2024～2025學(xué)年度第二學(xué)期九年級數(shù)學(xué)科模擬考試卷（A）說明：1．全卷共4頁，考試用時120分鐘，滿分為120分．2．請將答案寫在答題卷相應(yīng)的位置上．一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1.的倒數(shù)是（）A.2025 B. C. D.2.下列式子運(yùn)算正確是（）A. B.C. D.3.如圖，它是由5個完全相同小正方體搭建的幾何體，俯視圖是（）A. B. C. D.4.若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則代數(shù)式的值為（）A. B.0 C.1 D.45.如圖，正六邊形內(nèi)接于，周長為，則邊心距的長為（）A. B. C. D.6.如圖，中，，，，將繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)E，則的長為（）A B. C. D.7.，，則（）A.4 B.6 C.8 D.8.如圖，在中，為中點(diǎn)，，若的面積為，則的面積為（）A. B. C. D.9.如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將矩形沿翻折，點(diǎn)B恰好落在邊的點(diǎn)F處，如果，那么的值等于（）A. B. C. D.10.如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，E，線段在拋物線的對稱軸上移動（點(diǎn)C在點(diǎn)D下方），且．當(dāng)?shù)闹底钚r，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.二、填空題（本大題5小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：_________12.在實(shí)數(shù)中，其中無理數(shù)有______個．13.如圖，將一張含有30°角的三角形紙片的兩個頂點(diǎn)疊放在矩形的兩條對邊上，若∠2＝54°，則∠1的大小為_____．14.如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接并延長交于點(diǎn)，若，，則的長為______；15.如圖，菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，，與交于點(diǎn)D，若反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)D，則_________．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題7分，共21分）16.計(jì)算：．17.解不等式組：并求所有整數(shù)解的和．18.已知關(guān)于的一元二次方程，求證：該方程一定有兩個實(shí)數(shù)根．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題9分，共27分）19.圖是一盞臺燈的照片，圖是其示意圖．臺燈底部立柱（與桌面垂直）的高為，支架長為，支架長為．若支架的夾角為，支架與底部立柱的夾角為，求臺燈的旋鈕到桌面的距離（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，）20.文旅發(fā)展促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長的同時，也帶動了電器銷售．一電器商城銷售某品牌空調(diào)，該空調(diào)每臺進(jìn)貨價(jià)為2500元，已知該商店6月份售出75臺空調(diào)，8月份售出108臺空調(diào)．求該商城7、8兩個月售出空調(diào)數(shù)的月平均增長率；調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該空調(diào)售價(jià)為3000元時，平均每天能售出8臺；售價(jià)每降低50元，平均每天能多售出4臺，該商城如何定價(jià)能使每天的利潤最大？最大利潤是多少？21.在矩形中，連接．（1）如圖1，請用尺規(guī)在邊上求作一點(diǎn)，連接，使；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）如圖2，已知點(diǎn)在邊上，且，連接，交于點(diǎn)，若，，求的長．五、解答題（三）（本大題2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）22.如圖，是的外接圓，是的直徑，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長．23.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)在拋物線上，且在第二象限，連接交軸于點(diǎn)．①若長為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求與的函數(shù)關(guān)系式；②取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

2024～2025學(xué)年度第二學(xué)期九年級數(shù)學(xué)科模擬考試卷（A）說明：1．全卷共4頁，考試用時120分鐘，滿分為120分．2．請將答案寫在答題卷相應(yīng)的位置上．一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1.的倒數(shù)是（）A.2025 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，根據(jù)乘積互為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：∵∴的倒數(shù)是，故選：C2.下列式子運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘、同底數(shù)冪相除、冪的乘方、合并同類項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)冪相乘、同底數(shù)冪相除、冪的乘方、合并同類項(xiàng)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、和不是同類項(xiàng)，不能直接相加，故原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；B、，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；C、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；D、，故原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；故選：B．3.如圖，它是由5個完全相同的小正方體搭建的幾何體，俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了畫三視圖的知識；用到的知識點(diǎn)為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形，判定即可．【詳解】解：俯視圖為：，故選：A．4.若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則代數(shù)式的值為（）A. B.0 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代數(shù)式的值，先把代入，得，再代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根是，∴，∴，∴．故選：D．5.如圖，正六邊形內(nèi)接于，的周長為，則邊心距的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形和運(yùn)用垂徑定理求出是解決問題的關(guān)鍵．由圓的面積求出，證明是等邊三角形，得到，由垂徑定理得到，再由勾股定理求出即可．【詳解】解：∵周長為，∴∵六邊形為正六邊形，∴，∴是等邊三角形，∴∵，∴，∴，故選：A．6.如圖，中，，，，將繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)E，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，先求出，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，再利用勾股定理解題即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)可得，，，∴，∴，故選：C．7.，，則（）A.4 B.6 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘、冪的乘方與積的乘方，由題意可得，從而得出，即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則，進(jìn)行適當(dāng)變形是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，即，∴，∴，故選：A．8.如圖，在中，為中點(diǎn)，，若的面積為，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，再根據(jù)三角形中線平分三角形面積即可求解．【詳解】解：∵在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵∴∴∴，故選：B．9.如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將矩形沿翻折，點(diǎn)B恰好落在邊的點(diǎn)F處，如果，那么的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查翻折的性質(zhì)，矩形、等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，設(shè)，求出，，，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形為矩形，，．∵將矩形沿翻折，，，．，，．，，．設(shè)，在中，，，．．故選：B．10.如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，E，線段在拋物線的對稱軸上移動（點(diǎn)C在點(diǎn)D下方），且．當(dāng)?shù)闹底钚r，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出點(diǎn)，求出，將點(diǎn)沿軸向下平移個單位，得到點(diǎn)，連接，，，易證得四邊形是平行四邊形，于是可得，由軸對稱的性質(zhì)可得，于是得到，即點(diǎn)是直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)時，的值最小，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式，然后求得拋物線的對稱軸，通過求解兩條直線的交點(diǎn)即可得出答案．【詳解】解：令，解得：，，，，，如圖，將點(diǎn)沿軸向下平移個單位，得到點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)沿軸向下平移個單位得到點(diǎn)，，，，拋物線的對稱軸軸，且線段在拋物線的對稱軸上，線段在軸上，，四邊形是平行四邊形，，拋物線是軸對稱圖形，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，即點(diǎn)是直線與拋物線對稱軸交點(diǎn)時，的值最小，在拋物線中，令，則，，由平移的性質(zhì)可得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線的解析式為，在拋物線中，其對稱軸為直線，要使的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足，解得：，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，因式分解法解一元二次方程，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解二元一次方程組，兩直線的交點(diǎn)與二元一次方程組的解等知識點(diǎn)，巧妙添加輔助線并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題5小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：_________【答案】【解析】【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．12.在實(shí)數(shù)中，其中無理數(shù)有______個．【答案】2【解析】【分析】無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．本題考查無理數(shù)以及算術(shù)平方根，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在實(shí)數(shù)，中，無理數(shù)有，，共2個．故答案：13.如圖，將一張含有30°角的三角形紙片的兩個頂點(diǎn)疊放在矩形的兩條對邊上，若∠2＝54°，則∠1的大小為_____．【答案】24°【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得∠3=∠1+30°，可求∠1的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形∴AB∥CD∴∠2＝∠3＝54°∵∠3＝∠1+30°∴∠1＝24°故答案為24°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接并延長交于點(diǎn)，若，，則的長為______；【答案】##【解析】【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，作，可得，推出，即可求解．【詳解】解：作交于點(diǎn)H，如圖所示：∵是中點(diǎn)，∴，∵∴，∴，∵，∴，故答案為：．15.如圖，菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，，與交于點(diǎn)D，若反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)D，則_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．過作軸于，得出，則根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是的中點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)即可求出的值．【詳解】解：過作軸于，∵，則，設(shè)，則，∵四邊形是菱形，∴是的中點(diǎn)，∵，∴，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)是，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，故答案為：．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題7分，共21分）16.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了含特殊角的三角形函數(shù)的混合運(yùn)算，先化簡乘方，立方根，正切值，絕對值，再運(yùn)算加減，即可作答．【詳解】解：．17.解不等式組：并求所有整數(shù)解的和．【答案】，【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及求一元一次不等式組的整數(shù)解．解各不等式，可得出x的取值范圍，取其公共部分即可得出不等式組的解集，再將各整數(shù)解相加，即可求出結(jié)論．【詳解】解：，解不等式①得：；解不等式②得：，∴原不等式組的解集，∴不等式組所有整數(shù)解的和為．18.已知關(guān)于的一元二次方程，求證：該方程一定有兩個實(shí)數(shù)根．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的與判別式的關(guān)系，理解一元二次方程的判別式與根的關(guān)系是解答關(guān)鍵．先求出一元二次方程的判別式，再來判斷根的情況．【詳解】證明：，，，，該方程一定有兩個實(shí)數(shù)根．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題9分，共27分）19.圖是一盞臺燈的照片，圖是其示意圖．臺燈底部立柱（與桌面垂直）的高為，支架長為，支架長為．若支架的夾角為，支架與底部立柱的夾角為，求臺燈的旋鈕到桌面的距離（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】約為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，可得是矩形，即得，，得到，，，再分別解、，求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，則，∵，∴，∴是矩形，，，∵，∴，∴，在中，，，∵，∴，在中，，，，答：臺燈的旋鈕到桌面的距離約為．20.文旅發(fā)展促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長的同時，也帶動了電器銷售．一電器商城銷售某品牌空調(diào)，該空調(diào)每臺進(jìn)貨價(jià)為2500元，已知該商店6月份售出75臺空調(diào)，8月份售出108臺空調(diào)．求該商城7、8兩個月售出空調(diào)數(shù)的月平均增長率；調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該空調(diào)售價(jià)為3000元時，平均每天能售出8臺；售價(jià)每降低50元，平均每天能多售出4臺，該商城如何定價(jià)能使每天的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】該商城7、8兩個月售出空調(diào)數(shù)的月平均增長率為；該商城將空調(diào)定價(jià)為2800元時，每天的利潤最大，最大利潤是7200元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確建立方程模型與函數(shù)模型解決問題．（1）設(shè)該商城7、8兩個月售出空調(diào)數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意列方程求解即可；（2）設(shè)該商城每臺空調(diào)降價(jià)m元，則每天可多售臺，每天的利潤為w元.根據(jù)題意列出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】解（1）設(shè)該商城7、8兩個月售出空調(diào)數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得∶，解得∶，(舍去)．答∶該商城7、8兩個月售出空調(diào)數(shù)的月平均增長率為；（2）設(shè)該商城每臺空調(diào)降價(jià)m元，則每天可多售臺，每天的利潤為w元，根據(jù)題意得出：，當(dāng)時，w取得最大值，最大值為5000，此時，答∶該商城將空調(diào)定價(jià)為2800元時，每天的利潤最大，最大利潤是7200元．21.在矩形中，連接．（1）如圖1，請用尺規(guī)在邊上求作一點(diǎn)，連接，使；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）如圖2，已知點(diǎn)在邊上，且，連接，交于點(diǎn)，若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）作的垂直平分線交于，點(diǎn)即為所求；（2）設(shè)，則，由勾股定理可得，證明，再由相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解．【小問1詳解】解：如圖，即為所作；，由作圖可得：，∴；【小問2詳解】解：如圖，，∵，又，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，設(shè)，∴，∴，解得，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，又，∴．五、解答題（三）（本大題2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）22.如圖，是的外接圓，是的直徑，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，則，因?yàn)?，所以，由AD是的直徑，得，推導(dǎo)出，即可證明是的切線；（2）因?yàn)榈陌霃綖?，所以，，由，，得，則，由勾股定理求得，再證明，得，則，且，于是得，求得．【小問1詳解】證明：連接，則，，，，是的直徑，，，是的半徑，且，是的切線．【小問2詳解