：選C當(dāng)/與尸重合，N與G重合，Q與E重合，P與重合時，三棱錐P-MNQ

的俯視圖為A;當(dāng)M,N,Q,。是所在線段的中點時，三棱錐RMNQ的俯視圖為B;當(dāng)”,

N,Q,P位于所在線段的非端點位置時，存在三棱錐RMVQ,使其俯視圖為D.故選C.

3.已知一個三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角

形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（）

側(cè)視圖

解析：選C由已知條件得直觀圖如圖所示，PCJ_底面/8C,正視P

圖是直角三角形，中間的線是看不見的線K4形成的投影，應(yīng)為虛線，

故選C.

4.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，它的俯視圖的直觀圖是如圖2所示的矩形

G44G,其中。4=6,GG=2,則該幾何體的側(cè)面積為（）

解析：選C由題意可知該幾何體是一個直四棱柱，■.,它的俯視圖的直觀圖是矩形

01A=6,GG=2,

,它的俯視圖是邊長為6的菱形，???棱柱的高為4,

故該幾何體的側(cè)面積為4X6X4=96.

5.已知四棱錐R48CD的三視圖如圖所示，則四棱錐R/18CD的四個側(cè)面中面積最大

解析：選C四棱錐如圖所示，取40的中點N,8。的中點河，p

S&PBC=3^4X3=6.

所以四個側(cè)面中面積最大的是6.

6.一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm,若兩底面圓心的連線長為12cm,

則這個圓臺的母線長為cm.

解析：如圖，過點A作ACLOB,交08于點CXsQ?

在RtZ\A8C中，/C=12(cm),8c=8—3=5(cm)./12：i\

/lfi=^122+52=13(cm).

答案：13

7.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐

的四個面中，直角三角形的個數(shù)為.

解析：由題意可知，該幾何體是三棱錐，將其放置在長方體中形狀如

圖所示(圖中棱錐幺/16。，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部

是直角三角形.

答案：4

8.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m,一只小蟲從圓

錐的底面圓上的點。出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處.若該小蟲爬

行的最短路程為4#m,則圓錐底面圓的半徑等于.

解析：把圓錐側(cè)面沿過點。的母線展開成如圖所示的扇形,

由題意。。=4,PF>=4^/3,

鄧

42+42—12TC

則cosZPOP所以/尸=y

2X4X4

2n4

設(shè)底面圓的半徑為r,則2nr=}"X4,所以r=g.

4

答案：3

9.如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖.

⑴試判斷該幾何體是什么幾何體；

正視圖

(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積;

⑶求出該幾何體的體積.

俯視圖

解：⑴由題意可知該幾何體為正六棱錐.

(2)其側(cè)視圖如圖所示，其中48=47,4013a且8C的長是俯視圖A

中的正六邊形對邊的距離，即6c=/a,40的長是正六棱錐的高，即力。/

該平面圖形的面積

13

(3)F=-X6X2Z

10.已知正三棱錐O-/48C的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示.

俯視圖

⑴畫出該三棱錐的直觀圖；

(2)求出側(cè)視圖的面積.

解：⑴直觀圖如圖所示.

(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得6c=24,

側(cè)視圖中VA=

??VBC=QX2*\y3X—6.

B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做

1.（2018?邵陽模擬）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的六條棱中，長度最長的棱

的長是（）

A.24

解析：選C由三視圖可知該四面體的直觀圖如圖所示.e

其中AC=2,PA=2,XABC中，邊Z1C上的高為2^3,所以BC=

~73^=2^,AB=?~yfi2+22=4,而PB=yjPAz+ABi=

/了不=2、「，PC=y]PA2+A（?=2yl2,因此在四面體的六條棱中，長度最長的是8C,其

長為2、億選C.

2.（2018-泉州模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是

()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.圓弧B.拋物線的一部分

C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

解析：選D根據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面

截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.

3.一只螞蟻從正方體48Q45G〃的頂點/出發(fā)，經(jīng)正方體的表面,

按最短路線爬行到頂點G的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正

視圖的是（）

A.①②

C.③④D.②④

解析：選D由點/經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點G的位置，共有6種

路線（對應(yīng)6種不同的展開方式）.若把平面月8回4和平面8CG場展到同一個平面內(nèi)，連接

AC,,則AC,是最短路線，且AC,會經(jīng)過BBi的中點，此時對應(yīng)的正視圖為②;若把平面ABCD

和平面CDOG展到同一個平面內(nèi)，連接力G,則/G是最短路線，且4G會經(jīng)過的中

點，此時對應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn).故選D.

4.某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則燈的最大值為

側(cè)視圖

解析：由三視圖知三棱錐如圖所示,

底面/6C是直角三角形，ABLBC,

R41平面ABC,BC=2y[i,

ZV12+/=1O2,(2y[7)2+PA2=^,

因此x尸對1。2_區(qū)一干_

.______/+-R

=7128—必三-----------;----------=64,當(dāng)且僅當(dāng)/=128—幺，即x=8時取等號，因此

孫的最大值是64.

答案：64

5.如圖，在四棱錐P/8CD中，底面為正方形，％與底面/3CD垂直,

下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角

三角形.

正視圖側(cè)視圖

⑴根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積;

(2)求PA.

解：⑴該四棱錐的俯視圖為（內(nèi)含對角線）邊長為6cm的正方形，如圖,p(c)

其面積為36cm2.

⑵由側(cè)視圖可求得PD=yjpe+?>=^62+62=6^2.

由正視圖可知力。=6,且

所以在RtZU/也中，

PA=yjPD1+AE^='-^22+62=6^3cm.

6.四面體48co及其三視圖如圖所示平行于棱AD,8c的平面分別交四面體的棱

AB,BD,DC,C4于點E,F,G,H.

俯視圖

⑴求四面體/3CD的體積;

⑵證明：四邊形母GH是矩形.

解：⑴由題意，BDLDC,BDVAD,ADLDC,BD=DC=2,AD=\,,:BDCDC=

D,,平面

112

二四面體46CD的體積7=-X-X2X2Xl=-

⑵證明：:867/平面EFGH,平面EAGETl平面BDC=FG,又平面E%77n平面ABC

=EH,

：.BCIIFG,BCIIEH,

：.FGIiEH.

同理，EFUAD,HGHAD,

：.EFHHG,.,.四邊形哥是平行四邊形.

平面6￡>C,：.ADLBC,

：.EFLFG,：.四邊形是矩形.

過基礎(chǔ)如識

1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

原

側(cè)面展開圖像猛

凝/

側(cè)面積公式S跋柱側(cè)=2nrlS圓錐側(cè)=冗rlS圓臺側(cè)=n(r+r')1

2.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何

柱體（棱柱和圓

S表面積=S?ij+2S底V=Sh

柱）

錐體（棱錐和圓V=gsh

S表面積=Sftu+S底

錐）o

臺體（棱臺和圓

K=1(5i+5,.+V^57)/?

S表面積=S惻+S上+S下

臺）

4o

球S=4n-

3-----

??＞過基礎(chǔ)小題

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打或"X"）

⑴圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是

2nS.（）

⑵錐體的體積等于底面面積與高之積.（）

（3）臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.（）

（4）球的體積之比等于半徑之比的平方.（）

答案：⑴X⑵X（3），⑷X

2.一個球的表面積是16兀，那么這個球的體積為（）

1632

A.-71B-K

C.167tD.24?r