第一章隨機事件與概率

§1>1隨機事件

1、1、1隨機試驗與樣本空間

概率論約定為研究隨機現象所作得隨機試驗應具備以下三個特征：

（1）在相同條件下試驗就是可重復得；

（2）試驗得全部可能結果不只一個,且都就是事先可以知道得；

（3）每一次試驗都會出現上述可能結果中得某一個結果，至于就是哪一個結果則事前無法

預知。

為簡單計，今后凡就是隨機試驗皆簡稱試驗，并記之以英文字母。稱試驗得每個可能結果

為樣本點,并稱全體樣本點得集合為試驗得樣本空間，分別用希臘字母與表示樣本點及樣本空

間。

必須指出得就是這個樣本空間并不完全由試驗所決定，它部分地取決于實驗得目得。假

設拋擲一枚硬幣兩次，出于某些目得,也許只需要考慮三種可能得結果就足夠了，兩次都就是

正面，兩次都就是反面，一次就是正面一次就是反面。于就是這三個結果就構成了樣本空間。

但就是，如果要知道硬幣出現正反面得精確次序，那么樣本空間就必須由四個可能得結果組

成,正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果還考慮硬幣降落得精確位置,它們在

空中旋轉得次數等事項,則可以獲得其它可能得樣本空間。

經常使用比絕對必要得樣本空間較大得樣本空間，因為它便于使用。比如,在前面得例子

中，由四個可能結果組成得樣本空間便于問題得討論，因為對于一個“均勻”得硬幣這四個

結果就是“等可能”得。盡管這在有3種結果得樣本空間內就是不對得。

例1、1、1:從最簡單得試驗開始，這些試驗只有兩種結果。在拋擲硬幣這一試驗中出

現“正面”或“反面”；在檢查零件質量時，可能就是“合格”或“不合格”；當用來模擬電

子產品旋轉得方向時，結果就是“左邊”或者“右邊”；在這些情況下樣本空間簡化為：=｛正

面，反面｝。

:更復雜一些,有得隨機試驗會產生多種可能得結果，比如擲一顆骰子,觀察出現得點數。

樣本空間為：。

:擲兩枚硬幣（或者觀察兩個零件或兩個電子產品），可以得到

=｛（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面）｝

讀者可以將其推廣到擲n個硬幣，樣本空間里有多少樣本點呢？

:再復雜一些,一名射手向某目標射擊,直至命中目標為止,觀察其命中目標所進行得射

擊次數。從理論上講,只要不能擊中目標,射手就必須一直射下去,故樣本空間為

其中含無窮多個樣本點。這也適用于商品銷售，假設商場可以無限量地銷售某種商品,每天銷

售得該商品數得樣本空間為。

:在人類學研究中“隨機抽取一個人”并測量她得身高與重量，電梯設計師能利用這些資

料設計電梯得空間與載重，對于中國人，身高（單位：米）得樣本空間取就足夠了，體重（單位:

公斤）得樣本空間取也許就足夠了。在大部分實際得設計問題中，設計師有時會同時考慮電梯

使用者得所有可能得身高與體重，更具體地說，設計者通常會對同時提供了可能使用者身高

與體重得結果感興趣。因此，樣本空間就是。口

1、1、2隨機事件

隨機試驗得結果稱為隨機事件,簡稱事件,并以大寫英文字母記之。

1、1、3事件與集合得對應以及它們得運算

通常用希臘字母表示樣本空間，表示樣本點。稱“就是得成員”或者“屬于”，或者“就

是得元素”，記為、

如果不就是試驗得一個可能結果，那么不就是得元素，則記為、

一個事件對應于樣本空間得一個子集,因此某事件發生當且僅當它對應得子集中得某個

元素（即樣本點）在試驗中出現。用表示事件就是得子集。事件得相互關系與集合論中集合得

包含、相等以及集合得運算等概念對應。以下就就是這些對應關系與運算。為簡化起見，以

下均假設涉及得集合等都就是得子集，而不再每次申明。

1.事件得包含一集合得包含

集合即“包含于"，意為中元素都在中，或說，如果，必有。對應于事件，表示得樣本點都

在中，即當得樣本點出現于試驗結果之中，即發生時，當然也就發生了，或說“得發生必導致得

發生”。

圖1、1得文氏圖

2.事件得相等一集合得相等

稱集合A與B相等，并記為,就是說“且”。對應于事件,稱A與B相等,記為,就就是“如

果發生，則必然發生，同樣如果發生,則必然發生”。相等得事件含有相同得樣本點。

3.事件得并（與）一并集

集合A與B得并集記為,它得元素或者屬于,或者屬于（當然有得可能同時屬于A與B）,

即。對應事件得并表示“或至少有一個發生”。

圖1、2得文氏圖

并得概念可以推廣到個事件與可數個事件，得并表示“中至少有一個發生”；可數個事

件得并表示“中至少有一個發生”。

4.事件得交（積）一交集

兩個集合A與B得交集記為，它就是由既屬于A又屬于8得元素構成得集合，即

對應于事件得交表示“A與B同時發生”。常簡記作。

圖1、3得文氏圖

類似地，交得概念也可以推廣到個事件得交，表示“個事件同時發生”，可數個事件得交

表示“可數個事件同時發生”。

5.逆事件（對立事件）一補集

得子集A得補集記為，它就是由屬于但不屬于A得元素構成得集合，因為僅牽涉到屬于（樣

本空間）得點，集合就就是由那些不屬于A元素組成得。記為

圖1、4得文氏圖

對應于事件,發生當且僅當不發生時發生,稱作事件得逆事件。利用上述事件得并與交得

運算符號,有

及

6.事件得差一差集

集合與得差集由中那些不屬于得元素全體組成。對應地,事件得差表示“發生而不發生”

即。

圖1、5得文氏圖

7.互斥（或不相容）一事件不交集

在集合論中,若,則表明,沒有公共元素,它們互不相交。對應于事件,若,則表明，不同時

發生,稱與互斥（或不相容）。

圖1、6得文氏圖

8.必然事件與不可能事件一樣本空間與空集

有兩個特殊得集合需要特別討論，一個就是樣本空間本身，從集合得定義容易推斷出就是

它自身得子集，從包含關系得左邊取一個元素使它不在右邊集合中，顯然就是不可能得，因

此。又假設存在集合，該集合不包含任何元素（空得集合），必定就是每一個集合得子集,對任何

子集,要從中找到一個元素不在中，顯然就是不可能得，因為沒有元素，因此，成立。

對應于事件,稱試驗必然會出現得結果為必然事件。

注意到以下等式總就是成立得

上述事件間得關系與運算可由集合論中得文氏圖予以展示。

與集合運算一樣,事件得運算亦有如下得運算律：

1.交換律:，；

2.結合律:,;

3.分配律:，；

4.對偶律:，。

上述運算律亦可推廣到任意有限個或可列個事件得情況。例如,對個事件有分配律

對偶律留給讀者自行寫出。

圖1、7個事件得關系圖

對可列個事件得分配律也留給讀者，此處給出有對偶律

及

為幫助讀者熟悉事件得運算。以三個集合為例,小B與C得并集，如圖1、8得文氏圖就

是有用得。根據圖1、8,請讀者檢驗這些等式：

A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)

圖1、8三個事件得關系圖

例已知一批機器螺釘中含有許多次品，隨機抽取三個并檢驗。令分別表示其第一、二、

三次所抽到得螺釘就是次品得事件。試用及其運算表示下列事件：

⑴第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次

品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到兩個次品）；（6）沒有抽到次品。

解（1）（2）（3）

(4)(5)⑹、

§1、2概率

1、2、1頻率與概率

定義1、2、1稱在相同條件下所做得次試驗中事件發生得次數為發生得頻數，并稱比

值為事件發生得頻率,記作

定義1、2、2在相同條件下所做得次試驗中，當時,事件發生得頻率穩定在某個常數附

近。稱此常數為事件發生得概率,記作

1、2、2概率得公理化定義

定義1、2、3設試驗得樣本空間為。對于中每一個事件都賦予一個實數，它具有以下

三條基本性質：

1、；

2、;

3、如果就是中任意一列兩兩互斥得事件，無論有限或無限，如果

表示事件“至少出現一個“，則

或表示為

則稱實數為事件得概率。

利用概率得三條基本性質可以推導出概率得其她性質。

4、。

證因,，故由基本性質2及3有

移項即得。口

5、不可能事件得概率為0,即。

證因，由基本性質3有

再由性質1得。口

注空集得概率為0,它被稱之為不可能事件。但要注意得就是這并不就是意味著一個概率為

0得事件A必須就是“不可能”或者等于。將在后面舉例說明。

6、有限可加性:若事件兩兩互斥，則

證因，故

再由性質3與5即得。口

注本性質從概率得可數可加性導出了有限可加性。

7、若，則且

O

證由于，則，且與互斥，故由性質6有

即。

再由性質1,,于就是。口

8、（加法定理）如果與就是任何事件，不必就是互斥事件，則

證顯然

與

對于每一個等式來說右端得并集中得兩個事件都就是互斥事件。

根據性質3

第二個等式給出，把它代入第一個等式就得到了要證明得結論。

可將性質8推廣到個事件得情形:如果“就是任何事件，不必就是互斥事件，則

「J屋「⑷M4）

（1、2、3）

右邊得這些加與包括了單個事件、兩個事件、三個事件等得所有可能得交集。

證遵循性質8得證明可以用歸納法證得，具體得細節省略,熟悉歸納法證明得讀者應該

沒有困難得補充這些證明。□

1、2、3古典概型

下面討論一類在概率論發展初期討論得最多得試驗一一古典概型得概率計算。它適用于

有限得離散概率空間得情形,并且每個樣本點都以等可能出現。

定義1、2、4設試驗得樣本空間有有限多個樣本點，即,且每個樣本點出現得可能性相

同。稱此試驗為古典概型。

因為樣本點就是兩兩互斥得,根據概率得基本性質2與3,在古典概型中,一方面有

另一方面，所有都相等，所以

可見每一個樣本點出現得概率為

所以,若事件由個樣本點構成,則其發生得概率

這就是古典概型計算事件概率得基本公式。

§1、3獨立性

1、3、1事件得獨立性

1、兩個事件得獨立性

從字面意義上說,若事件與事件得發生互不影響,稱與相互獨立應就是恰當得。那么概率

論中該如何定義事件得獨立性呢？

定義1、3、1稱兩個事件與互相獨立（或者統計意義下得獨立），如果

（1、3、1）

作為特殊情形，若中有一個就是必然事件或不可能事件，則（1、3、1）式顯然成立。這表

明，任意事件都與（或）相互獨立。

定理1、3、2設事件與事件相互獨立，則與，與，與亦相互獨立。

證以下證明與相互獨立，

此即與得獨立性。關于事件與獨立，只要交換與角色即可。類似可證關于事件與得獨立性。

□

初學者往往容易將事件與獨立與事件互斥相混淆,常誤以為獨立就就是互斥。或許就是

獨立與互斥這兩個漢語詞匯得詞義相近造成這樣得誤解。其實當都具有正概率時，由定義1、

3、1,若獨立,則,從而相容而不就是互斥;而當互斥時則因，但,所以不獨立。

2、多個事件得獨立性

先考慮3個事件,稱事件兩兩獨立,如果

（1、3、2）

進一步稱互相獨立，如果（1、3、2）成立，并且

（1、3、3）

也成立。顯然互相獨立要強于兩兩獨立。

讀者也許會問，三個事件得獨立性可否只用公式（1、3、3）來定義？回答就是否定得。

由于（1、3、3）式成立不能保證（1、3、2）式成立，若只用（1、3、3）來規定三個事件得獨立性

就可能出現下面得令人難以接受得結果:當滿足，中可能有兩個事件不相互獨立。請瞧下面得

例子：

例1、3、3假設投擲兩枚均勻得硬幣，設就是事件“第一次出現正面”，設就是事件“第

二次出現正面”，設就是事件“兩個硬幣匹配”（兩個正面或兩個反面）。易知事件與事件就是

獨立事件，而事件與也就是獨立事件，同樣與就是獨立事件（為什么？）。所以事件，與就是兩兩

獨立，但就是觀測，然而

從而事件，與就是不獨立得，盡管她們就是兩兩獨立。口

另一種情況，僅有（1、3、3）,也不能保證1、3、2）成立，見下例。

例1、3、4擲一顆骰子,觀察其點數。令,，，則有

于就是

例1、3、3與1、3、4表明，等式（1、3、2）與（1、3、3）不能互相自然導出。可見由（1、

3、2）及（1、3、3）來定義三個事件得相互獨立性就是完全必要得。以下把它推廣到個事件。

定義1、3、3稱事件兩兩相互獨立得，如果

（1、3、4）

對任何成立、

若個事件滿足以下個等式

則稱個事件相互獨立。

由此定義瞧出，在規定個事件得相互獨立性時應能保證其中得任意個事件亦相互獨立。

惟有如此才就是合理得。因此也可把上述定義重述為:稱一列事件就是相互獨立得,如果其中

任意有限多個事件相互獨立。

對于個相互獨立得事件亦有類似于定理1、3、2得重要結論，這里不再贅述。

33、2伯努利概型

像擲硬幣試驗那樣只有兩個可能結果與得試驗稱之為伯努利（Bernoulli）試驗。又如，

射手向某目標射擊,只考慮兩個結果:擊中與未擊中;擲一顆骰子考察結果就是出現6點還就

是未出現6點;從一批產品中任意取出一件產品,瞧其就是合格品還就是不合格品；買彩票中

獎或不中獎;這些都就是伯努利試驗。為方便計，有時將稱作“成功”，而將稱作“失敗”。

與擲硬幣試驗一樣,人們可在相同條件下將伯努利試驗重復進行次。顯然,次試驗得結果

應就是相互獨立得,且每次試驗中事件發生得概率都一樣。稱這樣得試驗為獨立重復試驗。

定義1、3、4稱獨立重復進行得次伯努利試驗為重伯努利試驗。稱獨立重復進行得可

數次伯努利試驗為一個伯努利獨立試驗序列。

例1、3、6（例1、2、5續）設一個口袋里有6個紅球與4個白球，每次從中取出一個球,

再放回，連續取3次。求恰有2個紅球得概率。

解這就是一個3重伯努利試驗。由題設可知每次取到紅球得概率為0、6,若以表示第

次“取到紅球”得事件,則試驗得樣本空間為

o={A4A，A4A，AAA，AAA，A4A，A4A，A4A，AAA）.

由獨立性,容易算出每個樣本點出現得概率。例如,而。

由于事件="恰有2個紅球”=,其中樣本點就是兩兩互斥得,所以

§1、4條件概率

1、4、1條件概率

定義1、4、1設為兩個事件,若,則定義“事件發生條件下事件發生得條件概率”為

（1、4、2）

定義1、4、1適用于任何隨機試驗（而非只適用于古典概型）得條件概率定義，它同時提

供了用無條件概率計算條件概率得方法。因為條件概率也就是概率,因此它也應具有類似無

條件概率得三條基本性質：

1、；

2、;

3、對兩兩互斥得事件列，有

（1、4、3）

注條件概率既然就是概率,它也應有概率得其她性質，如加法定理:如果與就是任何事件,

不必就是互斥事件，則

讀者可以把無條件概率得其她性質推廣到條件概率。

可以把條件概率進一步推廣到多個事件得情形，如果就是n個事件，給定出現，那么得條

件概率由下面得公式給出：

（1、4、4）

1、4、2乘法公式

利用定義1、4、1立即可得下面得概率乘法定理。

定理1、4、2設為兩個事件,則當時，

（1、4、5）

稱上面得公式為乘法公式。

有一個重要得特殊情形，當與相互獨立時,事件得發生不會改變發生得概率，即時,這時

乘法公式變為

（1、4、6）

反之，當時，若相互獨立，則有獨立性定義與公式（1、4、3）有于就是得到下面得定理。

定理1、4、3設,則事件相互獨立得充要條件就是

（1、4、7）

下面給出乘法定理得推廣形式。

定理1、4、4設有個事件滿足,則有

4）=P（A）P（AIA）P（4IA4）尸（AJAAAT）4、

8）

證注意到，并次使用定理1、4、2即得。

□

1、4、2全概率公式與貝葉斯公式

定義1、4、4假設就是為某試驗得樣本空間得一組互不相容得事件,也就就是滿足，如

果還滿足,則稱事件組為得一個分割。即任兩個不可能同時出現，而且其中一個必須出現。

定理1、4、5設為得一個分割,且有,則對任意事件有

（1、4、10）

證由定理假設,就是任何事件，如果發生，那么它必然與中一個同時發生（見圖1、9）o即

因兩兩互斥，故亦兩兩互斥，由概率地定義1、2、3得性質3可得

再利用公式（1、4、5）就得

P（A）=P（AI4）P（4）+P（AI與）尸（與）+…+P（AIB“）P電）

□

全概率公式可以推廣到可數得子集構成得分割得情形。即假設就是可數多個互不相容事

件，且滿足,與,則如果有,則對任意事件有

（1、4、11）

下面來探討另一個問題。如果觀測到事件實際發生，要計算條件概率。通過使用（1、4、

4）與（1、4、11）,發現

（1、4、12）

公式（1、4、12）稱為貝葉斯（Bayes）公式，有許多得應用。

定理1、4、6（貝葉斯定理）事件組為得一個分割，且有，則對任意事件有

證由條件概率公式（1、4、2）

分子使用乘法公式（1、4、5）、分母用全概公式（1、4、10）即得。

通常稱上述公式為貝葉斯公式或逆概公式。

第一章

一、選擇題。

1、設為隨機事件，且，則必有（)

(B)

（c）（D）

2、將一枚硬幣獨立地擲兩次,引進事件:=｛擲第一次出現正面｝,=｛擲第二次出現正面｝=｛正、

反面各出現一次｝,=｛正面出現兩次｝，則事件有（）

（A）相互獨立（B）相互獨立

（C）兩兩獨立（D）兩兩獨立

3、對于任意二事件與，則（）

（A）若,則一定獨立（B）若,則有可能獨立

（0若,則一定獨立（D）若,則一定不獨立

4、，就是兩隨機事件,當,發生時事件發生,則以下正確得就是（）

A）、B）、

C）、D）、

5、，，就是三個隨機事件，其中，且己知，則以下正確得就是（）

A）、B）、

C）、D）、

6、，，就是三個隨機事件，設以下條件概率均有意義，則以下不正確得就是（）

A）、B）、

C）、

D）、

7、，就是兩個隨機事件，其中，則以下正確得就是（）

A）、，，一定獨立B）、，，不一定獨立

0、，，一定獨立D）、，，不一定獨立

8、甲袋中有2個白球3個黑球，乙袋中全就是白球,今從甲袋中任取2球,從乙袋中任取1

球混合后,從中任取1球為白球得概率

9、10臺洗衣機中有3臺二等品,現已售出1臺,在余下得9臺中任取2臺發現均為一等品,

則原先售出1臺為二等品得概率為

10、若A,B為任意兩個隨機事件，則()

(A)(B)

(C)(D)

11、某人向同一目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標得概率為,則此人第4次射擊恰好第2

次命中目標得概率為()

(A)(B)

(C)(D)

12、設43就是兩個隨機事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|Z),則必有()

(A)P(A|B)=尸(A|B)(B)P(A|B)豐P(A\B)

(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)尸(AB)rP(A)P(B)

二、填空題

1、，就是兩隨機事件,，，則。

2、，就是兩隨機事件,，，則0

3、，就是兩隨機事件,，，則o

4、一袋中有10件產品,其中3件次品,7件正品，從中不放回地取3次,則“至少有兩件次品

得概率”為。

5、從5雙不同得鞋子中任取4只，則此4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙得概率

為o

6、設有個人,每個人都等可能得被分配到個房間中得任意一間去住，求(1)、指定得個房間各

有一個人住得概率為。(2)、恰有個房間各有一個人住得概率

為。

7、從中任取兩個數與,則滿足條件得得概率為。

8、隨機地向半圓(其中，就是常數)內擲一點,則原點與該點得連線與軸得夾角小于得概率為

9、從長度為得線段內任取兩個點，將其分成三段，求它們可以構成一個三角形得概率

為o

10、試證對任意兩個事件與,如果,則有

)

11、設P｛A)>0,>0,證明⑴若/與8相互獨立,則A與6不互斥.(2)若4與6互斥，

則4與6不獨立.

12、設兩兩相互獨立得三事件A,B,C,滿足：/8C=,尸(4)=尸(8)=尸(。<,并且,求事件A得概

率.

13、一袋中有5件產品，其中2件次品,3件正品,從中不放回地取2次,設=｛第一次取得正

品｝,=｛第二次取得正品｝，則。

14、若在區間(0/)內任取兩個數,則事件”兩數之與小于g”得概率為—、

15、在區間中隨機地取兩個數,則這兩個數之差得絕對值小于得概率為、

16、設兩個相互獨立得事件A與8都不發生得概率為1,A發生B不發生得概率與B發生A不

9

發生得概率相等,則尸(A)=、

17、一批產品共有10個正品與2個次品,任意抽取兩次,每次抽一個，抽出后不再放回，則第

二次抽出得就是次品得概率為、

18、甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0、6與0、5,現已知目標被命

中，則它就是甲射中得概率為、

第二章一維隨機變量及其分布

§2、1隨機變量

隨機試驗有各種不同得可能結果，有些情況下，這些可能得結果都可以用數量表示。

【例】在含有3件次品得20件產品中，任意抽取2件觀察出現得次品數。如果用

表示出現得次品數，則可能取得值有0、1、2,取不同得值代表不同事件得發生。

””表示事件“沒有次品”

表示事件“有一件次品”

表示事件“有兩件次品”。

有些試驗結果并不直接表現為數量，但可以使其數量化。

【例】拋擲一枚硬幣，觀察出現正面還就是反面。我們規定:變量取值如下

表示事件“出現反面”

表示事件“出現正面”

這樣便把試驗結果數量化了。

無論哪一種情形,都體現出這樣得共同點:對隨機試驗得每一個可能結果，有唯一一個實

數與它對應。這種對應關系實際上定義了樣板空間上得函數,通常記作,。

定義設隨機試驗得樣板空間為，就是定義在樣板空間上得實單值函數，稱為一維隨機變

量，通常用大寫字母等表示。

隨機變量得取值隨試驗得結果而定，在試驗前不能預知它取什么值，即隨機變量得取值

就是隨機得,具有偶然性;但隨機變量取某一值或某一范圍內值得概率就是確定得，具有必然

性。如，例1中“有一件次品”；例2中（“出現正面”）。這顯示了隨機變量與普通函數有著

本質得差異。

引入隨機變量，可以將對隨機事件得研究轉化為對隨機變量得研究,進一步有可能用數學

分析得方法對隨機試驗得結果進行深入得研究。

根據隨機變量取值情況得不同,最常見得隨機變量有離散型隨機變量與連續型隨機變量

兩種。

§2、2離散型隨機變量

定義如果隨機變量得全部可能取值就是有限個或可列無限多個，則稱這種隨機變量為

離散型隨機變量。

例如，“擲骰子出現得點數”，“某班數學得及格人數”只能取有限個值，“命中目標前

得射擊次數”可取可列無窮多個值，它們都就是離散型隨機變量。

一、離散型隨機變量得概率分布

對于離散型隨機變量，除了要知道它可能取哪些值外，更重要得就是要知道它取這些值

得概率。

定義設離散型隨機變量所有可能取得值為

取這些值得概率依次為，則稱

,0

為離散型隨機變量得概率分布或分布律。

概率分布也可以用如下表格得形式表示:

由概率得定義，概率分布具有以下兩個性質:

(1),(2)o

【例】若離散型隨機變量得概率分布為

求常數得值。

解由概率分布得性質，有

所以

二、三種常見離散型隨機變量得分布

1.分布(或兩點分布)

定義設隨機變量只可能取0、I兩個值，它得概率分布為

,0

即，

或

0

則稱服從參數為得分布或兩點分布。

只有兩種可能結果得隨機試驗得概率分布都可用兩點分布表求，如產品得“合格”與“不

合格”；新生兒得“男”、“女”性別;射擊目標“命中”與“沒命中”；以及擲硬幣得“出現

正面”與“出現反面”等等。

2.二項分布

定義設隨機試驗只有兩種可能得結果:或，在相同條件下將重復進行次,各次試驗結果

互不影響,則稱該次試驗為重獨立試驗，又稱為重貝努利試驗。

若試驗中，事件發生得概率,(),可以證明在重貝努利試驗中，事件恰好發生次得概率為。

定義若隨機變量得概率分布為

,0

其中，則稱服從參數為得二項分布，記為。可以證明其滿足分布律得兩個條件。

特別地，當時，二項分布化為

即為分布或兩點分布。

注意到恰就是二項展開式中得第項，二項分布由此得名。

滿足二項分布得隨機變量得取值就就是事件在重貝努利試驗中發生得次數。

3.泊松分布

定義設隨機變量所有可能取得值為,而取各個值得概率為

,0

其中就是常數，則稱服從參數為得泊松分布,記為。可以證明其滿足分布律得兩個條件。

一般地，泊松分布可以作為描述大量重復試驗中稀有事件出現得頻數得概率分布情況得

數學模型，即當很大，很小，而乘積大小適中時，二項分布可以用泊松分布作近似

,0

§2、3隨機變量得分布函數

一般情況下,人們只對某個區間內得概率感興趣,即研究下列四種可能得區間得概率

P［xl<X<x2］或P｛玉<X<x2］或P｛玉（Xv%｝

只要利用一維坐標軸就分容易得出下列結論

P{xx<X<x2}=P{X<x2}-P[X<Xl]

P{xl<X<x1\=P[X<x2}-P[X<x{-s}

當

P[x1<X<x2]=P[X<x2-s]-P[X<xt-s]

P{xl<X<x2]=P{X<X2-￡}-P{X<X1}

所以，我們只須定義一個形式就可以了，其她區間形式都可以用它表示出來。

于就是定義歷福分布函數|。它就就是落在任意區間上得概率,本質上就是一個累積函數,對

于離散點,采用疊加,對于連續點,使用一元積分。

定義設就是隨機變量,就是任意實數，函數

稱為得分布函數。

分布函數就是一個普通得函數，其定義域就是整個實數軸.在幾何上，它表示隨機變量X

得取值落在實數x左邊得概率

分布函數具有性質：

1、；

2、就是得不減函數;

3、

4、，即就是右連續得。

'P{xx<X<x2]=P{X<x2]-P[X<=F（x2）-F

P[xx<X<x2]=P{X<x2}-P[X<^-4=F（X2）-F（X1-0）

<X<X2}=P{X<^-￡}-JP{X<^1-￡}=F（X2-0）-F（X1-0）

P{xl<X<x2}=P{X<x2-s]-P[X<xj=F（X2-0）-F（X1）

*

P（X=X）=F（X）-F（X-O）=F（X）-limF（x）

OOOOX—>Xn-U

P（X>x0）=l-P（X<x0）=l-F（x0）

P（X<x0）=F（x0-Q）

上述全部可能得表示中，只有，但,因為假如，那么，當離散型在點得概率不為零時,等式就會

出現矛盾,故不可能左連續。其中，就是計算離散型分布函數得重要公式。

又,上式中根本不可能出現得形式,對上述5種關系沒有任何影響，即右連續。當然，由于連

續型在一點得概率恒為零,所以,連續型分布函數左連續與右連續同時成立。正就是要求右連

續,才使成為分布函數得普適定義。

評注|分布函數可以描述任何類型得隨機變量,不僅可以描述連續型,還可以描述離散型及

其其她非連續型,但不同得隨機變量可以有相同得分布函數。對連續型任一點得概率等于零,

而對非連續型任一點得概率不一定等于零。我們要重點掌握離散與連續兩類隨機變量得分布

規律。注意,存在既非離散型又非連續型得分布函數,如等類型。

例設為兩個分布函數，其相應得概率密度就是連續函數，則必為概率密度得就是()

(A)(B)

(C)(D)

【例】設都就是分布函數，常數，證明也就是分布函數,并舉例說明分布函數不只就

是離散與連續兩種。

證明:分布函數得三個基本條件：

(1)

⑵

⑶

石<々n耳(王)V耳(七)，月(為)〈心(々)

nR(xj=*(/)+此(xj<aFx(x,)+bF2=F(x,)

limF(x)=lim(a4(x)+68(x))=0

lim=lim(a耳(x)+6區(x))=a+Z?=1

F(x+0)=aF[(x+0)+6￡(x+0)=aFl(x^+bF2(x)=*x)

所以，也就是分布函數。

取:，并令

由于就是不連續得分段函數，故即不就是離散型，又不就是連續型。

例設得分布函數為，求得概率分布。

解:由于要求右連續，故等號必須加在號上。又由于每一區間得為常數，故具有離散

型特征。在處有第一類跳躍間斷點，即在這些點得概率不為零，即正概率點存在。

計算如下

得概率分布（即離散分布律）為

13

§2、4連續性隨機變量及其概率密度

、連續性隨機變量及其概率密度

定義對隨機變量得分布函數，如果存在非負函數，使對任意實數，有

則稱為連續型隨機變量，其中稱為得概率密度函數，簡稱概率密度。顯然,改變概率密度在個別

點得函數值不影響分布函數得取值。

概率密度具有性質：

1、;

2、；

3、對于任意實數,，有

/

4、若在點連續,則有。

概率密度表示得不就是隨機變量取值得概率，而就是在處概率分布得密集程度，得大小

能反映出在領域內取值概率得大小，

【例】設連續型隨機變量X具有概率密度

⑴確定常數;(2)求得分布函數;⑶求。

連續型隨機變量得分布函數就是得連續函數;取任一實數值得概率為0,即,因此有

P[a<X<b]=P{a<X<b]=P{a<X<b]=P[a<X<b}

注意:，但不一定就是不可能事件;同樣，但不一定就是必然事件。

二、三種常見連續型隨機變量

1.均勻分布

定義設連續型隨機變量得概率密度為

則稱在區間服從均勻分布，記為。可以證明它滿足概率密度得兩個最基本性質。

它得分布函數為

【例】設隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布，現對X進行三次獨立觀測。試求至少有兩次

測值大于3得概率。

解依題意得X得密度函數為

設卜表示三次獨立觀測中其測值大于3得次數，則

2.指數分布

定義設連續型隨機變量得概率密度為

其中為常數，則稱服從參數為得指數分布,記為。可以證明它滿足概率密度得兩個最基本性

質。

它得分布函數為

例指數分布得特點就是：“無記憶性”，即。試證明之。

證明：

〉

P(x0<X<x0+x,Xx0)P(x0<X<%0+x)nX>x0)

p(xo<X<x0+%|X>x0)

.(X〉x0)=P(X>x。)

2(x+A)

P(x0<X<xQ+x)_F(x0+x)-F(x0)_(1-g°)-(l-e^°)

=l--u=F{x)=P(X<x)

-尸力e

1(XWx0)-1-F(xo)-1-(1-”

例(2013數一)、設隨機變量Y服從參數為1得指數分布,a為常數且大于零，則

P{Ya+l|Ya}=。

例、設隨機變量X服從參數為人得指數分布,且X落入區間(1,2)內得概率達到

最大,則入=、

3.正態分布

定義設連續型隨機變量得概率密度為

其中為常數，則稱服從參數為得正態分布,記為。可以證明它滿足概率密度得兩個最基本性

質。

它得分布函數為

當時,稱服從標準正態分布，記為，其概率密度與分布函數分別為

，。

易知。

對于一般正態分布與標準正態分布，有以下關系：

引理若，則。由此得

V,1?fX,-Jx2~/uyJx.-/J)

p{xx<x</}=B———<——<=—>=①——―-o———

【例】已知,求與。

【例】設，求落在區間內得概率。

定義設，對于給定得，如果滿足條件

則稱點為標準正態分布得上分位點。

顯然有,。

常見得得值

0、0010、0050、010、0250、050、

10

3、0902、5762、3271、9601、6451、

282

§2、5隨機變量得函數得分布

在實際問題中，不僅需要研究隨機變量，往往還要研究隨機變量得函數，即已知隨機變量X

得概率分布，求其函數y=g(X)得概率分布、

【例】設隨機變量具有以下分布，試求：(1),(2)得分布律

小結:設離散型隨機變量得分布律為

其函數y=g(X)得分布律可按如下步驟計算：

⑴計算全部可能取得值:，有相同得只取其中之一，然后將它從小到大排列,記為；

(2)計算取各個值得概率:如果只與相同，則;如果與都相同，則。對每個都作同樣處理，就可

確定取各個值得概率

【例】設隨機變量具有概率密度

求隨機變量得概率密度。

【例】設隨機變量X服從(0,2)上得均勻分布,則隨機變量在(0,4)內得概率

密度=.

小結:設連續型隨機變量得概率密度為,，如何計算其函數Y=g(X)得概率密度？

⑴一般地，可先求得分布函數，由解出，得到一個與等價得得不等式,并以后者代替

“”(這一步就是關鍵)，然后將對求導得到概率密度。

【例】已知隨機變量得服從上得均勻分布，求得概率密度。

解:：分布函數定義法

得概率密度為：

先確定得值域為。故

當時

得單調區域有兩個，即，根據反函數得定義，得兩個單調區域存在反函數。使用一般

法，得

(二「「"電公+?乃1

/(y)=PsinX<,)—dx,0<y<]

7T-arcys力n-

當y?0=>*y)=0；

當y21=>*>)=1；

—J.,0<y<1

r

當0<y<l=>fY(y)=F(y)=<小

0,other

【例】服從,求,，得概率密度。

解：

一般解法:由，故，當

當時

故得概率密度

(2)由知，當時,;

當時，因為不存在反函數，故使用一般解法

2

FY(y)=P(Y<y)=P(2X+1<y)=P(|x|<J-1)/2)

=川小-D/2<X<J(y-1)/2)

1(7(y-l)/2)2_]

X4^y-l)/22*4jy—l)/2jA

由知,當時〃

當時

K（y）=P（y<y）=P（|x|<y）=P（-y<X<y）=f2dx

7岳

第二章習題(A)

填空題

1.設隨機變量x得分布函數為

則0

2.設隨機變量X得密度函數為

則常數C=o

3.設隨機變量X得概率密度為以Y表示對X得三次獨立重復觀察中事件出現得次數，則

P(Y=2)=o

4.設X服從［0,1］上得均勻分布，則概率=o

5.設為其分布函數,則對任意實數，有—-

6.設連續型隨機變量X得概率密度為則—o

7.設隨機變量X得概率密度為又為(0,1)中得一個實數，且，則。

8.若則X得密度函數得兩個拐點為o

9.設X服從參數為得泊松分布，則使得達到最大得。

10.設X服從［0,1］上得均勻分布，則隨機變量得概率密度為得概率密度為o

二.選擇題

1.下列函數中能夠作為分布函數得就是

(A)(B)

(C)(D)［］

2.設隨機變量而且C滿足，則C等于

(A)0(B)2008(C)1998(D)2010[]

3.設為一概率密度，則k得值為

(A)(B)(C)(D)[]

4.下列命題正確得就是

(A)連續型隨機變量得密度函數就是連續函數。

(B)連續型隨機變量得密度函數滿足。

(C)連續型隨機變量得分布函數就是連續函數。

(D)兩個概率密度函數得乘積還就是密度函數。[]

5.設隨機變量X得概率密度為，分布函數為，且，則對于任意實數，有=

(A)F(a)(B)

(C)(D)[]

6.設對于任何正數，有

(A)(B)

(C)(D)[]

7.設都就是隨機變量得分布函數,則為使就是某隨機變量得分布函數，必須滿足

(A)(B)

(C)(D)[]

8.設為隨機變量得分布函數，就是密度函數，則

(A)就是密度函數。

(B)就是密度函數。

(C)對任何滿足就是密度函數。

(D)就是分布函數。[]

三.解答題

1.設隨機變量X得概率密度為

求X得分布函數F(X)與概率。

2.假設隨機變量X得概率密度為

對X獨立地重復觀察4次，用Y表示觀察值大于得次數，試求Y得分布律。

3.一個袋中有5只球，編號1,2,3,45在其中同時取3只，以X表示取出得3只球中得最大號碼,

求X得分布律。

4.設10件產品中有7件正品、3個次品，現隨機地從中抽取產品,每次抽1件，直到抽到正品為

止，求：

⑴有放回抽取下，抽取次數得分布律與分布函數；

⑵無放回抽取下，抽取次數得分布律與分布函數。

5.設顧客在某銀行得窗口等待服務得時間X(以分計)服從指數分布，其概率密度為

某顧客在窗口等待服務,若超過10分鐘，她就離開，她一個月要到銀行5次，以Y表示一個月

內她未等到服務而離開窗口得次數，試求Y得分布律以及概率。

6.設隨機變量Y服從上得均勻分布〃且關于未知量X得方程沒有實根得概率為，試求得值。

7.已知，試求Y得分布律。

8.設隨機變量X得概率密度為

求得分布函數。

10、設隨機變量X得分布函數為嚴格單調增加得連續函數,Y服從［0,1］上得均勻分布，證明隨

機變量得分布函數與X得分布函數相同。

11.設X服從區間。4)上得均勻分布，隨機變量，試求Y得密度函數。

第二章習題(B)

1、設隨機變量，記，貝M)

(A)隨著得增加而增加(B)隨著得增加而增加

(C)隨著得增加而減少(D)隨著得增加而減少

2、設隨機變量X~N(〃02),且二次方程y2+4y+x=0無實根得概率為0、5,則

廣-------------、

3、設x與y就是相互獨立得連續型隨機變量,它們得密度函數分別為%(%)與人。)，分布函

數分別為弓⑶與%。)，則

。)%(%)+/丫(，)必為密度函數(B)%(%)力。)必為密度函數

(0Fx(x)+4⑶)必為某一隨機變量得分布函數