試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學解答題專題系列：解直角三角形的應用1．乒乓球桌的側面簡化結構（如圖所示）是軸對稱圖形，臺面（臺面厚度忽略不計）且與地面平行，高度為（臺面與地面之間的距離），直線型支架與的上端與臺面下方相連，與的下端各是一個腳輪（腳輪大小忽略不計），直線型支架與的上端與臺面相連，下端與相連，圓弧形支架分別與在點相連，且，，已知，，．求的長度．2．學?？萍寂d趣小組利用無人機測量學校旗桿的高度．無人機在距離地面60米的C處測得旗桿底部B的俯角為（即），為水平線，測得旗桿頂部A的俯角為（即），請通過以上數據求學校旗桿的高度（精確到0.1米，）．3．如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭，在距碼頭西端M的正西方向千米處有一觀測站O，現測得位于觀測站O的北偏西方向，且與觀測站O相距60千米的小島A處有一艘輪船開始航行駛向港口，經過一段時間后又測得該輪船位于觀測站O的正北方向，且與觀測站O相距30千米的B處．(1)求兩地的距離；結果保留根號(2)如果該輪船不改變航向繼續航行，那么輪船能否行至碼頭靠岸？請說明理由參考數據：，，4．如圖，要測量一垂直于水平面的建筑物的高度，小明從建筑物底端出發，沿水平方向向右走14米到達點，又經過一段坡角為，長為20米的斜坡，然后再沿水平方向向右走了50米到達點（A，，，，均在同一平面內）．在處測得建筑物頂端A的仰角為，求建筑物的高度．（參考數據：，，，，，）5．為測量塑像高度，進行如下操作：如圖，無人機飛到雕塑正上方距地面的高度后，沿塑像的左手方向水平飛行至C處，測得雕塑底部B處的俯角為；無人機保持方向不變繼續水平飛行至D處，測得雕塑頂端A處的俯角為．求塑像的高度．（結果精確到，參考數據：，，，）6．國慶節期間，張華與李明相約攀登梵凈山附近的一座小山．如圖，已知山高（即圖中且），他們先由山腳處步行300到達山腰處，此后坡度變陡，他們放慢速度再由處到達山頂處．已知點、、、、在同一平面內，山坡的坡度，山坡與水平線的夾角為．（參考數據：，，）(1)求，兩地的垂直高度；(2)若他們攀登第一段斜坡時的速度為，攀登第二段斜坡的速度為，求他們從山腳處到達山頂處需要多少分鐘．7．如圖，某漁船向正東方向以14海里/時的速度航行，在處測得小島在北偏東方向，2小時后漁船到達處，測得小島在北偏東方向，已知該島周圍20海里范圍內有暗礁．（參考數據：，，，）(1)求處到小島的距離（精確到個位）；(2)為安全起見，漁船在處向東偏南轉了繼續航行，通過計算說明漁船是否安全？8．如圖1，是午休時老師們所用的一種折疊椅．把折疊椅完全平躺時如圖2，長度厘米，厘米，是上一點，現將躺椅如圖3傾斜放置時，與地面成角，，椅背與水平線成角，其中是躺椅的伸縮支架，其與地面的夾角不得小于(1)若點恰好是的黃金分割點，人躺在上面才會比較舒適，求此時點與地面的距離．（結果精確到1厘米）(2)午休結束后，老師會把和伸縮支架收起緊貼，在（1）的條件下，求伸縮支架可達到的最大值．（結果精確到1厘米）（參考數據：，，9．2024年10月30日4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號F遙十九運載火箭在酒泉衛星發射中心成功發射，蔡旭哲、宋令東、王浩澤3名航天員順利進入太空．如圖，這是某同學繪制的模擬火箭發射裝置示意圖，一枚運載火箭從地面處發射，當火箭到達點時，從位于地面處的雷達站測得的距離是，仰角為．后火箭到達點，此時測得仰角為．（參考數據：，，，，，）(1)求地面雷達站到發射處的水平距離；(2)這枚火箭從處到處的平均速度是多少？（（1）、（2）結果精確到0.1）10．為了踐行“綠水清山就是金山銀山”的重要理念，我省某森林保護區開展了尋找古樹的活動．如圖，古樹直立于水平面，為測量古樹的高度，小明從古樹底端B點出發，沿水平方向行走了30米到達點C，然后沿斜坡前進，到達坡頂D點處，，在點D處放置測角儀，測角儀支架的高度為0.8米．在點E處測得古樹頂端A點的仰角為（點A、B、C、D、E在同一平面內），斜坡的坡度．（參考數據：，，）(1)求斜坡的高；(2)求古樹的高．（結果保留一位小數）11．世博公園是魔都的一處寶藏之地，而雙子山，就像是世博公園的璀璨明珠．這座人工打造的山體別具一格，充滿了獨特的魅力．某數學興趣小組用無人機垂直上升至距水平地面140米的P點，測得雙子山頂端A的俯角是，再將無人機沿水平方向飛行200米到達點Q，測得雙子山底端的俯角是，求雙子山的高度．（結果精確到1米）參考數據：，，．12．為滿足市民需求，我市在一小島兩側開辟了兩條跑步路線：①，②．經勘測，點在點的北偏東方向6千米處，點在點的西北方向6千米處，點在點的正東方向，點在點的正南方向，點在點的南偏東方向，點在點的西南方向．（參考數據：，，）(1)求，之間的距離（結果保留整數）；(2)時間原因，小黎決定選擇一條較短路線進行鍛煉，請通過計算說明她應該選擇路線①還是路線②（結果保留整數）13．小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1，紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱圖形，其示意圖如圖2，已知，，，，．(1)連結，求線段的長．(2)求點到對稱軸的距離．（結果精確到）（參考數據：，，，，，）14．一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖所示，其中背水面的整個坡面是長為，寬為的矩形．現需將其整修并進行美化，方案如下：①將背水坡的坡度由改為；②用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區域，依次相間地種草與種花．(1)求整修后背水坡面的面積；(2)如果種花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，那么如何種植才能使成本最低，成本最低是多少元？15．瑞天時代廣場要修建一個地下停車場，停車場的入口設計示意圖如圖所示，其中斜坡的傾斜角為18°，一樓到地下停車場地面的垂直高度，一樓到地平線的距離．(1)為保證斜坡的傾斜角為18°，應在地面上距點多遠的處開始斜坡的施工？(2)如果給該購物廣場送貨的貨車高度為2.6m，那么按這樣的設計能否保證貨車順利進入地下停車場？并說明理由．（參考數據：，，）答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學解答題專題系列：解直角三角形的應用》參考答案1．【分析】本題考查垂徑定理及解直角三角形的應用，過點G作，交于點M，連接，根據已知條件求出、，得到，根據解直角三角形得到，，即可求解．【詳解】解：過點G作，交于點M，連接，∵，又∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，解得，∴，∴，即的長度為．2．25.4米【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，過點A作于F，證明四邊形是矩形，然后利用銳角三角函數即可求解．【詳解】解：過點A作于F，∴，∴為矩形，∴（米），∵，∴，∵，∴，∴（米），∴（米），答：學校旗桿的高度約為25.4米．3．(1)千米(2)能行至碼頭靠岸，見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，相似三角形的判定與性質，此題結合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計算出相關特殊角和作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．（1）過點A作于點，可知為直角三角形．根據勾股定理解答．（2）延長交l于D，證明，求出，比較與的大小即可得出結論．【詳解】（1）解：過點A作于點，由題意，得千米，千米，（千米）在中，（千米）（千米）在中，（千米）；（2）解：如果該輪船不改變航向繼續航行，能行至碼頭靠岸，理由：延長交l于點，，，，，，（千米），該輪船不改變航向繼續航行，能行至碼頭靠岸．4．24米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用—仰角俯角問題、坡度坡比問題、矩形的判定與性質等知識點，正確添加輔助線、構造直角三角形是解題的關鍵．如圖：過點作，垂足為，延長交于點，則，，米，在中解直角三角形可得（米）、（米），即米；進而得到，在中解直角三角形可得，最后根據即可解答．【詳解】解：如圖：過點作，垂足為，延長交于點，則，由題意得：四邊形是矩形，∴，米，在中，，米，（米），（米），米；米，（米），在中，，（米），（米），建筑物的高度約為24米．5．【分析】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握基本知識點是解題關鍵．過點C作，垂足為點M，延長交的延長線于點E．先在中，求出的長度，設塑像的高度為．再表示出和，再利用，列出方程解方程即可．【詳解】解：過點C作，垂足為點M，延長交的延長線于點E．可得四邊形為矩形．∴．在中，，．設塑像的高度為．可得，∵，∴．由，可得．解得．答：塑像的高度約為．6．(1)(2)【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數解直角三角形是解題的關鍵．（1）過點作，利用含角的直角三角形的性質進行計算即可；（2）求出的長，再求出所用時間和即可得到答案．【詳解】（1）解：過點作，則四邊形是矩形，由山底處先步行到達處，山坡的坡度，，，在中，，，，答：，兩地的垂直高度為；（2）解：在中，，，，答：他們從山腳處到達山頂處需要分鐘．7．(1)B處距離小島C的距離約為海里(2)安全，說明見解析【分析】本題考查解直角三角形的應用．根據題意，添加合適的輔助線，構造直角三角形，是解題的關鍵．（1）如圖，過點作于，根據題意求出，利用和銳角三角函數，分別表示出：，再利用，求出，然后求出即可；（2）如圖，過點作于，求出的長度，即可得解．【詳解】（1）解：如圖，過點作于，由題意得，，，海里，∵，∴，在中，∵，∴，∵，即：，解得，在中，（海里），答：B處距離小島C的距離約為海里；（2）解：如圖，過點作于，在中，，，∴(海里)，∵，∴能安全通過，答：能安全通過．8．(1)此時點與地面的距離約為71厘米(2)伸縮支架可達到的最大值約為70厘米【分析】本題考查了解直角三角形的應用．（1）根據點B恰好是的黃金分割點，算出的長度，再由、，即可求得的長度；（2）由物理力學知識能夠知道，在此范圍內正弦函數單調遞增，由此可得知當時，最長，借助特殊角的三角函數值即可得出結論．【詳解】（1）解：點是的黃金分割點，，，厘米，厘米，厘米．答：此時點與地面的距離約為71厘米．（2）解：，且（物理力學知識得知），在其取值范圍內為單調遞增函數，又，當接近時，最大，此時厘米．答：伸縮支架可達到的最大值約為70厘米9．(1)(2)【分析】本題考查解直角三角形的實際應用：（1）在中，解直角三角形即可；（2）在中，求出的長，在中求出的長，進而求出的長，利用速度等于路程除以時間，進行求解即可．【詳解】（1）解：在中，，答：雷達站到發射處的水平距離為；（2）在中，，在中，，∴，∴速度為，答：這枚火箭從到的平均速度為．10．(1)米(2)米【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．（1）過點作與點，延長交于，根據斜坡的坡度可設，則，利用勾股定理求出x的值，進而可得出與的長，故可得出結論；（2）由矩形的判定定理得出四邊形是矩形，故可得出，，再由銳角三角函數的定義求出的長，進而可得出結論．【詳解】（1）解：過點作與點，延長交于，∵斜坡的坡度米，∴設米，則米，在中，，即，解得，米，米，答：斜坡的高為米；（2）解：，∴四邊形是矩形，米，米，米，米，在中，，米，米，答：古樹的高AB約為米．11．雙子山的高度約為【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，延長交的延長線于點C，用三角函數解和即可．【詳解】解：延長交的延長線于點C，則，．在中，，則，，在中，，，，，答：雙子山的高度約為．12．(1)1千米(2)路線①【分析】本題主要考查解直角三角形的實際應用，矩形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質：（1）作于點E，于點F，用三角函數解和，求出，再證四邊形為矩形，可得；（2）先解和求出，再作于點G，得等腰直角三角形，再解求出和，進而求出路線①和線②的長度，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，作于點H，于點F，則，，由題意知，，，，，，，，四邊形為矩形，，即，之間的距離為1千米；（2）解：，，四邊形為矩形，，；如圖，作于點G，則，是等腰直角三角形，，在中，，，，路線①的長度為：（千米），路線②的長度為：（千米），路線②的長度大于路線①的長度，應選擇路線①．13．(1)線段的長約為；(2)點到對稱軸的距離．【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵是掌握銳角三角函數．（1）過點作于點，根據等腰三角形的性質可得，利用銳角三角函數即可解決問題；（2）根據橫截面是一個軸對稱圖形，延長交、延長線于點，連接，所以，根據直角三角形兩個銳角互余可得，然后利用銳角三角函數即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，，．，，，線段的長約為；（2）解：橫截面是一個軸對稱圖形，延長交、延長線于點，連接，，，，，，，，，，，．點到對稱軸的距離為．14．(1)720平方米(2)