2023級高二下學期階段性學情檢測數學試題一、單選題1.若曲線在點（1，2）處的切線與直線平行，則實數a的值為（）A.－4 B.－3 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】利用切線的斜率列方程，化簡求得的值.【詳解】，所以.故選：B2.的二項式展開式中的系數為（）A.560 B.35 C.-35 D.-560【答案】D【解析】【分析】中利用二項式定理可求得的系數，從而求解.【詳解】由題意知的展開式為，令，得，所以的系數為，故D項正確.故選：D.3.設函數的導數為，且，則()A.1 B.0 C.2 D.3【答案】B【解析】詳解】∵∴∴，即∴故選B.4.將4名醫生，3名護士分配到3個社區對居民進行健康體檢，要求每個社區至少有1名醫生和1名護士，則不同的分配方法共有（）A.64種 B.108種 C.128種 D.216種【答案】D【解析】【分析】先將醫生分為3組，每組至少1人，然后再將醫生和護士分配到3個社區即可.【詳解】先將4名醫生分成3組，每組至少1人，共有種方法，再將3組醫生分到3個社區有種，最后將3名護士分配到3個社區有種，所以，不同的分配方法共有種.故選：D5.設函數，在上的導函數存在，且，則當時（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對于AB，利用特殊函數法，舉反例即可排除；對于CD，構造函數，利用導數與函數單調性的關系證得在上單調遞減，從而得以判斷.【詳解】對于AB，不妨設，，則，，滿足題意，若，則，故A錯誤，若，則，故B錯誤；對于CD，因為，在上的導函數存在，且，令，則，所以在上單調遞減，因為，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯誤.故選：C.6.已知下列各選項是函數的導函數的圖象，則是函數的極小值點的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由極小值點定義，導函數與原函數的關系，即可選出答案.【詳解】當時，單調遞增，當時，單調遞減，要使是函數的極小值點，則需，，對于AB選項，不是函數的極值點；對于C選項，是函數的極小值點，正確；對于D選項，是函數的極大值點.故選：C7.已知函數在上存在單調遞減區間，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，只需存在區間，使得當時，，根據導數的零點大小分，和討論求解.【詳解】由題意得，要使在上存在單調遞減區間，只需存在區間，使得當時，，當時，，顯然不存在滿足條件的區間；當時，的解集為，因為，所以要使在上存在單調遞減區間，則，解得；當時，的解集為，因為，所以要使在上存在單調遞減區間，則，解得.綜上，的取值范圍為.故選：A.8.已知函數，實數，滿足，若，，使得成立，則的最大值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導數法求出函數的最小值，再利用二次函數的性質求出最大值，結合已知條件及函數的圖象即可求解.【詳解】因為，所以，令，即，解得，當時，；當時，；所以在上單調遞減；在上單調遞增；當時，取得最小值為，，對稱軸為，開口向下，由二次函數的性質，當時，取得最大值為.令，即，解得或，作兩個函數的圖象如圖所示由圖可得：的最大值為故選：B.二、多選題9.以下求導運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】本題主要運用求導公式：，，但要注意常數的理解及解析式的轉化處理．【詳解】，A不正確；，B正確；，C正確；(為常數)，D不正確．故選：BC．10.“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示.下列關于“楊輝三角”的結論錯誤的是（）A.B.第2023行中從左往右第1011個數與第1012個數相等C.記第行的第個數為，則D.第20行中第12個數與第13個數之比為【答案】AB【解析】【分析】對于A：利用性質計算即可；對于B：利用的展開式的二項式系數計算；對于C：代入，利用二項式定理計算即可；對于D：利用的展開式的二項式系數計算【詳解】對于A：，A錯誤；對于B：第2023行中的數為的展開式的二項式系數，則從左往右第1011個數為，第1012個數為，，B錯誤；對于C：第行的第個數為，則，C正確；對于D：第20行中的數為的展開式的二項式系數，則從左往右第12個數為，第13個數為，則，D正確.故選：AB.11.若、分別是函數、的零點，且，則稱與互為“零點相鄰函數”.已知與互為“零點相鄰函數”，則的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】求出函數的零點為，根據題中定義額可得出函數的零點為，令，可知，直線與函數在上的圖象有公共點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可得出實數的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，則對任意的恒成立，所以，函數是上的增函數，且，則.因為與互為“零點相鄰函數”，所以，即，解得.因為，所以0，所以在上有解，即在上有解.設，則.由，得，由，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，函數的極小值為，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數在上的圖象有公共點，所以，，即實數的取值范圍是.故選：ABC.【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.三、填空題12.展開式中，項的系數為______.【答案】【解析】【分析】由二項式定理求解．【詳解】，∵的指數是3，∴得到，∵的指數是2，得到，∴項的系數為.故答案為：13.北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）入駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有______種．【答案】504【解析】【分析】分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論，從而可求解.【詳解】由題意分為兩種情況：第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，故總共有種排法.故答案為：.14.已知函數在區間內恰有兩個極值點，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由正弦型函數可知：兩個零點之間必存在極值點，兩個極值點之間必存在零點，利用正弦型函數的極值點可得即可求解.【詳解】由題意可得，當時，，由函數在內恰有兩個極值點，可知，解得.故答案為：四、解答題15.已知函數.（1）若是極大值點，求在處的切線方程；（2）求的單調區間；【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據是的極大值點求出，再利用導數求切線斜率，即可求在處的切線方程；（2）求出，分三種情況討論，分別判斷導函數的符號，即可求出的單調區間；【小問1詳解】根據題意，函數，其定義域為R，令得，經檢驗，符合題意，則在點的切線方程為，即；【小問2詳解】根據題意，函數，其導數，分3種情況討論：①當時，，則在上為增函數；②當時，若，解可得或，則的遞增區間為和，遞減區間為；③，當時，若，解可得或，則的遞增區間為和，遞減區間為；綜上可得：當時，在上為增函數；當時，的遞增區間為和，遞減區間為；當時，的遞增區間為和，遞減區間為；16.已知二項式展開式中，前二項的二項式系數和是11.（1）求n的值；（2）求其二項式系數之和與各項系數之和的差；（3）求上述展開式中所有偶數項的系數和.【答案】（1）（2）1023（3）【解析】【分析】（1）利用指定兩項的二項式系數建立方程求解參數即可.（2）利用二項式性質得到二項式系數之和，利用賦值法得到各項系數之和，再作差即可.（3）利用賦值法再作差求解偶數項的系數和即可.【小問1詳解】因為二項式展開式中，前二項的二項式系數和是11，所以，得到，解得.【小問2詳解】由二項式性質得二項式系數之和，令，可得各項系數之和為，所以二項式系數之和與各項系數之和的差為.【小問3詳解】令，則所以17.（1）一場班級元旦晚會有有2個唱歌節目和；2個相聲節目1和2．要求排出一個節目單，滿足第一個節目和最后一個節目都是唱歌節目．一共有多少種可能（結果用數字表示）？并列出所有可能的排列．（2）7個人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，有多少不同的種排法？（結果用數字表示）（3）從4名男青年教師和5名女青年教師中選出4名教師參加新教材培訓，要求至少有2名男教師和1名女教師參加，有多少種不同的選法？（結果用數字表示）【答案】（1）共4種；答案見解析（2）432；（3）80．【解析】【分析】（1）利用排列的定義即得；（2）利用捆綁法，插空法即得；（3）由題可分選2名男教師與2名女教師，選3名男教師與1名女教師兩類，即得．【詳解】（1）歌唱節目記為，相聲節目記為1，2，滿足第一個節目和最后一個節目都是唱歌節目的排列為：．共4種（2）甲乙丙3人必須相鄰，把他們捆綁看作一個元素與除甲乙丙丁戊外的兩個元素排列，然后排其內部順序，再在3個元素形成的4個空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，共有（種）．（3）選2名男教師與2名女教師，共有(種)，選3名男教師與1名女教師，共有(種)，所以共有60+20=80（種）．18.某企業在2023年全年內計劃生產某種產品的數量為x百件，生產過程中總成本w（x）（萬元）是關于x（百件）的一次函數，且，．預計生產的產品能全部售完，且當年產量為x百件時，每百件產品的銷售收入（萬元）滿足．（1）寫出該企業今年生產這種產品的利潤（萬元）關于年產量x（百件）的函數關系式；（2）今年產量為多少百件時，該企業在這種產品的生產中獲利最大？最大利潤是多少？（參考數據：，，，）【答案】（1）（2）當產量為7百件時，該企業在這種生產中獲利最大且最大利潤為51萬元【解析】【分析】（1）根據利用等于銷售收入減去生產成本即可求解；（2）利用導函數與單調性的關系討論利潤函數的單調性以及最值.【小問1詳解】設由，可得，解得，所以，依題意得，．【小問2詳解】由（1）得，，則，令，得，，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，有，答：當產量為7百件時，該企業在這種生產中獲利最大且最大利潤為51萬元．19.設函數在區間上的導函數為，且在上存在導函數（其中）.定義：若在區間上恒成立，則稱函數在區間上為凸函數.已知，（）.（1）判斷函數在區間上是否為凸函數，說明理由；（2）已知函數為上的凸函數，求的取值范圍，并證明：函數圖象上任意一點的切線總在的圖象的上方；（3）若，求函數（）的最小值.【答案】（1）在區間上為凸函數，理由見解析（2），證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）求出，判斷是否小于恒成立；（2）求出，根據凸函數的定義轉化為恒成立問題，分離參數求解即可；把“函數圖象上任意一點的切線總在的圖象的上方”轉化為，利用導數求解的單調性和最值即可；（3）令，，根據導數、、的范圍確定的單調性及最值，得到，再去絕對值即可.【小問1詳解】由可得，∴，∵，∴，∴在區間上為凸函數.【小問2詳解】①由，，得，.因為函數是上的凸函數，故在上恒成立，即，在上恒成立，故，故，所以實數的范圍是.②證明如下：設切點，則切線方程為，，令，，依題意，只需證明即可；，，故函數在上為減函數，又，故