第1頁/共1頁2025北京高三一模數學匯編壓軸解答題—新定義（第21題）一、解答題1．（2025北京西城高三一模）如圖，設是由個實數組成的行列的數表，其中表示位于第行第列的實數，且滿足與均是公差不為的等差數列．…………若根據條件，能求出數表中所有的數，則稱能被確定．(1)已知，分別根據下列條件，直接判斷數表能否被其確定：條件“已知”；條件“已知”．(2)設條件“任意給定數表中的個數”，能被確定，證明：的最小值為；(3)設條件“已知集合或其中中的任意個元素”，求的最小值，使得能被確定．2．（2025北京門頭溝高三一模）已知有限數列，其中，.在中選取若干項按照一定次序排列得到的數列稱為的一個子列，對某一給定正整數，若對任意的，均存在的相應子列，使得該子列的各項之和為，則稱具有性質.(1)判斷：，，，，，，是否具有性質？說明理由；(2)若，是否存在具有性質？若存在，寫出一個，若不存在，說明理由；(3)若，且存在具有性質，求的取值范圍.3．（2025北京石景山高三一模）已知有窮數列：，，…，經過一次M變換后得到數列：，，…，，．其中，表示a，b中的最小者．記數列A的所有項之和為．(1)若：1，3，2，4，寫出數列并求；(2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一個排列，例如，當時，4，1，3，2可以為1，2，3，4的一個排列．（i）當時，求的最小值；（ii）若經過一次M變換后得到數列，求的最小值．4．（2025北京順義高三一模）已知數列：各項為正整數.對任意正整數，定義：，，其中表示有限集中的元素個數，規定.(1)對于數列：1，3，2，2，寫出，，，的值；(2)若數列：滿足.（i）若，令，當時，求；（ii）求證：.5．（2025北京朝陽高三一模）已知，，，為有窮正整數數列，若存在，其使得，其中，則稱Q為連續可歸零數列．(1)判斷：1，3，2和：4，2，4是否為連續可歸零數列？并說明理由；(2)對任意的正整數，記，其中表示數集S中最大的數．令，求證：數列，，，不是連續可歸零數列；(3)若，，，的每一項均為不大于的正整數，求證：當時，Q是連續可歸零數列．6．（2025北京平谷高三一模）對于數列，若滿足，則稱數列為“數列”.定義變換，若，將變成0，1，若，將變成1，0，得到新的“數列”.設是“數列”，令.(1)若數列，求數列；(2)若數列共有10項，則數列中連續兩項相等的數對至多有多少對？請說明理由；(3)若為0，1，記數列中連續兩項都是0的數對個數為.求關于的表達式.7．（2025北京海淀高三一模）設正整數，對于數列，定義變換，將數列變換成數列：．已知數列滿足．記．(1)若：，寫出數列，；(2)若為奇數且不是常數列，求證：對任意正整數，都不是常數列；(3)求證：當且僅當時，對任意，都存在正整數，使得為常數列．8．（2025北京東城高三一模）已知有限數列滿足.對于給定的，若中存在項滿足，則稱有項遞增子列；若中存在項滿足，則稱有項遞減子列.當既有項遞增子列又有項遞減子列時，稱具有性質.(1)判斷下列數列是否具有性質；①；②.(2)若數列中有，證明：數列不具有性質；(3)當數列具有性質時，若中任意連續的項中都包含項遞增子列，求的最大值.9．（2025北京房山高三一模）設為正整數，集合，對于集合中2個元素，若，則稱具有性質．記為中的最小值．(1)當時，若，判斷是否具有性質．如果是，求出；如果不是，說明理由；(2)當時，若具有性質，求的最大值；(3)給定不小于3的奇數，對于集合中任意2個具有性質的元素，求的最大值．10．（2025北京豐臺高三一模）已知無窮遞增數列各項均為正整數，記數列為數列的自身子數列.(1)若，寫出數列的自身子數列的前4項；(2)證明：；(3)若數列與是公差分別為，的等差數列.（i）證明：；（ii）當，時，求數列的通項公式.11．（2025北京延慶高三一模）數字的任意一個排列記作，設為所有這樣的排列構成的集合.集合任意整數都有，集合任意整數都有（1）用列舉法表示集合；（2）求集合的元素個數；（3）記集合的元素個數為，證明：數列是等比數列.

參考答案1．(1)數表不能被確定，數表能被確定(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據題中定義直接判斷即可；（2）對于一個公差為的等差數列，若知其中兩項與，便可根據，求出該等差數列中的每一項．分析可知，數表中每一列都至少有兩個數已知，由此可得出的最小值；（3）先討論，結合（1）中的結論可判斷不成立，再討論，通過等差數列的定義進行邏輯推理，可推斷出數表能被確定，由此可得出的最小值.【詳解】（1）數表不能被確定；數表能被確定．對于條件，假設數表中每行、每列的公差都相等，均為，則，，，則，、均無法確定，故數表不能被確定；對于條件，因為、確定，可以根據確定，則第二行可以全部確定，低于第二列，由于確定，結合可確定第二列的公差，進而可求出，則第二列可以全部確定，對于第三行，由于確定了，結合可求出第三行的公差，由此可確定，則第三行可以全部確定，對于第一列，由于確定了、，可以求出第一列的公差，由此可確定，則第一列可以全部確定，綜上所述，數表可由條件確定.（2）對于一個公差為的等差數列，若知其中兩項與，便可根據，求出該等差數列中的每一項．故對于數表中的任意一行（或列），若知道其中的兩個數，便可利用條件得到該行（或列）中的所有數．一方面，若知這個數，則無法求出，故不能得出數表中所有的數，所以．另一方面，若知數表中的任意個數，則必存在表中的兩行，且這兩行中至少有兩個數已知，于是數表中這兩行的數都能被求出，即數表中每一列都至少有兩個數已知，所以數表中所有的數都能求出，即能被確定．綜上，的最小值為．（3）當時，若知中的個數，則不能求出中所有的數．當時，已知與中的任意個數，則必存在兩個數在中位于同一行（記為第行），從而可求出這一行中的所有數．因為與中至多有兩個數在同一行，所以除去第行的兩個數外，余下已知的個數必在其余的行中．當時，通過列舉可知：余下已知的2個數不在同一列中（所在列分別記為第列和第列）；當時，，因為在與中至多有兩個數在同一列，所以至少有兩列（記為第列和第列）中含有這已知的數中的數．又因為第行的數均已得到，所以在第列與第列中均至少知道兩個數，故這兩列中所有的數都可求出，于是數表中每一行至少有兩個數均已得到，從而可求出數表中所有的數．綜上，的最小值為．2．(1)具有，理由見解析；(2)不存在，理由見解析；(3).【分析】（1）利用定義計算即可；（2）根據數列中各項的取值范圍，結合定義判定當時至少需要子列含4個數與任意4項子列和大于3矛盾即可；（3）根據新定義結合第一、二問舉例說理即可.【詳解】（1）根據定義知取，有；取，有，取，有，即對任意，都存在的相應子列，使得該子列的各項之和為，所以：，，，，，，具有性質；（2）不能，理由如下：假設，具有性質，因為，所以M的任意四項和小于4，所以，則對于M的任意四項子列S，不妨設，有，又具有性質，，所以M的任意三項和小于3，故不存在的子列其各項和為3，與具有性質矛盾，所以時，不存在具有性質；（3）由題可知，時，又，所以，由（2）道理相同可知，，取，因為，，，所以具有性質，綜上.3．(1)：1，2，2，1；；(2)（i）9；（ii）【分析】（1）根據變換的定義寫出數列，再計算得；（2）（i）分析得的所有項中至多有兩個1和兩個2，則得到其最值；（ii）分若，和討論即可.【詳解】（1）由題意，，即1，2，2，1．所以．（2）（i）由題意知，中元素兩兩互異，故中的任一元素，如，在中至多在和中出現兩次（規定，），且若出現兩次則這兩個數處于鄰位（和也視為鄰位）．所以的所有項中至多有兩個1和兩個2．所以．當為1，4，2，5，3時等號能取到，所以的最小值為9．（ii）同（i）可知，中的任一元素若在中僅出現一次，則在中至多出現兩次；若在中出現兩次，由于這兩個數處于鄰位，故在中至多出現三次．①若，則，當滿足時等號能取到．②若，則．當滿足時等號能取到．③若，則．當滿足時等號能取到．綜上，．4．(1)，，，；(2)（i），其中；【分析】（1）直接根據定義計算即可；（2）（i）根據的定義，可知數列中有兩項等于1，從而有，依次類推求和即可.（ii）法一：首先證明當時，等式成立，再利用數學歸納法即可證明；法二：設數列中等于的項分別有個，計算得,，……，，最后求和證明即可.【詳解】（1），，，；（2）（i）令，則，根據的定義，可知數列中有兩項等于1，根據數列的增減性質，可得；令，則，可知數列中有四項小于等于2，可得，以此類推可得得前項為，，其中.（ii）法一：用數學歸納法證明對成立，（**）當時，令，，，（**）式左邊=，（**）式右邊=，（**）式左邊=（**）式右邊，（**）式對成立；假設時，（**）式成立，即①當時，（**）式左邊=設，令，則,，……，，，（**）式左邊=，（**）式右邊=根據①可知（**）式對成立，由數學歸納法原理可知（**）成立.（法二）設數列中等于的項分別有個，則，，……，，，從而,，……，，注意到等式成立.5．(1)數列是連續可歸零數列，數列不是連續可歸零數列，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）判斷數列是否為連續可歸零數列，關鍵看能否找到，使連續項.對于，找到一組使等式成立，所以是連續可歸零數列；對于，分的三種情況討論，根據取值及式子奇偶性判斷都不為，所以不是.（2）先根據的值求出數列各項.再依據與奇偶性相同，分或時，因為奇數其余為偶數，和為奇數；再結合取特定值時由第一題結論也不為，得出數列不是連續可歸零數列.（3）先定義數列，目標是證對任意，.用反證法，假設存在使超出范圍，分和兩種情況，推出矛盾，證明該結論成立.分情況討論：若有，能找到一組數使式子為，此時數列是連續可歸零數列.若都不為，因為到間非零整數有限，當時，中存在兩項相等，進而能找到一組數使式子為，此時數列也是連續可歸零數列.【詳解】（1）數列是連續可歸零數列，理由如下：取，則，所以數列是連續可歸零數列．數列不是連續可歸零數列，理由如下：當時，，因為是奇數，故是奇數，所以．當時，，因為是奇數，故是奇數，所以．當時，，因為是奇數，故是奇數，所以．所以數列不是連續可歸零數列．（2）因為1，3，5，7是奇數，故，所以．因為，所以．因為，所以．所以數列．因為，所以與奇偶性相同．當或時，因為中，為奇數，其余各項均為偶數，所以為奇數．所以．當取時，由（1）可知，綜上，數列不是連續可歸零數列．（3）設，則是整數數列．下面證明對任意，均有．顯然滿足．假設結論不成立，則存在，使得或，且當時都有．（i）若，當時，，因為，所以，矛盾；當時，，因為，所以，矛盾．（ii）若，當時，，因為，所以，矛盾；當時，，因為，又是整數，所以，矛盾．綜上，對任意，均有．若存在，使得，則存在且，使得，此時數列是連續可歸零數列．若任意，因為中共個非零整數，當時，數列中存在且，使得，從而存在，使得，此時數列是連續可歸零數列．綜上，當時，數列是連續可歸零數列．6．(1)(2)至少有19對，理由見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據變換的定義，逆向推導即可；（2）根據中每個1和0在中的對應情況，即可求解和證明；（3）對參數分類討論，結合變換的定義以及等比數列求和，即可求得結果.【詳解】（1）由變換的定義可得.（2）數列中連續兩項相等的數對至多有19對.證明：對于任意一個“數列”中每一個1在中對應連續四項，在中每一個0在中對應的連續四項為，因此，共有10項的“數列”中的每一個項在中都會對應一個連續相等的數對，在中若出現連續兩項的數對最多，對于中的每一個第項和第項之間產生一個連續相等的數對，所以中至多有19對連續相等的數對.比如：取，則.（3）設中有個0，1數對，中的“0，0”數對只能由中的“0，1”數對得到，所以，中的“0，1”數對有兩個產生途徑：①由中的1得到；②由中“0，0”得到，由變換的定義及可得中0和1的個數總相等，且共有個.所以，得，由可得，所以，當時，若為偶數，．上述各式相加可得，經檢驗，時，也滿足．若為奇數，．上述各式相加可得，經檢驗，時，也滿足．所以．【點睛】方法點睛：學生在理解相關新概念、新法則(公式)之后，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環境下研究“舊”性質.主要是將新性質應用在“舊”性質上，創造性地證明更新的性質.7．(1)；(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由題意，直接寫出答案；（2）利用反正法，假設存在常數列，并建立方程，可證矛盾；另法：分情況寫出常數列的結果反推前一種變換的數列，可得矛盾；（3）首先證明，若，其中，則存在項的數列，使得對任意的正整數都不是常數列．其次證明：若，其中，對任意，都存在正整數是常數列．【詳解】（1）由題意可得；.（2）證明：設，其中．假設存在正整數，使得是常數列，由不是常數列，不妨設不為常數列且為常數列，記，則．令當時，因為，且，所以．故．此時為常數列，矛盾．另法：①若，則，有此時為常數列，矛盾．②若，則，有，矛盾．綜上，對于任意正整數，都不是常數列.（3）首先證明，若，其中，則存在項的數列，使得對任意的正整數都不是常數列．證明：構造項的數列，其中，構造項的數列對任意的正整數，設，則由于不是常數列，故不是常數列．其次證明：若，其中，對任意，都存在正整數是常數列．證明：假設存在，其中，使得存在數列，使得對任意的正整數都不是常數列，不妨設的最小值為．情形一：，則，記，則為常數列，矛盾．情形二：，對任意的數列，則記，定義數列，其中．則．則依此類推，對任意正整數，記，存在正整數，使得為常數列，記，則數列均為常數列，設，則的各項均為．即時，是常數列，矛盾．綜上，當且僅當時，對任意，都存在正整數，使得為常數列．8．(1)數列①具有性質，數列②不具有性質(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據性質判斷即可；（2）利用反證法，假設數列具有性質，則數列中存在項遞增的數列和項遞減數列，分析可知，存在在中恰出現一次，不妨記為，記，則必有，再根據數列遞增，遞減，推導出，推出矛盾，從而說明結論成立；（3）由（2）知，數列中恰有一項既是的項，也是的項，記，所以，，對數列項數最多的子列進行分析，可知遞增子列的項數最多為，所以，，然后對為奇數和偶數進行分類討論，求出的最大值，并通過構造數列確定的最大值能取到，由此可得出結果.【詳解】（1）數列①：具有性質；數列②：不具有性質.理由如下：對數列①，記該數列為，該數列有項遞增子列：，該數列有項遞減子列：，故數列①具有性質；對于數列②，記該數列為，該數列有項遞增子列：，該數列沒有項遞減子列，故數列②不具有性質.（2）假設數列具有性質，則數列中存在項遞增的數列和項遞減數列，因為，所以為，為，所以對任意的，在中至少存在一項，因為中有項，所以存在在中恰出現一次，不妨記為，記，則必有，因為遞增，遞減，所以，數列中排在前面的項至少有，共項，排在后面的項至少有，共項，因為數列中有項，所以是第項，即.這與題設矛盾，所以假設不成立，即數列不具有性質.（3）當數列具有性質時，記數列的項遞增子列為為和項遞減子列為，由（2）知，數列中恰有一項既是的項，也是的項，記，所以，，所以數列的前項由組成，因為，所以項數最多的遞增子列只能是或，所以遞增子列的項數最多為，數列的后項由組成，所以項數最多的遞增子列是或，所以遞增子列的項數最多為，所以，，因為，所以當為奇數，時，有最大值，所以，構造數列，該數列具有性質，且滿足任意連續的項中，都包含項的遞增子列；當為偶數，時，有最大值，所以，構造數列，該數列具有性質，且滿足任意連續的項中，都包含項的遞增子列，綜上所述，.9．(1)具有性質，；(2)1；(3).【分析】（1）根據定義，計算，即可判斷具有性質；在分別計算出，即可求得；（2）方法1：由已知得出，結合，得出，進而得出，并取驗證的最大值可以取到；方法2：用反證法假設，由已知得出與題設矛盾，即可說明；（3）由性質可得，①，且②，①中不妨設，②中不妨設，由對稱性可以設，得出，進而得出，再驗證可以取到最大值即可．【詳解】（1）因為，所以具有性質；因為，所以．（2）方法：1：由性質得，所以，因為，所以，則，，，所以，所以，又因為當時，具有性質，且，所以的最大值為1．方法2：先用反證法證明，假設，由，則，所以，同理，所以，由，所以，與已知矛盾，假設不成立，所以，當時，，此時，所以的最大值為1．（3）由性質可得，所以①，且②，在①中不妨設，在②中不妨設，由對稱性可以設，所以，所以，即，因為存在，（其中有個個），（其中有個，個）具有性質，并且，，，所以，綜上最大值為．10．(1)1，5，9，13；(2)證明見詳解；(3)【分析】（1）由自身子數列定義即可求；（2）由題意可得，設，即可證明，進而命題得證；（3）（i）根據等差數列的通項公式及題意可得，進而得到，進而命題得證；（ii）分別假設存在，使和成