PAGEPAGE9【課時訓練】直線、平面垂直的判定與性質一、選擇題1．(2024天津河西模擬)設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β【答案】B【解析】A中，α∥β或α與β相交，不正確．B中，過直線l作平面γ，設α∩γ＝l′，則l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，B正確．C中，l∥β或l?β，C不正確．對于D中，l與β的位置關系不確定．2．(2024河南師大附中期末)如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確．在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B，C均正確．3．(2024哈爾濱聯考)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下面結論正確的是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α【答案】C【解析】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m⊥α，錯誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤．4．(2024長沙一模)如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【答案】C【解析】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.5．(2024福建泉州模擬)如圖，在下列四個正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均為所在棱的中點，過E，F，G作正方體的截面，則在各個正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是()【答案】D【解析】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均為所在棱的中點，圖形EFMNQG是一個平面圖形，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且選項A，B，C中的平面EFG與這個平面重合，滿意題意，只有選項D中的直線BD1與平面EFG不垂直．故選D.6．(2024貴州貴陽二模)如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內的射影為O，則下列說法正確的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心【答案】A【解析】如圖，由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF.從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO.所以EF⊥AO.同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O為△AEF的垂心．二、填空題7．(2024吉林九校聯考)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿意________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)【解析】由定理可知BD⊥PC，∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD.又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.8．(2024云南檢測)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF.【答案】A或2a【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．設AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.三、解答題9．(2024廣東七校聯考)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點．求證：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.【證明】(1)如圖所示，連接NK.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.∵N，K分別為CD，C1D1的中點，∴DN∥D1K，DN＝D1K.∴四邊形DD1KN為平行四邊形．∴KN∥DD1，KN＝DD1.∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四邊形AA1KN為平行四邊形．∴AN∥A1K.∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分別為AB，C1D1的中點，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四邊形BC1KM為平行四邊形．∴MK∥BC1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK?平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.10．(2024濟南模擬)圓O的直徑AB＝4，點C，D為圓O上兩點，且∠CAB＝45°，F為eq\o\ac(BC,\s\up15(︵))的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面相互垂直(如圖②)．圖①圖②(1)求證：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在點E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點E的位置；若不存在，請說明理由．【證明】(1)由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，又因為F為eq\x\to(BC)的中點，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC.又AC?平面ACD，OF?平面ACD，所以OF∥平面ACD.(2)存在，E為AD的中點．因為OA＝OD，所以OE⊥AD.又OC⊥AB且兩半圓所在平面相互垂直，所以OC⊥平面OAD.又AD?平面OAD，所以AD⊥OC.由于OE，OC是平面OCE內的兩條相交直線，所以AD⊥平面OCE.又AD?平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD.11．(2024北京東城區模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點．AB＝BC，AC＝2，AA1＝eq\r(2).(1)求證：B1C∥平面A1BM；(2)求證：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在點N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？假如存在，求此時eq\f(BN,BB1)的值；假如不存在，請說明理由．(1)【證明】如圖1，連接AB1與A1B，兩線交于點O，連接OM，在△B1AC中，∵M，O分別為AC，AB1中點，圖1∴OM∥B1C.又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM.(2)【證明】∵側棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，∴AA1⊥BM.又∵M為棱AC的中點，AB＝BC，∴BM⊥AC.∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1.∴BM⊥AC1.∵AC＝2，∴AM＝1.又∵AA1＝eq\r(2)，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝eq\r(2).∴∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°.∴A1M⊥AC1.∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.(3)【解】當點N為BB1的中點，即eq\f(BN,BB1)＝eq\f(1,2)時，平面AC1