北京朝陽區第十七中學2023-2024學年中考沖刺卷數學試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.函數y=WE丑中自變量x的取值范圍是（）

x-\

A.xN“且x*B.x>-lC.x#lD.-1<X<1

2.如圖釣魚竿AC長6m,露在水面上的魚線BC長3及機，釣者想看看魚釣上的情況，把魚竿AC逆時針轉動15。

到AC的位置，此時露在水面上的魚線方。長度是（）

A.3>mB.36mC.2\/3mD.4m

3.將拋物線），=?（x+1）2+4平移，使平移后所得拋物線經過原點，那么平移的過程為（）

A.向下平移3個單位B.向上平移3個單位

C.向左平移4個單位D.向右平移4個單位

4.如圖，在矩形ABCD中，P、R分別是BC和DC上的點，E、F分別是AP和RP的中點，當點P在BC上從點B

向點C移動，而點R不動時，下列結論正確的是（）

C.線段EF的長始終不變D.線段EF的長與點P的位置有關

21

5.四組數中：①1和1；②-1和1；③0和0；§和?1萬，互為倒數的是（）

A.??B.??C.①④I）.①③④

6.已知x=l是方程/+皿+〃=0的一個根，則代數式m2+2mn+n2的值為（）

A.-1B.2C.1D.-2

7.下列四個實數中是無理數的是（）

A.2.5C.nD.1.414

8.下列圖形中，可以看作中心對稱圖形的是（）

9.小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中NE=90，ZC=90，ZA=45，ZD=30，則

N1+N2等于（）

r

A.150B.180C.210D?270

10.己知。O的半徑為10,圓心O到弦AB的距離為5,則弦AB所對的圓周角的度數是（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

一、填空題（共7小題，母小題3分，滿分21分）

11.如圖，在梯形A3C。中，AD//BC,BC=2AD,E、F分別是邊A。、8C的中點，設AD=a,AB=b,那

么EF等于（結果用〃、方的線性組合表示）.

12.己知，大正方形的邊長為4厘米，小正方形的邊長為2厘米，起始狀態如圖所示，大正方形固定不動，把小正方

形向右平移，當兩個正方形重疊部分的面積為2平方厘米時，小正方形平移的距離為_____厘米.

13.如圖，每個小正方形邊長為1,貝必ABC邊AC上的高BD的長為

那么拋物線在y軸右側部分是（填“上升的”或嚇降的

點尸（-1,。）在直線y=2x+2與直線y=2x+4之間，則。的取值范圍是

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,以點C為圓心，以CB長為半徑作圓瓠,交AC的延長線于點D,連結BD,若NA=32。,

則NCDB的大小為____度.

17.三人中有兩人性別相同的概率是_____________.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）已知：如圖，AB=AE,N1=N2,ZB=ZE.求證：BC=ED.

19.（5分）已知，關于x的方程x??mx+LnF-1=0,

4

（1）不解方程，判斷此方程根的情況;

（2）若x=2是該方程的一個根，求m的值.

20.（8分）如圖，小巷左石兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子

頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A7）為

1.5米，求小巷有多寬.

請結合題意填空，完成本題的解答：

（I）解不等式（1）,得;

（II）解不等式（2）,得；

（III）把不等式（D和（2）的解集在數軸上表示出來：

（IV）原不等式組的解集為.

~~6~~2~3~4~~5^

22.（10分）清朝數學家梅文鼎的《方程論》中有這樣一題：山田三畝，場地六畝，共折實田四畝七分；又山田五畝,

場地三畝，共折實田五畝五分，問每畝山田折實田多少，每畝場地折實田多少？

譯文為：若有山田3畝，場地6畝，其產糧相當于實田4.7畝；若有山田5畝，場地3畝，其產糧相當于實田5.5畝,

問每畝山田和每畝場地產糧各相當于實田多少畝？

23.（12分）三輛汽車經過某收費站下高速時，在2個收費通道A,B中，可隨機選擇其中的一個通過.

（1）三輛汽車經過此收費站時，都選擇A通道通過的概率是；

（2）求三輛汽車經過此收費站時，至少有兩輛汽車選擇8通道通過的概率.

24.（14分）如圖，A4BC內接于OO,AB=ACtCO的延長線交AB于點

（1）求證：AO平分的C；

3

（2）若BC=6,sin=求AC和8的長.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、A

【解析】

分析：根據分式的分母不為0；偶次根式被開方數大于或等于如當一個式子中同時出現這兩點時，應該是取讓兩個條

件都滿足的公共部分.

x+1>0

詳解：根據題意得到：，八，

工一1工0

解得X>-1且X于1,

故選A.

點睛：本題考查了函數自變量的取值范圍問題，判斷一個式子是否有意義，應考慮分母上若有字母，字母的取值不能

使分母為零，二次根號下字母的取值應使被開方數為非負數.易錯易混點：學生易對二次根式的非負性和分母不等于

0混淆.

2、B

【解析】

因為三角形A5C和三角形A夕。均為直角三角形，且SC、夕。都是我們所要求角的對邊，所以根據正弦來解題，求

出NC4”，進而得出NCAZT的度數，然后可以求出魚線37?長度.

【詳解】

Ag??.BC3>/2V2

解：?sin^CAB-.......=-------=-----

AC62

：.ZCAB=45°.

VZCAC=15°,

/.ZCA^=60°.

?7nA。。—8c百

??sinoU-........=1>

62

解得：*C'=3j5.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了解直角三角形的應用，解本題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題.

3、A

【解析】

將拋物線y=-（x+l『+4平移，使平移后所得拋物線經過原點，

若左右平移n個單位得到，則平移后的解析式為：），=一（1+1+〃『+4,將（0,0）代入后解得：n=?3或n=L所以

向左平移1個單位或向右平移3個單位后拋物線經過原點；

若上下平移m個單位得到，則平移后的解析式為：y——（x+lf+4+m,將（0,0）代入后解得：m=-3,所以向下

平移3個單位后拋物線經過原點，

故選A.

4、C

【解析】

試題分析：連接AR,根據勾股定理得出AR=JAD2+DR?的長不變，根據三角形的中位線定理得出EF=；AR,即

可得出線段EF的長始終不變，

考點：1、矩形性質，2、勾股定理，3、三角形的中位線

5、C

【解析】

根據倒數的定義，分別進行判斷即可得出答案.

【詳解】

???①1和1；1x1=1,故此選項正確；

②“和1；?lxi=?L故此選項錯誤；

③0和0；0x0=0,故此選項錯誤；

219I

④和-1一,?一x（-1—）=1,故此選項正確；

3232

???互為倒數的是：①④，

故選C.

【點睛】

此題主要考查了倒數的概念及性質.倒數的定義；若兩個數的乘積是1,我們就稱這兩個數互為倒數.

6、C

【解析】

把x=l代入F+mx+zinO,可得w+n=-l,然后根據完全平方公式把〃產+2加〃+7產變形后代入計算即可.

【詳解】

把x=l代入x2+〃tr+〃=O,

代入l+/w+//=O,

*.m+n=-l,

:.m2+2inn+n2=(m+n)2=l.

故選C.

【點睛】

本題考查了方程的根和整體代入法求代數式的值，能使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的根.

7、C

【解析】

本題主要考查了無理數的定義.根據無理數的定義：無限不循環小數是無理數即可求解.

解：A、2.5是有理數，故選項錯誤；

B、二是有理數，故選項錯誤；

C、江是無理數，故選項正確；

D、1.414是有理數，故選項錯誤.

故選C.

8、B

【解析】

根據中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】

解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、是中心對稱圖形，故此選項正確；

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合.

9、C

【解析】

根據三角形的內角和定理和三角形外角性質進行解答即可.

【詳解】

如圖:

?.?/l=ZD+^DOA,N2="+4PB,

??ZDOA=/COP,4PB=/CPO,

???/I+/2="+4+/COP+/CPO

=/D+zT+180-ZC

=30+90+180-90=210，

故選C.

【點睛】

本題考查了三角形內角和定理、三角形外角的性質、熟練掌握相關定理及性質以及一副三角板中各個角的度數是解題

的關鍵.

10、D

【解析】

【分析】由圖可知，OA=10,OD=1.根據特殊角的三角函數值求出NAOB的度數，再根據圓周定理求出NC的度數,

再根據園內接四邊形的性質求出NE的度數即可.

【詳解】由圖可知，OA=10,OD=1,

在RtAOAD中，

VOA=10,OD=1,AD=7Q42-OZ)2=5A/3，

.*.tanZl=-^^=y/3,Zl=60°,

OD

同理可得N2=60。，

:.ZAOB=Zl+Z2=60o+60°=120°,

ZC=60",

???NE=1800?60°=120°,

即弦AB所對的圓周角的度數是60。或120。,

故選D.

【點睛】本題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的對角互補、解直角三角形的應用等，正確畫出圖形，熟練應用相關

知識是解題的關鍵.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

-1-

11、bH—a.

2

【解析】

作A〃〃后尸交8c于〃，首先證明四邊形￡五〃/1是平行四邊形，再利用三角形法則計算即可.

【詳解】

作4"〃E產交8C于〃.

*：AE//FHf,四邊形EFH4是平行四邊形，：.AE=HFtAH=EF.

?:AE=ED=HF,：.HF=-a.

2

*：BC=2ADt:.BC=2a-

?：BF-FCf:.BF=a，1RH=.

?:EF=AH=AB+BH=b^-a.

2

故答案為：

2

【點睛】

本題考查了平面向量，解題的關鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考常考題型.

12、1或5.

【解析】

小正方形的高不變，根據面積即可求出小正方形平移的距離.

【詳解】

解：當兩個正方形重疊部分的面積為2平方厘米時，重疊部分寬為2+2=1,

①如圖，小正方形平移距離為1厘米;

②如圖，小正方形平移距離為4+1=5厘米.

故答案為1或5,

【點睛】

此題考查了平移的性質，要明確，平移前后圖形的形狀和面積不變.畫出圖形即可直觀解答.

J

5

【解析】

試題分析：根據網格，利用勾股定理求出AC的長，AB的長，以及AB邊上的高，利用三角形面積公式求出三角形

ABC面積，而三角形ABC面積可以由AC與BD乘積的一半來求，利用面積法即可求出BD的長：

根據勾股定理得：AC=V32+42=5>

由網格得：SAABC=T~X2X4=4,且SAABC=!AC?BD=]X5BD,

222

I8

A-x5BD=4,解得：BD=-.

25

考點：1.網格型問題；2.勾股定理；3.三角形的面積.

14、上升的

【解析】

:拋物線y=；x2?l開口向上，對稱軸為x=O（y軸），

???在y軸右側部分拋物線呈上升趨勢.

故答案為：上升的.

【點睛】

本題考杳的知識點是二次函數的性質，解題的關鍵是熟練的掌握二次函數的性質.

15、0<a<2

【解析】

計算出當P在直線y=2x+2上時a的值，再計算出當P在直線y=2x+4上時a的值，即可得答案.

【詳解】

解：當P在直線y=2x+2上時，a=2x(-l)+2=-2+2=0,

當P在直線y=2x+4上時，a=2x(-l)+4=-2+4=2,

貝!J0<a<2.

故答案為0<av2

【點睛】

此題主要考查了一次函數與一元一次不等式，關鍵是掌握函數圖象經過的點，必能使解析式左右相等.

16、1

【解析】

根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理在△ABC中可求得NACB=NABC=74。，根據等腰三角形的性質以及三

角形外角的性質在△BCD中可求得NCDB=NCBD=LZACB=1°.

2

【詳解】

VAB=AC,ZA=32°,

AZABC=ZACB=74O,

XVBC=DC,

:.ZCDB=ZCBD=-ZACB=1°,

2

故答案為1.

【點睛】

本題主要考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質，掌握等邊對等角是解題的關鍵，注意三角形內角和定理的應用.

17、1

【解析】分析：

由題意和生活實際可知：“三個人中，至少有兩個人的性別是相同的“即可得到所求概率為1.

詳解：

;三人的性別存在以下可能：(1)三人都是“男性(2)三人都是“女性”；(3)三人的性別是“2男1女”；(4)三人

的性別是“2女1男”，

???三人中至少有兩個人的性別是相同的，

?'?P(三人中芍二人性別相同)=1.

點睛：列出本題中所有的等可能結果是解題的關鍵.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、證明見解析.

【解析】

由N1=N2可得NCAB=NDAE,再根據ASA證明△ABCg^AED,即可得出答案.

【詳解】

VZ1=Z2,AZ1+ZBAD=Z2+ZBAD,

/.ZCAB=ZDAE,

在AABC與AAED中，B=ZE,AB=AEtZCAB=ZDAE,

/.△ABC^AAED,

ABC=ED.

19、(1)證明見解析；(2)m=2或m=l.

【解析】

(1)由4=(-m)2-4xlx(—m2-l)=4>0即可得；

4

(2)將x=2代入方程得到關于m的方程，解之可得.

【詳解】

(1)*.*△=(-m)2-4xlx(—m2-1)

4

=m2-m2+4

=4>0,

，方程有兩個不相等的實數根；

(2)將x=2代入方程，得：4-2m+—m2-1=0,

4

整理，得：m2-8m+12=0,

解得：m=2或m=l.

【點睛】

本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關鍵是：(1)牢記“當△>0時，方程有兩個不相等的實數根”；(2)

將x=2代入原方程求出m值.

20、2.7米.

【解析】

先根據勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進而可得出結論.

【詳解】

在RSACR中，VZACB=90°,BC=0.7米，AC=2.2米,

r.AB2=0.72+2.22=6.1.

在RtAA/BD中,VZAfDB=90°,A，D=1.5米，BD2+A,D2=A,B,2,

ABD2+1.52=6.1,

ABD2=2.

VBD>0,

；?BD=2米.

ACD=BC+BD=0.7+2=2.7米.

答：小巷的寬度CD為2.7米.

【點睛】

本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，

關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖.領會數形結合的思想的應用.

21、(I)x>l；(11)x>2；(III)見解析；(IV)x>l.

【解析】

分別求出每一個不等式的解集，將不等式解集表示在數軸上即可得出兩不等式解集的公共部分，從而確定不等式組的

解集.

【詳解】

(I)解不等式(1),得玲1;

(II)解不等式(2),得x>2；

<m)把不等式(1)和(2)解集在數軸上表示出來，如下圖所示：

~~0~1~2~3~4~F

(IV)原不等式組的解集為它1.

【點睛】

此題考查了解一元一次不等式組，以及在數軸上表示不等式的解集，準確求出每個不等式的解集是解本題的關鍵.

22、每畝山田產糧相當于實田0.9畝，每畝場地產糧相當于實田2畝.

3

【解析】

設每畝山田產糧相當于實田x畝，每畝場地產糧相當于實田y畝，根據山田3畝，場地6畝，其產糧相當于實田4.7

畝;又山田5畝，場地3畝，其產糧相當于實田5.5畝，列二元一次方程組求解.

【詳解】

解：設每畝山田產糧相當于實田x畝，每畝場地產糧相當于實田y畝.

3x+6j=4.7

可列方程組為

5x+3y=5.5

x=0.9

解得1

答：每畝山田相當于實田0.9畝，每畝場地相當于實田g畝.

23、（1）—；（2）一

82

【解析】

（1）用樹狀圖分3次實驗列舉出所有情況，再看3輛車都選擇A通道通過的情況數占總情況數的多少即可；

（2）由（1）可知所有可能的結果數目，再看至少有兩輛汽車選擇B通道通過的情況數占總情況數的多少即可.

【詳解】

解：（1）畫樹狀圖得：

甲/B

/\/\

ZJABAB

/\/\/\

丙ABABABA6

共8種情況，甲、乙、丙三輛車都選擇A通道通過的情況數有1種，

所以都選擇A通道通過的概率為:，

O

故答案為：

8

（2）???共有8種等可能的情況，其中至少有兩輛汽車選擇5通道通過的有4種情況，

???至少有兩輛汽車選擇B通道通過的概率為：=〈.

oZ

【點睛】

考查了概率的求法；用到的知識點為：概率二所求情況數與總情況數之比；得到所求的情況數是解決本題的關鍵.

90

24、（1）證明見解析；（2）AC=3V10，CD=—,

【解析】

分析：（1）延長AO交BC于H,連接