PAGE1-第三節函數的奇偶性與周期性[考綱傳真]1.結合詳細函數，了解函數奇偶性的含義；2.會運用函數的圖像理解和探討函數的奇偶性；3.了解函數周期性、正周期的含義，會推斷、應用簡潔函數的周期性．1．奇函數、偶函數的概念圖像關于原點對稱的函數叫作奇函數；圖像關于y軸對稱的函數叫作偶函數．2．推斷函數的奇偶性推斷函數的奇偶性，一般依據定義嚴格進行，一般步驟是(1)考察定義域是否關于原點對稱；(2)考察表達式f(x)是否與f(x)或－f(x)相等．①若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數；②若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數；③若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數又是偶函數；④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，則f(x)既不是奇函數也不是偶函數．3．函數的周期性(1)周期函數對于函數y＝f(x)，假如存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期假如在周期函數f(x)的全部周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫作f(x)的最小正周期．[常用結論]1．函數奇偶性的三個重要結論(1)假如一個奇函數f(x)在x＝0處有定義，那么肯定有f(0)＝0.(2)假如函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性．2．周期性的幾個常用結論對f(x)的定義域內任一自變量的值x，周期為T，則(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，則T＝a－b.[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數． ()(2)偶函數圖像不肯定過原點，奇函數的圖像肯定過原點． ()(3)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱． ()(4)函數f(x)在定義域上滿意f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改編)下列函數中為偶函數的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－xB[A為奇函數，C，D為非奇非偶函數，B為偶函數，故選B.]3．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)B[依題意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝eq\f(1,3)，則a＋b＝eq\f(1,3).]4．(教材改編)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則當x＜0時，f(x)的解析式為()A．f(x)＝x(1＋x) B．f(x)＝x(1－x)C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(x－1)B[當x＜0時，－x＞0，又x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，故f(－x)＝－x(1－x)．又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)，故選B.]5．已知定義在R上的奇函數f(x)滿意f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為________．0[∵f(x)為定義在R上的奇函數，∴f(0)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.]函數的奇偶性及其應用【例1】(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝________.(2)推斷下列函數的奇偶性：①f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；②f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2)；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x＜0，,－x2＋x，x＞0.))(1)－eq\f(3,2)[由f(－x)＝f(x)得ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，整理得lneq\f(e3x＋1,e－3x＋1)＋2ax＝0.∵eq\f(e3x＋1,e－3x＋1)＝eq\f(e3xe－3x＋1,e－3x＋1)＝e3x，∴lne3x＋2ax＝0，∴2ax＝－3x，即(2a＋3)x＝0對隨意x恒成立，故2a＋3＝0，所以a＝－eq\f(3,2).](2)[解]①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函數f(x)的定義域為{－eq\r(3)，eq\r(3)}，從而f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數f(x)既是奇函數又是偶函數．②由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＞0，,|x－2|≠2，))得定義域為(－1,0)∪(0,1)，關于原點對稱．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg1－x2,－x).又∵f(－x)＝eq\f(lg[1－－x2],x)＝－eq\f(lg1－x2,－x)＝－f(x)，∴函數f(x)為奇函數．③明顯函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．∵當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知：對于定義域內的隨意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數f(x)為奇函數．[規律方法]推斷函數的奇偶性的兩種方法(1)定義法：(2)圖像法：(1)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數，則下列函數中為奇函數的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③ B．②③C．①④ D．②④(2)(2024·湖北重點中學聯考)已知函數f(x)＝(ex＋e－x)lneq\f(1－x,1＋x)－1，若f(a)＝1，則f(－a)＝()A．1 B．－1C．3 D．－3(3)若函數f(x)＝x5＋ax3＋bsinx＋2在[－3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.(1)D(2)D(3)4[(1)由奇函數的定義，f(－x)＝－f(x)驗證，①f(|－x|)＝f(|x|)，故為偶函數；②f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，為奇函數；③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，為偶函數；④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，為奇函數．綜上可知②④正確，故選D.(2)令g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)lneq\f(1－x,1＋x)，則g(－x)＝(e－x＋ex)lneq\f(1＋x,1－x)＝－(ex＋e－x)lneq\f(1－x,1＋x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數，所以f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－f(a)－2＝－3，故選D.(3)令g(x)＝x5＋ax3＋bsinx，x∈[－3,3]，則g(x)為奇函數，f(x)＝g(x)＋2，∴M＝f(x)max＝g(x)max＋2，m＝f(x)min＝g(x)min＋2，∴M＋m＝4.]函數周期性、對稱性的應用【例2】(1)(2024·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)的奇函數，滿意f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50 B．0C．2 D．50(2)(2024·江蘇高考)函數f(x)滿意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區間(－2,2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0＜x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2＜x≤0，))則f(f(15))的值為________．(1)C(2)eq\f(\r(2),2)[(1)由f(1＋x)＝f(1－x)可知f(x)＝f(2－x)，又f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(2＋x)，故f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(x)，即函數y＝f(x)是周期為4的周期函數．又由題意可知f(0)＝0，f(1)＝2，所以f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0.又50＝12×4＋2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝4×0＋2＋0＝2.故選C.(2)由函數f(x)滿意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函數f(x)的最小正周期是4.因為在區間(－2,2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0＜x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2＜x≤0，))所以f(f(15))＝f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).][規律方法]1利用函數的周期性，可將其他區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題，轉化到已知區間上，進而解決問題.2依據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，即周期性與奇偶性都具有將未知區間上的問題轉化到已知區間的功能.在解決詳細問題時，要留意結論：若T是函數的周期，則kTk∈Z且k≠0也是函數的周期.(2024·泉州檢測)奇函數f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)＝________.2[∵f(x＋1)為偶函數，f(x)是奇函數，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數，則f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.]函數性質的綜合應用?考法1單調性與奇偶性結合【例3】函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)為減函數，且f(－1)＝1，若f(x－2)≥－1，則x的取值范圍是()A．(－∞，3] B．(－∞，1]C．[3，＋∞) D．[1，＋∞)A[函數f(x)是定義在R上的奇函數，且是[0，＋∞)上的減函數，故函數f(x)在R上遞減．又f(－1)＝1，所以f(1)＝－1，因此f(x－2)≥－1?f(x－2)≥f(1)?x－2≤1?x≤3，所以x的取值范圍是(－∞，3]，故選A.]?考法2周期性與奇偶性結合【例4】(1)(2024·四川模擬)設奇函數f(x)的定義域為R，且f(x＋4)＝f(x)，當x∈[4,6]時f(x)＝2x＋1，則f(x)在區間[－2,0]上的表達式為()A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1(2)(2024·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.(1)B(2)6[(1)當x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]，∴－x＋4∈[4,6]．又∵當x∈[4,6]時，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.又∵f(x＋4)＝f(x)，∴函數f(x)的周期為T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函數f(x)是R上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1，∴當x∈[－2,0]時，f(x)＝－2－x＋4－1.故選B.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期為6的周期函數，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定義在R上的偶函數，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]?考法3奇偶性、周期性、單調性的綜合【例5】(2024·惠州調研)已知函數y＝f(x)的定義域為R，且滿意下列三個條件：①對隨意的x1，x2∈[4,8]，當x1＜x2時，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數．若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2018)，則a，b，c的大小關系正確的是()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．a＜c＜b D．c＜b＜aB[由①知函數f(x)在區間[4,8]上為遞增函數；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函數f(x)的周期為8，所以c＝f(2018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函數f(x)的圖像關于直線x＝4對稱，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6)．因為函數f(x)在區間[4,8]上為遞增函數，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜c＜a，故選B.][規律方法]函數性質綜合應用問題的常見類型及解題方法1函數單調性與奇偶性結合.留意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖像的對稱性.2周期性與奇偶性結合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.3周期性、奇偶性與單調性結合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解.(1)(2024·山師大附中模擬)函數f(x)是R上的偶函數，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上遞減，則函數f(x)在[3,5]上是()A．增函數B．減函數C．先增后減的函數D．先減后增的函數(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數，在區間[0，＋∞)上為增函數，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，則不等式f(x)＞0的解集為________．(1)D(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(1,3)或x＜－\f(1,3)))[(1)已知f(x＋1)＝－f(x)，則函數周期T＝2，因為函數f(x)是R上的偶函數，在[－1,0]上遞減，所以函數f(x)在[0,1]上遞增，即函數f(x)在[3,5]上是先減后增的函數．故選D.(2)由已知f(x)在R上為偶函數，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，∴f(x)＞0等價于f(|x|)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，又f(x)在[0，＋∞)上為增函數，∴|x|＞eq\f(1,3)，即x＞eq\f(1,3)或x＜－eq\f(1,3).]1．(2024·全國卷Ⅰ)函數f(x)在(－∞，＋∞)遞減，且為奇函數．若f(1)＝－1，則滿意－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]D[∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故選D.]2．(2014·全國卷Ⅰ)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數B．|f(x)|g(x)是奇函數C．f(x)|g(x)|是奇函數D．|f(x)g(x)|是奇函數C[A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇