第五章課后習題及解答

1.求下列矩陣的特征值和特征向量:

2-23

解：|〃一川==才一32一7二0,

32-1

13+V37.3-V37

4=---=-2-

（

V37-14o（1T1+而、）

5T

所以，（4/-A）x=0的基礎解系為：（6,1-737/.

7

因此，A的屬于4的所有特征向量為：^1（6,1-V37）'（Z：1^0）.

1+舟OI厘

AI-A=2J->----->

221-歷。0J

J2

所以，（&/—A）x=0的基礎解系為：（6,1+后尸.

因此，A的屬于4的所有特征向量為：心（6，1+歷）,（《工。）?

’3-I1、

(2)201

JT%

2-31-1

解："一川二-2A—1=,,,=(/?.—1)(Z—2)"

-11A-2

所以，特征值為：4=1（單根），4=2（一重根）

(-11-1、」00

4/—A=-21-1^-^01-1

UlfJ)00

所以，（4/—A）x=0的基礎解系為：（0』」了.

因此，A的屬于4的所有特征向量為：占（0』［）7a產（））.

1-P(\-I0、

/U/-A=-22-1->->001

C1°，、000,

所以，（4/-A）x=0的基礎解系為：（1,1,0/.

因此，A的屬于4的所有特征向量為：&

00、

⑶111

U-13j

2-200

解；|〃-八|=-1A-1-1="??=(A—2尸

-I1"3

所以，特征值為：4=2（三重根）

「()00、(\-11、

41-A=-11-1T-000

111-I<000,

所以，（4/-A）x=0的基礎解系為：（1,1,0）',（-1,0,1）7'.

因此，A的屬于4的所有特征向量為：勺（1,1。）丁+后（-1，0，1）7'（匕，心為不全為零的任

意常數）。

「1234]

0123

(4)

0012

<000b

2-1-2-3-4

0A—1-2-3

解：一A|二FT)，

004—1-2

000A—1

所以，特征值為：4=1（四重根）

A-220

解：2A-l2???=(2-1)(2-4)(2+2)

02A

所以，特征值為：4=1（單根），4=4（單根），4=-2（單根）,

r-l20、」0P

41—A二202—>---->021

(()21,J)°o>

所以，（4/—A）x=0的基礎解系為：（―2,—1,21.

因此，A的屬于兒的所有特征向量為：人（一2,-1,2）『（人工0）

’220、」0-2、

y-A=232f7012

J)24,、()00,

所以，（4/—A）x=。的基礎解系為：（2,—2,1）。

因此，A的屬于4的所有特征向量為：&（2,-2,1）,（區聲（））

，-420、「20

A/-A=2-32->----->01-1

、02-2)、000,

所以，（4/—A）x=0的基礎解系為：（122）。

因此，A的屬于4的所有特征向量為：&（122），勺。0）

'74-P

2.已知矩陣A=47-1的特征值4=3（二重），4=12,求尤的值，并求其特征

\-4—4

向量。

解：?/7+7+工=3+3+12女=4

1](44-1、

31-A=-4-41———>000

J4-u1。0()」

所以，（3/—A）x=0的基礎解系為：（1,一1,0）丁,（I,。,明，.

因此，A的屬于3的所有特征向量為：4（1,一1,0）7+&（1，°，4）'（仁為不全為零的任意常

數）

「5-4’101)

\2I-A=-451—>----->011

(448)、000J

所以，（12/-A）x=0的基礎解系為:（-1-1,1/.

因此，A的屬于12的所有特征向量為：自（-1,-1,1）「（公工0）

3.設x?x2是矩陣A不同特征值的特征向量，證明斗+%不是A的一個特征向量。

證：（反證法）

若M+為是A的屬于特征值力的一個特征向量，為,12是A的屬于特征值4，4的特征向量

且4。4,則：

2（x）+x2）=A（玉+x2）=Ax]+AX2=4七+石電

所以，（彳-4）西+（4?4）々=0

,.?多馬屬于不同特征值?.?M，W線性無關

：.X—\=0,2—4=0即4=4=4與4工&矛盾。

所以，M+W不是A的一個特征向量。

4.設玉,當,七分別是矩陣A對應于互不相同的特征值4,4,4的特征向量，證明

X]+々+芻不是A的一個特征向量。

證：類似3題可證。

5.證明對合矩陣5（即A2=/）的特征值只能為1或一1.

證：???\AI-A2|=|27-/|=|（A-l）Z|=（2-ir=0

???/V的特征值只有1.

?.?若尤為A的特征值，則不為A?的特征值

的特征值只能為I或—1.

6.設A可逆，討論A與4的特征值（特征向量）之間的相互關系。

解：?.?A*=|HAT

若Ax=Ax,貝ij/Cx=—x.

A

7.若尸一“尸=仇問：P-\A-2I)P=B-2I是否成立?

解：成立。

(-\

8.已知A~A=，求det(A-/).

I。

解：，相似矩陣具有相同的特征值

.?.|2/-^=a+l)(2-2)

det(A_/)=(-1)2|/一A1=(1+1)(1-2)=-2

(2-1A(~\0^

9.已知P=,P7AP=，求A”.

13-2)1()2)

解：vP^AnP=(p-]AP)n°

02〃

0卜一1J22(T)〃_3,2〃2(-l)n+,+2n+,>

n

2]一16(-1)”一3?2向3(-1嚴+2"+2,

?10.設8二廣弘。,工是矩陣A屬于特征值4)的特征向量。證明：是矩陣區對應其特

征值4)的一個特征向量。

證：?.?41=4樂8=尸-四夕

1Ilx

B(P-'x)=P-APP-x=P-Ax=P-\}x=%(P，)

*11.設4為非奇異矩陣，證明與BA相似。

證：???A為非奇異矩陣「.AT存在

?/A'\AB)A=BA

：.A8與A4相似

.5-,(A01(B()、

12.設A~8,C~。，證明：~

(0C)10D)

證：,.?A?B,C?。..存在可逆矩陣P,Q,使得P-4P=a。-|。。二。

P0A0P0P-0A0P0(P-lAP0B0

0Q)(0CAOQ、°QT人0Cj(OQ)(0QlCQj(0D

(A())(B()、

cj\0D；

,0I、

o,?

*13.證明：機階矩陣J=「只有零特征值，且特征子空間是/r的一維子空

，.1

<0>

間，并求它的基。

解：???|，―/=然=0

只有零特征值。

'0-1、

0

,7=\-1

:.-Jx=0的基礎解系為：(1,0,…,0)r.

14.若/+A可逆，/一4不可逆，那么，關于A的特征值能做出怎樣的斷語？

解：???/+A可逆，/一4不可逆

.?.|/+”0,|/_仆0

，一1不是A的特征值，1是A的特征值。

15.若dct（/-4）=0,證明：1或一1至少有一個是4的特征值。

證：???0=dct(/—A2)=|/+H|/—A|.?.|/+A|=0或|/一4=0

1或-1至少有一個是A的特征值。

16.在第I題中，哪些矩陣可對角化？并對可對角化的矩陣A,求矩陣P和對角矩陣△，使得

P-1/4P=A.

解：由矩陣可對角化的條件及第1題的求解過程易知：（1）,（6）可對角化。

63+V373-V37

(1)P=i+篇C聯).

1-V3722

，-221]

(2)P=-1-22，人=由4g(1,4,-2).

2)

「1

17.主對角元互不相等的上（下）三角形矩陣是否與對角陣相似（說明理由）？

解：可以，因為有〃個互不相等的特征值。

18.設〃階矩陣A的〃2個元素全為1,試求可逆矩陣P,，變尸"AP為對角陣，并寫出與A相

似的對角陣。

解:

A-1-1…-111-??1

—1Z—1…—1—14―1,?,—1

|幻-川二(4+公…/+/)=("〃)

-1-1…2-1-1-1…A-\

11

,o2

(2+"..，4+4)=(%-〃)...=(2-〃)2I

*

00A

所以，特征值為：4=〃（單根），4=0（〃一1重根）

?、(10…0-1

n—\—1…—1

01…0-1

-1n-\…-1

?????

nl-A=????->---->

????

00???1-1

—1—1…〃-1

\z[00-??00

所以，。，-4）工=0的基礎解系為：（1,1，…,1）。

(-\-\..._]、Q11

—1—1,??—100???0

一A=----->

???

?????????????

、—1—1,?,一1,ko0…0

所以，一Ar-0的基礎解系為：(1-1,0,...,0/,...,(1,0....,0-1/.

qio0、

i-ii0

所以，P=10-10，與A相似的對角陣為:

（1（）（）-I

P~'AP=由華(〃,01..,0).

19.已知4階矩陣A的特征值為4=1（三重），4=-3;對應于4的特征向量有

M=（1,—1,0,0）。/二（—1，1，一1，°）'，/=（°，一1，1，-1）7，對應于右的特征向量為

加二（0,0,—1,1）7.問：A可否對角化？如能對角化，求出4及A"（〃為正整數）。

解：容易驗訐.尤1，々，當線性無關,所以，可對角化.

-100、10-1-1

-11-1000-I-1

令。二，則尸7

0-11-1-100

<00-11;-1-101

1000

000

A=P

-4-414

J40-3

1(1000

0100

A"二尸

-1+(-3)”-1+(-3)〃1

一3）\1一(一3)〃1一(-3)”0(一3)”

20.設三階矩陣A有二重特征值4,如果

XinQOjEa=（T，°，T）7，X3=（1，1，°）,，4=（°，1，一1尸都是對應于4的特征向量，問A

可否對角化？

（\-110、(\-I10、

解：區,大2，工3，工4）=001IT…T00I1

0-1J100

JT。3

所以，%,占線性無關。又因為剩余的那個特征值是單根，所以A可對角化。

（-32}

21.已知A=1-22；L

（1）求A'A',小M為正整數）。

r4—IX

⑵若小Md八「求,⑷

^2J=u+2)a-i)=o

解：⑴|?〃-聞?=%+3

所以,特征值為：4=-2（單根），4=1（單根）

1-2、‘1-2]

\I-A=<00J

2-4,

所以，（A,/—A）x=O的基礎解系為：（2,1）7.

’4-22-r

41一A=

2-1<00,

所以，（4/—A）x=O的基礎解系為：（1,2）。

12、1-2、

令夕=,A=，則：A=尸人尸.

2b1231—21;

⑵-10-4322

所以，A4=PA4P-]=LA5=PA5P'=

[0-4)-2212

設=尸八3=11+（-2產2+(-2產]

22-(-2/)

31-2-(-2)

1280一640、

(2)/(A)=A10-A6-7

640_32(),

7400、

4-300

22.設4=，求A”左為正整數）。（提示：按對角塊矩陣求左.）

()024

002

34r24、40、A：0、

解：令4=4=，則4=，從而，M=

4-3<02)()20%

2-3-4

|4-閡==無-25=0.

-42+3

所以，特征值為：4=5,4=-5.

2-4、」-2

5/-4=f--->

-48,“0

所以，(5/-4次=()的基礎解系為:(2,1)7.

-8—4、r21、

-57-A=---->

-4-2y、O(L

所以，(-5/-A)x=0的基礎解系為：(1-2)7'.

，21、40

令”,A=,則

J-2,-5

A=4W，

\_25"0-24(5嚴一(一5尸2(5)1+2(-5)bl

"N斤；

511-2人0(-5)尖-12)(2(5)i+2(-5)i51-4(一5產

-2Y24，20、

1)10、02)

24、-2￥720、12丫2()、

02,1(02)002

7220、2我21、

1八02,、02、

'4(5)1_(-5)12(5產+2(-5產00

2(5尸+2(-5產(5)J—4(—5)z00

二.屋=

002k4^2*-'

,0002k

23.A,求正交矩陣7；使=”T為對角陣。

解：借助5.2節例1的求解過程，對西單位化，對修|，々2，％3構成的線性無關向量組利用施

密特正交化方法進行處理，即得所求的正交矩陣為：

111

V36-

百

石2

在

—l|2

"6-

TM2TT

=7To正

21，'A2

6-

F2

O上

O12

2-

27

24.對下列實對稱矩陣A,求正交矩陣丁和對角矩陣△，使7一?7二八:

’324、」30、」02、

6202;(2)34-1;(3)012

1423,

WT22-1

\7

’0041、-1-33-3、

0014-1-33

(4)

41003-3-1-3

J400?3—3—1?

⑴解：

A-3-2-4

|2/-A|=-22-2=(2+1)?(/1-8)=0

-4-2兄一3

所以，特征值為:4二一1（二重根），4=8（單根）

2-4、，212、

4/—A=-2I-2->-000

[-4

2一4,、000,

所以，(4/-A)x=0的基礎解系為：%=(1,-2,0)7,々=(1,。,一1),

用施密特正交化方法得：

'5-2-4、’10

4/-A=-28-2->----->02

「4-25,<000

所以，0/-41=()的基礎解系為：(2,1,2/

(212V

單位化得：

所

(2),(3),(4),(5)類似(1)可求解。

25.設A是〃階實對稱矩陣，且A?=A,證明存在正交矩即7,使得

廠|A7=由4g(1,1,...,1,0一..,0).

證：設x是A的對應于特征值幾的一個特征向量，則：Ax=Ax

*.*A=A~/.AJC=Ax=A~x—x

丁x為非零向量2=A2/.4=1或0

???A為實對稱矩陣:.存在正交矩陣T,使得T'AT=diag(l,l，…,1,0,...,0).

,26.設〃階實對稱矩陣A的特征值4>0(/=1,2,...,〃),證明存在特征值非負的實對稱矩陣

△.使得4—82.

’4、

證：?:A為實對稱矩陣「.存在正交陣T使得A=T久..T-1

取B=T展.TL則B滿足條件。

?27.設A為〃階實對稱幕等矩陣(A2=A),廠(A)=r,試求det(A-21).

解：???—川=(4—1)’(求解過程參考P240例4)

/.dct(A-2/)=(-1)〃|2/-4=(一1)"(2-l)r2n-r=(-lf2”工

補充題

28.設多項式/(x)=%x〃+a,iX〃T+…+。仃+旬，4)是矩陣A的一個特征值，工是4對應

于4的特征向量。證明/(4)是/(A)的特征值，且X仍是f(A)對應于/(%)的特征向量.

,,,

證：:f(A)x=(aflA'+an_lA'~+--?+a}A+aQI)x

n

=atlAx+a〃_[A'Lx+…+4AY+a()x

=+aa_^x+…+q4/+a()x=/(4))x

/(4)是/(A)的特征值，且X仍是/(A)對應于/(4)的特征向量

29.設A?8"(A)=A?+2A—31,證明：/(A)?f(B).

證：存在可逆矩陣「使得「一|人夕=4

vf(B)=fi34-2B-37=(P-1AP)3+2P-lAP-3P-[P=P~lf(B)P

/(A)?f(B).

30.設A=（%）4x4,已知。是A的二重特征值，1是A的（一重）特征值，求矩陣A的特征多項

式det（〃一A）.

解：A的所有特征值為：0（二重根），1（單根），單根）

4

/.det（4/—A）二%?（4-1）（九一Zan+1）

*=i

31.設〃階矩陣A的每行元素之和皆為1,問：能否至少求得A的一個特征值？

解：設4=（%,），則：

所以，A的一個特征值為I.

32.設4，4,…是矩陣A=（%.）…的幾個特征值,證明:為者=力力

f=l1=1>1

證：=4,…是矩陣A=(%)“〃的”個特征值

.?/,老….,看是*的〃個特征值

?,?￡若=*的主對角元之和=￡￡%%.

i=lf=lj=\

33.設48=8Ax是A對應于特征值4的特征向量，證明：的特征子空間)

證：,/AB=BA,Ax=4)兀

A(Bx)=(AB)x=(BA)x=8(Av)=B^x=%(8x)

BxeV.領

34.證明:若〃階矩陣A有〃個互不相同的特征值，則AB=A4的充要條件是A的特征向量

也是B的特征向量。

證：(充分性)

不妨設王,修,…,x”是A的n個線性無關的特征向量(因為，A有〃個互不相同的特征

值,所以，必可取出這樣的母,…,5)

A的特征向量也是8的特征向量

二.凡,工2,…，X〃也是8的〃個線性無關的特征向量

令2=(*,工2,…,X")，則/"尸=A],P一力P=△2(△|，八2為對角形矩陣)，則

]

P~ABP=A(A2=A2A)=P'BAP

所以，AB=BA

(必要性)

\'AB=BA.■.由33題可知：若x是A對應于特征值％的特征向量，貝UBrw匕,

???A有?〃個互不相同的特征值?.V.是一維的特征子空間

???x為匕,中的非零向量/.存在心使得Bx=k/即x乜是B的特征向量。

35.設44皆為〃階矩陣，0(團=|〃一耳證明：0(A)可逆的充要條件為3的任一特征值

都不是4的特征值。

(提示：設夕(丸)=|幻一8|=(；1-4)(/1一4＞一(；1一4),利用〃不是4的特征值時，

|44一/|工0,討論夕(4)，0的充分必要條件。)

證：設雙設)=|加一用=0_4＞一(＞_4),則0(4)=(A_4/)…(A.%/)

所以，,(4)|工0的充要條件是恒一4/工0萬=1,...,〃即4(i=l,…,，7)都不是A的特征

值。

36.證明反對稱實矩陣的特征值是。或純虛數。

證:設A為反對稱實矩陣，則Xr=-A設x是A對應于特征值2的一特征向量，即Ax二Ax.

TTT—T—T—T—T

?/(Ar)x=xAx=xAx=x(-Ax)=-Axx

(Ax)1x-(AX)TX-Axx

xx>0

.*.2=-2

.?.4是0或純虛數

37.已知中兩個非零的正交向量。二(q,。2，...，。“)，￡二(仇/2，?一，〃)

證明：矩陣4=/￡的特征值全為0.且人不可對角化。

證：:a,4為兩個非零正交實向量:.fiaT=0

vA2=arfiar/3=aT(/3ar)/3=0

二.A2的特征值全為0

???若力為A的特征值，則尤為］的特征值

.?.4的特征值全為0

,/r(A)=1二.一Ax=0的基礎解系中含〃一1個向量

二.A不可對角化

38.設a=（%,生，…,凡）eR”,且%00（i=1,2,…試求矩陣A=a”的特征值,并求可

逆矩陣P,使P"A尸成對角形。

解；?.?"八）=1」.O是A的特征值且是A的特征方程的〃1重根。

???A的所有特征值之和等于其主對角元之和

.■?方片是A的特征方程的單根

vA2=^ajA

i=i

???（￡a"-A）A=0

/=|

」.A的每列向量都是這afl-A）x=0的解

1=1

?:4=0（/=1,2,...,/?）,

可?取（q,生,凡尸為（Z一A）x=0的一個基礎解系

-Ax=0的一個基礎解系為:(a2，-q,0,…,0),,…也,0….,0,一4)「

%…an

一4…0

.?.可取尸二

0…-a]

'2-12、

39.已知A=5a3的一個特征向量g=(U,T)。

b-2,

(1)確定。/及J對應的特征值；(2)A能否相似于對角矩陣？說明理由。

解.：(1)由(，—A片=()求解得：A=-1,?=-3,/?=0.

(2)?.?4/一H=(義+1)3=0特征值為：4二一1(三重根)

-A）=24=-1只有一個線性無關的特征向量

...A不能與對角矩陣相似

ra-1c、

40.設A=5b3，已知同=1,且A*有一特征值4,其特征向量工=（一1,一1,1）7,

J-c0-a）

試求及4）?

解：?.?同二1，4是4的一特征值.元=（一1.一1,1）丁是對應的一特征向量

“1

Ax=—x

4

由（1-/-A）x=0及|A|=1,可得到4=-1,。=。=4/=-3.

4

'-10

41.設A=x4y,已知A有3個線性無關的特征向量，且4=2是其二重特征值,

「3-35,

求尸，使尸一"。=人（對角粗陣）。

解：???A有3個線性無關的特征向量「.A可對角化

屬于4=2的線性無關的特征向量有兩個-4)=1

/.x=2,y=-2

設另一特征值為々，則2+2+4=1+4+5

—6

-11-1

^I-A=-2-22---->000

33(000

.?.(4/-A)x=()的一基礎解系為：(l,-l,O)7,(l,OJ)r

’51-TH-1f

Z,/-A=-222-f032

、331,<000,

二.(4/-A)x=0的一基礎解系為：(1,—2,3)7

1]、"200、

.?.可取產二-10-2，則=A=020

、013;<006/

42.設a=(%,/，???，2)，，〃=(如打，…，勿)’均為非零向量，已知6=0,A=Q/?。試

求：(1)A?;(2)A的特征值與特征向量。

解：⑴-aTp=0.?.夕7a=(/2)「=0

A2=aflTapT=a(pTa)flT=0

(2)v|4|=0二。是4的特征值

/,人、伍打…砧

a,b,…a,b?

,'1.…00…0

?.?A=::->---->....

〔岫…3J[0°:0>

Ax=()的一基礎解系為：

%)=(b2-b],0,…,0),,x2=他,0,-Z?),0,…,0)丁,…％=(bn,0,…,。,一片了.

??.0至少是〃-1重特征值。設另一特征值為九則：

0+…+0+%=/b]+…+乙=0

/.A=0

??.()是A的特征方程的〃重根。

「.A的特征值為0.特征向量為：

kx(b2，一4,0,…,0)，+k2(b3,0-b1,0,...,0)7+…+kn_x(bK,0,…,0,-4)丁(仁,右,…,女”為不全

為零的任意常數)。

下列43?46題為選擇題。

43.已知2,4,61..,2〃是〃階矩陣4的〃個特征值，則行列式|4一3/|=(。.

(A)2?加一3〃;(8)(2〃-3)!!=135…一(2〃-3);(C)-(2n-3)!!;

(0)579…(2〃+3).

解.：一3/|=(—1)"|3/—4=(一1)"(3—2)(3—4)…(3-2〃)=-(2n-3)!!

44,已知〃階矩陣A的行列式同工(),4為A的一個特征值，則(/T)2+E(E為單位矩陣)必

有特征值(8).

(A)(4網y+1;(0(3尸+1;(。(1+4網月(￡>)(1+

45.若4,8均為〃階矩陣，且4~民則（。）.

（A）AE-A=AE-B;（B）A與3有相同的特征值和特征向量;

（C）AB?A?；（。）對于任意常數均有，石一人?,石一區

r200、’200、

46.已知A=001與B二0y0相似，則（A）.

<01專<00

(A)x=0,y=l;(B)y=0,x=-l;(C)x=y=0;(D)x=y=\.

解：相似矩陣有相同的特征值。由特征值的性質有：2+0+工=2+），-1;網=|耳

第六章二次型X=6川+%?+—+為￡

々=%*+。竺尤+…+

一、些本概念

n個變量的二次里是它們的二次齊次多項式函數,一般形式為

z+,+乂=C.I>'I+cnSy,+--+cmyn

f(xi,A2,…，兒)-a1iAi+2aijXix22ai3XiXj+"+2uin*iXn林2遍+2H小兇+

代入f(xf,x?)得到力,九…,y.的二次型g(y-fJ.把上述過程林為對二次更

…+2agX|Xn+—+a,nx?=Z《片+2工與七乙.f(x.,必,…,Q作了戰性變量替換,如果其中的系數矩陣

1-I3j

/5iiCi：-Ci,、

它可以用地陣乘枳的形式寫出：梅造對林地陣A02nCa…Cj?

ran312…a加丫F

己c,,?可逆矩陣,則稱為可逆線性變量替換.卜面講的都是可逆線性變量沖

/（占小,…勺）=￡￡“盧勺=（8，4,？

換.變換式可用矩陣乘積寫出：X=CV

f=XlAX=(CY)rA(CY)=YT(CrAC)Y

記X=[,,與「以『，則f(x，E,?“，x.)=XAX記ii=C'AC,則BT=B.從而/=YrBY.

稱對稱的4為二次型f的矩Fl.稱對稱明，的秋為二次型/的秋.由6=C'AC知.兩個n階對他矩陣A與H合同且r(/.)=r(K)

注意:一個二次型/的矩陣A必須是對稱矩陣R滿足/=X，AX.此時二次型的矩陣是定理1二次型/=X「AX經可逆線性變換X=C>.后，變成新的二次型f=丫，3丫,

r

唯?的,即二次型/和它的矩陣A(A為對稱陣)是-一對應的.因此.也把二次型/稱為對它的矩aB=CACllr(A)=r(B)

株陣A的二次型.定理2：兩個二次型可以用可逆線性變■善換互相轉化的充分必要條件為它的的矩0介同.

實二次型如果二次型的系數都是實數,井旦交城x“x：.….X、的變化危困也限定為實數.則三、正交變換化二次型為標準至

稱為實二次里大綱的要求限于實二次型.

定理3,對實二次型/=X'AX,其中A，=A,總有正交變換X=QY,使

標準二次型只含平方項的二次里,即形如f=4》；+力x；+…+d“x：

/=XZX=Yr(QrAQ)Y=YrXY=+百為+…人y：

稼為二次型的標準型.

規苑二次型形如一???X："的二次用，即平方項的系數只

其中，.2為f的矯陳A的特喬信.

卜=Xj..

I.-1.0.稱為二次型的規數組.

二、可逆線性變量替換和矩陣的合同關系九

對二次型f<x,-引進新的變fity?y”…,y”并且把x?x：.x?表示為它1fl的齊一次

因為Q是正交矩PV,則8=。「八。=。-|40.即經過二次型變換.二次型矩陣不僅合

線性函數

同而且相似。如果實對稱矩陣/所決定的二次型正定.則稱/為正定矩陣,于是/為正定矩用也就是滿足

將：次型f用正交變換化為標準形的一帙步驟為：

性質:當屬0時,一定有V。且A-定是是對稱矩陣.

<1>寫出二次型/的矩陣A二次中的正定性是在可逆虢性變量料換中保持不變的.因實對稱矩陣的正定性在合同變換

時保持不變.

<2>求出A的全部相異特征位4.2；,，…4n.對冊一個特征tft求出其線性無關的特征向

（2）性質與判斷

fit.并利用脩密特正交化方法將其正交單住化，將上面兩兩正交的單位向量作為列向量，撐成?

實