專題22圖形的相似（31題）

一、單選題

1．（2024·重慶·中考真題）若兩個相似三角形的相似比為1:4，則這兩個三角形面積的比是（）

A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16

2．（2024·四川內江·中考真題）已知ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1:3，則ABC與△A1B1C1的周長

比為（）

A．1:1B．1:3C．1:6D．1:9

3．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E,F是邊BC上兩點，且BEEFFC，連接

DE,AF,DE與AF相交于點G，連接BG．若AB4，BC6，則sinGBF的值為（）

1031012

A．B．C．D．

101033

4．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案．若OA1，則OG（）

125512564323

A．B．C．D．

64642727

5．（2024·四川德陽·中考真題）一次折紙實踐活動中，小王同學準備了一張邊長為4（單位：dm）的正方

形紙片ABCD，他在邊AB和AD上分別取點E和點M，使AEBE,AM1，又在線段MD上任取一點N

（點N可與端點重合），再將EAN沿NE所在直線折疊得到△EA1N，隨后連接DA1．小王同學通過多次實

踐得到以下結論：

①當點N在線段MD上運動時，點A1在以E為圓心的圓弧上運動；

②當DA1達到最大值時，A1到直線AD的距離達到最大；

③DA1的最小值為252；

④DA1達到最小值時，MN55．

你認為小王同學得到的結論正確的個數是（）

A．1B．2C．3D．4

6．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AF平分BAC，將矩形沿直線EF折疊，使點A，

B分別落在邊AD、BC上的點A，B處，EF，AF分別交AC于點G，H．若GH2，HC8，則BF的

長為（）

20220353

A．B．C．D．5

992

k

7．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，ABAC，反比例函數yk0的圖象經

x

AN

過點A、B及AC的中點M，BC∥x軸，AB與y軸交于點N．則的值為（）

AB

1112

A．B．C．D．

3455

二、填空題

8．（2024·遼寧·中考真題）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O，且AOB與△DOC的面積比是1:4，

若AB6，則CD的長為．

9．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，ABC中，ABAC,BAC90，AD是ABC的角平分線．

（1）以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點E，F．

（2）以點A為圓心，BE長為半徑畫弧，交AC于點G．

（3）以點G為圓心，EF長為半徑畫弧，與（2）中所畫的弧相交于點H．

（4）畫射線AH．

（5）以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交射線AH于點M．

（6）連接MC，MB，MB分別交AC，AD于點N，P．

根據以上信息，下面五個結論中正確的是．（只填序號）

AM3

①BDCD；②ABM15；③APNANP；④；⑤MC2MNMB．

AD2

10．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線分別交邊AB、CD于點

E、F．若AD8，BE10，則tanABD．

11．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長

是．

12．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在ABC中，AC2，AB3，直線CM∥AB，E是BC上的動點

（端點除外），射線AE交CM于點D．在射線AE上取一點P，使得AP2ED，作PQ∥AB，交射線AC

于點Q．設AQx，PQy．當xy時，CD；在點E運動的過程中，y關于x的函數表達式

為．

13．（2024·安徽·中考真題）如圖，現有正方形紙片ABCD，點E，F分別在邊AB,BC上，沿垂直于EF的

直線折疊得到折痕MN，點B，C分別落在正方形所在平面內的點B，C處，然后還原．

（1）若點N在邊CD上，且BEF，則CNM（用含α的式子表示）；

（2）再沿垂直于MN的直線折疊得到折痕GH，點G，H分別在邊CD,AD上，點D落在正方形所在平面

內的點D￠處，然后還原．若點D￠在線段BC上，且四邊形EFGH是正方形，AE4，EB8，MN與GH

的交點為P，則PH的長為．

14．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，AE分別交BD、CD

于點F、M，過點F作NPAE，分別交AD、BC于點N、P，連接MP．下列四個結論：①AMPN；

②DMDN2DF；③若P是BC中點，AB3，則EM210；④BFNFAFBP；⑤若PM∥BD，

則CE2BC．其中正確的結論是．

15．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它

是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．直線MP交正方形

ABCD的兩邊于點E，F，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2．若BEkAE(k1)，

S

則用含k的式子表示1的值是．

S2

三、解答題

16．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是O的直徑，BC,BD是O的兩條弦，點C與點D在AB的

兩側，E是OB上一點（OEBE），連接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如圖1，若BE1，CE5，求O的半徑；

(2)如圖2，若BD2OE，求證：BD∥OC．（請用兩種證法解答）

17．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是BAD，BCD的平分

線，且E、F分別在邊BC，AD上．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若ADC60，DF2AF2，求GDF的面積．

k

18．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，正比例函數yx與反比例函數y的圖象交于點A6,a，將正

x

比例函數圖象向下平移nn0個單位后，與反比例函數圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸

交于點D，E，且滿足BE:CE3:2．過點B作BFx軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線BC與BG

關于直線BF成軸對稱，連接CG．

(1)求反比例函數的表達式；

(2)求n的值及BCG的面積．

19．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ABC60，對角線AC與BD相交于點O，點

F為BC的中點，連接AF與BD相交于點E，連接CE并延長交AB于點G．

(1)證明：BEF∽BCO；

(2)證明：△BEG≌△AEG．

20．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是O的直徑，ACD內接于O，CDDB，AB，CD的延

長線相交于點E，且DEAD．

(1)求證：△CAD∽△CEA；

(2)求ADC的度數．

21．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線yxm與直線y2x相交于點

k

A2,a，與x軸交于點Bb,0，點C在反比例函數yk0圖象上．

x

(1)求a，b，m的值；

(2)若O，A，B，C為頂點的四邊形為平行四邊形，求點C的坐標和k的值；

(3)過A，C兩點的直線與x軸負半軸交于點D，點E與點D關于y軸對稱．若有且只有一點C，使得△ABD

與ABE相似，求k的值．

m

22．（2024·四川南充·中考真題）如圖，直線ykxb經過A(0,2),B(1,0)兩點，與雙曲線y(x0)交

x

于點C(a,2)．

(1)求直線和雙曲線的解析式．

(2)過點C作CDx軸于點D，點P在x軸上，若以O，A，P為頂點的三角形與△BCD相似，直接寫出點

P的坐標．

23．（2024·重慶·中考真題）如圖，在ABC中，AB6，BC8，點P為AB上一點，過點P作PQ∥BC交

AC于點Q．設AP的長度為x，點P，Q的距離為y1，ABC的周長與△APQ的周長之比為y2．

(1)請直接寫出y1，y2分別關于x的函數表達式，并注明自變量x的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出函數y1，y2的圖象；請分別寫出函數y1，y2的一條性質；

(3)結合函數圖象，直接寫出y1y2時x的取值范圍．（近似值保留一位小數，誤差不超過0.2）

24．（2024·四川自貢·中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測量方

法．

(1)如圖1，小張在測量時發現，自己在操場上的影長EF恰好等于自己的身高DE．此時，小組同學測得旗

桿AB的影長BC為11.3m，據此可得旗桿高度為________m；

(2)如圖2，小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A．小組同學測得

小李的眼睛距地面高度DE1.5m，小李到鏡面距離EC2m，鏡面到旗桿的距離CB16m．求旗桿高度；

(3)小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大．在更新測量工具，優化測量方法后，測量精度明顯

提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持管內水面M，N兩點始終處于同一水

平線上．

如圖5，在支架上端P處，用細線系小重物Q，標高線PQ始終垂直于水平地面．

如圖6，在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點，并

標記觀測視線DA與標高線交點C，測得標高CG1.8m，DG1.5m．將觀測點D后移24m到D￠處，采

用同樣方法，測得CG1.2m，DG2m．求雕塑高度（結果精確到1m）．

25．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）數學課上，老師給出以下條件，請同學們經過小組討論，提出探究問題．如

圖1，在ABC中，ABAC，點D是AC上的一個動點，過點D作DEBC于點E，延長ED交BA延長

線于點F．

請你解決下面各組提出的問題：

(1)求證：ADAF；

DFAD

(2)探究與的關系；

DEDC

AD1DF2AD4DF8

某小組探究發現，當時，；當時，．

DC3DE3DC5DE5

請你繼續探究：

AD7DF

①當時，直接寫出的值；

DC6DE

ADmDF

②當時，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；

DCnDE

(3)拓展應用：在圖1中，過點F作FPAC，垂足為點P，連接CF，得到圖2，當點D運動到使ACFACB

ADmAP

時，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．

DCnAD

26．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在YABCD中，ABC為銳角，點E在邊AD上，連接BE,CE，

且SABESDCE．

(1)如圖1，若F是邊BC的中點，連接EF，對角線AC分別與BE,EF相交于點G,H．

①求證：H是AC的中點；

②求AG:GH:HC；

(2)如圖2，BE的延長線與CD的延長線相交于點M，連接AM,CE的延長線與AM相交于點N．試探究線

段AM與線段AN之間的數量關系，并證明你的結論．

27．（2024·貴州·中考真題）綜合與探究：如圖，AOB90，點P在AOB的平分線上，PAOA于點

A．

(1)【操作判斷】

如圖①，過點P作PCOB于點C，根據題意在圖①中畫出PC，圖中APC的度數為______度；

(2)【問題探究】

如圖②，點M在線段AO上，連接PM，過點P作PNPM交射線OB于點N，求證：OMON2PA；

(3)【拓展延伸】

點M在射線AO上，連接PM，過點P作PNPM交射線OB于點N，射線NM與射線PO相交于點F，

OP

若ON3OM，求的值．

OF

28．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發現】如圖1，在ABC中，點D在邊BC上．若BADC，

則AB2BDBC，請證明；

（2）【靈活運用】如圖2，在ABC中，BAC60，點D為邊BC的中點，CACD2，點E在AB上，

連接AD，DE．若AEDCAD，求BE的長；

（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB5，點E，F分別在邊AD，CD上，ABC2EBF，

延長AD，BF相交于點G．若BE4，DG6，求FG的長．

29．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐

如圖，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合），連接CD，以CD為直角邊在CD

CECB

的右側構造Rt△CDE，DCE90，連接BE，m．

CDCA

特例感知

（1）如圖1，當m1時，BE與AD之間的位置關系是______，數量關系是______；

類比遷移

（2）如圖2，當m1時，猜想BE與AD之間的位置關系和數量關系，并證明猜想．

拓展應用

（3）在（1）的條件下，點F與點C關于DE對稱，連接DF，EF，BF，如圖3．已知AC6，設ADx，

四邊形CDFE的面積為y．

①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；

②當BF2時，請直接寫出AD的長度．

30．（2024·四川達州·中考真題）在學習特殊的平行四邊形時，我們發現