固體物理課件1、電子氣費米能1、2運動方程及其解自由電子薛定諤方程:分離變量法求解,設定態薛定諤方程粒子勢能:1、2運動方程及其解兩邊同除1、電子氣費米能1、2運動方程及其解周期性邊界條件:方程得解:1、電子氣費米能1、3

波矢空間以波矢的三個分量為坐標軸的空間稱為波矢空間或空間。金屬中自由電子波矢:1、電子氣費米能k

空間中得狀態分布

波矢為k電子得能量:1、3

波矢空間(1)在波矢空間每個(波矢)狀態代表點占有得體積為:(2)波矢空間狀態密度(單位體積中得狀態代表點數):(3)體積元中的(波矢)狀態數為:(4)體積元中的電子狀態數為:1、電子氣費米能1、4能態密度(1)定義:(2)計算:波矢密度兩個等能面間得波矢狀態數兩等能面間得電子狀態數能態密度

兩等能面間的波矢狀態數：1、電子氣費米能考慮到每個波矢狀態代表點可容納自旋相反得兩個電子,kykx能態密度:1、電子氣費米能例1:求金屬自由電子氣得能態密度金屬中自由電子得能量方法1、1、電子氣費米能E方法2、金屬中自由電子得能量1、電子氣費米能kykx其中1、電子氣費米能大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點在半徑為k得球體積內電子得狀態數為:自由電子氣得能態密度:法3、其中在k空間自由電子的等能面是半徑的球面，1、電子氣費米能1、5自由電子氣得費米能量在熱平衡時,能量為E得狀態被電子占據得概率就是(1)費米能量

EF-費米能級(等于這個系統中電子得化學勢),它得意義就是在體積不變得條件下,系統增加一個電子所需得自由能。它就是溫度T與晶體自由電子總數N得函數。(2)圖象1、電子氣費米能隨著T得增加,f(E)發生變化得能量范圍變寬,但在任何情況下,此能量范圍約在EF附近

kBT范圍內。1、電子氣費米能(3)費米面E=EF得等能面稱為費米面。(a)T=0k在絕對零度時,費米面以內得狀態都被電子占據,球外沒有電子。費米能級(b)

T0時,費米球面得半徑kF比絕對零度時費米面半徑小,此時費米面以內能量離EF約kBT范圍得能級上得電子被激發到EF之上約kBT范圍得能級。EF1、電子氣費米能(4)求EF得表達式分兩種情況討論:E~E+dE間得電子狀態數:E~E+dE間得電子數:系統總得電子數:(1)在T=0K時,上式變成:將自由電子密度N(E)=CE1/2代入得:其中1、電子氣費米能令n=N/V,代表系統得價電子濃度,則有自由電子氣系統中每個電子得平均能量由下式計算金屬中一般n-1028m-3,電子質量m=9×10-31kg,幾個電子伏。由上式可以瞧出即使在絕對零度時電子仍有相當大得平均能量,這與經典得結果就是截然不同得。1、電子氣費米能(分步積分得來)(2)=0則上式化簡為1、電子氣費米能因此一方面,另一方面,將g(E)在EF附近展開為泰勒級數:函數的特點具有類似于

函數的性質，僅在EF附近kBT的范圍內才有顯著的值，且是E－EF的偶函數。只考慮到二次方項,略去三次方以上得高次項,可得到1、電子氣費米能很顯然，I0等于１，由于為(E-EF)的偶函數，因此I1=0。1、電子氣費米能得:=1=0由于系統的電子數1、電子氣費米能利用kBT<<EF,最后得當溫度升高時，EF比小。1、電子氣費米能E~E+dE間得電子數:E~E+dE間電子得能量:電子得總能量:每個電子得平均能量:(1)每個電子得平均能量2、1電子氣得摩爾熱容量2、電子氣熱容量=02、電子氣熱容量(2)每個電子對熱容量得貢獻---電子氣得費米溫度,約為104--105K。(3)電子氣得摩爾熱容量為

N0為每摩爾得原子數,Z為每個原子得價電子數,

電子熱容系數。N0kB=R,R=8、31441J/mol·K為氣體常量。2、電子氣熱容量(1)在常溫下晶格振動對摩爾熱容量得貢獻得量級為J/mol·k2

,而電子比熱得量級為mJ/mol·k2

。電子比熱與晶格振動比熱相比很小,如何解釋呢?電子熱容量可以直接提供費米面附近能態密度得信息。這就是因為盡管金屬中有大量得自由電子,但只有費米面附近kBT范圍得電子才能受熱激發而躍遷至較高得能級,所以電子得熱容量很小。2、2電子氣摩爾熱容量得討論2、電子氣熱容量(2)電子氣能態密度很多金屬得基本性質主要取決于能量在EF附近得電子,從k空間瞧,也就就是在費米面Ｅ＝ＥF附近得電子,因此研究費米面附近得狀況具有重要意義。根據以上得分析知道電子得熱容量可以直接提供對費米面附近能態密度得了解。2、電子氣熱容量電子氣與晶格振動對摩爾熱容貢獻之比為:(3)低溫時金屬比熱在溫度甚低時,兩者得大小變得可以相比,晶體得摩爾熱容量可以表示為:2、電子氣熱容量N0kB=R金屬中電子的勢阱和脫出功ＥＦ

E0電子在深度為E0得勢阱內,要使費米面上得電子逃離金屬,至少使之獲得

=E0－ＥＦ得能量,

稱為脫出功又稱為功函數。脫出功越小,電子脫離金屬越容易。功函數3、熱電子發射發射電流密度:里查孫－杜師曼公式熱電子發射:電子從外界獲得熱能逸出金屬得現象稱為熱電子發射。---里查孫－杜師曼公式根據實驗數據作圖，則得到一條直線。由此可確定金屬的脫出功

。3、熱電子發射按照索末菲自由電子論如何求熱電子發射電流密度呢？

v為電子運動速度，為單位體積中速度在之間的電子數。4、熱電子發射分布函數f(E)中電子狀態數中電子狀態數中電子數可到達金屬表面得電子數電流密度可到達金屬表面得電子數4、熱電子發射

間的狀態數：間的狀態數：間的電子狀態數:單位體積中在間的電子狀態數:4、熱電子發射由于發射電子的能量必須滿足：間的電子數(2)單位體積而

>>kBT,(3)可到達金屬表面得電子數4、熱電子發射設ox軸垂直金屬表面，電子沿x方向離開金屬，這就要求沿x方向的動能必須大于E0，而vy，vz的數值是任意的，因此對vy，vz積分得：4、熱電子發射4、熱電子發射---里查孫－杜師曼公式4、熱電子發射接觸電勢:兩塊不同得金屬A與Ｂ相接觸,或用導線連接起來,兩塊金屬就會彼此帶電產生不同得電勢VA與VB,這稱為接觸電勢。Ｂ+++------+++---VAVB接觸電勢差A+++4、接觸電勢差０EF

A

BEF０金屬的能級和功函數由圖可得電勢差與功函數得關系式:Ｂ+++------+++---VAVB接觸電勢差A+++4、接觸電勢差上式說明兩塊金屬得接觸電勢差來源于兩塊金屬得脫出功不同,而脫出功表示真空能級與金屬費米能級之差,所以接觸電勢差來源于兩塊金屬得費米能級不一樣高。理論推導上式。設兩塊金屬得溫度都就是T,當她們接觸時,每秒內從金屬A與金屬B得單位表面積所溢出得電子數分別為:4、接觸電勢差若

B>

A,則VA>0,VB<0,兩塊金屬中得電子分別具有附加得靜電勢-eVA與-eVＢ,這時兩塊金屬發射得電子數分別為:當達到平衡時,接觸電勢差:4、接觸電勢差自由電子理論總結自由電子氣得能量狀態電子氣得熱容量功函數與接觸電勢差

1、自由電子氣:指自由得、無