PAGEPAGE1專題07導數有關的構造函數方法一．學問點基本初等函數的導數公式(1)常用函數的導數①(C)′＝________(C為常數);②(x)′＝________；③(x2)′＝________；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝________；⑤(eq\r(x))′＝________．(2)初等函數的導數公式①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；⑦(logax)′＝__________．5．導數的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝____________________________．6．復合函數的導數(1)對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，假如通過變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這兩個函數(函數y＝f(u)和u＝g(x))的復合函數為y＝f(g(x))．(2)復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為___________________，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．二．題型分析1.構造多項式函數2.構造三角函數型3.構造形式的函數4.構造成積的形式5.與有關的構造6.構造成商的形式7.對稱問題（一）構造多項式函數例1．已知函數滿意，且的導函數，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】令，則，所以函數在定義域上為單調遞減函數，因為，所以，即，依據函數在定義域上單調遞減，可知，故選D.考點：函數的單調性與導數的關系.【方法點晴】本題主要考查了函數的單調性與函數的導數之間的關系，其中解答中涉及到利用導數探討函數的單調性，利用導數探討函數的極值與最值等學問點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的實力，以及轉化與化歸思想的應用，本題的解答中依據題設條件，構造新函數，利用新函數的性質是解答問題的關鍵，屬于中檔試題.練習1.設函數在上存在導函數，對于隨意的實數，都有，當時，.若，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A考點：導數在函數單調性中的應用.【思路點睛】因為，設，則，可得為奇函數，又，得在上是減函數，從而在上是減函數，在依據函數的奇偶性和單調性可得，由此即可求出結果.練習2.設奇函數在上存在導數,且在上,若,則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，因為，所以函數的奇函數，因為時，，所以函數在為減函數，又題意可知，，所以函數在上為減函數，所以，即，所以，所以，故選B.考點：函數的奇偶性及其應用.【方法點晴】本題主要考查了函數的奇偶性及其應用，其中解答中涉及到利用導數求函數的單調性、利用導數探討函數的極值、以及函數的奇偶性的判定等學問點的綜合考查，著重考查了轉化與化歸的思想方法，以及學生的推理與運算實力，屬于中檔試題，解答中得出函數的奇函數和函數的單調性是解答的關鍵.練習3.設函數在上存在導函數，對隨意，都有，且時，，若，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則，則，得為上的奇函數．∵時，，故在單調遞增，再結合及為奇函數，知在為增函數，又則，即．故選B．考點：函數的單調性及導數的應用.【方法點晴】本題考查了利用導數探討函數的單調性，然后構造函數，通過新函數的性質把已知條件轉化為關于的不等式來求解.本題解答的關鍵是由已知條件進行聯想，構造出新函數，然后結合來探討函數的奇偶性和單調性，再通過要解的不等式構造，最終得到關于的不等式，解得答案.（二）構造三角函數型例2．已知函數的定義域為,為函數的導函數，當時，且，.則下列說法肯定正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，則.因為當時，，即，所以，所以在上單調遞增.又，，所以，所以，故為奇函數，所以在上單調遞增，所以.即，故選B.考點：（1）利用導數探討函數的單調性；（2）函數的綜合應用.練習1．已知函數對隨意的滿意（其中是函數的導函數），則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】構造函數，則，即函數g（x）在單調遞增，則，，即，故A正確．，即考點：利用導數探討函數的單調性練習2．定義在上的函數，是它的導函數，且恒有成立，則（）A.B.C．D.【答案】D【解析】在區間上，有，即令，則，故在區間上單調遞增.令，則有，D選項正確.考點：1、函數導數；2、構造函數法．【思路點晴】本題有兩個要點，第一個要點是“切化弦”，在不少題目中，假如遇到，往往轉化為來思索；其次個要點是構造函數法，題目中，可以化簡為，這樣我們就可以構造一個除法的函數，而選項正好是推斷單調性的問題，順勢而為.（三）構造形式的函數例3．已知函數的導數為，且對恒成立，則下列函數在實數集內肯定是增函數的為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設，則.對恒成立，且.在上遞增，故選D.考點：1、函數的求導法則；2、利用導數探討函數的單調性.練習1.設函數是函數的導函數，，且，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】依題意，構造函數，由，得，考點：函數導數，構造函數法．【思路點晴】本題考查導函數的概念，基本初等函數和復合函數的求導，對數的運算及對數函數的單調性.構造函數法是在導數題目中一個常用的解法.方程的有解問題就是推斷是否存在零點的問題，可參變分別，轉化為求函數的值域問題處理.恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分別的方法，轉化為求函數最值處理．練習2.已知定義在上的函數，是的導函數，若，且，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集是（）A．B．C．D．【答案】C考點：利用導數探討函數的單調性.【方法點晴】本題考查函數單調性與奇偶性的結合，結合已知條件構造函數，然后用導數推斷函數的單調性是解題的關鍵，屬于中檔題．結合已知條件中的以及所求結論可知應構造函數，利用導數探討的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解.練習3．定義在上的函數的導函數為，若對隨意實數，有，且為奇函數，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設．由，得，故函數在上單調遞減．由為奇函數，所以．不等式等價于，即，結合函數的單調性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點：利用導數探討函數的單調性.【方法點晴】本題考查了導數的綜合應用及函數的性質的應用，構造函數的思想，閱讀分析問題的實力，屬于中檔題．常見的構造思想是使含有導數的不等式一邊變為，即得，當是形如時構造；當是時構造，在本題中令，（），從而求導，從而可推斷單調遞減，從而可得到不等式的解集．練習4.已知定義在上的可導函數的導函數，滿意，且為偶函數，，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設，則∴函數是上的減函數，∵函數是偶函數，∴函數∴函數關于對稱，∴原不等式等價為∴不等式等價即∵是上的減函數，∴．∴不等式式的解集為．選D考點：利用導數探討函數的性質【名師點睛】本題考查了利用導數探討函數的單調性、利用函數的單調性求解不等式，體現了數學轉化思想方法，屬于中檔題．解題時依據題意構造函數是解題的關鍵練習5．設函數是函數的導函數，，且，則的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】設，則，所以（為常數），則，由，，所以，又由，所以即，即，解得．故選B．（四）構造成積的形式例4．已知定義在上的函數滿意：函數的圖象關于直線對稱，且當時，（是函數的導函數）成立．若，，，則，，的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知關于軸對稱,設,當時,,在上為遞減函數,且為奇函數,在上是遞減函數.,即,故選A.考點：函數的性質.【方法點睛】本題考查學生的是函數的性質,屬于中檔題目.從選項可以看出,要想比較的大小關系,須要構造新函數,通過已知函數的奇偶性,對稱性和單調性,推斷的各種性質,可得在上是遞減函數.因此只需比較自變量的大小關系,通過分別對各個自變量與臨界值作比較,推斷出三者的關系,即可得到函數值得大小關系.練習1.設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】構造函數，，由于，故，為減函數.原不等式即，故.考點：函數導數與不等式，構造函數．【思路點晴】本題考查函數導數與不等式，構造函數法.是一個常見的題型，題目給定一個含有導數的條件，這樣我們就可以構造函數，它的導數恰好包含這個已知條件，由此可以求出的單調性，即函數為減函數.留意到原不等式可以看成，利用函數的單調性就可以解出來.練習2．設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函數是定義在上的可導函數，，∴函數在上是增函數，∴不等式的解集為．練習3.函數是定義在區間上可導函數，其導函數為，且滿意，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，則當時，，即，所以函數為單調遞增函數，由，即，所以，所以不等式的解集為，故選C.（五）與有關的構造例5.已知定義在實數集R的函數滿意（1）=4,且導函數，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設t=lnx,則不等式化為，設g(x)=f(x)-3x-1,則。因為，所以<0,此時函數g(x)單調遞減。因為f(1)=4，所以g(1)=f(1)-3-1=0,所以當x>1時，g(x)<g(1)=0,此時g(x)=f(x)-3x-1<0,即不等式f(x)>3x+1的解為x<1，即不等式f(t)>3t+1的解集為t<1.由lnx<1得0<x<e。選D。考點：函數的單調性與導函數，不等式。練習1.設為自然對數的底數.若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由不等式啟發，可構造函數，則，又由，得，即在上為單調遞增函數，因為，所以，即，又，整理可得，.故正確答案選B.考點：1.導數的應用；2.函數單調性的應用.【方法點晴】此題主要考查導數在探討函數單調性的應用等方面的學問，屬于中高檔題.首先依據條件，構造函數，對函數求導，則有，可知在上為單調遞增函數，又，即，化簡整理即得正確答案.（六）構造成商的形式例6.已知在上非負可導，且滿意，對于隨意正數，若，則必有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】構造函數,則由可知函數是單調遞減函數,因為,所以,即,也即,因此應選D．考點：導數的運算和敏捷運用．【易錯點晴】本題是一道抽象型的函數性質推斷題.考查的是運用所學學問去分析問題和解決問題的實力.解答本題的難點是不清晰函數的解析式也無法弄清晰,所以具有較大的難度.求解時通過深刻的視察和抽象概括,先構造一個新的函數,然后再帶該函數進行求導,借助題設中的條件,推斷出函數是單調遞減函數.從而運用單調函數的定義使得本題奇妙獲解.練習1.已知函數是上的可導函數，當時，有，則函數的零點個數是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】令.，即當時，，為增函數，當時，，為減函數，函數在區間上為增函數，故在區間上有一個交點.即的零點個數是.考點：1.函數與導數；2.零點.【思路點晴】零點問題一種解法是變為兩個函數圖象的交點，如本題中的的零點，可以轉化為，也就是左右兩個函數圖象的交點個數，函數在區間上為增函數，通過已知條件分析,即當時，，為增函數，當時，，為減函數，由此推斷這兩個函數在區間上有一個交點.練習2.．已知定義在上的函數滿意，當時，下面選項中最大的一項是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則，又，所以最大的一項是，選B.考點：利用導數探討函數單調性【方法點睛】利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數探討對應函數單調性，而對應函數須要構造.構造協助函數常依據導數法則進行：如構造，構造，構造，構造等練習3.已知是定義在上的減函數，而滿意，其中為的導數，則（）A．對隨意的B．對隨意的C．當且僅當D．當且僅當【答案】B【解析】由題意恒成立，由得．令得，又為減函數，所以當時，，而當時，由得，從而，綜上有當時，．故選B．練習4.若定義在R上的函數f（x）滿意f（0）=﹣1，其導函數f′（x）滿意f′（x）＞k＞1，則下列結論中肯定錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依據導數的概念得出＞k＞1，用x=代入可推斷出f（）＞，即可推斷答案．解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，當x=時，f（）+1＞