考點鞏固卷07三角函數的運算(八大考點)

三角函數的運算

基方練技巧女考百利稱

考點01:任意角與弧度制

第一步：在直角坐標系中標明兩個邊界(在-360°f360°范圍內)

第二步：按逆時針方向標出陰影部分區域(A<a<3)

第三步：若陰影區域為射線即：(―360°/+AVaW8+360°/)(-2br+A4a?8+2br)

若陰影區域為直線即：(―l80°M+4VaWB+180°/)(-br+AKaK3+br)

區域角是指終邊在坐標系內的某個區域內的角“

表示區域角的3個步驟：

(1)先逆時針的方向找到區域的起始和終止的邊界；

(2)按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的一360360范圍內的角。和/?,寫出最

簡區間{x[a<x<￡},其中月一夕<360；

(3)起始、終止邊界對應角。，夕再加上360的整數暗，即得區間角集合。

由已知角確定其他角所在象限

1、已知角。終邊所在的象限，確定其他角終邊所在的象限，常依據角。的范圍得到所求角

的范圍，在直接轉化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉終邊在坐標軸上的情況。

2、已知角。所在象限，要確定a/〃所在象限，由兩種方法：

(1)用不等式表示出角a/〃的范圍，然后對,〃的取值分情況討論：被〃整除，被〃除余1,

被〃除余2,.......,從而得出結論;

(2)作出各個象限的從原點出發的〃等分射線，它們與坐標軸把周角分成4〃個區域。從x

軸的非負半軸起，按逆時針方向把這4〃個區域以此循環標上1,2,3,4。標號為兒的區域，

就是根據角。終邊所在的象限確定角。/〃的終邊所在的區域。如此，角a/〃所在的區域就

可以由標號區域所在的象限直觀的看出。

3、已知角a終邊所在的象限，確定〃。終邊所在的象限，可依據角a的范圍求出〃。的范

圍，在直接轉化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉的終邊在坐標軸上的情況。

1.在平面直角坐標系中，若角。與夕的終邊關于〉軸對稱，則角。與夕之間的關系滿足().

A.a+/?=7tB.a+p=2kn(keZ)

C.a+〃=E?eZ)D.a+4=(2攵+1)兀(k￡Z)

【答案】D

【分析】根據題意得到a+/=兀，即可求解.

【詳解】由題意，角。和夕的終邊關「)，軸對.稱，

則a+尸=(2k+l)M〃wZ).

故選：D.

2.下列與-2024。角終邊相同的角為()

A.-136°B.-154°C.1360D.154°

【答案】C

【分析】確定與-2024。角終邊相同的角為6=360。/-2024。，kwZ,再依次判斷每個選項

即可.

【詳解】與—2024。角終邊相同的角為0=360°/—2024。，keZ,

試卷第2頁，共52頁

對選項A：取360。4一2024。=一136。，A不是整數解，A錯誤；

對選項B：取360。?女-2024。=-154。，k不是整數解，B錯誤；

對選項C：取360。/-2024。=136。，k=6,C正確；

對選項D：取360。/—2（）24。=154。，左不是整數解，D錯誤.

故選：C

3.已知某圓錐的側面積為4兀，其側面展開圖是一個圓心角為寺的扇形，則該圓錐的底面

半徑為（）

A.3B.空C.V3D.拽

333

【答案】B

【分析】由題意，先求出圓錐側面展開圖扇形的半徑，再由側面積公式列方程計算即得.

【詳解】依題意，設圓錐的底面半徑為，?，則其側面展開圖的扇形弧長為2”，

則扇形半徑為五，側面積為《x2"x/=3+=4*解得r=2.

T23

故選：B.

4.已知角a的終邊經過點A（-3,4）,則券是（）

A.第一或第三象限角B.第二或第四象限角

C.第一或第二象限角D.第三或第四象限角

【答案】A

【分析】根據角。所在的象限，表示券所在的象限.

【詳解】由題意可知。是第二象限角，］+2E<a<兀+2E,keZ,

則：+履<;<g+E,A€Z,則￡是第一或第三象限角.

4222

故選：A

5.若圓錐的側面展開圖是圓心角為2號兀，半徑為2的扇形，則該圓錐的高為（）

A.逑B.72C.也D.也

333

【答案】A

【分析】由圓錐的側面展開圖扇形的弧長即圓錐底面圓的周長建立方程，求得底面圓半徑,

再由圓錐軸截面即可求出高.

【詳解】設圓錐底面圓的半徑為，，依題意得2〃=三2兀、2=4-兀^,解得，?=2：,

JJJ

而圓錐的母線長/=2,因此圓錐的高〃=爐下=逑.

3

故選：A.

6.《九章算術》中《方田》一章給出了計算弧出面積的公式：弧出面積=；（弦X矢+矢2）.

弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與

圓心到弦的距離之差.現有圓心角為0,且cos8=[,半徑等于10m的弧田，按

（I2〃25

照上述給出的面積公式計算弧田面積是（）

A.14m2B.18m2C.40m2D.60m2

【答案】A

【分析】先根據半角公式求出sin￡,cosT，再分別求出弦長和矢長，再根據弧田的面積公式

即可得解.

.—Z.7..0/1-cosO30/1+cosO4

【詳解】由cose=^，可得sni3=J---=-,cos-=J---=-,

故弦長為2xl0sin4=12,矢長為I0-10COS4=2,

22

所以所求弧田面積為gx（12x2+22）=14m2.

故選：A.

7.已知圓錐側面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內切球的表面積為（：）

A.137rR.—jrC.叵■穴D.-n

815（）5

【答案】D

【分析】先計算出圓錐底面圓的半徑，再由勾股定理求出圓錐的高，然后利用等面積法計算

內切球半徑，最后再計算球的表面積即可.

【詳解】側面展開圖扇形的弧長為2X：F,圓錐底邊的半徑〃滿足2"=冗，解得「=；,

所以該圓錐軸截面是一個兩腰長為2,底邊長為1的等腰三角形，底邊上的高為

試卷第4頁，共52頁

設內切球半徑為由等面積法可得陽l+2+2）=lx半，則尺=吟.

所以內切球的表面積為4%居二三兀.

故選：D.

8.下列命題為真命題的是（）

A.若向量”，〃，c滿足a〃b，b//c?貝Ua〃c

4

B.240化成弧度數為A兀

C.若向量卅，〃滿足"1卜2,"=3,〃>〃=3，則卜〃+〃|=夕

D.在4:30時刻，時針與分針所夾的銳角為凡則tanO=l

【答案】BD

【分析】根零向量即可判斷A,根據角度與弧度的互化即可判斷B,根據向量的模長公式即

可求解C,根據。=45即可求解D.

【詳解】對于A,若。為零向量，則X不一定成立，故A錯誤，

7T4

對于B,240=240x——=一兀，B正確，

1803

對于C,+d=yjin+n+2nin=丁2'+3?+2x3=\[\9，故C錯誤,

對于D,4:30時刻，時針與分針所夾的銳角6=45，tan<9=1,DiE確，

故選：BD

9.折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也

寓意“善良“善行”、它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大

智大勇的象征（如圖1甲）圖乙是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧BC，

AO所在圓的半徑分別是3和12,且NAO￡>=12（）。，則該圓臺的（）

乙

A.高為6后B.上底面積和下底面積之比為1:4

C.表面積為62兀D.體積為42夜加

【答案】ACD

【分析】根據題意，求得圓臺的上、下底面半徑和母線長、以及圓臺的高，結合圓臺的幾何

結構特征以及側面枳和體積公式，逐項計算，即可求解.

【詳解】對于A中，設圓臺的上底面圓的半徑為，卜.底面圓的半徑為R,

貝I」27n?=生X3H.27r/?=—x12,解得/?=1,/?=4,

33

由圓臺的母線長為/=12-3=9,所以圓臺的高為==6如,故A正確；

對于B中，圓臺的上、下底面面積比為今=啜=上，故B不正確；

S2TIR-16

對于C中，圓臺的上、下底面面積為號="2=冗品=幾*=16兀，

圓臺的側面積為S=M〃I/?）/=兀（1I4?=45冗，

圓臺的表面積為兀+1671+45兀=62兀，故C正確；

對于D中，圓臺的體積為^=:兀（/+次+/?〉力=；兀（12+4+42）?6&=42夜兀，故D正確.

故選：ACD.

io.如圖，正方體ABCQ-A/CA的棱長為則下列結論正確的是（）

A.Q在底面A8C。內（包括邊界）運動，若RQ〃平面A8G，則。的軌跡長度為灰

B.。在底面A8C。內（包括邊界）運動，若直線AQ與平面ABC。所成角為45°,則Q

的軌跡長度為三

C.以A為球心，今為半徑作球，則球面與正方體的表面的交線長為當乃

33

D.以。為球心，友為半徑作球，則球面與正方體的表面的交線長為空兀

36

【答案】ACD

試卷第6頁，共52頁

【分析】對于A,構造平面A"C〃平面A/G,得點。的軌跡為平面ARC與平面A8CQ的交

線AC的長；對于B,經分析得到點。在以點。為圓心，半徑為1的圓弧上，計算即得軌跡

長；對于C,D,先判斷球面與正方體的哪些表面有交線，再利用弧長公式求解即得.

【詳解】

圖1

對于A,如圖1,連接AAACAC、因AA//4G//8C,且AA=MG=8C,則得BCOA為

平行四邊形，

則AC//A8,又￡>c(z平面44G/8U平面A8G,則有RC〃平面A4G,

同理A。〃平面A8G,又ACnAD,=D,.D,C,A"u平面ARC,故得平面AD.C//平面

4g,

因。在底面ABCD內(包括邊界)運動，且R。〃平面,平面A"Cc平面A88=AC,

則點。在線段AC上運動，Q的軌跡長度為AC的長后，故A正確；

或、...J?

上一二封Z

圖2

對于B,如圖2,因。。一平面A8CDOQ是RQ在平面A8CO上的射影，

故NDQR即直線D、Q與平面A8CO所成角，由NDQD、=45可得DQ=D)=l,

即點。在以點。為圓心，半徑為I的圓弧上,故。的軌跡長度為加嚓故B錯誤;

圖3

對于C,如圖3,因血<叵<6，故以A為球心，應為半徑的球的球面只與

33

三個平面AQGRICG綜CO/5G有交線，交線分別為長度相等的三段弧&;打;,瓜7.

連接AE,在中，\E=手則許停二7邛,

易得==S故/￡"=》于是即的長為卜攣手兀,

66639

故球面與正方體的表面的交線長為3x塔兀=4兀，故C壬確；

圖4

對于D,如圖4,因也〈夜，故以。為球心，壁為半徑的球的球面與正方體的六個面

33

都有交線,

分別是“JKLM三段弧相等，M”〃,KL三段弧相等.

在RtDQH中,A”=J（￥）2_『邛,易得ND、DH=NCDI=S,故NHDI=已,

于是小的長為/乎4兀；又在RLOAL中，AL=J呼）7=4,

于是KL的長為兀；故球面與正方體的表面的交線長為：3（塔兀+器兀）=乎兀，故D

正確.

故選：ACD.

考點02:扇形的弧長及面積公式

試卷第8頁，共52頁

弧長公式：/=|a|r1a是圓心角的弧度數）,

扇形面積公式：

11.機械學家萊洛發現的萊洛三角形給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角

形A8C,再分別以點A,B,C為圓心，線段A8長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形.若

線段八B長為I,則萊洛三角形的周長是（）

【答案】A

【分析】根據圖形分析，利用扇形的圓心角。、半徑廣、弧長，的關系，即可求解..

【詳解】由已知/BAC=;，AB=l.

TTTT

得ABMCMCjxlg

則萊洛三角形的周長是幾

故選：A.

12.如圖，半徑為1的圓M與x軸相切于原點0,切點處有一個標志，該圓沿x軸向右滾

動，當圓M滾動到與出發位置時的圓相外切時（記此時回心為N）,標志位于點A處，圓N與

x軸相切于點8,則陰影部分的面枳是（）

A.2B.IC.-D.一

34

【答案】B

【分析】根據給定條件，求出劣弧AB的長，再利用扇形面積公式計算即得.

【詳解】由圓“與圓N外切，得用N=2,

又圓圓N與x軸分別相切于原點0和點4,則O8=MN=2,

所以劣弧A4長等于08=2,

所以劣弧A8對應的扇形面積為:x2x1=1.

故選：B

13.圓f+y2=i被直線所截得劣弧的弧長為()

n「兀-2冗、5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【分析】設直線與圓的交點為A、8,A8的中點為C,求出圓心到直線的距離，利用銳角

三角函數求出NAOC,即可得到NAO8,再由弧長公式計算可得.

【詳解】圓?？+),2=］的圓心為(o,o),半徑r=1,

1_

圓心到直線y=6-1的距離1=J(可+(_.

2?

B,A8的中點為C,則。。=!，所以cosNAOC=*=：

2OA2

所以44OC=1,則NA(M=2NAOC=,，所以劣弧的弧長為=與.

故選：C

14.如圖，圓。內接一個圓心角為60。的扇形48C,在圓O內任取一點，該點落在扇形A8C

內的概率為()

試卷第10頁，共52頁

A.-B.且C.；D.正

4422

【答案】C

【分析】根據圓的半徑與扇形半徑的關系及扇形的面積公式，由幾何概型求解即可.

【詳解】設圓的半徑為R”過。作“>_LA3于。點，如圖，

則扇形的半徑r=2/?cos30°=0R.

所以扇形的面積S'—L%—OKZN—也，

2232

圓的面積5=成2,

nR2

由幾何概型可得：sf—1.

yp=--=—―—=-

SnR22

故選：C

15.石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕.源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發展

而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主

要流派.蘇派磚雕被稱為“南方之秀”,是南方地區磚雕藝術的典型代表，被廣泛運用到墻壁、

門窗、檐廊、欄檻等建筑中.圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環A8CO,如圖（2）,

磚雕厚度為6cni,AD=80cm,CD=3AB?CO所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面

積為（單位：cm2）（

圖⑴

A.3200兀C.6880兀+960D.3680兀+960

【答案】C

【分析】先求出。。=60兀口1］，/3=20兀5］，進而求得梅花磚雕的側面枳及扇環A8CQ的面

積可得該梅花磚雕的表面積.

延長ZM與CB交于點。.由CQ=348，AD=80cm,得OA=40cm,OD=120cm.

因為CO所對的圓心角為直角，所以CQ=60nm，AB=20ncm.

所以該梅花磚11的側面積5%=6(CQ+A8+AD+BC)=480兀+960(cm2),

扇環ABCD的面積為:(兀：＜12(f-冗x4(尸)=32()0兀(cm?),

則該梅花磚雕的表面積Sg面枳=48()7：+960+2x32(X)n=688()江+96()(cm2).

故選：C.

16.下列說法正確的有()

A.若角。的終邊過點書］,則角。的集合是=S+

(兀)3.(2兀13

B.若81a+dJ=g,則即卜+不「二

C.若tana=2,則sii?a+sinacosa=2

5

D.若扇形的周長為8cm,圓心角為2rad,則此扇形的半徑是4cm

【答案】ABC

【分析】由三角函數的定義判斷A,根據誘導公式判斷B,根據“1”的代換和弦切互化求解

判斷C,根據扇形弧長公式求解判斷D.

【詳解】因為角。的終邊過點?［最孝)為第一象限角，

所以由一:角函數的定義知tana=B所以角。的終邊與g終邊相同，

所以角。的集合是《aa=g+2E/eZ.,故A選項正確；

試卷第12頁，共52頁

（27t?TtJtA（7t、3

因為sina+；=sin?+-+=cosa+-=-,所以B選項正確：

<3）\6y/5

.2.sin2a+sin?cosatai/a+tana4+26山卜[「業后丁工化

因為sm~a+sinacosa=-----------------——=---------------=------=一，所以C選項正確；

sin~a+cos~atan-a+l4+15

設扇形的半徑為人圓心角為。，因為扇形所對的弧長為/=打=2>

所以扇形周長為/+2尸=2r+2r=4r=8,故r=2cm,所以D選項不正確.

故選：ABC

17.如圖，設單位圓與x軸的正半軸相交于點4（1,。），以x軸的非負半軸為始邊作銳角〃，

夕，a-B，它們的終邊分別與單位圓相交于點4，P.若。=1，則下列說法正確的

B.當4=3時，扇形。的面積為9

O0

C.當夕時，四邊形OA;弭的面積為2+瓜—近

48

D.四邊形。AA出面枳的最大值為1

【答案】AC

【分析】根據三角形面積公式可判斷A：由扇形面積公式可判定B；際邊加力=SMP+SWV，

根據三角形面積公式即可判斷C；S四邊訐如耳=鼠5+5的小，借助三角函數恒等式化笥即

可判斷D.

【詳解】由題意，得圓的半徑i=1,/AO/>a,乙4。4=/，乙AOP=a-B.

對于A,由a=g,/3=j得NAOP=〃_（a_/）=2Q-a=5，

346

則SMAP=:xlxlxsin[=故A正確；

264

對于B,當￡=m時，因為N'OA=a_夕=

6366

所以扇形的面積S=(xFxr==,故B錯誤：

2612

對于C,當/=：時，SmiOAPAt=S^OAP+S^OAyP=1x1x1xsin(a-^)+

\.(it兀)12+?)—>/2加CTX缶

-sin----+-=-----------,故CIE確;

2(34j48

對于D,與沏田以耳=5e八°\+S&ROA

=-^x1x1xsin〃+；xlxlxsin(a-/7)=gsin/7+gsin(a一尸)

Ij(

由a=］，得§四邊形(MMu^sin/+isin卷一夕

1.1|.71兀

=—sinnp+—sin—cospn-cos—sinp

22133,

cos/?=-^l；sinp+里。s尸

4422

所以當/+?=[,即時.，S冏邊形辦端取得最大值，為:，故D錯誤.

326/

故選：AC

18.已知正四面體的棱長為26，以其中一個頂點為球心作半徑為3的球，則所得球面與該

正四面體表面的交線長之和為.

【答案】5兀

【分析】將球面與正四面體的四個面所得交線分成兩類，一類與側面的交線，一類與底面的

交線，結合球的截面性質能求出結果.

【詳解】以點A為球心的球，其球面與正四面體的四個面都相交，所得交線分成兩類：

一類與三個側面ABD.ABC.ACD,

設與側面48c交線為"N，則MN在過球心的大圓上，且與4c交于中點產,

止四面體ABC。中每個面都是等邊三角形，且A8=AC=A。=CO=8C=8。=,

AM=3,

又N3AC=60,則/N=gx3=7r,

J

根據對稱性可知：與側面ABD,ACD的交線與MN相等,

試卷第14頁，共52頁

另一類交線是與底面BCD的交線，過A作AOJ_平面BCD,

則0。=2。0=2乂正乂2后=2，

332

AO='AZ）：—。/）：=#可-2?=20<3,

AP=—AB=—x2y/3=3,

22

故與底面BCD剛好相交于底面BCD各邊中點處，形成的交線此時是底面BCD的內切圓,

內切圓半徑為0P=；。尸=；x3=l,故弧長為2兀，

該球球面與正四面體ABCD的表面相交所得到的曲線長度之和為3兀+2兀=5%.

B

19.下圖是第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環"CO.已知相=2兀，

AO=3.且該扇環ABC。的面積為9兀，若將該扇環作為側面圍成?圓臺，則該圓臺的體枳

為?

【分析】設=OA=r,CD=I，由題意r=3,^=—,。。=4幾，可知圓臺上、

下底面的半徑和高，利用圓臺的體積公式求解即可.

【詳解】如圖，設乙408=0,。4=〃，CD=I，

DC

力、、、OyB

0r=2n

由題意可知，\2ln2c，解得r=3,e=§,

-0(3+r)--Or=9n3

則CD=等6=47T,將該扇面作為側面圍成一圓臺，

則圓臺上、下底面的半徑分別為1和2,

所以其高為十2—(2—境=2&，

故該圓臺的體積為V=；(冗+4TT+?X4兀)x2&=-

故答案為；好叵.

3

(1)如圖1所示，若/=C,C為圓。上異于點A的任意一點，當三角形尸4c的面積達到最大

時，求二面角C-FA-區的大小；

⑵如圖2所示，若1=6,點G在線段附上，一只螞蟻從點A出發，在圓錐的側面沿著最短

路徑爬行一周到達G點，在運動過程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求線段PG的長度.

(上坡表示距離頂點尸越來越近)

【答案】(1)；(2)萬一1

4

【分析】(1)判斷NAPB為鈍角，當且僅當乙40C=］時S.c最大，以。為坐標原點建立

空間直角坐標系求解.

(2)將圓錐的側面展開成扇形，在△PAG中，過尸作AG的垂線，設垂足為K,由題意知

試卷第16頁，共52頁

\AK\=3\Kti\,利用pK1GA及向量運算求得PG的長度.

【詳解】（1）由/=6.A8=4,易得圓錐的高力=夜，

2

sinZ.APO=所以44~。>45，所以N4P8為鈍角,

?62

2

SPAC=-lsinZAPC=3sin/APC<3,當且僅當ZAPC=工時取等號,

（滿足條件的點C有兩種對稱位置，只研究其中的一種）

此時易得MC="=2G,在直角三角形ABC中，由勾股定理得，忸q=2,

從而ZCAB=5,ZAOC=芋田。8。為等邊三角形，

63

以。為坐標原點，建匯如圖所示空間直角坐標系，

則A(0,—2,0).8(0,2,0),r[0,0,四),。(6,1,0),

設平面PAC的法向量仆=(x,y,z),

AP=(0,2詞,AC=(G,3,0),

/.AP=O,j2)，+V?z=0,

nyAC=0,Gx+3y=0,

令x=W、得y=—l,z=42.所以〃[1.5^),

取平面243的法向量4=（1,0,0）,

設二面角C-QA-B的平面角為夕，顯然。為銳角，

cos"=~^~7=￥，所以二面角C-FA-A的大小為

"川3嗎"?.6x124

（2）將圓錐的側面展開成扇形如圖，扇形的弧長為4兀，扇形的半徑/=6,

則扇形的圓心角。=當=芋,

63

在AFAG中，過戶作AG的垂線，設垂足為K,

在AK段距離頂點尸越來越近為上坡，KG段為下坡，所以卜4二3|陽，

設PA=a,PG=h,易得PK=—aH—byGA=a—b,

44

因為PK_LG4，所以1+/｝（。一"）二°，

即32+9.：〃2=o,得|力|2+2,卜］2=0,

解得忖=屈-1,即|PG|=g_|.

考點03:同角三角函數基本關系與誘導公式

同角三角函數的基本關系式

（1）平方關系：sin2a+cos2a=l

（2）商數關系：^-=taim

cosa

（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角（使得函數有意義

的前提下）關系式都成立；

（2）sin2a是（sina）的簡寫;

（3）在應用平方關系時，常用到平方根，算術平方根和絕對值的概念，應注意“士”的

選取.

同角三角函數基本關系式的變形

1、平方關系式的變形：

sin2?=l-cos2cr,cos2cr=1-sin2?,1±2sina-cosa=（sina±cosa）2

2、商數關系式的變形

.sina

sina=cosatana，cosa=----.

tana

試卷第18頁，共52頁

誘導公式

誘導公式一：

sin(a+244)=sina,cos((z+2k.Tr)=cosa,tan(a+2&乃)=tana,其中攵wZ

誘導公式二:

sin(-a)=-sina,ccs(-a)=cosa,tan(-a)=-tancz,其中ZeZ

誘導公式三:

sin[((z+(2k+1)4]=-sina,cos[a+(2k+1)4]=-cos。，tan[a+(2k+l)/r]=tana,其

中AcZ

誘導公式四:

（1）要化的角的形式為匕90土。（L為常整數）;

（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；

（3）必須對一些特疚角的三角函數值熟記，做到“見角知值，見值知角

誘導公式的記憶

誘導公式一?三可用口訣”函數名不變，符號看象限''記憶，其中,,函數名不變''是指等式

兩邊的三角函數同名，“符號”是指等號右邊是正號還是負號，“看象限”是指把a看成銳角時

原三角函數值的符號.

誘導公式四可用口訣"函數名改變，符號看象限''記Z,”函數名改變”是指正弦變余弦，

余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數名變為原函數的余名三角函數.“符號看象限”

同上.

因為任意一個角都可以表示為h90+a（|a|<45）的形式，所以這六組誘導公式也可以

統一用“口訣”："奇變偶不變，符號看象限”，意思是說角h90±a（k為常整數）的三角函

數值：當攵為奇數時，正弦變余弦，余弦變正弦；當攵為偶數時，函數名不變，然后a的三

角函數值前面加上當視a為銳角時原函數值的符號.

用誘導公式進行化簡時的注意點：

（1）化簡后項數盡可能的少；

（2）函數的種類盡可能的少；

（3）分母不含三角函數的符號；

（4）能求值的一定要求值；

（5）含有較高次數的三角函數式，多用因式分解、約分等.

利用誘導公式求任意角三角函數值的步驟

用誘導公式可將任意侑的三角函數化為銳角的三角函數，其一般方向是：

①化負角的三角函數為正角的三角函數；

②化為［0,2制內的三帶函數；

③化為銳角的三角函數.

可概括為：“負化正，大化小，化到銳角為終了'’（有時也直接化到銳角求值）.

21.已知tana=3,則sirPa+sin2a=()

1

ABD.——

-4-1ci4

【答案】B

【分析】根據題意，利用三角函數的基本關系式，化為“齊次式”,代入即可求解.

【詳解】因為tana=3,

g、1....2c.sin'a+2sinacosa

明以sin2a+sin2。=sina+2sinacosa=-----；------；----

cos-?+sin'a

tan2or+2tan?3?+2x33

I+tan2aI+322

故選:B.

22.已知sin(a-//)=2cos(a+/),tan(a-/)=g,則tanaTan/=

()

6

ABD.

-1-15

【答案】C

【分析】利用兩角和差的正余弦公式展開，兩邊同除cosacos/?,得到

tana-tan0

tanatanfl=\-.再利用兩角差的正切公式展開tan（a-A）,將lana-tan/7換成

2

?Jana”",化簡即可得到答案.

【詳解】sin(a-/7)=2cosI：a+/),所以sinacos〃一cosasinp=2(cosacos￡—sinasin夕)，

試卷第20頁，共52頁

兩邊同除cosacos/7,得到tana-tan/?=2—2tanatan。，即tanstan/?=1—上巴?——

tana-tanptana-tanP1

tan(a-/?)=

l+tanatan/3j+J_tanor-tan/72，tana-Un

2

故選：C.

23.若角a滿足cos(四+a)=2cos(四一a),則cos(2a-E)=()

363

A-4B--ID-I

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用誘導公式求出tan(a-3)，再利用二倍角的余弦公式，結合齊

6

次式法求值.

【詳解】由85(四+儀)=210$(四一。)，^cos[—+((7--)]=2cOS(6Z--),

36266

即一sin(a—3)]=2cos(a-工)，貝ljtan(<7--)=-2

666

cos2(a--)-sin2(a--)

所以cos(2a--)=cos2(a--)=66

36cos2(a-—)+sin\a--)

.2,冗、

l-tan(6f-^)3

,itan2a兀)\+(-2)”一二

6

故選：B

24.已知sina+cosa=,且當■<a<2兀,則【an(2a+：)的值為()

A.--B.-C.-7D.7

77

【答案】B

【分析】根據條件，利用平方關系，得至iJsina-cosa=-2"，從而求得sina=-皿

51()

cosa=土叵，tana=-"進而求得tan2a=-金，再利用正切的和角公式，即可求解.

1034

【詳解】因為sina+cose=@。①，所以(sina+cosaf=?,得至lj2sinacosa=—1

555

所以(sina-coscr)2=1-2sincrcosa=—,又g<a<2n,sina—cosa=—②,

5

聯立①②得到2需.”嚕，所以…黑t

2

——3+.1

2tantz3兀tan2a+1I

得至Utan2a3—,則tan2a+—=4

l-tan2a4I4jI-tan2aTT"7’

-94

故選：B.

COS0sin。

25.已知/.，八+/、八-2,則角，所在的象限是（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】由同角三角函數基本關系與絕對值性質計算即可得.

cos。sin。cos。sin。cos。sin。

【詳解】~~t=---(-=-----------4---------------2

Jl-sin*Jl-cos冶VCOS26>Jsin*|cos6>||sin6>|

則cosOcO,sin6<0,故角6所在的象限是第三象限.

故選：C.

3/r

26.若sina+二+3cos。一￡=0,則tan2a=()

22

3

ABcD.

-4-1-44

【答案】D

【分析】由誘導公式計算出tana,在代入正切二倍角公式即可.

2

【詳解】原方程可化為-cosa+3sina=0=tana《故tan2a=含器工△

1-i4

9

故選：D

27.已知包里二生”=2,則包”斗

sin。+cos。2sin夕+cos夕

47

【答案】說

【分析】利用同角三角函數之間的基本關系可得sin?=Tcos。，將表達式利用平方和關系

為I化簡可得結果.

【詳解】由2WW=2可得sin0=7cos0,即tanO=-4；

sincos。

\3

所以sin%+cos。_(-4cos。)+cos8——64cos%+cos?64cos4+1

'2sine+cos?2x(-4cosO)+cos*-8cos6+cos%—8+cos2夕

-64cos2^+sin2^+cos2^_-63cos2^+sin20_-63+tan20

-8(sin2^+COS2<?)+COS2J9-8sin?夕-7cos3-8tan26^-7

試卷第22頁，共52頁

—63+tan*-63+1647

將tan。=T代入計算可得

-8tan26>-7--8x16-7-135'

IEsincos。47

[----------:-=---.

2sin8+cos。135

47

故答案為：—

28.已知4cos(，+?=cos29，貝ijsin2(9=

【答案】1

【分析】利用三角恒等變形,即可求解出tan，=l,再把sinM弦化切,即可求出結果.

cos""^sine卜cos?。一sin?0,

【詳解】由4cos=cos2。可得:

I4J

化簡得：(cos8—sineXcose+sinO-2&)=(),

因為cosO+s\x\O=41sinl0+—e[-V2,>/2],所以cose+sine_2&<0,

I4j

則cosJ-sin8=0,即tan?=1,

丁.V2sincos2tan。2x1

而sin20=——；-------------.=1,

sin~e+cos"。tan'^+11+1

故答案為：1.

兀

29.已知5Jt,＜。3＜三，且sin夕cos〃=?1,則cos，一sin，=.

428

【答案】2

2

【分析】由條件利用同角三角函數的基本關系即可求得cos。-sin。的值.

【詳解】

5兀八3兀

—<0<—,.?.cos">sin〃,

42

則cos<9一sin?=J(cos，-sin6)2-J1-2sin6cos?-J1-：-與

故答案為：B

2

“一…(兀3兀)3

30.已知工胃亍彳,rl且cosx=—.

\24y5

(i)^Rsiar,tanx的值:

⑵求sin(2x+]J的值.

【答案】⑴six”』”）-挈

【分析】（1）根據同角二角函數的平方關系和商數關系即可求解;

(2)利用正弦的和角公式、正弦和余弦的二倍角公式即可求解.

n3兀、c|,

【詳解】(1)VXG萬工

sirir=Vl-cos2x=—,

sirvc4

taiir=----=——.

cosx3

(2)sin2x+—=sin2.vcos—+cos2.rsin—

I3J33

=(2sinxcoscos2x-sin2x)

3

=2x-xx—+

5152152

24+7右

50

考點04;齊次式化簡求值

①減少不同名的三角函數，或化切為弦，或化弦為切，如涉及Sina、cos