合肥一中2024屆高三數學回歸教材讀本

二o二四年四月

目錄

必修一.............................................................................3

5.選擇題..................................................................6

7探究..............................................................................8

?......................................................................................................................................................................................9

26.英國數學家泰勒給出如下公式:............................................16

必修二....................................................................16

探究......................................................................18

探究......................................................................19

(2)思考...........................................................................22

(2)閱讀與思考.............................................................26

代數基本定理..............................................................26

探究......................................................................33

探究......................................................................33

探究.....................................................................-.......37

選擇性必修一..............................................................41

探究.....................................................................-.......43

2思考.............................................................................43

思考......................................................................44

探究......................................................................52

選擇性必修二..............................................................57

探究與發現................................................................64

牛頓法一一用導數方法求方程的近似解................................................64

?....................................................................................................................................................................................65

思考......................................................................65

選擇性必修三..............................................................71

(一)楊輝三角的性質................................................................72

1.選擇題..................................................................75

探究......................................................................77

(2)思考...........................................................................79

探究......................................................................82

探究.......................................................................89

(6)探究與發現.............................................................92

二項分布的性質...........................................................92

8.1.1變量的相關關系......................................................96

必修一

11.學校舉辦運動會時,高一(1)班共有28名同學參加比賽,有15人參加游泳比賽,有8人參加出

徑比賽,有14人參加球類比賽,同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人,同時參加游泳比賽和球

類化賽的有3人,沒有人同時參加三項比賽.同時參加田徑和球類比賽的有多少人？只參加游泳一

項比賽的有多少人？

12.根據下述事實，分別寫出含有量詞的全稱量詞命題或存住量詞命題:

(第12(2)題)

⑴1=12,

1+3=22,

1+3+5=32,

1+3+5+7=42,

1+3+5+7+9=52,

⑵如圖，在△ABC中MD,BE與CF分別為BC.AC與AB邊上的高，則AD.BE與CF所在的直線交

于一點。.

6.一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物,經過市場調查了解到下列信息:每月土地占地費y1

（單位:萬元）與倉庫到車站的距離%（單位:km）成反比，每月庫存貨物費y2（單位:萬元）與工成

正比;若在距離車站10km處是倉庫，則％和y2分別為2萬元和8萬元這家公司應該把倉庫建

在距離車站多少千米處,才能使兩項費用之和最小？

7.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的

祛碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將5g的祛碼放在天平右盤也

再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得

的黃金是小于10g，等于10g，還是大于10g?為什么？

8.設矩形ABCD{AB>AD）的周長為24cm,把△ABC沿4C向△ADC折疊,AB折過去后交DC

于點P.設48=xcm,求△ADP的最大面積及相應%的值5若Q,b>0,且ab=Q+b+3,求Qb

的取值范圍.

6.當k取什么值時，一元二次不等式2kx2+/cx-1<0對一切實數x都成立？

O

9.如圖,居民小區要建一座八邊形的休閑場所,它的主體造型平面圖

（第9題）

是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200m2的十字形地域.計劃在正方形MNPQ

上建一座花壇，造價為4200元/m2；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪,造價為

210元/m2；再在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪,造價為80元/m2.設總造價為S(單位：

元)4。長為x(單位:m).當x為何值時,S最小？并求出這個最小值.

10.購買同一種物品,可以用兩種不同的策略,第一種是不考慮物品價格的升降,每次購買這種物

品的數量一定;第二種是不考慮物品價格的升降,每次購買這種物品所花的錢數一定.哪種購物方

式比較經濟？你能把所得結論作一些推廣嗎？

10.如圖所示，動物園要建造一面靠墻的兩間面積相同的矩形熊

(第10題)

貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是30m，那么寬》(單位:m)為多少時才能使所建造的每間

熊貓居室面積最大？每間熊貓居室的最大面積是多少？

11.已知函數/(%)是定義域為R的奇函數，當x>0時,/(%)=%(1+%).畫出函數/(%)的圖象，并

求出函數的解析式.

13.我們知道，函數y=/(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=/(%)為

奇函數，有同學發現可以將其推廣為:函數y=fM的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要

條件是函數y=/(%+a)-/?為奇函數.

(1)求函數/(%)=x3-3x2圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y=/(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=

fM為偶函數”的一個推廣結論.4.圖(1)是某條公共汽車線路收支差額y關于乘客量x的圖象.

(1)試說明圖(1)上點A,點B以及射線AB上的點的實際意義；

(2)由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為盈的建議,如圖(2)(3)所示.你能根據

圖象,說明這兩種建議是什么嗎？

(第4題)

13.如圖,△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線

(第13題)

%=t(t)的解析式，并畫出函數y=/(t)的圖象.

9.從盛有1L純酒精的容器中倒出：L,然后用水填滿;再倒出：L,乂用水填滿......

(1)連續進行5次容器中的純酒精還剩下多少？

(2)連續進行九次，容器中的純酒精還剩下多少？

10.⑴當幾=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,-時，用計算工具計算(1+(幾GN')的值；

(2)當n越來越大時,(1+J的底數越來越小，而指數越來越大，那么(1+是否也會越來越大?

有沒有最大值？nn

9.已知函數y=ag)IX|+b的圖象過原點且無限接近直線y=2但又不與該直線相交.

(1)求該函數的解析式,并畫出圖象；

(2)判斷該函數的奇偶性和單調性.6.求滿足下列條件的各式的值：

X

(1)若xlog34-1，求4+4-y的值;(2)若f(x)-3"求f(log32)的值.

7.證明：

n

⑴logb-logc-logca=1;⑵logamb=^logab.

12.已知log。1<1,0<1,出V1,求實數a的取值范圍.

13.比較下列各題中三個值的大小：

⑴logo.26,logo.36Jogo.46；(2)log23,]og34,log45.

5.選擇題

⑴已知集合4={yIy=log2》,x>1},8={yy=總工>1卜則An8=().

(A){y|0<y<|}(B]{yI0<y<1}[C){y||<y<1}(D)0

(2)已知/(%)=若Q=/(；))=f(g,c=/(2),則(工

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<a<b(D)c<b<a

3

(3)已知函數/(x)=2"+x,g(x)=log2x+x,/i(x)=%+%的零點分別為a,瓦c,則a,則a,b,c

的大小順序為().

(A)a>b>c(B)b>c>a(C)c>a>b(D)b>a>c

10.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是d°C,空氣的溫度是MT,那么tmin后物體

的溫度。(單位：。C)可由公式

求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數.現有62P的物體，放在15℃的空氣

中冷卻,1min以后物體的溫度是52℃.

⑴求攵的值(精確到0.01);

(2)若要將物體的溫度降為42(,32。。求分別需要冷卻的時間(精確到0.1min).

12.對于函數/(%)=Q-高(QER),

(1)探索函數/(無)的單調性；

(第13題)

(2)是否存在實數a使函數/(%)為奇函數？

13.如圖，函數y=/(%)的圖象由曲線段。4和直線段4B構成.

(1)寫出函數y=/(%)的一個犍析式；

(2)提出一個能滿足函數y=/(x)圖象變化規律的實際問題.16.化簡器工-后工，其中a為

第二象限角.

9.化簡下列各式,其中幾EZ:

(1)sin得+a);(2)cos得一％).

11.根據正弦函數、余弦函數的圖象，寫出使下列不等式成立的x的取值集合:

(1)sinx>y(%6R);(2)V2+2cosx>0(%6R).

13.若x是斜三角形的一個內角，寫出使下列不等式成立的x的集合:

(1)1+tanx<0;(2)tanx-V3>0.

14.求函數y=-tan(2x-勺的單調區間.

7探究

如果已知任意角a,/?的正弦、余弦，能由此推出a+/?,a-/?的正弦、余弦嗎?

下面，我們來探究cos(a-/?)與角a.p的正弦、

余弦之間的關系.

不妨令aH2kn4-/?,kGZ.

如圖5.5-1，設單位圓與入軸的正半軸相交于點4(1,0)以%軸非負半軸為始邊作角a/,a-夕，它

們的終邊分別與單位圓相交于點Pi(cosa,sina),4i(cosA，sin/?),P(cos(a-/?),sin(a-/?)).

連接&Pi，4P.若把扇形04P繞著點。旋轉0角，則點4P分別與點AltPi重合.根據圜的旋

任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角后都與原來的圓重合,這一性質叫做圓的旋轉對稱性.

轉對稱性可知,0與R重合，從而Q=病，所以4P=4匕.根據兩點間的距離公式,得

[cos(a—B)—l]2+sin2(a-/?)

平面上任意兩點Pi

(x1,y1),P2(x2fy2)

間的距離公式PiP2=

J(%2-%1)2+(力一yJ2.

=(cosa—cos/?)2+(sina-sin/?)2,

化簡得

cos(a-/?)=cosacos/?+sinasin/?.

當a=2kn+0(k6Z)時，容易證明上式仍然成立.

所以，對于任意角a/有

cos(a-/?)=cosacos^+sinasin/?.

(5一6))

此公式給出了任意角a.p的正弦、余弦與其差角a-/?的余弦之間的關系，稱為差角的余弦公式,

簡記作Cg_6).

例12用向量方法證明兩角差的余弦公式

cos(a-/?)=cosacosp+sinasin^.

證明：如圖6.3-20,在平面直角坐標系Oxy內作單位圓。，以x軸的非負半軸為始邊作角a/,它們

的終邊與單位圓0的交點分別為4B.則

M=(cosa,sina),OS=(cos/?,sin/?).

圖6.3-20

由向量數量積的坐標表示，有04-05=cosacos/?+sinasin/?.

設57與萬的夾角為。，則畫?布=\OA\\OB\cosO=cosO.

所以

cosd=cosacosp+sinasin夕.

另一方面，由圖6.3-20(1)可知,a=2/CTT+0+。；由圖G3-20(2)可知,a=2"十八—0.于是

a-p=2kn±e,kEZ.所以

cos(a-0)=cosO.

于是

運用向量工具進行探索，過程多么簡潔啊！

cos(a-0)=cosacos^+sinasin/?.

22222

16.用向量方法證明:對于任意的afb,cfdeR，恒有不等式(QC+bd)<(a+b)(c+d).

例8求證:7

(1)sinacos/?=1[sin(a+/?)+sin(a-/?)];

這兩個式子的左右兩邊在結構形式上有什么不同？

(2)sin。+s\n(p=2sincos.

證明：(1)因為

sin(a+夕)=sinacos/?+cosasin/?,

sin(a—B)=sinacos^—cosasi叩,

將以上兩式的左右兩邊分別相加,得

sin(a+0)+sin(tz—/?)=2sintzcos/?,

即

sinacos/?=:[sin(a+夕)+sin(a-/?)].

(2)由⑴可得

sin(a+S)+sin(a—/?)=2sinacos/?.

⑴

設/+夕=a戊-6=租，

那么

8+006一。

a=—

如果不用(1)的結果，如何證明?

把a,夕的值代人(1),即得

9+(p0-(p

sind+sin(p=2sin---cos---.

乙乙

例8的證明用到了換元的方法.如把a+0看作仇a—0看作＜p，從而把包含a.p的三角函數式轉

化為仇(P的三角函數式.或者，把sinacos/?看作%,cosasin^看作y,把等式看作x,y的方程，則原問

題轉化為解方程(組)求x.它們都體現了化歸思想.4.求證：

(1)cosasin/?=1[sin(a+/?)—sin(a-/?)];

(2)cosacos/?=1[cos(a4-/?)+cos(a—/?)];

(3)sinasin/?=—1[cos(a4-/?)—cos(a—/?)].5.求證：

(1)s\n3—sin(p=2cos^|^sin^^;

(2JcosO4-cos(p=2coscos;

(3)cosO—cos伊=—2sinsin.

例10如圖5.5-2,在扇形OPQ例半徑OP=1，圓心角

圖5.5-2

乙POQ=pC是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形.記乙POC=a，求當角a取何值時，矩形

ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.

分析:可先建立矩形ABCD的面積S與a之間的函數關系S=/(a)，再求函數S=/(a)的最大值.

解：在Rt△OBC中，OB=cosa,BC=sina.

4Rt△OAD中，絲=tan±=?

OA3

所以

V3V3

OA=—DA=—BC=—sina,

333

V3

AB=OB—OA=cosa---sina.

3

設矩形4BC0的面積為S,則

S=AB?BC

cosa-^sin^sina

3]

33”條E%

1V3、

=彳sin2a——(z1-cos2a)

26

1V3V3

==sin2a+—cos2a———

266

=^(Tsin2a+lcos2a)-T

哈山儂+9

由0<a〈二得巳〈2。+巳〈藝,所以當2。+￡=￡,即。=三時，

3666626

_1V3_V3

==

s最大V5~TV

因此當a=g時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為￡

66

8.求證：

l-cos2Sl+sin20-cos20

⑸=tan26>;(6)=tan。.

l+cos20l+sin20+cos20

9.已知sin(a+/?)=；,sin(a-/?)=求證:

(1)sinacos/?=5cosasin￡;

(2)tana=5tan/?.

18.觀察以下各等式：

3

sin230°+cos2600+sin30°cos60°=

4

3

sin2200+cos250°+sin20°cos50°=

4

3

sin215°+cos245°+sinl50cos45°=

4

分析上述各式的共同特點,寫出能反映一般規律的等式,并對等式的正確性作出證明.

19.你能利用所給圖形，證明下列兩個等式嗎?

1,八、a+Sa-p

-(sina+sin/?)=sin---cos---;

乙乙乙

1a+0a-p

-(cosa+cos/?)=cos---cos---

（第19題）

+x

20.設f（a）=sina+cosa,xE{n\n=2k,kEN+}.利用三角變換，估計/（a）在x=2,4,6時的

取值情況，進而猜想%取一般值時/（a）的取值范圍.4.函數y=i4sin（a）x+（p）（A>0,>0,0<

（p<n）在一個周期內的圖象如圖所示，此函數的解析式為.

7.如圖，一個半徑為3m的簡車按逆時針方向每分轉1.5圈,筒車的軸心。距離水面的高度為

2.2m.設簡車上的某個盛

（第7題）

水筒P到水面的距離為d（單住m）（在水面下則d為負數），若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算

時間，則d與時間”單位:s）之間的關系為

d=i4sin（a）t+g）+K（A>0,3>0,-]<口<]）.

⑴求A,a）t（p,K的值（？精確到0.0001）;

（2）盛水筒出水后至少經過多長時間就可到達最高點（精確到0.01s）?

可以證明，在適當的直角坐標系下,簡諧運動可以用函數y=Asin（3%+0）,%€[0,+8）表示，其中

A>0,幻>0.描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關：

4就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；

這個簡諧運動的周期是T=生，它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；

O）

這個簡諧運動的頻率由公式f=i=為給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次

數；一

3X+Q稱為相位;X=0時的相位(P稱為初相.

12.(1)證明tana+tan/?=tan(a+0)—tanatan/?tan(a+/?);

(2)求Un20°+tan40°+V3tan20°tan40°的值;

(3)若a+夕=,，求+-tana)(l-tan/?)的值;

tan200+tan40°+tanl20°

(4)求的值.

tan20°tan40°

13.化簡:

⑴焉一磊；(2).4。。回1。。一⑹;

(3)tan7(Tcosl(r(y5tan20。-1);(4)sin50°(l+V3tanlOc).

15.(1)已知cos(a+0)=1,cos(tz—/?)=|,求tanatan/?的值；

(2)已知cosa+cos/?=sina+sin/?=[,求cos(a-/?)的值.16.證明:

l+sin2a

(1)cos4a+4cos2a+3=8cos4a；(2)=-Ltana+.-1;

2cos2a+sin2a22

sin^￡)__sin,43-4cos24+cos44

(3)2cos(a+/?)。.、4

sina,I)3+4cos2i4+cos47l=tan/1.

17.已知sina-cosa=g,0WaWTT,求sin(2a—彳)的值.

iozuXr-n(niA317TT”/7TT中■sinZx+ZsiMx/月/士

18.已知cos(-+X)==,一<X<一,求--------的值.

\4/51241-tanx

19.已知sin3+cosO=2sina,sin0cos0=sin2/?，求證4cos22a=cos22/7.

20.已知函數f(x)=cos4%—2sinxcosx—sin4%,

(1)求/(%)的最小正周期；

(2)當x€[0曰時，求/(%)的最小值以及取得最小值時%的集合.

21.已知函數/(%)=sin(%+,)+sin(%-')+cosx+a的最大值為1,

(1)求常數Q的值;(2)求函數/(%)的單調遞減區間；

(3)求使/(%)>0成立的x的取值集合.

25.如圖，已知直線IJ/12,A是lltl2之間的一定點，并且點A到llfl2的距離分別為hlfh2.B是直線

12上一動點，作AC1AB，且使AC與直線匕交于點C.設乙ABD=a.

(第25題)

(1］寫出△ABC的面積S關于角a的函數解析式S(a);

(2)畫出上述函數的圖象；

(3)由(2)中的圖象求S(a)的最小值.

26.英國數學家泰勒給出如下公式:

%3工5%7

—黃+可一五+.

X2X4X6

COSX=1——+——T7

2!4!6!

其中n!=lx2x3x4x???xn.

這些公式被編人計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性.比如，用前三項

計算cos0.3，就得到cos0.3a1_噌+絆=0.9553375.試用你的計算工具計算cos0.3，并與上

2!4!

述結果比較.

必修二

例8已知a,b是兩個不共線的向量，向量b-ta\a-|b共線,求實數t的值.

解:由不共線，易知向量［Q-|b為非零向量.由向量匕一一|b共線,可知存在實數A，使

得b-=4Ca-D

即(t+割a=(|4+1)b.兩個向量共線的充要條件知,a,b共線，與已知矛盾.

t+-A=0,

2

由3解得￡=1

;A+1=O,3

因此,當向量b-ta,1a一弓b共線時,t=

(第15題)

.15.如圖,在任意四邊形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點，求ffi:4-DC=2EF.

21.已知△ABC的外接圓圓心為。，且2而=屈+前』珂=\AB\，則向量BA在向量BC上的投

影向量為(工

(A)］元(B)^-BC(C)前(D)號就

22.如圖,0是平行四邊形ABCD外一點，用而，礪，而表示時.

(第22題)

23.已知。為四邊形ABCD所在平面內一點,且向量雨,礪，瓦，時滿足等式OA^OC=0)0B

(第24題)

(1)作出滿足條件的四邊形ABCD.

⑵四邊形力BCD有什么特點？請證明你的猜想.

24.如圖，在OC中，是不是只需知道OC的半徑或弦AB的長度，就可以求出AB-AC的值?

探究

些6.3-18，線段P$2的端點P\R的坐標分別是（xnyi）Xx2,y2）,點p是直線P”2上的一點.當

曬=XPK時，點P的坐標是什么？

2.如下頁圖,正方形的邊長為a,E是48的中點，尸是8c邊上靠近點8的三等分點,4尸與

DE交于點M,求Z.EMF的余弦值.

3.如圖，在△ABC中點。是BC的中點,過點0的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點MN.設

AB=mAM.AC=nAN，求機十"的值.

（第2題）

（第3題）

探究

在△ABC中,三個角4B.C所對的邊分別是a,b,c,怎樣用a,b和C表示c?

因為涉及的是三角形的兩邊長和它們的夾角，所以我們

圖6.4-8

考慮用向量的數量積來探究.

如圖6.4-8,設至=a,CA=b,AB=c,那么

c=a—b.

⑴

我們的研究目標是用|a|Jb|和C表示?,聯想到數量積的性質c?c=|c|2，可以考慮用向量c(即

。-匕)與其自身作數量積運算.

由⑴得

\c\2=c-c=(a-by(a—b')=a-a+b-b—2a-b=a2-^-b2—2\a\\b\cosC.

所以

c2=a2+b2-2ahcosC.

同理可得

從這里的推導過程，你感受到向量運算的力量了嗎?

Q2=力2+_2bcCOSi4,

b2=c24-a2—2cacosB.

于是,我們得到了三角形中邊隹關系的一個重要定理：

余弦定理(cosinetheorem)三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們

夾角的余弦的積的兩倍.即

你能用其他方法證明余弦定理嗎?

a2=b2+c2-2bccosA,

b2=c2+a2-2cacosB,

c2=az+bz—2abcosC.

利用余弦定理，我們可以從三隹形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊.

下面先研究銳角三角形的情形.

如圖6.4-10,在銳角△4BC中，過點人作與尼垂直的單

圖6.4-10

位向量j，則j與AB的夾角為］一4j與而的夾角為］一C.

因為n+而=同,所以

/?(前+同=>A§.

由分配律，得

j-AC+j-CB=j-AB,

即

|y||Zc|cos^4-|川元|cosR-C)=I川麗|cos(g_A),

也即

asinC=csinA.

所以

ac

sin4sinC'

同理，過點C作與CB垂直的單位向量m，可得

bc

sinBsinC'

因此

abc

sin/lsinBsinC'

當△ABC是鈍角三角形時,不妨設A為鈍角（如圖6.4-11）.

圖6.4-11

過點A作與AC垂直的單位向量j，則;與AB的夾角為A-與CB的夾角為］-C.仿照上述方

法同樣可得

abc

sinAsinBsinC'

綜上，我們得到下面的定理：

正弦定理（sinetheorem）在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等,即

這個公式表達形式的統一性、對稱性,不僅使結果更和諧優美,而且更突顯了三角形邊角關系的

本質.

ahc

sin4sinBsinC'

正弦定理給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的角的正弦之間的一個定量關系.利用正弦

定理,不僅可以解決“已知兩角和一邊,解三角形”的問題,還可以解決“已

例9如圖6.4-12,48兩點都在河的對岸（不可到

圖6.4-12

達工設計一種測量4B兩點間矩離的方法,并求出A.B間的距離.

分析:若測量者在4B兩點的對岸取定一點C(稱作測量基點),則在點C處只能測出/4CB的大小,

因而無法解決問題.為此,可以再取一點D，測出線段CD的長，以及乙4CD/CDB/BDA,這樣就可

借助正弦定理和余弦定理算出距離了.

解:如圖6.4-13,在AfB兩點的對岸選定兩點C,D,

圖6.4-13

測得CO=a,并且在C.D兩點分別測得48c4=a,^ACD=R/CDB=y/BDA=8.

在△ADC和△BDC中，由正弦定理，得

asin(y+S')asin(y+S')

sin[180。-(/?+y+6)]sin(/?+y+6)'

asinyasiny

-sin[180。一(a+-+y)]-sin(a+夕+y)'

于是，在△48C中，由余弦定理可得48兩點間的距離

AB=y/AC2+BC2-2ACxBCcosa

a2sin2(y4-a2sin2y2a2sin(y+5)sinycosa

sin2(/?+y+6)+sin2(a+/?+y)sin(0+y+5)sin(a+夕+y)

(2)思考

在上述測量方案下,還有其他計算A.B兩點間距離的方法嗎?

在測量過程中,我們把根據測量的需要而確定的

線段叫做基線，如例9中的CD,為使測量具有較高的精確度，應根據實際需要選取合適的基線長

度一般來說,基線越長,測量的精確度越高.如圖6.4-14,早在1752年,兩位法國天文學家為了測

量地球與月球之間的距離，利用幾乎位于同一經線上的柏林（點A）與好望角（點B）為基點，測量

出a,p的大小，并計算出兩地之間的距離48,進而算出了地球與月球之間的距離約為

385400km.我們在地球上所能用的最長的基線是地球橢圓軌道的長軸.當然,隨著科學技術的發

展，人們會不斷發現更加先進的測量距離的方法.

圖6.4-14

1.若非零向量AB與AC滿足（需J+點［）,BC=。，且=［，則△ABC為（）.

（A）三邊均不相等的三角形（B）直角三角形

（C）底邊和腰不相等的等腰三角形（D）等邊三角形

2.已知O,N,P在△ABC所在平面內，滿足|6=\OB\=\OC\fN~A^-NB+NC=0,且藥?麗=

~PB~PC=PC-

垂心是三角形三條高所在直線的交點.

PA，則點0,N,P依次是△ABC的（）.

（A）重心,外心,垂心（B）重心,外心,內心

(C)外心,重心,垂心(D)外心,重心,內心

11.已知對任意平面向量布=(x,y)，把四繞其起點沿逆時針方向旋轉。角得到向量Q=

(XCOS0-ysin3,xsin0+ycosd')，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉0角得到點P.已知平面內

點,4(1,2)，點8(1+&,2-2V2)，把點B繞點A沿順時針方向旋轉?后得到

點P,求點P的坐標.12.如圖，在△A8C中，已知AB=2,AC=5,AC=60。,8C,

(第12題)

AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P,求乙MPN的余弦直

15.△4BC的三邊分別為Q,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別記為ma,mb,mc，利用余弦定理證明

222

ma=~y/2(b4-c)-a,

mb=\03+12)-〃2,

22

mr=-^/2(?4-b)—c

乙

16.在△ABC中,求證:c(acosB-bcosA)=a2—b2.

17.證明:設三角形的外接圓的半徑是R,則a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC.

18.證明三角形的面積公式

zsin/?sinf?

D-F

(第19題)

19.如圖，在^ABCD中，點瓦尸分別是AD.DC邊的中點,BE.BF分別與AC交于R,T兩點,你能發

現AR,RT,TC之間的關系嗎？用向量方法證明你的結論.

20.已知△ABC的三個角4B,C的對邊分別為a,b,c,設p=：(Q+b+c)，求證：

⑴三角形的面積S=y/p(p-a)(p-b)(p-c);

(2)若r為三角形的內切圓半徑，則

r=J-(-p----a-)--(-pP--b--)-(-p---c-)；

(3)把邊BCfAC,AB上的高分別記為ha,hb,hc，則

2,---------------------

%=--b)(p-c),

2.---------------------

3=3dP(P-a)(P-b)(P-。)，

2)----------------

&=-VP(P-Q)(P-b)(p-c).

例6在復數范圍內解下列方程：

(1)/+2=0；

⑵Q久2+力％+。=0,其中o,仇cER,且aH0,/=b2—4ac<0.

分析:利用復數的乘法容易得到(1)中方程的根.對于(2),當4=爐一4ac<0時,一元二次方程

ax2+bx+c=0無實數根.利用求解一元二次方程的“根本大法”一配方法,類似于⑴,就能在

復數范圍內求得(2)中方程的根.

解:⑴因為(V2i)2=(-V2i)2=—2,所以方程%2+2=0的根為%=±V2i.

(2)將方程ax2+bx+c=0的二次項系數化為1,得

bc

%29+-x+-=0.

aa

配方,得

/b\2b2-4ac

卜十五)=F^，

即

/b\2_(尼—4ac)

卜+五)=--(2a)^'

由4V0,知考薩=嬴>0.類似(1),可得

b_J-(b2-4ac),

x+--=±-----------------i.

2a2a

所以原方程的根為x=-成士七號竺%.

2a2a

在復數范圍內，實系數一元二次方程Q/+"+c=0(aH0)的求根公式為:

(1)當420時,％=也^

-h±^/—(h2-4ac')}

(2)當/<0時,％=

2a

⑵閱讀與思考

代數基本定理

在代數發展史上的很長一段時期內，解一元多項式方程一直是人們研究的一個中心問題.早在古

巴比倫時期,人們就會解一元二次方程.16世紀上半葉,數學家們得到了一元三次方程、一元四次

方程的解法(包括求根公式).此后,數學家們轉向求解一元五次及五次以上的方程.他們想弄清楚

以下問題:一般的一元多項式方程有沒有根？如果有根，根的個數是多少？是否存在求根公式？

我們可以發現這樣一個現象隨機生成的一元多項式,在復數集中最終都可以分解成一次因式的

乘積,且一次因式的個數(包括重復因式)就是被分解的多項式的次數.事實上,數學中有如下定理:

代數基本定理(fundamentaltheoremofalgebra)任何一元九(九eN*)次復系數多項式方程

/(x)=0至少有一個復數根.

代數基本定理是數學中最重要的定理之一,它在代數學中起著基礎作用.代數基本定理的證明方

法有很多種，但每種證法都涉及高等數學知識，此處不作介紹.有興趣的同學可以查閱相關資料.

由代數基本定理可以得到:任何一元n(neN,)次復系數多項式/(%)在復數集中可以分解為n個

一次因式的乘積.進而，一元n次多項式方程有n個復數根(重根按重數計).你能給出證明嗎？

盡管一元n次多項式方程有n個復數根(重根按重數計)，但是一元五次及五次以上的方程不存在

一般的求根公式.

下面我們從代數基本定理出發，看看一元多項式方程的根與系數之間的關系.

設實系數一元二次方程

2

a2x+axx+a0=0(a20)

在復數集C內的根為與,無2，容易得到

%1+X=----

2a2

4X2

設實系數一元三次方程

32

a3x+a2x+aAx+Q0=0(Q300)

⑴

在復數集C內的根為％1，次/3，可以得至山方程(1)可變形為

Q3a-%)(%—X2)(X-%3)=0,

展開得

2

。3/-Q3al+必+X3)X+。3(%1%2+%1%3+%2%3)%一=。?

⑵

比較(1)(2)可以得到

a2

無1+32+=-----，

a3

Q1

xAx2+xAx3+x2x3=—

%

?0

、62小=一工

如果實系數一元四次方程

2