澠池二高2024-2025學年下學期第一次月考高二數學試題注意事項：考試時間120分鐘，滿分150分.答案寫在答題卡，在試題卷上作答無效.交卷時只交答題卡.一?單選題：（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（）A.10種 B.20種 C.25種 D.32種【答案】D【解析】【分析】由分步乘法原理計算．【詳解】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.故選：D2.在的展開式中，的系數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數即可得解.【詳解】的二項展開式為，令，解得，故所求即.故選：A.3.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據復合函數的導函數計算判斷A，B，C，應用乘法求導運算判斷D.【詳解】因為所以A選項錯誤；因，所以B選項錯誤；因為，所以C選項錯誤；因為，所以D選項正確.故選：D.4.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）A.248種 B.168種 C.360種 D.210種【答案】D【解析】【分析】根據分類加法原理，結合組合、排列的定義進行求解即可.【詳解】根據題意進行分類：第一類：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3本，（種）.所以由分類加法計數原理可得共有種不同的分法．故選：D.5.已知，則（）A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】根據導數的定義可得，求得得解.詳解】由，可得，即，又，則，所以.故選：D.6.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】求，利用導數的幾何意義可求的值.【詳解】由題意得，函數的定義域為，且，∴，∵曲線在點處的切線與直線垂直，∴，即，故.故選：D.7.設滿足，則（）A.120 B. C.40 D.【答案】A【解析】【分析】利用賦值法令可計算得出，再令求出，構造方程組計算可得.【詳解】因為，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所以.故選：A.8.若函數在內無極值，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出導數，再由導函數在內無變號零點，結合函數的單調性確定最小值和最大值的范圍即可求解.【詳解】由函數在內無極值，得在內無變號零點，而函數在上單調遞增，則或，解得或，所以實數a的取值范圍是.故選：C二?多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.函數的導函數的圖象如圖所示，下列命題中正確的是（）A.是函數的極值點 B.在區間上單調遞增C.是函數的最小值點 D.在處切線的斜率小于零【答案】AB【解析】【分析】根據導函數的正負確定函數的單調性，即可結合極值的定義，逐一求解.【詳解】根據導函數圖象可知：當時，，在時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故B正確；則是函數的極小值點，故A正確；在上單調遞增，不是函數的最小值點，故C不正確；函數在處的導數大于切線的斜率大于零，故D不正確．故選：AB10.某校高二年級安排甲?乙?丙三名同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每名同學只能選擇一個社區進行實踐活動，且多名同學可以選擇同一個社區進行實踐活動，則下列說法正確的有（）A.如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B.如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有50種C.如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種D.如果甲?乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據社區A必須有同學選擇，由甲?乙?丙三名同學都有5種選擇減去有4種選擇求解；對于B，根據同學甲必須選擇社區A，有乙丙都有5種選擇求解；對于C，根據三名同學選擇的社區各不相同求解；對于D，由甲?乙兩名同學必須在同一個社區，捆綁再選擇求解；【詳解】對于A，如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種），故A正確；對于B，如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有（種），故B錯誤；對于C，如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有（種），故C正確；對于D，甲?乙兩名同學必須在同一個社區，第一步，將甲?乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區，則不同的安排方法共有（種），故D錯誤.故選：AC.11.已知二項展開式，下列說法正確的有（）A.的展開式中的常數項是B.的展開式中的各項系數之和為C.的展開式中的二項式系數最大值是D.，其中為虛數單位【答案】BC【解析】【分析】結合二項式系數的性質、系數的性質及對數的運算計算即可得.【詳解】，對A：令，即，則，故A錯誤；對B：令，即，故各項系數之和為，故B正確；對C：由，故二項式系數中的最大值為，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：BC.三?填空題（每題5分共15分）12.某電視臺計劃在春節期間某段時間連續播放6個廣告，其中3個不同的商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業廣告不能3個連續播放，則不同的播放方式有__________.【答案】72【解析】【分析】將第一個和最后一個先安排為公益廣告，然后由商業廣告不能3個連續播放，將其排成一列，之間有兩個空，將剩下的公益廣告插進去即可.【詳解】先從3個不同的公益廣告中選兩個安排到第一個和最后一個播放有種方法，然后將3個不同的商業廣告排成一列有種方法，3個不同的商業廣告之間有兩個空，選擇一個將剩下的一個公益廣告安排進去即可，所以總共有：種方式.故選:B.13.已知函數，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】利用導函數分析函數的單調性，再通過比較端點值得出函數最大值.【詳解】由題意，，所以.令則，所以，時，單調遞減；時，單調遞增又，故答案為：.14.已知定義在的函數滿足，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】令函數，求導函數并根據函數符號與單調性的關系判斷得出的單調性，再利用單調性解不等式可得結論.【詳解】構造函數，則，又，，可得，因此在上單調遞增，原不等式可化為，即，可得，因此，解得.故答案為：.四?解答題15.已知函數在處有極值.（1）求的值；（2）求函數的單調減區間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據條件，利用極值的定義建立方程組，即可求解；（2）對求導，利用導數與函數單調性間的關系，即可求解.【小問1詳解】因為，又在處有極值，得，即，解得，此時，令，得到，當時，，時，，所以在處取到極小值，故滿足題意，所以.【小問2詳解】由（1）可知，其定義域是，且，由，得，所以函數的單調減區間是.16.若，其中．（1）求m的值；（2）求；（3）求．【答案】（1）1（2）255（3）0【解析】【分析】（1）寫出展開式的通項，然后由條件可得答案；（2）分別令、可得答案；（3）令可得，然后利用平方差公式可得答案.【小問1詳解】的展開式的通項為，所以，所以，解得；【小問2詳解】由（1）知，令，可得，令，可得，所以；【小問3詳解】令，可得，由（2）知，所以．17.已知函數，.（1）當時，求函數在點處的切線方程；（2）試判斷函數的單調性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）當時，求出、的值，結合導數的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）對求導，得到，對進行討論，判斷的單調性．【小問1詳解】當時，，則，所以，，，故當時，函數在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】函數的定義域為，，當時，，的減區間為，無增區間；當時，令，，時，，單調遞減，時，，單調遞增，綜上所述，當時，的減區間為，無增區間；當時，的減區間為，增區間為.18.為慶祝3.8婦女節，東湖中學舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現高二年級共有4名男老師，6名女老師報名參加比賽.（1）一共有多少不同的分組方案？（2）在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照1、2、3、4、5號位站好，為爭取最好成績，高二年級選擇了、、、、、六名女老師進行訓練，經訓練發現不能站在5號位，若、同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分成兩組，根據是否平均分組分別寫出即可；（2）首先討論有限制的、、有哪些人上場，其次若、同時上場，則利用捆綁法，求解即可.【小問1詳解】隊伍分配方案可分為：①兩組都是3女2男；②一組是1男4女，另一組是3男2女，①若兩組都是3女2男，則先將6女平均分成兩組共種方式，再將4男平均分成兩組共種方式，所以兩組都是3女2男的情況有種；②一組是1男4女，另一組是3男2女的情況有種，所以總情況數為種.故一共有種不同的分組方案；【小問2詳解】總共可分為三種情況，如下：①若上場且不上場：先將全排列，共有種方式，再把捆綁后和全排列共有種方式，所以上場且不上場共有種不同的排列方式；②若上場且也上場：（i）若在1號位，先將全排列，共有種方式，再從中選兩人，有種方式，則捆綁后和中的兩人全排列，有種方式，所以在1號位共有種不同的方式；（ii）若在2號位，再將全排列，且可位于3，4號位或4，5號位，共有種方式，再從中選兩人進行排列，有種方式，所以在2號位或3號位共有種不同的方式；（iii）若在3號位，再將全排列，且可位于1，2號位或4，5號位，共有種方式，再從中選兩人進行排列，有種方式，所以在2號位或3號位共有種不同的方式；（iiii）若在4號位，將全排列，且可位于1，2號位或2，3號位，共有種方式，再從中選兩人進行排列，有種方式，所以在4號位共有種不同的方式.所以上場且也上場共有種不同的方式；③若中有一人上場且上場：上場且不在5號位，則可位于1，2，3，4號位，有種方式，再從中選一人，有種方式，中的一人和共4人全排列，共種方式，所以中有一人上場且上場共有種不同的排列方式.綜上所述，共有種排列方式.19已知函數.（1）證明：曲線在處的切線恒過定點；（2）已知有兩個零點，且，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求，計算以及，寫出直線方程化簡可求出定點