昆山市柏廬高級中學高二年級3月階段性測試數學學科一、單選題（8*5分=40分）1.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結合導數的幾何意義求切線的斜率，再利用點斜式求切線方程.【詳解】，所以，所以曲線在點處的切線斜率為，由點斜式可得，化簡可得.即曲線在處的切線方程為.故選：D.2.已知函數則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據導數的定義和復合函數導數即可得到答案.【詳解】,.故選：A.3.函數的單調遞減區間為（）A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】先求出函數的定義域，然后對函數求導，由導數小于解不等式可求出函數的單調減區間.【詳解】函數的定義域為，由，得，由，得，因為，所以解得，所以函數的單調遞減區間為.故選：B4.如圖，湖北省分別與湖南?安徽?陜西?江西四省交界，且湘?皖?陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數為（）A.540 B.600 C.660 D.720【答案】D【解析】【分析】由分步乘法計數原理按步驟去涂色即可.【詳解】第一步涂陜西有5種選擇，第二步涂湖北有4種選擇，第三步涂安徽有4種選擇，第四步涂江西有3種選擇，第五步涂湖南有3種選擇,即共有種涂色方案.故選：D5.已知偶函數在上的導函數為，且在時滿足以下條件：①導函數的圖象如圖所示；②唯一的零點是1．則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記在上的零點為，結合導函數的圖象可求出的單調區間，再根據可求出當時的正負，再結合偶函數的性質可求得不等式的解集.【詳解】記在上的零點為，由在上的圖象，知當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．因為在唯一的零點是1，即，所以當時，，當時，．又為偶函數，所以當時，，當時，，所以的解集為．故選：B．6.甲、乙、丙、丁四人去聽同時舉行的個講座，每人可自由選擇聽其中一個講座，則恰好只有甲、乙兩人聽同一個講座的情況種數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將甲、乙兩人捆綁，與丙、丁兩人形成三個元素，然后從個講座中選取個講座分配給這三個元素即可，利用排列數公式可得結果.【詳解】先將甲、乙兩人捆綁，與丙、丁兩人形成三個元素，然后從個講座中選取個講座分配給這三個元素即可，所以，恰好只有甲、乙兩人聽同一個講座的情況種數為.故選：D.7.已知函數，若函數恰有5個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數定義域，將函數分類討論，借助于求導判斷函數單調性，判斷極值點和圖象趨勢，作出函數的簡圖，將函數分解因式，根據零點定義，結合圖象，確定有兩個根，轉化為有3個零點，由圖即得參數范圍.【詳解】函數的定義域為，若時，由求導得，，故當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，當時，，當時，；若時，由求導得，，因，故恒有，即在上單調遞增，且當時，，當時，，即時，恒有.作出函數的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個根，此時有2個零點；要使函數恰有5個不同的零點，需使有3個零點，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查利用導數由函數的零點個數求參問題，屬于難題.解題的關鍵在于將函數按照定義域分類討論，通過求導作出函數的圖象；第二個關鍵是，將函數的零點個數轉化為兩個函數的圖象交點個數問題解決.8.函數的兩個極值點滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知函數求導，令則可得，代入極值點后兩式作商，可得到的關系，作商得到的結果指對互換，便可解出，根據題目所求，代入后便可構造新的函數，通過求導可求得最小值.【詳解】由函數，，令，則，因為函數兩個極值點，則①，②，得③，設，則且，代入③得，，設，則，設，則，在單調遞減，，從而，在單調遞減，，，故最小值為．故選：A【點睛】方法點睛：求函數最值，通常是對所求函數求導，當一階導數不能確定極值點時，可二階求導確定導函數的單調性和零點，可得到原函數的單調區間，進而求得原函數的最值.二、多選題（3*6分=18分，漏選得2分、3分或4分）9.某次宴會，有6葷4素2湯共十二道菜品在長桌上擺成一排，下列說法正確的是（）A.兩份湯相鄰的擺法共有種B.每道素菜不相鄰的擺法共有種C.若十二道菜品的順序已經固定，現又上了四道主食，有種不同擺法D.兩湯不擺在首尾的擺法共有種【答案】BCD【解析】【分析】利用捆綁判斷A，利用插空法判斷B，利用定序倍縮法判斷C，利用特殊位置法判斷D，從而得解.【詳解】對于A，先將兩份湯捆綁在一起，再與其余十道菜品排列在一起，共有種擺法，故A錯誤；對于B，先將6葷2湯共八道菜品進行排列，再將4道素菜插空，共有種擺法，故B正確；對于C，先將十六道菜品進行排列，有種擺法，其中十二道菜品的順序固定，所以有（種）不同擺法，故C正確；對于D，將12道菜看成10個空，去掉首尾后還有10個空，在其中任選兩個空將兩個湯品放進去，再將十道菜品排列到剩余的10個空中，共有種擺法，故D正確.故選：BCD.10.對于函數，下列說法正確的是（）A.函數在單調遞增.B.函數在單調遞減.C.對任意，都有成立.D.存在，使得.【答案】AC【解析】【分析】利用導數求解單調性判斷A，B，利用函數的凹凸性判斷C，轉化為零點問題，利用導數結合零點存在性定理判斷D即可.【詳解】因為，所以，易得，令，所以，故恒成立，故單調遞增，即當時，恒成立，所以函數在單調遞增，故A正確，易得，所以，所以存在作為零點，令，，令，，所以函數在不單調遞減，故B錯誤，由已知得的二階導數恒大于0，所以是凹函數，所以成立，故C正確，欲證，則證，即證存在，，令，即證存在，有零點即可，而，令，所以，故在上單調遞增，而，所以在上恒成立，故在上單調遞減，易得，所以在上恒成立，故在上不可能有零點，故D錯誤.故選：AC11.已知函數和，有相同的極小值，若存在，使得成立，則（）A.B.C.當時，D.當時，若的所有根記為，，，，且，則【答案】ACD【解析】【分析】首先根據兩個函數極小值相同，分別求導，求出兩個函數的極小值，解出b，然后將兩個函數圖像作出，根據圖像可以判斷出BC，對于D，首先根據題意得到對應的等式，然后變形，采用等量替換的方法，即可求解.【詳解】，，，在上單調遞減，上單調遞增，在處取得極小值，而，且，在上單調遞減，上單調遞增，在處取得極小值，依據題意，和有相同的極小值，故，解得，故A正確；作出函數圖象如下圖所示，若，則與、相交時，或者，故B錯誤.由圖像可知，當時，，所以，C正確；若的所有根記為，，且時，則有，，可得，即，又，同理可得，，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題（3*5分=15分）12.用0、2、4、6、8這5個數字，組成沒有重復數字的三位數的個數為_______.（用數字作答）【答案】【解析】【分析】由三位數的首位不為零，利用分步乘法原理，可得答案.【詳解】三位數的百位不能選零，則有種選擇，而十位與個位分別有種與種選擇，所以三位數的個數為.故答案為：.13.已知函數若對于任意的都有成立，則實數a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】參變分離得到，構造函數，求導確定單調性，求得最小值即可求解.【詳解】對于任意的都有恒成立，等價于在上恒成立.令，則，，當時，，即在上遞增，故，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，所以實數的取值范圍是.故答案為：.14.已知實數滿足且，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】首先通過對數運算法則對已知等式進行變形，構造函數，利用導數判斷其單調性，再根據函數值相等及單調性得到與的關系，進而得到關于的表達式，構造新函數，通過求導判斷其單調性來求解最小值.【詳解】，即，設，則上式表明，求導得，當時，在上單調遞增，由于，令，，當時，單調遞減；當時，單調遞增，.故答案為：.四、解答題（13分+15分+15分+17分+17分=77分）15.設函數，．（1）求的單調區間和極值；（2）證明：若存零點，則在區間上僅有一個零點．【答案】（1）單調遞減區間是，單調遞增區間是；極小值；（2）證明詳見解析.【解析】【詳解】試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值、函數零點問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.（Ⅰ）先對求導，令解出，將函數的定義域斷開，列表，分析函數的單調性，所以由表格知當時，函數取得極小值，同時也是最小值；（Ⅱ）利用第一問的表，知為函數的最小值，如果函數有零點，只需最小值，從而解出，下面再分情況分析函數有幾個零點.試題解析：（Ⅰ）由，（）得.由解得與在區間上的情況如下：-

+所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是；在處取得極小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區間上的最小值為.因為存在零點，所以，從而.當時，在區間上單調遞減，且，所以是在區間上的唯一零點.當時，區間上單調遞減，且，，所以在區間上僅有一個零點.綜上可知，若存在零點，則在區間上僅有一個零點.考點：導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值、函數零點問題.16.已知函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求k，b的值；（2）設函數，若有兩個實數根，求出t的取值范圍并求的最小值.【答案】（1）（2）；的最小值為【解析】【分析】（1）求導得，由導數的幾何意義可得，即可得出切線方程，進而可得到答案；（2）由（1）得，做出的圖像，由圖像即可求出t的取值范圍，令，所以，令，求導分析單調性即可得出答案.【小問1詳解】，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，所以；【小問2詳解】由（1）得，作出函數的大致圖象，因為有兩個實數根，所以與有兩個不同的交點，由圖可知；令，得出，令，所以，令，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以最小值為，所以的最小值為.所以，的最小值為17.已知函數，其中．（1）討論函數的單調性；（2）已知，若對任意的恒成立，求的最小值．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導之后分和討論得到單調性即可；（2）由條件得到時函數極小值，令極小值大于零，得到關于的不等式，再構造函數，求導分析單調性得到最值即可.【小問1詳解】，當時，恒成立，在上單調遞增；當時，令，所以當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】由（1）可得時，當時，函數取得極小值，又，若對任意的恒成立，不符合題意，所以當，，即，即，即，代入，設，則，令，得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，所以的最小值為.18.已知函數.（1）若，當與的極小值之和為0時，求正實數a的值；（2）若，證明恒成立；（3）若，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據極小值的定義計算即可；（2）結合（1）應用，再構造函數求出值域即可證明；（3）把問題轉化為，進而轉化為，令，只需證明即可.【小問1詳解】定義域均為，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在取極小值，且；又，令，解得：，令，解得：，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在取極小值，且，所以，解得：.【小問2詳解】當時，由（1）可得在上單調遞減，在上單調遞增，且，令，單調遞減，，所以，所以恒成立；【小問3詳解】令，因為，所以，由可得：，作差得：，所以，要證：，只要證：，只要證：，不妨設，所以只要證：，即證：，令，只需證：，令，所以在上單調遞增，所以，即有成立，所以成立.19.已知函數.（1）若只有2個正整數解，求a的取值范圍；（2）①求證：方程有唯一實根，且；②求的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）在同一平面直角坐標系下畫出函數與直線的圖象，結合圖象分類討論即可求解；（2）①由方程可得，構造函數，利用導數研究函數單調性可知.設，根據的單調性及零點存在性定理即可證明；②對求導得，結合①可判斷函數的單調性，進而可求的最大值.【小問1詳解】當時，，不等式恒成立；在同一平面直