導(dǎo)數(shù)的概念1/302.1導(dǎo)數(shù)概念

1.曲線切線βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)圖象,P(x0,y0)是曲線C上任意一點(diǎn),Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點(diǎn),PQ為C割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ傾斜角.2/30PQoxyy=f(x)割線切線T請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐步向點(diǎn)P靠近時(shí),割線PQ繞著點(diǎn)P逐步轉(zhuǎn)動(dòng)情況.3/30我們發(fā)覺(jué),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限靠近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處切線.設(shè)切線傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處切線斜率.即:這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線斜率一個(gè)方法;②切線斜率本質(zhì)——函數(shù)平均改變率極限.注意,曲線在某點(diǎn)處切線:(1)與該點(diǎn)位置相關(guān)；(2)要依據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解切線。4/30例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx所以,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處切線方程基本步驟:先利用切線斜率定義求出切線斜率,然后利用點(diǎn)斜式求切線方程.5/30練習(xí):求曲線上一點(diǎn)P(1,-1)處切線方程.答案:y=3x-4.6/302.瞬時(shí)速度

已知物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示時(shí)間),求物體在t0時(shí)刻速度．如圖設(shè)該物體在時(shí)刻t0位置是ｓ(t0)＝OA0,在時(shí)刻t0+Δt位置是s(t0+Δt)=OA1,則從t0到t0+Δt這段時(shí)間內(nèi),物體位移是:在時(shí)間段(t0+Dt)－t0=Dt內(nèi)，物體平均速度為:7/30

平均速度反應(yīng)了物體運(yùn)動(dòng)時(shí)快慢程度,但要準(zhǔn)確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng),就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)快慢程度,也既需要經(jīng)過(guò)瞬時(shí)速度來(lái)反應(yīng).

假如物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時(shí)刻t瞬時(shí)速度v，就是物體在t到t+Δt這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)Δt

0時(shí)平均速度:例2:物體作自由落體運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為：其中位移單位是m,時(shí)間單位是s,g=10m/s2.求：(1)物體在時(shí)間區(qū)間[2,2.1]上平均速度；(2)物體在時(shí)間區(qū)間[2,2.01]上平均速度；(3)物體在t=2(s)時(shí)瞬時(shí)速度.8/30解:(1)將Δt=0.1代入上式，得:(2)將Δt=0.01代入上式，得:即物體在時(shí)刻t0=2(s)瞬時(shí)速度等于20(m/s).當(dāng)初間間隔Δt逐步變小時(shí),平均速度就越靠近t0=2(s)時(shí)瞬時(shí)速度v=20(m/s).9/30練習(xí):某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt這段時(shí)間內(nèi)平均速度,這里Δt取值范圍為1;(2)t=2時(shí)刻瞬時(shí)速度.10/303.導(dǎo)數(shù)概念從上面兩個(gè)實(shí)例,一個(gè)是曲線切線斜率,一個(gè)是瞬時(shí)速度,詳細(xì)意義不一樣,但經(jīng)過(guò)比較能夠看出它們數(shù)學(xué)表示式結(jié)構(gòu)是一樣,即計(jì)算極限,這就是我們要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義.定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其附近有定義,當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有改變量Δx時(shí)函數(shù)有對(duì)應(yīng)改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).假如當(dāng)Δx0時(shí),Δy/Δx極限存在,這個(gè)極限就叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(或改變率)記作即:11/30如瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t導(dǎo)數(shù).是函數(shù)f(x)在以x0與x0+Δx為端點(diǎn)區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0-Δx,x0])上平均改變率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處改變率,它反應(yīng)了函數(shù)隨自變量改變而改變快慢程度．假如函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0存在導(dǎo)數(shù),就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),假如極限不存在,就說(shuō)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).12/30由導(dǎo)數(shù)意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)基本方法是:13/30例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處導(dǎo)數(shù);(2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處導(dǎo)數(shù).14/3015/30假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí),對(duì)每一個(gè)x

(a,b)都有唯一確定導(dǎo)數(shù)值與它對(duì)應(yīng),這么在區(qū)間(a，b)內(nèi)就組成一個(gè)新函數(shù).這個(gè)新函數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)函數(shù),記作,即:在不致發(fā)生混同時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)．

假如函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),那么函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)．16/30求函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)可分以下三步:17/3018/304.導(dǎo)數(shù)幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線斜率是.故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線方程是:例1:設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線斜率.故所求斜率為-2.19/30例2:如圖,已知曲線,求:

(1)點(diǎn)P處切線斜率;(2)點(diǎn)P處切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處切線斜率等于4.

(2)在點(diǎn)P處切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.20/30例1:判斷以下各命題真假:(1)已知函數(shù)y=f(x)圖象上點(diǎn)列P1,P2,P3,…Pn…,則過(guò)P0與Pn兩點(diǎn)直線斜率就是函數(shù)在點(diǎn)P0處導(dǎo)數(shù).答:由函數(shù)在點(diǎn)P0處導(dǎo)數(shù)幾何意義知:函數(shù)在點(diǎn)P0處導(dǎo)數(shù)是過(guò)P0點(diǎn)曲線(即函數(shù)y=f(x)圖象)切線斜率,而不是割線P0Pn斜率,故它是一個(gè)假命題.(2)若物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律是S=f(t),則物體在時(shí)刻t0瞬時(shí)速度V等于答:因?yàn)樗耆纤矔r(shí)速度定義,故它是一個(gè)真命題.(3)若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)锳,則對(duì)任一只要函數(shù)在x0處連續(xù),則就必存在.5.例題選講21/30答:它是一個(gè)假命題.比如,函數(shù)在x=0處連續(xù),但它在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在.(4)設(shè)是函數(shù)y=f(x)圖象上三點(diǎn),且函數(shù)在P1,P2,P3

三點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)均存在.若,則必有答:,因?yàn)閒(x)導(dǎo)函數(shù)未必是單調(diào)增函數(shù).所以,不一定成立,比如f(x)=x3,則顯然有故是假命題.說(shuō)明:要正確判斷命題真假,需真正了解:曲線在點(diǎn)P處切線斜率、瞬時(shí)速度、連續(xù)與可導(dǎo)等概念,還要把握好要確定一個(gè)命題為真命題,則需給出論證,而要給出否定結(jié)論,舉一個(gè)反例就足夠了.22/30例2:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),求以下各極限值:分析:利用函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)條件,將題目中給定極限恒等變形為導(dǎo)數(shù)定義形式.注意在導(dǎo)數(shù)定義中,自變量增量Δx形式是多樣,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)形式.23/30例3:證實(shí):(1)可導(dǎo)偶函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);(2)可導(dǎo)奇函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).證:(1)設(shè)偶函數(shù)f(x),則有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可證命題成立,在此略去,供同學(xué)們?cè)谡n后練習(xí)用.24/30練習(xí)1:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),求以下各極限值:練習(xí)2:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo),試用a、f(a)和25/30例4:判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導(dǎo).從而函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處不可導(dǎo).注:這是一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)例子.26/30練習(xí)3:函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點(diǎn)x0=0處是否有導(dǎo)數(shù)?若有,求出來(lái),若沒(méi)有,說(shuō)明理由.故函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點(diǎn)x0=0處沒(méi)有導(dǎo)數(shù),即不可導(dǎo).27/306.小結(jié)a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)含有相同數(shù)學(xué)表示式一個(gè)主要概念，要從它幾何意義和物理意義了認(rèn)識(shí)這一概念實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全過(guò)程中發(fā)展改變規(guī)律來(lái)確定它在某一時(shí)刻狀態(tài)。b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)增量；（2）求平均改變率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。c.搞清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”之間區(qū)分與聯(lián)絡(luò)。（1）函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)函數(shù)改變量與自變量改變量之比極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。（2）函數(shù)導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言,就是函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)。28/30（3）假如函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí),對(duì)于開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一個(gè)確定值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定導(dǎo)數(shù)，這么就在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可組成一個(gè)新函數(shù)，稱作f(x)導(dǎo)函數(shù)。（4）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)方法之一。d.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該