肇慶鼎湖中學2026屆高二級3月月考數學學科考試時間：120分鐘滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知數列的首項，且滿足，則（）A. B. C.16 D.19【答案】B【解析】【分析】根據條件得出數列是以，的等差數列，即可求出結果.詳解】由，得到，又，所以數列是以，公差的等差數列，得到，故選：B.2.記等比數列的前項和為，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據等比數列前項和公式的形式，可以得到。從而得到，當時，得.【詳解】顯然，等比數列前項和公式為，因為為等比數列的前項和，所以，所以所以.故選：C3.已知等差數列中，，則（）A.8 B.4 C.16 D.-4【答案】B【解析】【分析】利用等差數列的性質求解.【詳解】解：由等差數列的性質知，所以，所以，所以，故選：B4.已知是正項等比數列，若，，成等差數列，則公比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意設出公比，根據等差中項的性質建立方程，可得答案.【詳解】設等比數列的公比為，由數列為正項數列，則，由，，為等差數列，則，即，所以，整理得，解得或（舍去）故選：C.5.一個等差數列共有2n項，奇數項的和與偶數項的和分別為24和30，且末項比首項大10.5，則該數列的項數是（）A.4 B.8 C.12 D.20【答案】B【解析】【分析】根據等差數列的性質得到方程組，求出，從而求出數列的項數.【詳解】根據等差數列的性質得：，，解得：，故該數列的項數為.故選：B6.已知函數的導函數為，且，則（）A.2 B. C.10 D.5【答案】C【解析】【分析】根據題意結合導數的定義分析求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.7.下面圖形由小正方形組成，請觀察圖①至圖④的規律，并依此規律，寫出第n個圖形中小正方形的個數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，，可推測，以上式子累加，結合等差數列的求和公式可得答案．【詳解】，，，，，，，，等式兩邊同時累加得，即，也符合該式，所以第個圖形中小正方形的個數是．故選：C8.已知各項為正的數列的前項和為，滿足，則的最小值為（）A. B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】由結合求出，從而求得，由此求出的表達式，利用基本不等式即可求得答案．【詳解】各項為正的數列，，時，，即，化為：，，，又，解得，數列是等差數列，首項為1，公差為2．，，，當且僅當時取等號，的最小值為2．故選：D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對，得部分分）9.設等差數列的前n項的和為，公差為d．已知，，，則（）A. B.C.與均為的最大值 D.當時，n的最小值為13【答案】ABD【解析】【分析】通過數列的性質可將化為，結合，則選項A可判定；由，，，，通項公式構建公差的不等式組，則選項B可判定；等差數列中，，可知的最大值為，則選項C可判定；將，轉化為前n項的和的正負，即可判定D選項.【詳解】等差數列中，則，即，所以由等差數列的性質可得，又，所以，故A正確；已知，，，，所以，，，解得，故B正確；等差數列中，，可知的最大值為，故C錯誤；等差數列中，所以，繼而可得，又，故D正確.故選:ABD.10.已知數列的首項，且，滿足下列結論正確的是（）A.數列是等比數列B.數列是等比數列C.D.數列的前n項的和【答案】BC【解析】【分析】計算數列前三項可判斷A；利用，構造等比數列，可判斷B，C；結合C的結果以及等比數列前n項和公式可判斷D.【詳解】由題意數列的首項，且滿足，則，則，故數列不是等比數列，A錯誤；由得，，否則與矛盾，則，則數列是等比數列，B正確；由B分析知數列是等比數列，首項為，公比為，則，所以，C正確；數列的前n項的和為，D錯誤.故選：BC11.已知等比數列的前項和為，且，為等差數列，且，，記集合中元素的個數為，數列的前項和為，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，利用與的關系以及等比數列的基本量運算即可求其通項；對于B，利用A的結論，結合等差數列基本量運算可得；對于C，根據A，B項所求易得的通項；對于D，利用分組求和法與等比、等差數列求和公式計算即得.【詳解】對于A，設等比數列的公比為，由，得，兩式相減得，即，所以，又，因為等比數列，故，聯立解得，所以，A錯誤；對于B，設等差數列的公差為，由，，得，解得，所以，B正確；對于C，由，得，則集合中元素的個數為，即，C錯誤；對于D，，D正確．故選：BD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數，則在處的切線方程為___________【答案】【解析】【分析】利用導數求得切線的斜率，求得切點坐標后求得切線方程.【詳解】因為，所以，又因為，所以切點為，所以曲線在處的切線方程為.故答案為：【點睛】本小題主要考查切線方程的求法，屬于基礎題.13.在等差數列中，，，則數列的前2022項的和為_______．【答案】2022【解析】【分析】首先利用等差數列的項求出數列的通項公式，進一步用分組求和法求和即可.【詳解】設等差數列的公差為，則，解得，∴，故，∵，∴，對任意的，，∴數列的前項的和為；故答案為：.14.等差數列，的前項和分別為，，且，則________．【答案】【解析】【分析】利用等差數列項的性質和前項和公式計算即得.【詳解】由可得：，則.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數列，中，，，是公差為1的等差數列，數列是公比為2的等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據題意及等差數列的通項公式計算出數列的通項公式，再根據等比數列的通項公式計算出數列的通項公式，即可計算出數列的通項公式；（2）根據數列的通項公式的特點運用分組求和法，以及等差數列和等比數列的求和公式即可計算出前項和．【小問1詳解】由題意，可得，故，，數列是公比為2的等比數列，且，，，．【小問2詳解】由題意及（1），可得，則．16.已知數列的前項和．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用關系求通項公式即可；（2）應用裂項相消法求和得，即可證.【小問1詳解】因為，當時，，兩式相減，得，當時，滿足上式，故數列通項公式為．【小問2詳解】由（1）知，故，所以，由，則，所以，故．17.設單調遞減的等差數列的前項和為.（1）求數列的通項公式及前項和；（2）設數列的前項和為，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據已知條件結合等差數列的性質可得，解方程組求出，從而可求出，，（2）由，得，然后分和兩種情況求.【小問1詳解】因為數列為等差數列，所以，又，解得，或，又因為數列單調遞減，所以，所以，所以，解得，所以.【小問2詳解】由，解得，，解得，即，所以當時，，當時，，綜上.18.已知數列中，，．（1）證明數列是等比數列，并求的通項公式；（2）數列滿足，設為數列的前項和，求使恒成立的最小的整數．（3）設，求數列的前項和．【答案】（1）證明見解析，（2）4（3）【解析】【分析】（1）將遞推公式適當變形，根據等比數列的定義證明，進而得的通項公式，再得的通項公式；（2）根據通項公式得到通項公式，再利用錯位相減法求和，進而根據不等式的特征求解整數即可；（3）根據通項公式得到通項公式，再利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】在數列中，由，得，則，所以數列是以3為公比，以為首項的等比數列，則，解得，所以的通項公式．【小問2詳解】由（1）知.所以，則，兩式相減得：.因此，，當時，，所以由恒成立，可得，所以使恒成立最小的整數為4；【小問3詳解】，所以.19.已知數列，的各項都是正數，是數列的前項和，滿足；數列滿足，，（1）求數列和的通項公式；（2）記，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先根據條件算出，再算出和；（2）對于采用分組求和的方法，推出的解析式，再根據條件，計算不等式，確定的范圍.【小問1詳解】依題意，根據，得，又，，得；當時，；當時，適