第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

教學(xué)目的：學(xué)習(xí)并掌握關(guān)于多元函數(shù)的區(qū)域、極限以及多元函數(shù)概念，掌握多元

函數(shù)的連續(xù)性定理，能夠判斷多元函數(shù)的連續(xù)性，能夠求出連續(xù)函數(shù)

在連續(xù)點(diǎn)的極限.

教學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)概念和極限，多元函數(shù)的連續(xù)性定理.

教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算多元函數(shù)的極限.

教學(xué)內(nèi)容：

一、平面點(diǎn)集n維空間

討論?元函數(shù)時(shí)，經(jīng)常用到鄰域和區(qū)間的概念.由于討論多元函數(shù)的需要，我們首先把

鄰域和區(qū)間概念加以推廣，同時(shí)還要涉及其它一些概念.

1.平面點(diǎn)集

設(shè)Po（%,打）是my平面上的一個(gè)點(diǎn)，6是某一正數(shù).與點(diǎn)Po（/，%）距離小于6的點(diǎn)

P（x,y）的全體，稱為點(diǎn)入的6鄰域，記為U（Po，b）,即

。（幾,/={7附。|<一,

也就是

U（痣》）={（x,y）|J（X-X（））2+（」一%）~<b}.

在幾何上，°（耳,力就是wy平面以上點(diǎn)〃0（%,打）為中心、6>0為半徑的圓的內(nèi)

部的點(diǎn)p*，y）的全體.

設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn).如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U（P）uE,

則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)（畫圖8T顯示）.顯然，E的內(nèi)點(diǎn)屬于E.

如果E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集.例如，點(diǎn)集瓦={（x，W+y2<4}中每個(gè)

點(diǎn)都是Ei的內(nèi)點(diǎn)，因此為開集.

如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)（點(diǎn)尸本身可以屬于E,

也可以不屬于E）,則稱尸為E的邊界點(diǎn)（可畫圖8-2顯示）.E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的

邊界.例如上例中，E,的邊界是圓周i+y2=1和/+>12=4.

設(shè)D是開集.如果對(duì)于D內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于D,

則稱開集D是連通的.

連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.例如，｛（%）中+>>*及心'琲<x2+y2<4｝都是

區(qū)域.

開區(qū)域連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域，例如

｛（x,y）|x+y》o｝及｛（x,y）|iw/+Vw4｝

都是閉區(qū)域.

對(duì)于點(diǎn)集E,如果存在正數(shù)K,使一切點(diǎn)PwE與某一定點(diǎn)A間的距離|AP|不超過K,

即

|4P|Wk,對(duì)一切PwE成立，

則稱E為有界點(diǎn)集，否則稱為無界點(diǎn)集.例如，｛（x，y）Ilw_+>'2<4｝是有界閉區(qū)域，

｛（x,y）|x+y>（）｝是無界開區(qū)域

2.〃維空間

我們知道,數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而實(shí)數(shù)全體表示數(shù)軸上一切點(diǎn)的集合,

即直線.在平面上引入直角坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)與二元數(shù)組（%）’）一一對(duì)應(yīng)，從而二元數(shù)組

*，y）全體表示平面上一切點(diǎn)的集合，即平面.在空間引入直角坐標(biāo)系后，空間的點(diǎn)與三元數(shù)

組（x,y,z）一—對(duì)應(yīng)，從而三元數(shù)組（x,y,z）全體表示空間一切點(diǎn)的集合，即空間.一

般地，設(shè)〃為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱〃元數(shù)組（的，々,…,4）的全體為〃維空間，而

每個(gè)〃元數(shù)組（占，々，…，貓）稱為n維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)Xi稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo).n維空

間記為Rn.

n維空間中兩點(diǎn)，/，…,％）及。（一,七，…，/）間的距離規(guī)定為

\PQ\=/（乃一X|）2+（），2—二）2+?,,+（%】一%）2

容易驗(yàn)知，當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，由上式便得解析幾何中關(guān)于直線（數(shù)軸），平面，空間內(nèi)兩點(diǎn)

的距離.

二、多元函數(shù)概念

在很多自然現(xiàn)象以及實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到多個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，舉例如下：

例8-1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高人之間具有關(guān)系

V=m'h

這里，當(dāng)r、力在集合{(「'')卜內(nèi)取定一對(duì)值(一，〃)時(shí)，V的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.

例8-2一定量的理想氣體的壓強(qiáng)。、體積V和絕對(duì)溫度7之間具有關(guān)系

RT

P=~V~,

例8-3設(shè)R是電阻與、尺2并聯(lián)后的總電阻，山電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系

&+&

定義8-1-5設(shè)E是〃維空間R"的非空子集，若存在對(duì)應(yīng)關(guān)系/,對(duì)E中任意點(diǎn)

P(X1,X2,---,X?)GDf按照對(duì)應(yīng)關(guān)系了,對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)yeR,則稱對(duì)應(yīng)關(guān)系/是定義在

E上的〃元函數(shù)，表示為：

f-ETR

點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的數(shù)y稱為函數(shù)/在點(diǎn)p的函數(shù)值，表示為：

y=/(P)

或y=/(X1,x2,--?,%?)

數(shù)集E稱為函數(shù)/的定義域，函數(shù)值的集合稱為函數(shù)/的值域，表示為

/(E)={y|y=/(P),PeE}uR

〃元函數(shù)有〃個(gè)自變數(shù)x”聲,…,x"，當(dāng)給定一個(gè)函數(shù)，沒有特別指明它的定義域，就

認(rèn)為它的定義域是使該函數(shù)有意義的點(diǎn)的集合，一般可由函數(shù)解析式確定.

與一元函數(shù)相同，我們約定將〃元函數(shù)/：ETR,表示為

y=f(P)

或y=/(%!，x2,-?■%?)

根據(jù)多元函數(shù)的概念，不難看出8-1,8-2,8-3都是多元函數(shù)，二元和二元以上的函數(shù)

統(tǒng)稱為

多元函數(shù).

例8-4求函數(shù)Z=ln(x+y)的定義域.

解函數(shù)z=ln(x+y)的定義域是{(X+>)卜+y>°},它是位于直線x+y=°上方

的平面，不含直線彳+>=°(圖8-5),是一個(gè)無界開區(qū)域.

例8-5求函數(shù)z=arcsin（x?+/）的定義域?yàn)?/p>

解函數(shù)z=arcsin（F+>2）的定義域?yàn)椋▁+y）,、/<1｝

（圖8-6）,這是個(gè)閉區(qū)域.

設(shè)函數(shù)z=/*,y）的定」?任意取定的點(diǎn)尸（x，y）￡,困數(shù)值為

圖8-5圖8-6

z=/（x,y）.這樣，以X為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)、z=/（x,y）為豎名僅'"一,回網(wǎng)確定一點(diǎn)

/（了,》*）.當(dāng)（匕》）遍取。上的一切點(diǎn)時(shí)，得到一個(gè)空間點(diǎn)集

｛（x,y,z）\z=f（x,y）,（x,y）&。｝,

這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)％=/*,>）的圖形.通常我們也說二元函數(shù)的圖形是?張曲面.

三、多元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似，如果在「（兒田7痣（%。4。）的過程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

/*，y）無限接近一個(gè)確定的常數(shù)A,我們就說A是函數(shù)'lx。，y-?y。時(shí)的極限.下面

用“￡-6”語(yǔ)言描述這個(gè)極限概念.

定義設(shè)函數(shù)/（x，y）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）。內(nèi)有定義，々）（x。，〉。）是。的內(nèi)點(diǎn)或

邊界點(diǎn).如果對(duì)于任意給定的正數(shù)￡，總存在正數(shù)6,使得對(duì)于適合不等式

O<|P綜1=4-/尸+⑶-%）？<3的一切點(diǎn)p0,y）e0,都有l(wèi)〃x，y）一川<￡成

立，則稱常數(shù)A為函數(shù)/a，y）當(dāng)xfX。，時(shí)的極限，記作

lim/（x,y）=A

XTXQ,

或f（x,y）->A（『-?O）,這里夕=仍闈

為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限.

/(x,y)=(x2+y2)sinh工

例8-6設(shè)％+y(/+)2H0).

lim/(x,y)=O

x->0

證明

2222122

U+>~)sin2-0=|(x+y)lsin22<x+y

證因?yàn)閤+yjr+y-可見,

對(duì)任給￡>o,取6=正，則當(dāng)o<J*-。）.+（y-o）2時(shí),總有

(x2+y2)sin—~7一。<￡

x+y成立

lim/(x,y)=O

所以XTXO

注：所謂二重極限存在，是指P*，y）以任何方式趨于尸。a，）'）時(shí)，函數(shù)都無限接近于

A.因此，如果尸*,y）以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于"a，）'）時(shí)，即

使函數(shù)無限接近于某?確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)的極限存在.但是反過來，如果當(dāng)

P（x,y）以不同方式趨于與a，y）時(shí),函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不

存在.卜一面用例子來說明這種情形.

盯x2+y20,

f(x,y)=<X2+y2

0,x2+y2=o,

顯然，當(dāng)點(diǎn)P（x，y）沿X軸趨于點(diǎn)（0,0）時(shí)，蚓"/°）=颼°=°；又當(dāng)點(diǎn)P（x,y）

/nn\lim/（O,y）=limO=0

沿y軸趨于點(diǎn)（°，°）時(shí)，t.'-0

雖然點(diǎn)P（x，）‘）以上述兩種特殊方式（沿X軸或沿y軸）趨于原點(diǎn)時(shí)函數(shù)的極限存在并且

hmf（x,y）

相等，但是并不存在.這是因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P（x，y）沿著直線>'=kx趨于點(diǎn)（0,0）

xykx2k

lim—5―=~r=htn-----=--------7

T.%+yx-

忖，有產(chǎn)so/+k，y\+k-,

顯然它是隨著人的值的不同而改變的.

四.多元函數(shù)的連續(xù)性

有了多元函數(shù)極限的概念，就不難說明多元函數(shù)的連續(xù)性.

定義設(shè)函數(shù)/a，〉,）在開區(qū)域（閉區(qū)域）。內(nèi)有定義，慮a。，〉。）是。的內(nèi)點(diǎn)或邊界

點(diǎn)且與e如果

limf（x,y）=f（x,y）

XTX。00

）fo,

則稱函數(shù)/（*，y）在點(diǎn)連續(xù).

定義如果函數(shù)/a，、）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）。內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么就稱函數(shù)

/a,y）在。內(nèi)連續(xù)，或者稱/（%y）是。內(nèi)的連續(xù)函數(shù).

以上關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性概念，可相應(yīng)地推廣到〃元函數(shù)/（尸）上去.

若函數(shù)/a,y）在點(diǎn)外（xo，）'o）不連續(xù)，則稱po為函數(shù)的間斷點(diǎn).這里順便指

出：如果在開區(qū)域（或閉區(qū)域）。內(nèi)某些孤立點(diǎn)，或者沿D內(nèi)某些曲線，函數(shù)/（羽丁）沒

有定義，但在。內(nèi)其余部分都有定義,那么這些孤立點(diǎn)或這些曲線上的點(diǎn)，都是函數(shù)/a，田

的不連續(xù)點(diǎn)，即間斷點(diǎn).

與閉區(qū)域上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì).

性質(zhì)1（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域。上的多元連續(xù)函數(shù)，在。上一定有

最大值和最小值.這就是說，在。上至少有一點(diǎn)々及一點(diǎn)打，使得/（片）為最大值而/（鳥）

為最小值，即刻于一切PWD,有

性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域。上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在。上取得兩個(gè)不同的

函數(shù)值，則它在。上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次.特殊地，如果〃是函數(shù)在。

上的最小值〃2和最大值M之間的一個(gè)數(shù)，則在。上至少有一點(diǎn)°,使得/（Q）=4.

一元函數(shù)中關(guān)于極限的運(yùn)算法則，對(duì)于多元函數(shù)仍然適用：根據(jù)極限運(yùn)算法則，可以

證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積均為連續(xù)函數(shù)；在分母不為零處，連續(xù)函數(shù)的商是連續(xù)函數(shù).

多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù).

與-元的初等函數(shù)相類似，多元初等函數(shù)是可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)，而這個(gè)

式子是由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的（這里指

出，基本初等函數(shù)是一元函數(shù)，在構(gòu)成多元初等函數(shù)時(shí)，它必須與多元函數(shù)復(fù)合）.例如，

x+x2-y2

1+x2-

是兩個(gè)多項(xiàng)式之商，它是多元初等函數(shù).又例如sin（x+y）是由基本初等函數(shù)sin〃與多項(xiàng)式

〃=復(fù)合而成的，它也是多元初等函數(shù).

根據(jù)上面指出的連續(xù)函數(shù)的和、差、枳、商的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的復(fù)合的連續(xù)性,

再考慮到多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)的連續(xù)性，我們進(jìn)一步可以得出如下結(jié)論：

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域

或閉區(qū)域.

由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn)入處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)

域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即

hmf（P）=f（P0）

PT%.

lim蟲

例8-7求盯.

解函數(shù)孫是初等函數(shù)，它的定義域?yàn)椤?{5，）'）卜,°廣,°}.

因。不是連通的，故。不是區(qū)域.但A={（"，y）卜＞°，、＞0}是區(qū)域，且Ru°,所以。

是函數(shù)/（x，y）的一個(gè)定義區(qū)域.因玲（l，2）e2,故

limx+2=/（12）=1

同盯2

如果這里不引進(jìn)區(qū)域DI,也可用下述方法判定函數(shù)/（X，）,）在點(diǎn)鳥（1，2）處是連續(xù)的：

因「。是/（x,y）的定義域。的內(nèi)點(diǎn)，故存在尸o的某一鄰域U（痣）u°,而任何鄰域都是區(qū)

域，所以°（玲）是了（兒田的一個(gè)定義區(qū)域，又由于/&，乃是初等函數(shù)，因此/*，田在

點(diǎn)處連續(xù).

一般地,求如H"P）,如果/（P）是初等函數(shù),且乙是"P）的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則/（「）

在點(diǎn)尸。處連續(xù)，于是既

lim恒壬1

.XT。XV

例8-8求.1。7.

ry/xy+1-1xy+1-1..1i

lim----------hm----:----hm/=——I

解，孫=―xyQxy+1+1）=-Jx），+1+1=5

小名圣本節(jié)在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)的基本概念.討論中我們以二元函數(shù)為主，

針對(duì)二元函數(shù)的極限及連續(xù)予以重點(diǎn)介紹.從二元函數(shù)到二元以上的多元函數(shù)則可

以類推.

第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的：學(xué)習(xí)偏導(dǎo)數(shù)的定義，學(xué)會(huì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和多階偏導(dǎo)數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)的定義，判斷二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的存在性，計(jì)算二元、多元函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)。

教學(xué)難點(diǎn)：判斷二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的存在性，計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

教學(xué)內(nèi)容：

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義

在研究一元函數(shù)時(shí)，我們從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)概念.對(duì)于多元函數(shù)同樣需要

討論它的變化率.但多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，因變量與自變量的關(guān)系要比一元函數(shù)復(fù)雜

得多.在這一節(jié)里，我們首先考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的變化率.以二元函數(shù)

z=/(x,y)為例，如果只有自變量X變化，而自變量y固定(即看作常量)，這時(shí)它就是X

的一元函數(shù)，這函數(shù)對(duì)X的導(dǎo)數(shù)，就稱為二元函數(shù)Z對(duì)于X的偏導(dǎo)數(shù)，即有如下定義：

定義設(shè)函數(shù)Z=f(》，田在點(diǎn)(/，>。)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)丫固定在〉。而工在％0

處有增量以時(shí).，相應(yīng)地函數(shù)有增量

f(x0+A.r,y0)-/(x0,y0)5

/Oo+Ar,)'o)—/(x。，〉。)

,elimT

如果-TOAr(1)

存在，則稱此極限為函數(shù)z=/(x,y)在點(diǎn)(X。，%)處對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)，記作

?df

dxHxx="Z』x=xo\

y=>'o,>->o,,.y=yo或Jx/o/

例如，極限(1)可以表示為

，/、，.f(x0+/^x,y0)-f(x0,y0)

(x,Vo)=lim7

f八x0zo2。Ax.(2)

類似地，函數(shù)z=/(x，y)在點(diǎn)(x°，孔)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為

f(x0,y0+^y)-f(x0,y0)

lim;

△)TOAy(3)

.df

記作方寂，力/，”」款或了,（》。，》。）

如果函數(shù)z=/a，y）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)a，y）處對(duì)刀的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)

數(shù)就是小y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=/a，y）對(duì)自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作

dzdf

dx,dx,J或'Ey）

類似地，可以定義函數(shù)z=/（x，y）對(duì)自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作

dy,辦，，Zy或fy（x,y）

由偏導(dǎo)數(shù)的概念可知，/（X，＞）在點(diǎn)處對(duì)（X。，＞0）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)￡（/，孔）顯然就是

偏導(dǎo)函數(shù)工（兀內(nèi)在點(diǎn)a。，y。）處的函數(shù)值；Aa。，?。）就是偏導(dǎo)函數(shù)人（x,y）在點(diǎn)

（%）,打）處的函數(shù)值.就象一元函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一樣，以后在不至于混淆的地方也把偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)

稱為偏導(dǎo)數(shù).

至于實(shí)際求z=/（x,y）的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在

或

變動(dòng)，另個(gè)自變量是看作固定的，所以仍就是一元函數(shù)的微分法問題.求ax時(shí)，只要把）

笠

暫時(shí)看作常量而對(duì)工求導(dǎo)數(shù)：求辦,時(shí)，則只要把工暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù).

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可以推廣到二元以上的函數(shù).例如三元函數(shù)M=/（x,y,z）在點(diǎn)（sy,z）

處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為

,z、「/（x+Ar,y,z）-/（x,y,z）

A（x,y,z）=h0m-----------7------------

其中（羽居名）是函數(shù)M=/*，y，z）的定義域的內(nèi)點(diǎn).它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分

法問題.

例8-9求7=/+3盯+〉2在點(diǎn)（］,2）處的偏導(dǎo)數(shù).

解把）'看作常量，得

—=2x+3y

dx

把龍看作常量，得

dz

—=3x+2y

dy

將（1,2）代入上面的結(jié)果，就得

%：：；=2?1+3-2=8

dx',

例8-10求名=$足2y的偏導(dǎo)數(shù).

手隗=2尤sin2y爭(zhēng)*2x?cos2y

解dxly-2,dy1

例8-11設(shè)Z=xv（x>0,xHl）,求證：

Xdz1dzn

一二一3"=2Z

y*+inxoy

—=yx^1半=x）Inx

證因?yàn)?,dy,

Xdz1azXy-l1

yyy

一」---丁一yx------xInx=x+x=2z

所以ydx+Inx=y+Inx

例8-12求-=J-+/+z2的偏導(dǎo)數(shù).

解把丫和Z都看作常量，得

dr-x

d^c^ylx2+y2+Z2=7

由于所給函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性，所以

力ya-z

力=r,次=r.

孔:;=3J+2.2=7

dyr

二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

二元函數(shù)/*，月在點(diǎn)a。，％）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)有明顯的幾何意義：設(shè)

陰0（%,九J（Xo，y（）））為曲面z=/（x,y）上的一點(diǎn)，過Mo作平面y=y°,截此曲面得一

d（xI

曲線，此曲線在平面y=%上的方程為2=/（*，>。），則導(dǎo)數(shù)公E°,即偏導(dǎo)數(shù)

/（X。，先人就是這曲線在點(diǎn)M。處的切線/。工對(duì)x軸的斜率（見圖8-6）.同樣，偏導(dǎo)數(shù)

人（%,汽）的幾何意義是曲面被平面x=/所截得的曲線在點(diǎn)M。處的切線M。7；對(duì)了軸

的斜率.

我們已經(jīng)知道，如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù).但對(duì)于多元函數(shù)

來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只

能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于用時(shí)，函數(shù)值，（P）趨于/（入入但不能保證點(diǎn)P

按任何方式趨于穌時(shí).，函數(shù)值/（P）都趨于/（%）.例如，函數(shù)

孫+y2H0,

Z=〃X,y)=</+y2

0,x2+y2=0,

在點(diǎn)(0,0)對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù)為

i-/(0+Ax,0)-/(0,0)_

￡,(0,0)=hm--------;-----------=0

AATOZk￥

同樣有

,r/(O,O+Ay)-/(O,O)

/v(0,0)=hm--------T-----------=0

Av—。Ay

但是我們?cè)诘谝还?jié)中已經(jīng)知道這函數(shù)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù).

三、高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)Z=/（X，）'）在區(qū)域。內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

生=/1（x,y）i|=/vUo1）

ox,,

那么在D內(nèi)＜（x，y）、都是3，y的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱

它們是函數(shù)z=/a，y）的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):

=f￡x,y)

a〔aJ=次2一x,））,方〔aJ=去辦

加⑶=獷=—'）

=fv1（x，y）

8x1力)=dydx

其中第二、三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階、以及”階偏導(dǎo)數(shù).

二階及階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).

d2zMza'd3z

例8-13設(shè)Z=X、2-3盯3一盯+1,求去2、辦世、力為、力2及dx3

dzdz

解dx=3x2y2-3y3dy=2x3y-9xy2-x.

a%

Q=6xF,dydx=6x2y-9y2-1.

d2z

dxdy=6x2y-9y2-1dy2-18x2—18xy.

d3Z

dx3=6y

a2z也

我們看到上例中兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即力派=這不是偶然的.事實(shí)上，我

們有下述定理.

d2Zd2z

定理如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)dydx及派小，在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那

么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.

換句話說，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān).這定理的證明從略.

對(duì)于二元以上的函數(shù)，我們也可以類似地定義高階偏導(dǎo)數(shù).而且高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)

數(shù)連續(xù)的條件下也與求導(dǎo)的次序無關(guān).

例8-14驗(yàn)證函數(shù)Z=In次+y2滿足方程

32Z

dx2+砂2=o.

=Injx2+y2=—\n(x24-y2)

因?yàn)?/p>

證Z2,

x也y

浪=/+22

所以y,dy=x+/,

22

d2z(￡1+y2)-x-2xyT

定=(，+打=(X2+y2)2

a2z，+y2)_y.2y

a/=(犬+),2)2傘+打

因此

d2z耍y2-x2/-y2

3%2+^y2=修+#2+G+小。

Tzaz

定理如果函數(shù)z=/0，＞）的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)力a及dxdy在區(qū)域口內(nèi)連續(xù)，

那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.

換句話說，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān).這定理的證明從略.

對(duì)于二元以上的函數(shù)，我們也可以類似地定義高階偏導(dǎo)數(shù).而且高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)

數(shù)連續(xù)的條件下也與求導(dǎo)的次序無關(guān).

例8-15驗(yàn)證函數(shù)？=InJ,+V滿足方程

d2zMz

7

瓦+獷=0.

dzxdzy

所以dx=x2+y2,力=/+)[

cc22

2

3z(x+y")-x-2xy-x

必=(x，+y2)2=(/+>2)2,

d2Z(x2+y2)-y-2yF

力2=(x2+y2)2=(x2+y2)2

因此Q+方2=(x2+yJ+8+/2丫R

小結(jié)：本節(jié)在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，討論多元函數(shù)(以二元函數(shù)為重點(diǎn))

偏導(dǎo)數(shù)的定義及存在條件和求法，這是多元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ).

第三節(jié)全微分

教學(xué)目的：學(xué)習(xí)和掌握多元函數(shù)（以二元函數(shù)為主）全微分的定義，掌握二元函

數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系，會(huì)求多元函數(shù)的全微分。

教學(xué)重點(diǎn)：可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系，多元函數(shù)的全微分。

教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算多元函數(shù)的全微分。

教學(xué)內(nèi)容：

一、全微分的定義

定義設(shè)函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)（%,%）的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)（/，兒）的全

增量

&=/（X。+M%+Ay）-f（x0,%）

可表示為

Az=AAr+BAy+o（p）,

其中A、B不依力賴于?、△）’而僅與X。、比有關(guān)，P=J（由尸+（由尸，則稱函數(shù)

z=/&,y）在點(diǎn)（/，先）可微分，而AAx+BAy稱為函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)（/，＞o）的全微

分，記作dz,即dz=A\x+B\y

如果函數(shù)在區(qū)域。內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那末稱這函數(shù)在。內(nèi)可微分.

在第二節(jié)中曾指出，多元函數(shù)在某點(diǎn)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)即使都存在，卻不能保證函數(shù)在該點(diǎn)

連續(xù).但是，由上述定義可知，如果函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)10，比）可微分，那末函數(shù)在該點(diǎn)

必定連續(xù).事實(shí)上，這時(shí)由（2）式可得

設(shè)函數(shù)Z=/（x,y）在點(diǎn)（X。，汽）的某一鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)（X。+&,%+△）’）為這鄰

域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差/（X。+八"，＞。+△）'）一/（X。，先）為函數(shù)在點(diǎn)

（Xo，X））對(duì)應(yīng)于自變量增量Ar、△）'的全增量，即

&=/（/+Ax,y0+Ay）-/（x0,y0）

2.可微分的條件

定理（可微的必要條件）若函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)（/，%）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)

次,

（X。，了。）的偏導(dǎo)數(shù)去、力必定存在，且函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)（/，孔）的全微分為

dz運(yùn)

dz=dxAx+力△）：

證設(shè)函數(shù)z=/*，y）在點(diǎn)a。，、。）可微分.于是，對(duì)于點(diǎn)a。，%）的某個(gè)鄰域的任意」

點(diǎn)（X。+&，%+△》），（2）式總成立.特別當(dāng)勺"。時(shí)（2）式也應(yīng)成立，這時(shí)夕

所以（2）式成為

f（x+Ax,y）-f（x,j）=A-Ax+o（|zlrI）.

上式兩邊各除以心,再令八丫~0而取極限，就得

f(x+^x,y)-f(x,y)

Alm0Ar=A,

dz.

從而偏導(dǎo)數(shù)Hx存在，且等于A.同樣可證力=8.所以（3）式成立.證畢.

我們知道，一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件.但對(duì)于多元函數(shù)來

dz.

說，情形就不同了.當(dāng)函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，雖然能形式地寫出獲Ar+力△）',但它

與4之差并不一定是較P高階的無窮小，因此它不一定是函數(shù)的全微分.換句話說，各偏導(dǎo)

數(shù)的存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.例如，函數(shù)

z=/（x,y）=10,廠+）廣=0

在點(diǎn)（0,0）處有6（0,0）=0及亦（0,0）=0,所以

Ay

△z-[啟0,0）?Ar+亦（0,0）?Ay]=7（^）2+（AJ）2,

如果考慮點(diǎn)（%+必汽+山）沿著直線y=%趨于（°，°）,則

Ar.Ay

J（Ax『+（Ay）2AxAy1

2222

p=（Ar）+（A>-）=（Ax）+（Ar）=2,

它不能隨0而趨于0,這表示°忖，

Az-[A0,0）-Ax+/v（0,0）Ay]

并不是較P高階的無窮小，因此函數(shù)在點(diǎn)（°，°）處的全微分并不存在，即函數(shù)在點(diǎn)尸（°，。）處

是不可微分的.

由定理1及這個(gè)例子可知，偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件而不是充分條件.但是，如

果再假定函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可以證明函數(shù)是可微分的，即有下面定理.

及.

定理（可微的充分條件）如果函數(shù)1=/（兀、）的偏導(dǎo)數(shù)溫、在點(diǎn)（％,打）連

續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.

證因?yàn)槲覀冎幌抻谟懻撛谀骋粎^(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)（對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)也如此），所以假定

偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（X。，）'。）連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思（以后凡說到

偏導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)均應(yīng)如此理解）.設(shè)點(diǎn)（“。+&：，凡+&'）為這鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，考察函

數(shù)的全增量

&=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)

="(x+Ax,y+Ay)-f(x,y+Ay)]+[f(x,y+Ay)-/(x,y)]

在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，由于>+與不變，因而可以看作是》的一元函數(shù)

/(x,y+Ay)的增量于是，應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到

Az=f(x+y+Ay)-f(x,y+

=fx{x+Ax,y+Ay)(0<6<1)

又假設(shè)，亦(%y)在點(diǎn)尸。,》)連續(xù)，所以上式可寫為

/(x+Ar,y+Ay)-f(x,y+Ay)

J(x,y)Ax+￡&,(4)

其中8為?、的函數(shù)，且當(dāng)加-?0,Ayio時(shí)，

同理可證第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可寫為

/(x,y+Ay)-f(x,y)=fy(x,y)Ay+￡2邱，(5)

其中心為△)'的函數(shù)，且當(dāng)△)'一°時(shí)，￡270.

由(4)、(5)式可見，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量可以表示為

△z=亦(x,y)Ax+fy(x,y)Ay+&Ax+￡2Ay.(6)

容易看出

與Ax+JAy

|P曰曰1+|￡2|,

它是隨著以f°，△)'70即夕10而趨于零.

這就證明了％=/(%y)在點(diǎn)P*,y)是可微分的.

以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及微分的必要條件和充分條件，可以完全類似的推廣

到三元和三元以上的多元函數(shù).

習(xí)慣上，我們將自變量的增量以、△)'分別記作dx、dy,并分別稱為自變量X、y的

微分.這樣，函數(shù)z=/(x,y)的全微分就可以寫為

dz.

dz=dxdx+dydy⑺

22

例8-15計(jì)算函數(shù)Z=x+尸的全微分.

次運(yùn)

解因?yàn)镠x=2q，dy=/+2y,

所以dz=2xydx+(x+2y)dy.

例8-16計(jì)算函數(shù)Z=在點(diǎn)(2,1)處的全微分.

dz.

xy

解因?yàn)閐x=ye,?=xexy

dz.

Hx|x=2=e~,力卜=2=2e),

所以改=%%x+2e2d)尸

u=x+sin』+e"

例8-17計(jì)算函數(shù)2的全微分.

3M加1y加

解因?yàn)?=1,力=22+ze>z,

1y

所以du=dx+(22'dz.

小結(jié)：本節(jié)討論了多元函數(shù)(以二元函數(shù)為重點(diǎn))全微分的定義及存在條件和

求法

第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

教學(xué)目的：掌握多元函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握全微分形式不

變性

教學(xué)重點(diǎn)：針對(duì)多元函數(shù)的表達(dá)狀態(tài)(參數(shù)方程、復(fù)合函數(shù))，能夠求其導(dǎo)函數(shù).

教學(xué)難點(diǎn)：抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

教學(xué)內(nèi)容：

多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)是多元函數(shù)微分學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.本屆就是要把一元函

數(shù)微分學(xué)中的求導(dǎo)法則推廣到多元函數(shù)中去.

1、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形

定理如果函數(shù)〃=帆)及v=叭t)都在點(diǎn)，可導(dǎo)，函數(shù)Z=/("#)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)("#)具有連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=/SQ)，"(f)］在點(diǎn)f可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：

dzdzdudzdv

dt=dudt+3vdt.(1)

證設(shè)f獲得增量這時(shí)"=°(。、P=+")的對(duì)應(yīng)增量為△”、△口,由此，函數(shù)

z=/("#)對(duì)應(yīng)地獲得增量Az.根據(jù)假定，函數(shù)z=/("#)在點(diǎn)(“#)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

于是由第三節(jié)公式(6)有

dzdz

Az=duA〃+dv△u+與△〃+△〃+￡24匕

這里，當(dāng)A〃一＞0,Au—＞0時(shí)，與一＞0,J-。,

將上式兩邊各除以得

M3z△〃及AvAv

Az=加Ar+dvAr+e\Ar+與A,.

AwduAvdv

因?yàn)楫?dāng)△/一＞0時(shí)，△〃-()，Av-^O,AtT出，X—dt,所以

「AzHzdudzdv

11m---------------

ATOAf=oudt+dvdt

這就證明了復(fù)合函數(shù)z=/S(f)，U(。]在點(diǎn)f可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式⑴計(jì)算.證畢.

用同樣的方法，可把定理推廣到復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個(gè)的情形.例如，設(shè)

z=/("#,w),“=。。)、V="(f),w=0(r)復(fù)合而得復(fù)合函數(shù)

則在與定理相類似的條件下，這復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)f可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算

dzdzdudzdvdzdd_

dt=dudt+dvdt+Gsdt.⑵

dz

在公式⑴及(2)中的導(dǎo)數(shù)帚稱為全導(dǎo)數(shù).

2.中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形

上述定理還可推廣到中間變量不是?元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形.

定理設(shè)z=/("，y),"=o(x，y),u=-(x，y)復(fù)合而得復(fù)合函數(shù)

z=f[(/＞(x,y),^(x,y)],(3)

如果"=0(x,y)及v=叭x,y)都在點(diǎn)(x,y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=/("，v)在

對(duì)應(yīng)點(diǎn)("#)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)G)在點(diǎn)a，y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列

公式計(jì)算：

HzHz加Hzdv

dx=dudx+dvdx9(4)

dz女電Hz如

力=協(xié)辦+加力.（5）

3z

事實(shí)上，這里求ax時(shí)，將y看作常量，因此中間變量〃及丫仍可看作一元函數(shù)而應(yīng)用

上述定理.但由于復(fù)合函數(shù)（3）以及"=O（x，y）和v=-（x,y）都X、y是的二元函數(shù)，所

以應(yīng)把⑴式中的d改為。，在把f換成X,這樣便由⑴得到（4）式.同理由⑴式可得到（5）

式.

類似地，設(shè)〃=。（羽y）、V=叭x,y）及w=o（x,y）都在點(diǎn)（x,y）具有對(duì)x及對(duì)V的偏

導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=/（"#，卬）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（〃/，卬）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

z=/S（x,y）,-（x,y）,a（x,y）],

在點(diǎn)（匕田的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且可用下列公式計(jì)算：

dzdzdudzdvdzdw

dx=Oudx+dvdx+dwdx,（6）

Hz次加次加dz川

力=du6+3v力+Hw辦.⑺

如果z=/（〃/,w）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而〃=O（x,y）具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

z=/S（x,y）,x,y],（8）

可看作上述情形中當(dāng)y=x,卬二了的特殊情形，因此

5=avv

a^r=0,

37加

￥

=0ay=1,

從而復(fù)合函數(shù)3）具有對(duì)自變量x及y的偏導(dǎo)數(shù)，且由公式（6）及（7）得