PAGE1-第一節排列與組合[考綱傳真]1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理.2.能正確區分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡潔的實際問題.3.理解排列的概念及排列數公式，并能利用公式解決一些簡潔的實際問題.4.理解組合的概念及組合數公式，并能利用公式解決一些簡潔的實際問題．1．分類加法計數原理完成一件事，可以有n類方法，在第一類方法中有m1種方法，在其次類方法中有m2種方法，…，在第n類方法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱加法原理)2．分步乘法計數原理完成一件事須要經過n個步驟，缺一不行，做第一步有m1種方法，做其次步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法．3．排列、組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素依據肯定的依次排成一列組合的定義合成一組4.排列數、組合數的定義、公式、性質排列數組合數定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部不同排列的個數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部不同組合的個數公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)全部元素完全相同的兩個排列為相同排列． ()(2)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能干脆完成這件事． ()(3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的． ()(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1). ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改編)圖書館的一個書架有三層，第一層有3本不同的數學書，其次層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現從中任取1本書，不同的取法有()A．12 B．16C．64 D．120B[書架上共有3＋5＋8＝16本不同的書，從中任取一本共有16種不同的取法，故選B．]3．(教材改編)用數字1,2,3,4,5組成無重復數字的四位數，其中偶數的個數為()A．8 B．24C．48 D．120C[末位只能從2,4中選一個，其余的三個數字隨意排列，故這樣的偶數共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＝4×3×2×2＝48個．故選C.]4．某市委從組織機關10名科員中選3人擔當駐村第一書記，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為()A．85 B．56C．49 D．28C[法一(干脆法)：甲、乙兩人均入選，有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(2,2)種方法，甲、乙兩人只有1人入選，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)種方法，由分類加法計數原理，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝49種選法．法二(間接法)：從9人中選3人有Ceq\o\al(3,9)種方法，其中甲、乙均不入選有Ceq\o\al(3,7)種方法，∴滿意條件的選排方法有Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,7)＝84－35＝49種．]5．將6名老師分到三所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．360[將6名老師分組，分3步完成：第1步，在6名老師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al(1,6)種取法；第2步，在余下的5名老師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al(2,5)種取法；第3步，余下的3名老師作為一組，有Ceq\o\al(3,3)種取法．依據分步乘法計數原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(種)取法．將這三組老師安排到三所中學，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)分法，故共有60×6＝360(種)不同法．]兩個計數原理的綜合應用【例1】(1)從甲地到乙地每天有直達汽車4班，從甲到丙地，每天有5個班車，從丙地到乙地每天有3個班車，則從甲地到乙地不同的乘車方法有()A．12種 B．19種C．32種 D．60種(2)如圖，用6種不同的顏色分別給圖中A，B，C，D四塊區域涂色，若相鄰區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A．400種 B．460種C．480種 D．496種(1)B(2)C[(1)分兩類：一類是干脆從甲到乙，有n1＝4種方法；另一類是從甲經丙再到乙，可分為兩步，有n2＝5×3＝15種方法．由分類加法計數原理可得：從甲到乙的不同乘車方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故選B．(2)完成此事可能運用4種顏色，也可能運用3種顏色．當運用4種顏色時：從A起先，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360種方法；當運用3種顏色時，A，D運用同一種顏色，從A，D起先，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4＝120種方法．由分類加法計數原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(種)．][規律方法]與兩個計數原理有關問題的解題策略(1)在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，但在分步時可能又會用到分類加法計數原理．(2)對于較困難的兩個原理綜合應用的問題，可恰當地畫出示意圖或列出表格，化抽象為直觀．(1)五名學生報名參與四項體育競賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數為________．五名學生爭奪四項競賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種．(2)用0,1,2,3,4,5,6這7個數字可以組成________個無重復數字的四位偶數．(用數字作答)(1)4554(2)420[(1)五名學生參與四項體育競賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法．五名學生爭奪四項競賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性．(2)①當末位數字是0時，如圖(1)所示，共有Aeq\o\al(3,6)個不同的四位偶數；圖(1)②當末位數字是2或4或6時，如圖(2)所示，共有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)個不同的四位偶數；即共有Aeq\o\al(3,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝120＋5×5×4×3＝420個無重復數字的四位偶數．]圖(2)排列問題【例2】3名女生和5名男生排成一排．(1)若女生全排在一起，有多少種排法？(2)若女生都不相鄰，有多少種排法？(3)若女生不站兩端，有多少種排法？(4)其中甲必需排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？(5)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？[解](1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同5名男生合在一起有6個元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有Aeq\o\al(3,3)種排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320種不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有Aeq\o\al(5,5)種排法，這5名男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400種不同排法．(3)法一(位置分析法)：因為兩端不排女生，只能從5名男生中選2人排，有Aeq\o\al(2,5)種排法，剩余的位置沒有特別要求，有Aeq\o\al(6,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400種不同排法．法二(元素分析法)：從中間6個位置選3個支配女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，其余位置無限制，有Aeq\o\al(5,5)種排法，因此共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400種不同排法.(4)8名學生的全部排列共Aeq\o\al(8,8)種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占eq\f(1,2)，因此符合要求的排法種數為eq\f(1,2)Aeq\o\al(8,8)＝20160.(5)甲、乙為特別元素，左、右兩邊為特別位置．法一(特別元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排，有Aeq\o\al(7,7)種不同排法；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有Aeq\o\al(1,6)種．而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有Aeq\o\al(1,6)種，其余人全排列，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種不同排法．由分類加法計數原理知，共有Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960種不同排法．法二(特別位置法)：先排最左邊，除去甲外，有Aeq\o\al(1,7)種排法，余下7個位置全排，有Aeq\o\al(7,7)種排法，但應剔除乙在最右邊時的排法Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種，因此共有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960種排法．法三(間接法)：8名學生全排列，共Aeq\o\al(8,8)種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時，有Aeq\o\al(7,7)種排法，乙在最右邊時，有Aeq\o\al(7,7)種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有Aeq\o\al(6,6)種排法．因此共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(6,6)＝30960種排法．[規律方法]求解排列應用問題的六種常用方法干脆法把符合條件的排列數干脆列式計算優先法優先支配特別元素或特別位置捆綁法相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時留意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法(1)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為()A．144 B．120C．72 D．24(2)旅游體驗師小明受某網站邀請，確定對甲、乙、丙、丁這四個景區進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區旅游，不能最終去乙景區和丁景區旅游，則小李可選的旅游路途數為()A．24 B．18C．16 D．10(1)D(2)D[(1)先把3把椅子隔開擺好，它們之間和兩端共有4個位置，再把3人帶椅子插放在4個位置，共有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)方法．故選D．(2)分兩種狀況，第一種：最終體驗甲景區，則有Aeq\o\al(3,3)種可選的路途；其次種：不在最終體驗甲景區，則有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)種可選的路途．所以小李可選的旅游路途數為Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝10.故選D．]組合問題【例3】某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長．現從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當選；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選．[解](1)只有一名女生當選等價于有一名女生和四名男生當選．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350種．(2)兩隊長當選，共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165種．(3)至少有一名隊長當選含有兩類：只有一名隊長當選，有兩名隊長當選．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825種．(或采納解除法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種))．(4)至多有兩名女生當選含有三類：有兩名女生當選，只有一名女生當選，沒有女生當選．故選法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種．[律方規法]組合問題的常見類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取．(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若干脆法分類困難時，逆向思維，間接求解．(1)某單位擬支配6位員工在今年6月9日至11日值班，每天支配2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值9日，乙不值11日，則不同的支配方法共有()A．30種 B．36種C．42種 D．48種(2)現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為()A．232 B．252C．472 D．484(1)C(2)C[(1)若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有Ceq\o\al(1,4)種選法，9日、10日有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種支配方法，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝24(種)支配方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)種支配方法，共有12種支配方法；若甲、乙都在10日值班，則共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(種)支配方法．所以總共有24＋12＋6＝42(種)支配方法．(2)分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)；其次類，不含有紅色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(種)．由分類加法計數原理知，不同的取法有264＋208＝472(種)．]排列、組合的綜合應用【例4】(1)將5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲小組至少2人，乙、丙組至少1人，則不同的安排方案種數為()A．80 B．120C．140 D．50(2)假如一個三位正整數“a1a2a3”滿意a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數為凸數(如120,343,275等)，那么全部凸數的個數為()A．240 B．204C．729 D．920(1)A(2)A[(1)先將5名同學分成3組，有兩種安排方案，一是三組人數分別為2,2,1，分組方法有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15(種)，然后將有2人的兩組分給甲、乙或甲、丙，安排方法是15×(Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2))＝60(種)；二是三組人數分別為3,1,1，分組方法有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝10(種)，然后將1人的兩組分給乙、丙兩組，安排方法是10×Aeq\o\al(2,2)＝20(種)．故共有60＋20＝80(種)．(2)假如這個三位數含0，則0必在末位，共有這樣的凸數Ceq\o\al(2,9)個；假如這個三位數不含0，則這樣的凸數共有Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,9)個．即共有2Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＝240個．][規律方法]1.排列組合綜合題思路，先選后排，先組合后排列．當有多個限制條件時，應以其中一個限制條件為標準分類，限制條件多時，多考慮用間接法，但需確定一個總數．2．(1)不同元素的安排問題，往往是先分組再安排．在分組時，通常有三種類型：①不勻稱分組；②勻稱分組；③部分勻稱分組，留意各種分組類型中，不同分組方法的求法．(2)對于相同元素的“安排”問題，常用的方法是采納“隔板法”．(1)(2024·長春質檢)要將甲、乙、丙、丁4名同學分到A，B，C三個班級中，要求每個班級至少分到一人，則甲被分到A班的分法種數為()A．6 B．12C．24 D．36(2)(2024·浙江高考)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，一般隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數字作答)(1)B(2)660[(1)甲和另一個人一起分到A班有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種分法，甲一個人分到A班的方法有：Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種分法，共有12種分法．故選B．(2)法一：只有1名女生時，先選1名女生，有Ceq\o\al(1,2)種方法；再選3名男生，有Ceq\o\al(3,6)種方法；然后排隊長、副隊長位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計數原理，知共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,4)＝480(種)選法．有2名女生時，再選2名男生，有Ceq\o\al(2,6)種方法；然后排隊長、副隊長位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計數原理，知共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,4)＝180(種)選法．所以依據分類加法計數原理知共有480＋180＝660(種)不同的選法．法二：不考慮限制條件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)種不同的選法，而沒有女生的選法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)種，故至少有1名女生的選法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(種)．]1.(2024·全國卷Ⅱ)支配3名志