6.4.2向量在物理中的應用舉例（分層作業(yè)）（夯實基礎+能力提升）

【夯實基礎】

一、單選題

1.（2022?全國?高一專題練習）人騎自行車的速度為力,風速為1,則逆風行駛的速度為（）

A.匕一匕B.匕—匕C.V]+v2D.-v2|

【答案】C

【分析】利用向量的加法運算求解.

【詳解】解：由題得盯和也都是向量，根據(jù)向量的加法運算得逆風行駛的速度為大+g.

故選：C.

2.（2022春?湖北荊州?高一公安縣車胤中學校考階段練習）某人先向東走弘〃?，位移記為G,接著再向北

走弘7〃，位移記為5，則1+B表示（）

A.向東南走B.向東北走6〃加

C.向東南走3岳川D.向東北走3及加？

【答案】D

【分析】根據(jù)向量方向和模長可得結(jié)果.

【詳解】由題意知：B+E|=V^W=3及，位移方向為東北方向，,2+5表示向東北走

故透:D.

3.（2022春?江蘇無錫?高一輔仁高中校考階段練習）一物體在力廣一的作用下，由點44,-2）移動到點4（5,4）.

已知戶二（3,2）,則尸一對該物體所做的功為（）

A.-15B.15C.28D.-28

【答案】B

【分析】利用數(shù)量積的坐標公式進行計算.

【詳解】由題意得：布=（1,6）,設尸一對該物體所做的功為：1x3+6x2=15

故選：B

4.（2022春?山東臨沂?高一校考階段練習）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生

做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60。，每只胳膊的拉力大小均為

20（）6N,則該學生的體重（單位：kg）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/s2）（）

A.60右B.61C.75D.60

【答案】D

【分析】用向量方，礪表示兩只胳膊的拉力的大小和方向，它們的合力與體重相等，求出|況+礪卜西化

為千克即可得.

【詳解】如圖，儂=|得=2005408:60。,

作平行四邊形。則O的8是菱形，OC=OA+OB,

|困=2網(wǎng)sin60。=600,

所以同=|明=600,

因此該學生體重為駟=竽=60(kg).

g10°

故選：D.

二、多選題

，作用在行李包上的兩個拉力分別為耳，耳，且同=園，耳與月的夾角為"下列結(jié)論中正確的是（

d)

B.。的取值范圍為［0,司

C.當時，同D.當8=暫時，園

【答案】AD

【分析】利用平面向扁的加法運算以及模長、數(shù)最積公式進行求解.

【詳解】對于A，根據(jù)題意,得同工|耳+同,所以同2=圖+同+2同入同xcos6=2同（1+36）,

解得丘國

,因為夕€（0,"）時，p=COS。單調(diào)遞減，所以6越大越費力,e越小越省力，故A正

確；

對于B,由題意知。的取值范圍是（0,幻，故B錯誤；

對于c,因為同=.同方'所以當時，同=單，所以園=孝同，故C錯誤；

對「D,因為同2=2。同獷所以當"當時，園2=耕，所以同=同，故D正確.

故選：AD.

6.（2022?高一課時練習）（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運動時。，設水的阻力大小不

變，那么小船勻速靠岸過程中（）

A.船受到的拉力不斷增大B.船受到的拉力不斷變小

C.船受到的浮力不斷變小D.船受到的浮力，呆持不變

【答案】AC

由向量加法的平行四邊形法則可知耳+月的方向是豎直向上的，且

|[+可=2|耳|sin450=2xl0x等=10上，所以物體的重力大小為10及M

故答案為：ioVI

9.（2022?高一課時練習）己知力耳=耳=（1,5）,且冗后和耳三個力的合力為尸=（0,1）,則

______-

【答案】（-3,-3）

【分析】利用平面向量線性運算的坐標表示即可求解.

————一[2+1+x=0[x=—3

【詳解】解：設居=（4/）,則月+居+￡=產(chǎn)，即,<J解得/

—1+b+y=11y=-3

所以耳=（一3,-3）.

故答案為：（-3,-3）.

10.（2022?高一課時練習）力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的,運力的疊加亦用

到向量的合成.

【答案】加減法

【分析】略

【詳解】略

故答案為：加減法

11.（2022春?高一課時練習）如圖，一個力廠作用于小車G,使小車G發(fā)生了40米的位移，廠的大小為

50牛，且與小車的位移方向（s的方向）的夾角為60。，則力/做的功為牛?米.

F

JS

…_____________

【答案】100（）

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，求出小車位移方向力的大小，即可求出力產(chǎn)做的功.

【詳解】解：小車位移方向力的大小為50-cos6（）o=25牛，

所以力產(chǎn)做的功為25x40=1000牛?米.

故答案為：1000.

四、雙空題

12.（2022春?北京豐臺?高一統(tǒng)考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為240夜米，一個人從岸邊游向?qū)Π?

已知他在靜水中游泳時，速度大小為每分鐘12百米，水流速度大小為每分鐘12米.

①當此人垂直游向河對岸，那么他實際前進速度的大小每分鐘米；

②當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的需要分鐘.

【答案】24；20.

【分析】（1）求出J（12百￥+12,即得解;

（2）求出他游到河對岸的速度即得解.

【詳解】解：（1）如圖所示，當比人垂直游向河對岸，那么他I際前進速度的大小為J（12石產(chǎn)+[2?-24，

他實際前進速度的大小每分鐘24米.

（2）如圖所示，當此人游泳距離最短時，他游到河對岸的速度為/126）2-12?=12五,所以他游到河對

岸的需要—工=20分鐘.

I2V2

13.（2022?全國?高一專題練習）若"表示"向東走8km”，E表示“向北走8km”，則K+可=,a+b

的方向是.

【答案】8&km東北方向

【分析】畫出圖形，利用向量加法公式得到工+坂=夕+益=方，進而求出模長及方向.

【詳解】如圖所示，作=Z荔=Z,

B

貝〃+至=方+而=礪.

所以歸+,二|礪卜,8?+8:=86(km),

因為N/1O4=45。，

所以￡+B的方向是東北方向.

故答案為：8\/2km,東北方向

14.(2022?高?課時練習)在水流速度為lOkm/h的河中，要使船以10。km/h的速度與河岸成直角橫渡，

則船行駛速度的大小為km；h,與水流方向所成的角為.

【答案】20120。

【分析】如表示水流方向，礪表示垂直于對岸橫渡的方向，反表示船實際航行的方向，則麗=反十萬，

由|網(wǎng)=|方|可得答案.

【詳解】如圖，風表示水流方向，麗表示垂直于對岸橫渡的方向，反表示船實際航行的方向，則

麗=反+而，由題意知匹卜網(wǎng)=10,畫=1。5所以|因二20,且乙40。=120。.所以船行駛速

度的大小為20km/h,與水流方向所成的角為120"

故答案為：①20②120。.

A

五、解答題

15.（2022?高一課前預習）在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10nVmin,如果船從岸邊出發(fā)

沿垂直于水流的航線到達對岸，則經(jīng)過3小時，該船的實際航程是多少km?

【答案】乎（km）

【分析】如圖，設水流的速度為蘇，船航行的速度為方，則這2個速度的和為沅，則由題意可得10,

|礪1=20,解直角三角形O8C求出合速度的大小，然后求解即可.

【詳解】解：如圖：設水流的速度為次，船航行的速度為礪，則這2個速度的和速度為歷，

則由題意可得|方|=10,I痂1=20.

直角三角形OBC中，由08=20,8c=04=10,可得6=30。，

所以船的合速度的大小為1oGnVmin=3目（km/h）,

故船行駛的方向與水流的方向成120。（即4OB=12曲.

所以經(jīng)過3小時，該船的實際航程是3、苧=竽千米.

16.（2023?全國?高三專題練習）平面上三個力耳、耳、尺作用于一點且處于平衡狀態(tài)，|1|=1N,

-|=X/6+X/2N＞［與月的夾角為45。，求：

（1）后的大小；

（2）及與耳夾角的大小.

【答案】（1）6+1

（2）：50°.

【分析】（1）三個力平衡則三個力的和為0；移項，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小.

（2）利用三角函數(shù)的余弦定理求出兩個向量的夾角大小.

(1)

解：:三個力平衡，.??耳+及+耳=0,

.?」司=1月+月1=#+2無及+隹

=+2x1x"；立cos45。+("；="+2百=百+I，

(2)

解：耳與耳的夾角可由余弦定理求得,

COS<06>=叵

2xlx(>/3+])2

「.月與月的夾角為30。

則K與耳的夾角為180。-30。=150。.

17.(2022?高?課時練習)已知某人在靜水中游泳的速度為4#km/h,河水的流速度為4km/h,現(xiàn)此人

在河中游泳.

(1)如果他垂直游向河對岸，那么他實際沿什么方向前進？實際前進的速度為多少？

(2)他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度為多少？

參考數(shù)據(jù)：tan35.26。q立■.

2

【答案】(1)方向為與水流方向成60。，速度為8km/h

(2)方向與水流方向成125.26。，速度為4后km/h

【分析】(1)用刀表示河水的流速，礪表示該人在靜水中游泳的速度.以04,為鄰邊作平行四邊

形04c8,用工為此人游泳的實際速度，在矩形中求解中得；

------------ULlLLn

(2)同(1)用07,表示河水的流速，O7T表示此人自身游泳的速度，以0'彳，0'"為鄰邊作平行四邊形

UUUU

0/CE,0(”表示此人實際游泳的速度，在平行四邊形中求解.

(1)

如圖①，用應表示河水的流速，而表示該人在靜水中游泳的速度.以。4,。8為鄰邊作平行四邊形O1CB,

用反為此人游泳的實際速度.

一,一uuuuuiuinrfutr---HOT-

在放A/OC中，|。*=4,|力C|=|OB|=4百，所以|0C|=JCUE+|4CT=8.

所以tanZ.AOC=［益1=百，所以乙40C=60。.

\OA\

故此人實際前進速度為8km/h,方向為與水流方向成60。.

(2)

..........uum

如圖②，用O，/表示河水的流速，O7T表示此人自身游泳的速度，以OW,。5為鄰邊作平行四邊形

OWC'B',表示此人實際游泳的速度.

UUUU-

所以有OC

uuur

B'C_V2

所以tanNB'OC=uumr所以NB'OCN35.26。.

O'C"一2

故此人實際前進速度為4/km/h,方向與水流方向成125.26。.

圖①圖②

18.(2022?全國?高一專題練習)三個大小相同的力入%、工作用在同一物體P上，使物體P沿2方向做勻

速運動，設百=",而=?,~PC=cy判斷的形狀.

【答案】等邊三角形

【分析】作而=一書可知平行四邊形4PC。為菱形，求出NP4B=NPBA=NPAC=NPC4=NPBC=NPCB,

可求出三個內(nèi)角的大小，由此可判斷出的形狀.

【詳解】由題意可得忖叫=『|,由于合力作用后做勻速運動，則￡+B+"=0,所以，a+c=-b,

A

作PQ=M，則平行四邊形/PC。為菱形，因為網(wǎng)=匹卜回

故AHW為等邊三角形，則//PQ=60",

因為|沙卜|而則N"8=NP"4=3（r,同理可得/4。=/。口=/，8。=/尸。8=30°，

所以，ZABC=ZACB=ZBAC=60,因此，/8C為等邊三角形.

19.（2022?高二課時練習）解決本節(jié)開始時的問題：在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細繩均勻

地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的物品，在另一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的磅碼，天平

平衡.3根細繩通過秤盤分擔對物品的拉力（拉力分別為耳，耳,耳），若3根細繩兩兩之間的夾角均為。,

不考慮秤盤和細繩本身的質(zhì)量，則開，F(xiàn)\,豆的大小分別是多少？

【答案】"g牛.

66

【分析】由題可得園=同=同，且耳，艮,月兩兩之間的夾角均為三，|k+M+E|=g,然后利用數(shù)量

積的運算律及數(shù)量積的定義即得.

【詳解】由題可知閏=同=同，且耳，及，及兩兩之間的夾角均為不

又肉十月+瓦卜g,（g為重力加速度）

2

Fi~+F2~+F3~+2Fi-F2+2F]-F3++2F2-F3=g?

，6網(wǎng)-=g2，

常書書4g（牛），

即耳，艮,用的大小都是如g牛.

6

20.（2022?高一課時練習）如圖，一物體在表面粗糙的斜面上大動，斜面沿水平方向做勻速直線運動，若

物體的質(zhì)量為根，斜面的傾角為“，位移大小為s,求物體與斜面之間的摩擦力所做的功.

【答案】wgvsinacosa

【分析】利用物理知識和向量知識得到摩擦力和在/方向上的位移，再利用功的公式進行求解.

【詳解】設物體與斜面之間的摩擦力為了,

則f=mgsina,

又因為在/方向上的位移為再=scosa,

所以物體與斜面之間的摩擦力所做的功

為％=/兇二mgsinaXcosa=勿gssinacosa.

故答案為：Mgssinacosa.

【能力提升】

一、單選題

1.（2022春?江西南昌?高一統(tǒng)考期末）某學生體重為〃Jkg,處于如圖所示的平衡狀態(tài)，假設他每只胳膊的

最大拉力大小均為半加gN（重力加速度大小為g），如果要使胳膊得到充分的鍛煉，那么他兩只胳膊的夾

角最大為（）

【答案】B

【分析】設兩只胳膊拉力最大時的夾角為仇ec（o,m,根據(jù)力的平衡可得iK+Ei=〃?g,結(jié)合向量的數(shù)量積

的運算，即可求得答案.

【詳解】由題意，不妨設當該學生兩只胳膊的拉力最大時，

他兩只胳膊的夾角最大為aec（om）,

設此時兩只胳膊的拉力為冗E，則|斤卜|月上等〃?gN,

則函+引=〃陪,即有|耳+可2=51g

所以尸+月*+2耳耳=（〃?j，

即：（〃唁）2+；（用g/+2x；x（mg）2KCOSO=（mg）2,

故cosO=1,故0=三，

23

故選：B

2.（2022?高一單元測試）如圖，在重100N的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為30。，60°,

物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為（）

A.50石N,506NB.50N,100N

C.5()6N,50ND.100N,5()石\

【答案】C

【分析】設兩根繩子的拉力分別為次，礪，作口0CB,根據(jù)題意得到其為矩形求解.

【詳解】解：如圖所示：

A

BL/

O

設兩根繩子的拉力分別為E，OB.

作口0/C8,使//OC=30。，N8OC=60。.

在口。力CB中，ZACO=NBOC=60。,

所以NO4C=90。，

所以網(wǎng)=|可伸30。=50百N,|祠=甌卜n30°=50N,

所以網(wǎng)=|狗=50N,

故兩根繩子拉力的大小分別為50GN,50N.

故選：C.

3.（2022春?北京通州?高一統(tǒng)考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為200m,一艘船從河岸邊的A的速度4

的大小為|%|=l°km/h，水流速度彩的大小為卜2|=6km/h.設這艘船行駛方向與水流方向的夾角為0,行駛

完全程需要的時間為“min）,若船的航程最短，則（）

71_271._271c3兀.一

A.—<0<—,/=i.5B.—<0<—,/=1.5

2334

分兀八2萬-?2兀八3兀八

C.~<0<——,/=2D.——<0<—,t=2

2334

【答案】B

【分析】作出圖形，由題意可得sina,可分析。的范圍，再由同角三角函數(shù)基本關系求出cosa,據(jù)此可求

出速度L再由，=士求解.

V

【詳解】如圖，

0

由圖可知，sinor=,所以」＜sina＜--?故/〈av?,

1052264

所以"＜。＜個又因為sina。，所以cosa=（,

3455

4/=心-=15

所以y=Kcosa=10x—=8（km/h）,故8xlO?（mm）.

5

故選：B

4.（2022春?浙江?高一校聯(lián)考階段練習）甲、乙兩人提起重量為8N的物體，兩人用力方向的夾角為夕，用

力大小分別為6N、7N,則cos。的值為（）

A.-[B.-C.gD.--

4422

【答案】A

【分析】由向量的平行四邊形法則及力的分解可得.

【詳解】如圖，設|萬5|=6,|方|=7,合力即為|左|=8

:,OA+OB=OC兩邊平方可得（51+無廣=交

即|厲『+2次?礪+|礪『=|反『，

.\62+2X6X7XCOS<9+72=82>解得cos9=一!

故選：A

5.（2022?高一單元測試）P是“BC所在平面內(nèi)一點，滿足|m|-|而+正-2秒|=0,則』4C的形狀是

()

A.等腰直角二角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算與模長公式，可以得出方.太=0,由此可判斷出A8C的形狀.

UIWUUUT

【詳解】由卜p4+PC_2P/|,可得C[=]AB+AC,即向一畫=國+西,

等式|布-%卜|就+劉|兩邊平方，化簡得存.芯=0，...存j,就,

因此，是直角三角形.

故選：B.

【點睛】本題考查了平面向量的線性運算與數(shù)量積運算，也考查了模長公式應用，是中等題.

__一一ab

6.（2022?全國?高一專題練習）在中，CB=a，CA=b^且。2=00〃？^]----+閂-----,mwR,

|fl|sinB邢吊/1,

則點P的軌跡一定通過“8C的（）

A.重心B.內(nèi)心

C.外心D.垂心

【答案】A

【分析】過C作C〃_L48,交于H,取力8中點。，連接CD,所以向sin8=⑹卜皿彳=%],根據(jù)向量

的線性運算法則，化簡可得而二奇質(zhì)，根據(jù)三角形的性質(zhì)，分析即可得答案.

【詳解】過C.作交月8于“，取44中點。，連接C〃，如圖所示：

根據(jù)三角函數(shù)定義可得忖Sin〃=降mA=J：石|,

/\

——ab

因為OP=OC+〃？尸p—+閂——，

J《sin8陣由力

所以而-1=南@+5）,即以前詼，

即點P的軌跡在中線CD上，而三角形三邊中線的交點為該三角形的重心,

所以點尸的軌跡一定通過“BC的重心.

故選:A

7.（2022?全國?高一專題練習）如圖為一個空間探測器的示意圖，[、鳥、8、6是四臺噴氣發(fā)動機，4、

6的連線與空間一個固定坐標系的x軸平行，每臺發(fā)動機開動時，都能向探測器提供推力，但不會使探測器

轉(zhuǎn)動，開始時，探測器以恒定的速率%向正r方向平動，要使探測器改為正r偏負），60的方向以原來的速

A.先開動［適當時間，再開動R適當時間

B.先開動￡適當時間，再開動￡適當時間

C.開動乃適當時間

D.先開動巴適當時間，再開動打適當時間

【答案】A

【分析】對每個選項中的方案進行討論，分析探測器所受到的推力方向以及探測器的運動狀態(tài)，即可得出

結(jié)論.

【詳解】先開動《適當時間，探測器受到的推力沿負x方向，探測器沿正4方向做減速運動，

再開動乙適當時間，又產(chǎn)生沿負J'方向的推力，探測器的合速度可以沿正x偏負y60。的方向，并以原來的

速率%平動，故A正確;

先開動6適當時間，探測器受到的推力沿正x方向，將沿正x方向加速運動,

再開動6適當時間,又產(chǎn)生沿正y方向的推力，探測器的合速度在第一象限，故B錯誤;

先開動巴適當時間,探測器受到沿負y方向的推力，將獲得沿負y方向的速度，沿x軸方向的速率不變，故

C錯誤;

先開動々適當時間,探測器受到的推力沿正x方向，將沿著正工方向加速運動，速率大于%.

再開動A適當時間,探測器又受到沿負歹方向的推力，將獲得沿負，方向的速度，合速度的大小大于％,

故D錯誤.

故選:A.

二、多選題

8.（2022春?新強巴音郭楞?高一校考期末）在保證公平的情況下，兩個人共同手提一個行李包.假設行李

包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為耳，耳，且同=|同，尺與月的夾角為牝下列結(jié)論

正確的為（）

一2

A.0越大越費力，0越小越省力B.|^|2=----

''2（1+cos。）

C.當6時，同=同D.當0=當時，園=同

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)對選項逐一計算檢驗即可.

【詳解】因為向=恒+同為定值，園xcos”2同（1+cos。），解得廬『=_0_____

1112（1+cos。）

由題意知6w（0/）時，y=cos。單調(diào)遞減，所以同2單調(diào)遞增，

即e越大越費力，0越小越省力，故A正確，B正確；

當。吟時,同耳，所以用=￥1斗故C錯誤；

當夕=早時，同=|同，所以同=同，故D正確.

故選：ABD.

9.（2022春?新疆巴音郭楞?高一校考期末）在保證公平的情況下，兩個人共同手提一個行李包.假設行李

包所受重力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為耳，卻且同=|同，耳與耳的夾角為。.下列結(jié)論

正確的為（）

一2

A.。越大越費力，。越小越省力B.R2=—9一

12（1+cos。）

C.當夕咤時，園=同D.當6=與時，園=同

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)對選項逐一計算檢驗即可.

【詳解】因為向二忖+同為定值，園xcos0=2間（1+cos。），解得廬「=_0_____

1112（1+cos。）

由題意知。€（（）,4）時，y=cos。單調(diào)遞減，所以同2單調(diào)遞增，

即0越大越費力，0越小越省力，故A正確，B正確；

當時,同耳，所以I用《同,故c錯誤；

當°喂時，同=|同,所以同=同，故D正確.

故選：ABD.

10.（2022春?全國?高一期末）一物體受到3個力的作用，其中重力占的大小為2N,水平拉力片的大小為

IN,力月未知，則（）

A.當該物體處于平衡狀態(tài)時，園=VLv

B.當物體所受合力為耳時，|瓦卜石N

C.當園=W時，（石—1）NK同+及+同工（5+2）N

D.當園=W時，必存在實數(shù)心使得不=冗+說

【答案】ABD

【分析】根據(jù)向量的加法與減法的運算法則，依次討論各選項即可得答案.

【詳解】解：對于A選項，當該物體處于平衡狀態(tài)時，如圖1,此時吊弓的合力大小為2N,方向與重力

方向相反，故因卜石，正確：

對于B選項，當物體所受合力為耳時，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則，如圖2,|國=石，正確；

對于C選項，當園=1N時，設重力不與水平拉力耳的合力為八大小為同二石N,如圖3,當后與R方

向相同時，忻+月+可取得最大值（石+1）N,當尺與R方向相反時，|K+E+可取得最小值（逐一1）N,

故（石-1）N1萬+瓦+@4（6+1）N,錯誤；

對于D選項，當園=W時，若存在實數(shù)義，使得3=瓦+病，貝IJ

22=（G-/S）2=4+1-2X2X1COS^=5-4COS6>G[1,9],其中。為力1耳的夾角，所以存在實數(shù)力,使得

3=耳+證,故D正確.

故選：ABD

三、填空題

11.(2022?高一課時練習)已知々=(1,0),^=(0,1),現(xiàn)有動點P從《(-1,2)開始，沿著與向量［相同

的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒屆+可，另一動點。從。。(-2,-1)開始，沿著與向量嘉+21相同

的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒|3鼻+2可，設P,。在f=0s時分別在4，0。處,則當畫_L頹

時所需的時間/為s.

【答案】2

—一—一UUUU_____

【分析】根據(jù)題意，分別得到與0+馬，3q+2e2方向相同的單位向量，再由題中條件，表示出玲0。，尸。的

坐標，根據(jù)向量垂直列出方程求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意得［+￡=(1,1),則屆+可=0,與其方向相同的單位向量為，31+21=(3,2),

與其方向相同的單位向量為(木，卡卜

則忸+2司=g,

如圖,

y

則麻卜"，蜀=/，

故已同冬用=("),麗=的忌喘卜(30,

又兄(-1,2),a(-2,-i),

AP(z-l,/+2),0(3—2,2/-1),

UUL11

《2=(-1,-3),

ULU

???P0=(2/-l,/-3).

???@頓，

???麗?屯0,

HP2/-l+3/-9=O,解得，=2.

故當聞_L函時所需的時間，為2s.

故答案為：2

12.(2022?高一課時練習)設。為&48C內(nèi)一點，且滿足關系式01+20%+302=3/1%+241+。1，則

S-BOC'S"IOB：S'CCU=__?

【答案】3:2:1

【分析】由題意將已知中的向量都用。為起點來表示，從而得到35+d+2況=6,分別取48、AC的中

點為。、E,可得。3=2應？，利用平面知識可得SZUO8與SA4OC及SA8OC

與SA49C的關系，可得所求.

【詳解】VOA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA=3(08-OA)+2(OC-OB)+(OA-OC)，

:-3OA+OB+2OC=0'

AOA+OB+2OC+2OA=0f分別取"從40的中點為。、E,

：*0D=2EOf

,3_12_J

、AOB~5'GABFX3?“BC

S，6=；SjcF=；x$rBC=3"C；

=

S△BOCQSAABC?

cBOC-S?AOB'SJCOA=QS“8C:~S"BC'不^^ABC=3：2：1

故答案為：3:2:1.

13.(2022?高一課時練習)已知“8C內(nèi)接于一個半徑為2的圓，其中O為圓心，G為"8C的重心，則

西.(礪+玩)的取值范圍為

【答案】[-；,8)

【分析】如下圖所示，建立平面直角坐標系，設仄C、。、力的坐標，得出點力的軌跡方程，根據(jù)三角形

的外心和重心的性質(zhì)，求得點。、G的坐標，運用向量數(shù)量積的坐標運算可求得范圍.

【詳解】解：如下圖所示，以8c所在的直線為x軸，以8c的中點D為坐標原點，建立平面直角坐標系,

設8(T,0),C(Z,0)(P>0),0(0,〃)，：,n2+t2=4=>-2<n<2

設N(x,y),所以[04|=1所=2,即=4="24歹4〃+2,

又/8C的重心G為仁所以前二("號礪=1=(“〃)，

所以0G(O8+0C)=?一〃)(0，-2")=_gx(y_3〃)=,

又-2<〃<2,n-2<y<n+2,

2、44

所以§〃(z3"-y)M+1)<yx2x3=8,

2441,11

y/7(3w-^)>yrt(W-l)=y[(//--)2

12

綜二得-545〃(3"y)<8,

所以麗.(無+1)的取值范圍為

【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量的數(shù)量積運算，關鍵在于建立適當?shù)淖鴺讼担猛庑模匦牡男再|(zhì)

得出點的坐標，再利用函數(shù)的性質(zhì)求得范圍.

14.（2022?全國?高一假期作業(yè)）如圖所示，無彈性細繩。4,08的一端分別固定在A,8處，同樣的細繩

OC下端系著一個秤盤，且使得，則。力，OB,OC三根細繩受力最大的是.

【答案】0A

【分析】設。，OB,OC三根組繩對0所施力分別為￡,E，房可知￡+E+"=0,在平行四邊形O8C%

中比較向量模的大小即可求解.

【詳解】受力最大的是。力，

理由如下：

設。4,OB,0C三根細繩對。所施力分別為b，c，

則4+B+C=6'

設Z與B的合力為才，則F|=p|，

如圖：在平行四邊形O8CNH』，網(wǎng)為礪_L灰"才=萬，

所以囪＞I詞，恒卜口目,

即M卜W邛卜同=用

所以繩。4受力最大.

故答案為：04.

15.（2022?高一課時練習）如圖，在平面四邊形"CO中，AB1BC,NBCD=60。,^ADC=\5（f,BE=3EC,

CD=*BE=6,若點E為邊”。上的動點，則而.麗的最小值為

【分析】以8為原點建立平面宜角坐標系，求得40,2）,。（4,1）,￡（百,0）,設尸（工,歹），令喬=之而，得出

丑石人2-/1）,利用數(shù)量積的運算得到喬?麗=4萬-74+4,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】以8為原點，以"C,84所在的直線為xj軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

依愿意得CE=工BE=?,BC=BE+CE=邁,NBCD=60

333

在△8。中，由余弦定理得BD=]竽[+'苧）—2xqx苧xcos60。=2，

所以8》+°2=8。2,所以N8OC=9（T，

由8C=2CD,所以NDBC=30°,NZ）C8=60。，

每遞8s6。。=1

在?）E中,由余弦定理得。七二+畔

33

所以員所以/QEC=90”，

在中，ZABD=AADB=60°,所以△480為等邊三角形,

所以48=8。=2,所以4(0,2),D(73,1),夙百,0),

設尸(x,y),由題意令萬而，即(x,y-2)=/l(G,-l),

解得X=x/il,y=2-；l,所以尸(#42-71),

所以而訴=(64-6,2-/1)-(342-/1)=4儲-7/1+4,

設/⑷=4萬_7/1+4(0工人2),可得其對稱軸為％=：,且開口向上，

O

所以4=:時，/僅)取得最小值，即瓦貳礪的最小值為4x(：)2—7x：+4=

o8816

四、解答題

16.(2022春?山東荷澤?高一統(tǒng)考期末)如圖，一條河兩岸平行，河的寬度/!C=ekm,一艘船從河邊的力

點出發(fā)到達對岸的B點，船只在河內(nèi)行駛的路程/8=2kmh.已知船在靜水中的速度匕的大小為IM,水流的

速度匕的大小為何卜2km/h.求：

A

⑴Ml：

(2)船在靜水中速度看與水流速度鼻夾角的余弦值.

【答案】(1)同=2萬

⑵等

【分析】(1)先求出船只沿力力方向的速度為H=10kin/h.(％”=60。,利用向量的數(shù)量積運算求出同：

(2)利用數(shù)量積及夾角公式求出船在靜水中速度匕與水流速度3夾角.

(1)因為船只在河內(nèi)行駛的路程"=2kmh,所以船只沿48方向的速度為M=2=10km/h.由力c=75km,

4A=2km,根據(jù)勾股定理可得：5C=V22-3=lkm，所以NR4根=30。,即卜2，分=60°由1=彳+R,得:v(=v?-v,

-2^-^+v-=X/22-2X2X10COS60°+102=2721.

⑵因為工=7+E，所以；J=(X+Q2,即100=(2收y+2乂2向、2(：05網(wǎng),正)+22,解得：cos母0=魯

即船在靜水中速度K與水流速度匕夾角的余弦值為巴.

17.(2022?高一單元測試)如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從A點出發(fā)航行到

河對岸，船航行速度的大小為M=10knVh,水流速度的大小為'2|=4knVh,設工和工的夾角為

Q02

A

(1)當cos。多大時，船能垂直到達對岸？

(2)當船垂直到達對岸時，航行所需時間是否最短？為什么？

【答案】⑴-1

(2)當船垂直到達對岸時，航行所需時間不是最短，理由見解析.

【分析】(1)由題意，且與正垂直，即(％+E)-E=。，根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解:

d1R

（2）設船航行到對岸所需的時間為，h,則“芯標=荻荷，比較。=90。和sin0=qi兩種情況即可

求解.

（1）

解：船垂直到達對岸，即1，=匕+匕且與匕垂直，即（匕+匕）?匕=0,

所以正司+丁=0,即E悶COS0+同2=0,

2

所以40cos6+16=0,解得85。=-1；

（2）

d（）.51心

解：設船航行到對岸所需的時間為小，貝『=7匚7=1^^=荻荷，

所以當。=90。時，船的航行時間最短為焉h,

而當船垂直到達對岸時，由（1）知sin。=叵，

5

（10.5而心f—

所需時間"麗T；^"百叫魯吟,

故當船垂直到達對岸時，航行所需時間不是最短.

18.（2022?高一課時練習）如圖所示，把一個物體放在傾角為30。的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三

個力的作用，即重力G,沿著斜面向上的摩擦力片，垂直斜面向上的彈力巴.已知|制=30N,求G,乙的

大小.

【答案】重力G為60M,沿著斜面向上的摩擦力片為30赤N.

【分析】沿水平方向和垂直方向建立直角坐標系，利用坐標法進行計算即可.

【詳解】建立如圖的坐標系，

由國=30N,可得：O^=(15>/3J5).

設限|="N,|q=bN,則近,詬=(0,-6).

因為西+西+詬=6

15方，+0=0

2a■30百

所以r-，解得：

6=60

15+--Z>=0

2

所以重力G為60N,沿著斜面向上的摩擦力片為306N.

19.(2021春?福建?高一校聯(lián)考期中)如圖，設。丫、是平面內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸，口晟分別是與

x軸,y軸正方向同向的單位向量，若向量OP=g+ye2，則把有序數(shù)對(%,y)叫做向量OP在坐標系xQn

ULllLILU

中的坐標，設OP=2%+%.

⑴計算囪的大小;

(2)甲在Ox上距。點3千米的點/處，乙在Qy上距。點1千米的點4處，現(xiàn)在甲沿.％)的方向，乙沿6,的

方向同時以4千米/小時的速度行走;

①若過半小時后甲到達C點，乙到達。點，請用i與6來表示而；

②若,時刻，甲到達G點，乙到達〃點，求|麗|的最小值.

【答案】(1)將

UUU1LUU

(2)①。O=3e「q：②2

【分析】(1)利用同=后，直接求出|赤|的大小；

(2)①先表示出OC=d,7)。=3e,.利用向量的減法即可表示ILPICD?

②表示出兩人在工時刻相距而，求出模長，利用二次函數(shù)求最值即可.

(1)

因為e1?e2=1x1xcos60°=g,

所以|阿二J(2、)2+@)2+43；G=，+l+4x；=

(2)

①因為OC=3-2=1,00=1+2=3,

所以4=￡歷=31，所以麗=3最一5；

②兩人在1時刻相距麗=(1+4，足-(3-4后,

所以歸同？=(1+4/)2+(3-4/)2-20+4，)(3-4。鼠￡

-48/2-24/+7

=481一；、+4

當,=2時，I兩I=2,即!小時后，他們兩人相距最短.

4IImm4

20.(2023?高一課時練習)設作用于同一點的三個力耳，耳,尺處于平衡狀態(tài)，若園=1,同=2,且耳與

一7

5的夾角為:乃，如圖所示.

(1)求用的大小；

(2)求耳與耳的夾角.

Fi

7J

【答案】⑴同=5（2）y.

【解