第二章機(jī)械振動(dòng)

第4節(jié)單擺

本節(jié)課程是在了解了簡諧運(yùn)動(dòng)特征的基礎(chǔ)上，有引入一種新的簡諧運(yùn)動(dòng)模型—單擺，教師需

要點(diǎn)出及單擺的理想化條件，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)看作簡諧運(yùn)動(dòng)的條件，能說出單擺回復(fù)力

的來源。通過實(shí)驗(yàn)探究得出影響單擺周期的條件及單擺的周期公式。

【物理觀念】通過單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)條件的學(xué)習(xí)，體會(huì)用近似方法研究物理問題

【科學(xué)思維】知道什么是單擺；理解單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)；知道在擺角很小時(shí)單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的推導(dǎo)過

程，單擺的周期的影響因素。

【科學(xué)探究】通過實(shí)驗(yàn)，探究單擺的周期與擺長的關(guān)系，知道單擺周期與擺長、重力加速度的關(guān)系。

會(huì)用單擺測定重力加速度。

【科學(xué)態(tài)度與責(zé)任】激情投入，通過觀察演示實(shí)驗(yàn)，概括出單擺周期與擺長、重力加速度的關(guān)系，

培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】理解單擺振動(dòng)回復(fù)力的來源及做簡諧運(yùn)動(dòng)的條件．

【教學(xué)難點(diǎn)】知道單擺周期的決定因素，掌握單擺的周期公式．

一、【引入新課】

生活中單擺

風(fēng)鈴擺鐘吊燈

單擺：1.單擺模型

(1)由細(xì)線和小球組成。

(2)細(xì)線的質(zhì)量和小球相比可以忽略。

(3)小球的直徑與線的長度相比可以忽略。

2．?dāng)[動(dòng)特點(diǎn)：在擺角很小時(shí)，位移時(shí)間圖線是一條正弦曲線，說明單擺的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。

—

以下擺是否是單擺：

想一想：生活中經(jīng)常可以看到懸掛起來的物體

在豎直平面內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)。將一小球用細(xì)繩懸掛起來，把小球拉離最低點(diǎn)釋放后，小球就會(huì)來回?cái)[動(dòng)。

小球的擺動(dòng)是否為簡諧運(yùn)動(dòng)呢？

思考：用什么方法探究單擺的振動(dòng)是否為簡諧運(yùn)動(dòng)？

二、【進(jìn)行新課】

探究點(diǎn)一、單擺的回復(fù)力

擺球的受力分析

(1)任意位置

如圖所示，G2＝Gcosθ，F(xiàn)－G2的作用就是提供擺球繞O′做變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；G1＝Gsinθ的

作用是提供擺球以O(shè)為中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力．

2)平衡位置

擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)，G2＝G，G1＝0，此時(shí)F應(yīng)大于G，F(xiàn)－G提供向心力，因此，在平衡位置，

回復(fù)力F回＝0，與G1＝0相符．

(3)單擺的簡諧運(yùn)動(dòng)

x

sintan

在θ很小時(shí)(理論值為＜5°)，t

mgmg

x-x-kx

G1＝Gsin＝，G1方向與擺球位移方向相反，所以有回復(fù)力F回＝因此，在擺角θ

很小時(shí)，單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)．

對于單擺的兩點(diǎn)說明

(1)所謂平衡位置，是指擺球靜止時(shí)，擺線拉力與小球所受重力平衡的位置，并不是指擺動(dòng)過程中的

受力平衡位置．實(shí)際上，在擺動(dòng)過程中，擺球受力不可能平衡．

(2)回復(fù)力是由擺球受到的重力沿圓弧切線方向的分力Fmgsin提供的，不可誤認(rèn)為回復(fù)力是重

力G與擺線拉力T的合力．

一般規(guī)律1

單擺的受力特點(diǎn)

(1)單擺振動(dòng)的回復(fù)力為擺球重力沿圓弧切線方向的分力，回復(fù)力不是擺球所受的合外力．當(dāng)擺球擺

至平衡位置時(shí)，回復(fù)力等于零，合外力提供向心力．

(2)單擺的運(yùn)動(dòng)不一定是簡諧運(yùn)動(dòng)，只有在擺角較小的情況下才能看成簡諧運(yùn)動(dòng)，理論上一般θ角不超

過5°，但在實(shí)驗(yàn)中，擺角很小時(shí)單擺運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)不易觀察清楚，帶來的測量誤差反而會(huì)增大，因此

實(shí)驗(yàn)中一般θ角不超過10°.

一般規(guī)律2

單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：

(1)擺線以懸點(diǎn)為圓心做變速圓周運(yùn)動(dòng)，因此在運(yùn)動(dòng)過程中只要速度v≠0，半徑方向都受向心力．

(2)擺線同時(shí)以平衡位置為中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此在運(yùn)動(dòng)過程中只要不在平衡位置，軌跡的切線方向

都受回復(fù)力．

總結(jié)

1、回復(fù)力的來源

擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。

2、回復(fù)力的特點(diǎn)

在偏角很小時(shí)，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即

mg

—x

F＝

探究點(diǎn)二、單擺的周期

觀察：

單擺的位移時(shí)間圖

做一做：

如圖，細(xì)線下懸掛一個(gè)除去了柱塞的注射器，注射器內(nèi)裝上墨汁。當(dāng)注射器擺動(dòng)時(shí)，沿著垂直于擺

動(dòng)的方向勻速拖動(dòng)木板，觀察噴在木板上的墨汁圖樣。

觀察墨汁圖樣

一條短繩系一個(gè)小球，它的振動(dòng)周期較短。懸繩較長的秋千（圖），周期較長。單擺的周期與哪些

因素有關(guān)？

下面我們通過實(shí)驗(yàn)來研究這個(gè)問題。

懸繩長度不同的秋千

想一想：探究單擺周期與擺長之間的關(guān)系

如圖，在鐵架臺(tái)的橫梁上固定兩個(gè)單擺，按照以下幾種情況，把它們拉起一定角度后同時(shí)釋放，

觀察兩擺的振動(dòng)周期。

1.兩擺的擺球質(zhì)量、擺長相同，振幅不同（都在小偏角下）。

2.兩擺的擺長、振幅相同，擺球質(zhì)量不同。

3.兩擺的振幅、擺球質(zhì)量相同，擺長不同。

比較三種情況下兩擺的周期，可以得出什么結(jié)論？

研究單擺的振動(dòng)周期

實(shí)驗(yàn)表明：單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期與擺長有關(guān)，擺長越長，周期越大；單擺的周期與擺球質(zhì)量和振

幅無關(guān)。單擺周期與擺長之間有什么定量的關(guān)系呢？

做一做：

改變擺長l，測出對應(yīng)的單擺周期T（在小偏角下）。根據(jù)你的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，嘗試在坐標(biāo)紙上畫出T-l

圖像或T-l2圖像。它們分別是什么曲線？你能根據(jù)圖像判斷單擺周期與擺長的關(guān)系嗎？

T

l2

1)單擺的周期與擺球質(zhì)量、振幅無關(guān)．

(2)單擺的周期與擺長有關(guān)，擺長越長，周期越大．

單擺的等時(shí)性：單擺的周期與振幅無關(guān)的性質(zhì)．

單擺的運(yùn)動(dòng)是一種簡諧運(yùn)動(dòng)，其圖像的意義、擺球的運(yùn)動(dòng)過程與彈簧振子的運(yùn)動(dòng)分析相似，只是擺

球運(yùn)動(dòng)中還受向心力的作用．

2．周期公式

(1)公式的提出:周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先提出的。

l

(2)公式:T=2,即T與擺長l的二次方根成正比,與重力加速度g的二次方根成反比。

g

42l

周期公式的應(yīng)用:由單擺周期公式可得g,只要測出單擺的擺長l和周期T就可算出當(dāng)?shù)氐闹?/p>

T2

力加速度。

3.單擺周期公式的理解和應(yīng)用

ll

1．對公式2的理解由公式2知，某單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)(擺角小于

gg

5°)的周期只與其擺長l和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān)，而與振幅或擺球質(zhì)量無關(guān)，故又叫做單擺的固

有周期．

d

ll1

(1)擺長l：實(shí)際的單擺擺球不可能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長應(yīng)是從懸點(diǎn)到擺球球心的長度，即2，l1

為擺線長，d為擺球直徑．

(2)重力加速度g

GM

2

①若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且處于靜止?fàn)顟B(tài)，g由單擺所處的空間位置決定，即g＝R，式

中R為物體到地心的距離，M為地球的質(zhì)量，g隨所在地表的位置和高度的變化而變化．

②在不同星球上M和R一般不同，g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近時(shí)的取值．

科學(xué)漫步

從日晷到原子鐘

在人類文明進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的歷史長河中，人類活動(dòng)與時(shí)間測量的精度是密不可分的。很久很

久以前，我們的祖先記錄時(shí)間是利用天體的周期性運(yùn)動(dòng)。例如利用太陽和月亮相對自己的位置等來

模糊地定義時(shí)間。

后來，人們從觀察自然現(xiàn)象到逐漸發(fā)明了日晷、水鐘、沙漏等人造計(jì)時(shí)裝置，這標(biāo)志著人造時(shí)

鐘開始出現(xiàn)（圖1）

當(dāng)鐘擺等可長時(shí)間周期性運(yùn)動(dòng)的振蕩器出現(xiàn)后，人們把能產(chǎn)生確定的振蕩頻率的裝置，作為時(shí)

間頻率標(biāo)準(zhǔn)，并以此為基礎(chǔ)發(fā)明了真正可持續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)鐘。

從20世紀(jì)30年代開始，隨著晶體振蕩器的發(fā)明，小型化、低能耗的石英晶體鐘表代替了機(jī)

械鐘，廣泛應(yīng)用在電子計(jì)時(shí)器和其他各種計(jì)時(shí)領(lǐng)域。

20世紀(jì)40年代開始，科學(xué)家們利用原子超精細(xì)結(jié)構(gòu)躍遷能級具有非常穩(wěn)定的躍遷頻率這一特點(diǎn)，

發(fā)展出比晶體鐘更高精度的原子鐘。

隨著激光冷卻原子技術(shù)的發(fā)展，利用激光冷卻的原子制造的冷原子鐘（圖2）使時(shí)間測量的精

度進(jìn)一步提高。到目前為止，地面上精度最高的冷原子噴泉鐘已經(jīng)達(dá)到每3億年只有1s的誤差，

更高精度的冷原子光鐘也在快速發(fā)展中。

近年來，科學(xué)家們將激光冷卻原子技術(shù)與空間微重力環(huán)境相結(jié)合，有望在空間軌道上獲得比地

面上的線寬要窄一個(gè)數(shù)量級的原子鐘譜線，從而進(jìn)一步提高原子鐘的精度，這將是原子鐘發(fā)展史上

又一個(gè)重大突破。

日晷我國制造的空間冷原子鐘

課堂重點(diǎn)知識(shí)小結(jié)

1、單擺的理想化模型：在細(xì)線的一端拴上一個(gè)小球，另一端固定在懸點(diǎn)上，如果線的伸縮和質(zhì)量可

以忽略不計(jì)，球的直徑比線長短得多。

2、單擺運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：在擺角<10°的條件下，單擺的振動(dòng)可看作簡諧振動(dòng)。

l

3、單擺振動(dòng)的周期公式：2

g

單擺周期與擺長和重力加速度有關(guān),與振幅和質(zhì)量無關(guān)。

隨堂練習(xí)

例1（多選）關(guān)于單擺擺球在運(yùn)動(dòng)過程中的受力，下列結(jié)論正確的是()

A．?dāng)[球受重力、擺線的張力作用

B．?dāng)[球的回復(fù)力最大時(shí)，向心力為零

C．?dāng)[球的回復(fù)力為零時(shí)，向心力最大

D．?dāng)[球的回復(fù)力最大時(shí)，擺線中的張力大小比擺球的重力大

E．?dāng)[球的向心力最大時(shí)，擺球的加速度方向沿?cái)[球的運(yùn)動(dòng)方向

【答案】：ABC

【解析】：單擺在運(yùn)動(dòng)過程中，擺球受重力和擺線的拉力，故A對；重力垂直于擺線的分力提供回

復(fù)力．當(dāng)回復(fù)力最大時(shí)，擺球在最大位移處，速度為零，向心力為零，則拉力小于重力，在平衡位

置處，回復(fù)力為零，速度最大，向心力最大，擺球的加速度方向沿?cái)[線指向懸點(diǎn)，故D、E錯(cuò)，B、

C對．

例2(單選）有一個(gè)正在擺動(dòng)的秒擺(T=2s),若取擺球正從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí),那么當(dāng)t=1.6s

時(shí),以下對擺球的運(yùn)動(dòng)情況及回復(fù)力變化情況正確的是()

A.正在向左做減速運(yùn)動(dòng),回復(fù)力正在增大

B.正在向右做減速運(yùn)動(dòng),回復(fù)力正在增大

C.正在向右做加速運(yùn)動(dòng),回復(fù)力正在減小

D.正在向左做加速運(yùn)動(dòng),回復(fù)力正在減小

【答案】D