大學(xué)求極限試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.下列極限中，屬于無窮小量的是（）

A.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}$$

B.$$\lim_{x\rightarrow0}x^2$$

C.$$\lim_{x\rightarrow0}e^x$$

D.$$\lim_{x\rightarrow0}\ln(1+x)$$

2.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2-3x+2$，則$f(x)$的極值點是（）

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=1$和$x=2$

D.沒有極值點

3.下列極限中，屬于“$\infty-\infty$”型的是（）

A.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$$

B.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}-\frac{1}{x}$$

C.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}$$

D.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$$

4.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f'(x)$的零點是（）

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=1$和$x=2$

D.沒有零點

5.設(shè)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(x)$的導(dǎo)數(shù)是（）

A.$f'(x)=2x+2$

B.$f'(x)=2x-2$

C.$f'(x)=2x+1$

D.$f'(x)=2x-1$

6.下列極限中，屬于“$\frac{0}{0}$”型的是（）

A.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}$$

B.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}$$

C.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x^2}$$

D.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{\sinx}$$

7.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(x)$的單調(diào)區(qū)間是（）

A.$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$

B.$(-1,1)$

C.$(-\infty,-1)$和$(-1,1)$

D.$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$

8.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(x)$的拐點是（）

A.$x=-1$

B.$x=1$

C.$x=-1$和$x=1$

D.沒有拐點

9.下列極限中，屬于“$\infty\cdot0$”型的是（）

A.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}$$

B.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x^2}$$

C.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}\cdot\frac{1}{x}$$

D.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}\cdot\frac{1}{x^2}$$

10.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(x)$的導(dǎo)數(shù)是（）

A.$f'(x)=2x+2$

B.$f'(x)=2x-2$

C.$f'(x)=2x+1$

D.$f'(x)=2x-1$

11.下列極限中，屬于“$\frac{0}{0}$”型的是（）

A.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}$$

B.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}$$

C.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x^2}$$

D.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{\sinx}$$

12.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(x)$的單調(diào)區(qū)間是（）

A.$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$

B.$(-1,1)$

C.$(-\infty,-1)$和$(-1,1)$

D.$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$

13.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(x)$的拐點是（）

A.$x=-1$

B.$x=1$

C.$x=-1$和$x=1$

D.沒有拐點

14.下列極限中，屬于“$\infty\cdot0$”型的是（）

A.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}$$

B.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x^2}$$

C.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}\cdot\frac{1}{x}$$

D.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}\cdot\frac{1}{x^2}$$

15.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(x)$的導(dǎo)數(shù)是（）

A.$f'(x)=2x+2$

B.$f'(x)=2x-2$

C.$f'(x)=2x+1$

D.$f'(x)=2x-1$

16.下列極限中，屬于“$\frac{0}{0}$”型的是（）

A.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}$$

B.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}$$

C.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x^2}$$

D.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{\sinx}$$

17.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(x)$的單調(diào)區(qū)間是（）

A.$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$

B.$(-1,1)$

C.$(-\infty,-1)$和$(-1,1)$

D.$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$

18.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(x)$的拐點是（）

A.$x=-1$

B.$x=1$

C.$x=-1$和$x=1$

D.沒有拐點

19.下列極限中，屬于“$\infty\cdot0$”型的是（）

A.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}$$

B.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x^2}$$

C.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}\cdot\frac{1}{x}$$

D.$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x}\cdot\frac{1}{x^2}$$

20.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(x)$的導(dǎo)數(shù)是（）

A.$f'(x)=2x+2$

B.$f'(x)=2x-2$

C.$f'(x)=2x+1$

D.$f'(x)=2x-1$

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.極限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}$的值等于1。（）

2.如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)連續(xù)，則$f(x)$在該區(qū)間內(nèi)一定有最大值和最小值。（）

3.函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$處取得極大值。（）

4.極限$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}$的值等于0。（）

5.如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則$f(x)$在該區(qū)間內(nèi)一定有極值。（）

6.函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x+2$在$x=-1$處取得極小值。（）

7.極限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}$的值可以通過洛必達(dá)法則計算得到。（）

8.函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=2$處取得極小值。（）

9.如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)連續(xù)，則$f(x)$在該區(qū)間內(nèi)一定有界。（）

10.極限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{\sinx}$的值等于1。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述極限存在的必要條件和充分條件。

2.如何判斷一個函數(shù)在某一點處是否可導(dǎo)？

3.什么是洛必達(dá)法則？請簡述其應(yīng)用條件。

4.如何求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？請舉例說明。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述無窮小量的性質(zhì)及其在極限計算中的應(yīng)用。

2.論述洛必達(dá)法則在求解不定型極限中的應(yīng)用及其局限性。

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.A

解析思路：根據(jù)極限的定義，$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1$，故選A。

2.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2-3x+2$在$x=1$處取得極大值，因為$f'(1)=0$且$f''(1)<0$。

3.B

解析思路：$\infty-\infty$型極限可以通過化簡為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型極限來求解，故選B。

4.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$。

5.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x+2$。

6.B

解析思路：$\frac{0}{0}$型極限可以通過洛必達(dá)法則或等價無窮小替換來求解，故選B。

7.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=-1$處取得極大值，因為$f'(x)$在$x=-1$處由正變負(fù)。

8.B

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$。

9.C

解析思路：$\infty\cdot0$型極限可以通過化簡為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型極限來求解，故選C。

10.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x+2$。

11.B

解析思路：$\frac{0}{0}$型極限可以通過洛必達(dá)法則或等價無窮小替換來求解，故選B。

12.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=-1$處取得極大值，因為$f'(x)$在$x=-1$處由正變負(fù)。

13.B

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$。

14.C

解析思路：$\infty\cdot0$型極限可以通過化簡為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型極限來求解，故選C。

15.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x+2$。

16.B

解析思路：$\frac{0}{0}$型極限可以通過洛必達(dá)法則或等價無窮小替換來求解，故選B。

17.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=-1$處取得極大值，因為$f'(x)$在$x=-1$處由正變負(fù)。

18.B

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$。

19.C

解析思路：$\infty\cdot0$型極限可以通過化簡為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型極限來求解，故選C。

20.A

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x+2$。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析思路：極限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1$，但$\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處無定義。

2.×

解析思路：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)并不意味著在該區(qū)間內(nèi)一定有最大值和最小值。

3.×

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$處取得極小值，因為$f'(x)$在$x=1$處由負(fù)變正。

4.√

解析思路：根據(jù)極限的定義，$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$。

5.×

解析思路：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)并不意味著在該區(qū)間內(nèi)一定有極值。

6.√

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x+2$在$x=-1$處取得極小值。

7.√

解析思路：洛必達(dá)法則適用于$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型極限。

8.×

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=2$處無極值。

9.×

解析思路：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)并不意味著在該區(qū)間內(nèi)一定有界。

10.√

解析思路：根據(jù)極限的定義，$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{\sinx}=1$。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.極限存在的必要條件是：如果函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處連續(xù)，則$\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=f(x_0)$。充分條件是：如果$\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)$存在，則函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處連續(xù)。

2.判斷一個函數(shù)在某一點處是否可導(dǎo)，可以通過計算該點的導(dǎo)數(shù)是否存在。如果導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點可導(dǎo)。

3.洛必達(dá)法則是：如果函數(shù)$f