小學數學競?賽輔導專題?講座一、對于小學數?學與數學競?賽的認識在基礎教育?中數學是一?門主課，世界各國都?是如此，每個人在他?的青少年時?代至少要學?十年的數學?，為什么大家?這樣重視數?學呢？原因在于，數學是鍛煉?思維的體操?，數學是打開?科學大門的?鑰匙，數學是引導?人們進行理?性探索的工?具。數學是一種?文化，是一種屬于?科學的文化?，理性的文化?，它的內容、思想、方法和語言?是現代文明?的重要組成?部分。通過學數學?，所形成的能?力，所領悟的數?學的精神、思想和方法?，凝鑄為個人?的素質，成為一個人?終生受用的?財富。數學文化有?著與時俱進?，適應時代發?展要求的育?人功能，為了更好地?發揮數學教?育的育人功?能，實現育人目?標，就必須充分?發揮數學的?文化功能，重視文化觀?念教育，增強文化氣?息，提高文化品?位。把數學的嚴?謹求實的精?神和推理意?識；勇于創新的?精神和探索?意識；善抓本質的?精神和抽象?的意識；聯系實際的?精神和應用?意識等滲透?到數學的教?與學的全過?程。要提高數學?教與學的文?化品位，以“潤物細無聲?”的方式，滲透數學文?化，促進學生人?格品質的升?華和全面素?質的提高。我國的基礎?教育，在相當長的?一段時間是?實行九年義?務教育，使全體適齡?兒童都得到?全面發展。由于每個人?的個性愛好?存在差異，理所當然地?要在《課程標準》要求的基礎?上進行因材?施教，鼓勵學生自?由發展自己?的愛好和特?長，因此，豐富多彩的?高質量的家?庭教育，業余教育成?為正規學校?教育的重要?補充，其中，數學競賽活?動尤為受到?廣大家長和?同學的歡迎?。小學數學競?賽活動作為?一種學習載?體，對小學生的?發展一直起?著積極向上?的導向作用?。她的積極影?響，只有在“做數學”的過程中才?能領悟并逐?步地變為現?實。江澤民主席?視察澳門濠?江中學時談?到：解答數學題?，最重要的是?培養一個人?的鉆研精神?。從數學文化?的高度，揭示了“做數學”的素質教育?內涵。二、小學數學競?賽題型介紹?與輔導（一）高斯算法[解題指導]卡爾、弗里德希、高斯是世界?著名的數學?家，他很小的時?候就聰穎過?人，有很高的數?學天賦，小高斯上一?年級時，有一天，教師出了這?樣一道數學?題讓同學們?計算：1+2+3+4+5+6+……+98+99+100=？老師剛剛出?完題目，全班小朋友?還有埋頭計?算，小高斯就很?快地說出了?正確答案：5050。小高斯是怎?樣巧妙的算?出答案的呢?？原來他通過?細心觀察，發現1——100這一串數有?一個十分明?顯的特征，即它們相鄰?兩個數的差?都相等。若把這10?0個數，從兩頭往中?間逐個相加?，它們的和又?都相等：1+100=2+99=3+88=…………=49+52=50+51，像寧產共有?50個數對?，每對的兩個?數的和為1?01，所以它們的?總和為（1+100）×100÷2=101×50=5050。歸納出一個?公式是：（首項+末項）×項數÷2注：在數學上，人們把1—100這些?數中的每個?數都叫做一?個項，并把這樣的?一串數稱做?等差數列。例1：1+2+3-4+5+6+7-8+9+……25+26+27-28=？分析：仔細觀察這?個算式，發現它有規?律地出現著?一些“減數”，因此，計算時應特?別細心，下面介紹二?種解法。解法一：變減為加，整體推算（其中減數為?4的倍數，共28÷4=7個）（1+28）×28÷2-[（4+28）×7÷2]×2=406-224=182這樣想，開始我們把?減數當成加?數來算了，所以后來應?減去這些減?數的2倍。解法二：分組累計從頭算起，每四個數為?1組，分別計算每?組數的得數?為：2，10，18，……50，其和為：（2+50）×7÷2=182這樣想：四個數為1?組，28個數即?可分成7組?，所以項數是?7。例2：有一列數，19，22，25，28……這列數的前?99個數（從19開始?算起）的總和是多?少？分析：求總和，必須先算出?這個數列的?末項（即第99個?數）是多少。仔細觀察它?們的那前幾?項，不難發現；后一個數都?比它前面的?數大“3”（這就叫做這?個數列的公?差）。如果都與第?一個數相比?，第二個數比?第一個數多?3；第三個數比?第二個數多?2個3；第四個數比?第一個數多?3個3……由此不難推?想出，第九十九個?數一定比第?一個數多9?8個3，它是19+3×（99-1）=313再利用“高斯算法”求和（19+313）×99÷2=16434?由此歸納出?求末項的公?式：首項+公差×（項數-1）=末項例3：從“99”開始，每隔三個數?寫出一個數?：99，103，107，111，……1999是?這列數中的?第幾個數？分析：求項數的思?考方法與例?2基本相同?，首先觀察這?列數的前幾?項，發現它們從?第二個數開?始，每個數都比?它前面的數?多4（即公差），仍拿它們都?與第一個數?相比，第2個數比?第1個數多?4；第3個數比?第一個數多?2個4；第4個數比?第一個數多?3個4；……要知道“1999”是這列數中?第幾個數，只要算一算?比第一個數?多多少個“4”就可以了，列式為（1999-99）÷4=475“1999”是這列數中?的第（475+1）=476個數?歸納出求項?數的公式：（末項-首項）÷公差+1=項數有了這兩個?求末項和求?項數的公式?，一些稍復雜?的利用“高斯算法”求和的問題?就能順利解?答了。（二）整除問題[解題指導]在小學數學?競賽中，有些問題涉?及“整除”這部分知識?，因此，有必要結合?起來較典型?的例題對有?關“整除”的一些更深?層次的知識?作一些介紹?以便提高解?題能力。例1：七位數“□1995□”能同時被4?，9和25整?除，請問“□”里各該填什?么數？分析：我們由易到?難地先考慮?：“能被25整?除”，這一條件，這時，這個七位數?的末兩位必?須是00，25，50，和75；再考慮，“能被4整除?”這一條件，也只需看它?的末兩位能?否被4整除?，并從上面的?四種情況中?挑選出“00”這一種。最后考慮“能被9整除?”這一條件，應看它各位?上的數字之?和，因為1+9+9+5+0+0=24，即可知它的?首位數只能?填“3”（24+3=27，27能被9?整除）[要點]1、能被4整除?的數的特征?：一個多位數?的末兩位數?字組成的數?能被4整除?，這個多位數?一定能被4?整除。2、能被25整?除的數的特?征：一個多位數?的末兩位數?字組成的數?能被25整?除，這個多位數?一定能被2?5整除。3、能被8整除?的數的特征?：一個多位數?的末三位數?字組成的數?能被8整除?，這個數就能?被8整除。4、能被7整除?的數的特征?：末三位數與?末三位以前?所表示的數?的差，能被7整除?，這個多位數?就能被7整?除。例2：在“□”內填上適當?的數，使六位數“□1998□能被56整?除”。分析：因為56可?以分解成7?和8的乘積?，所以，要使“□1998□”能被56整?除，就應站它能?分別被7和?8整除，先考慮它怎?樣才能被8?整除，經推算，這個六位數?的個位填“4”，再考慮它怎?樣才能被7?整除，抓住能被7?整除的數的?特征，可以推算出?首位應填“3”，984-319=665，665÷7=95，本題答案為?：31998?4。整除問題同?其它問題一?樣，也有不少綜?合性較強的?引申題。我們在審題?時一定要全?面，細致，要善于抓住?問題的實質?，從而靈活、巧妙地解答?它們。（三）平均數問題?[解題指導]總量÷總份數=平均數求“平均數”是統計工作?中最常用的?一種基本方?法，它是在除法?簡單應用題?的基礎上發?展起來的，平均數問題?的內容也十?分豐富，有好多種不?同的題型，但它們的基?本關系式是?：因此，緊緊圍繞著?這個基本關?系式進行，深入思考是?解答平均數?問題的關系?。例1；有八個數排?成一列，它們的平均?數是54，前五個數的?平均數是4?6，后四個數的?平均數是6?8，第五個數是?多少？分析：題目給了我?們三個“平均數”，我們可以通?過這三個“平均數”分別推算出?原題中八個?數的總和，及前五個數?和后四個數?的總和。八個數的總?和：54×8=432前五個數的?總和：46×5=230后四個數的?總和：68×4=272這三個數總?和之間有什?么聯系呢？請看下面這?幅示意圖230●●●●▲●●●272總和432?從圖中可以?清楚地看出?，第五個數正?好在前五個?數與后四個?數“重疊”處，求這個數，列式為23?0+272-432=70，答：簡例2：有兩組數，第一組的平?均數是12?.8;第二組數的?平均數是1?0.2,而這兩組數?總的平均數?是12.02.那么,第一組數的?個數與第二?組數的個數?比是___?__:_____?_.分析：這是一道難?度相當大的?問題，因此解答的?方法也不一?般，下面介紹一?種“借用字母參?加運算”的方法，十分巧妙，也較適合我?們的小學生?理解。假設第一組?數有A個，根據題題知?道這一組數?的和為12?.8A,再假設第二?組數為B個?,其和為10?.2B;這兩組數的?總和當然可?為(A+B)×12.02.又因為這兩?組數在“合并”的前后，總和是不變?的，所以可列出?以下方程。12.8A+10.2B=12.02×(A+B)解:0.78A=1.82B利用“比例的基本?性質”把上面這個?等式轉化成?比例。A：B=1.82:0.78A:B=7:3答:略(四)植樹問題[解題指導]植樹問題是?一類比較普?通而又常見?的問題,它一般分為?直線植樹和?周圍植樹兩?種情況,它們的關系?到式分別為?:直線植樹:棵樹=總距離÷棵距+1周圍植樹:棵樹=總距離÷棵距例1:教室門前有?一個長方形?花壇,長4米,寬1.5米,在它的四周?每隔0.5米栽一棵?指甲花.四個角上各?栽一棵,一共栽了多?分析:這是一道“周圍植樹“的問題，我們可以清?楚地想像到?：每隔0.5米栽一棵?花,花壇的長就?被分成為8?段,寬則被分成?為了3段.整個周長被?分為(8+3)×2=22(段)因為周長是?一個閉合的?圓圈,它沒有頭和?尾,所以栽花的?棵數就等于?列式為:(4÷0.5+1.5÷0.5)×2=22棵.答:略例2:把一根鋼管?鋸成在段要?花24分鐘?,若把這根鋼?管鋸成六段?需要花多少?分鐘?分析:生活的經驗?告訴我們,把一根鋼管?鋸成三段,只需要從中?間鋸2次;同樣的道理?,把這段鋼管?鋸成六段,應當鋸5次?.1

2

3

1

2

3

4

5

6看了上面這?兩幅示意圖?，懂得了“所鋸次數比?段數少1”這一道理，再來推算工?作時間就不?會出差錯了?24÷（3-1）×（6-1）=60（分）答：略（五）相遇問題[解題指導]“相遇問題”研究的是兩?個人或兩輛?車對面行來?的一些情況?，它屬于行程?問題中的一?種較特殊的?題型，同時也有一?些巧妙的變?化，相遇問題的?基本關系式?是：距離÷速度=時間這里所說的?“速度”指的是兩個?人或兩輛車?的速度之和?例1：甲、乙兩人在周?長400米?的環形跑道?上鍛煉身體?，他們朝相反?的方向跑。甲、乙兩人第一?次相遇與第?二次相遇之?間經過40?秒，已知甲每秒?跑6米，乙每秒跑幾?米？分析：這道題目實?質上是一個?相遇問題。我們可以簡?單地在草稿?上畫一個環?形“跑道”演示一下就?不難發現，兩人從第一?次相遇到第?二次相遇，共跑了40?0米。兩人的速度?和是：400÷40=10（米/秒）乙的速度是?：10-6=4（米/秒）在我們的數?學競賽中有?時還出現“兩次”或“多次”相遇的問題?，這類問題比?較特殊也很?有趣。例2：甲、乙兩城相距?290千米?，一輛客車從?甲城出發向?乙城駛去，每小時行4?5千米；一輛貨車從?乙城出發駛?向甲城，每小時行4?2千米。兩車同時出?發相向而行?，它們各自到?達終點后休?息一小時，然后立即返?回，從出發時開?始到返回后?再一次相遇?一共花了多?分析：兩車在各自?到達終點之?前就已經“相遇”了一次，它們返回再?次相遇，就稱為“兩次相遇”問題。假如我們分?析考慮，兩車各自到?達終點花費?了多少時間?，同時推算另?一輛汽車至?何處，再來推算第?二次相遇的?情況，那的確是非?常困難的，我們不妨實?際演示一個?，就能發現兩?車第二一次?相遇時，它們共行了?三倍全部，因此求時間?就不困難了??？蛙囏涇嚰滓?90千米?290×3÷（45+42）+1=11（小時）答：略（六）追及問題[解題指導]追及問題也?就是同向運?動問題，它是行程問?題中的另一?種特殊題型?，追及問題的?基本關系式?同樣是：距離差÷速度=追及時間這里的“距離”指的是前后?兩人之間的?“距離差”；“速度”同樣是指兩?個人的“速度差”。例1：一艘敵艦在?離我海防哨?所6千米處?，以每分鐘4?00米的速?度逃走，我快艘立即?從哨所出發?，11分鐘后?在離敵艦5?00米處開?炮擊沉敵艦?，我快艘的速?度是每分鐘?分析：因為本題中?兩艦追及的?“距離”為：6000-500=5500米?，追及的時間?為11分鐘?，所以我們的?快艇每分鐘?比敵艦多行?（也就是兩船?的速度差）：5500÷11=快艇每分鐘?行：400+500=900米。綜合算式：（6000-500）÷11+400=900米

答：鐘面上的時?針與分鐘一?慢一快，朝著同一個?方向不停地?運動著，就好像是兩?個人在環形?跑道上賽跑?，一會兒兩針?成直角，一會兒兩針?在一條直線?上；一會兒分針?趕上了時針?，一會兒分針?又超過了時?針，因引，小學數學競?賽中常常根?據這一特殊?的現象編出?一些十分有?趣的問題，這類關于時?鐘的一些問?題，看上去好像?很復雜，但我們運用?“追及問題”的基本思路?去分析解答?起來就不困?難了。例2：三點鐘時，時針和分針?成直角，什么時刻時?針和分針第?一次重合？分析：大家都十分?清楚，分會在鐘面?上走一圈，進針只前進?“一個字”即分針走6?0格，（鐘面上為6?0格）時針只走5?個分格，以分針前進?的速度為單?位“１”，時針前進的?速度則只為?“”三點鐘；時針與分針?之間的“差距”是15格（每格代表一?分鐘），分針前進時?，進針也在緩?慢地前進，分針要花多?少時間（分鐘）才可以“追上”這15格呢?？列式為15÷（1-

）=15÷=16（分）答：（七）火車過橋[解題指導]“火車過橋”也是行程問?題中的一類?有趣的小問?題，理解和掌握?它們的數量?關系及解題?的規律并不?是一件很困?難的事，請看下面兩?個例子。例1：一列火車的?每分鐘60?0米的速度?通過一座長?2200米?的大橋，如果火車全?長200米?，從車頭上橋?到最后一節?車廂離開大?橋另一側，共需多少分?分析：要想知道“火車過橋”的奧秘，我閃不妨用?一個鉛筆盒?作“橋”再拿一支鉛?筆作“火車”實際演示一?篇，通過演示就?可以發現，火車從車頭?上橋到最后?一節車廂離?開大橋，一共行駛的?距離為橋長?加火車車身?的長度。其時間為：（2200+200）÷600=4（分）答：略例2：一列客車每?分鐘行10?00米，一列貨車每?分鐘行75?0米，貨車比客車?的車身長1?35米，兩車在平行?的軌道上同?向行駛，當客車從后?面超過貨車?，兩車交叉的?時間為1分?30秒。貨車與客車?的本身長各?多少米？分析：因為客車和?貨車都在前?進著，所以分析時?困難就更多?，我們可以采?取一種特殊?的思考方法?：以貨車為“橋”如果我們站?在貨車的車?廂里看客車?，客車對于貨?車的速度是?每分鐘25?0米（1000-750米），由此推算出?客車過“橋”所行駛的距?離為：（1000-750）×1=375米。這“375”米就正好是?客車與貨車?的長度之和?，題目已經告?訴我們貨車?比客車的車?身長135?米，求兩車的長?度，列式如下：（375+135）÷2

（375-135）÷2=510÷2

=240÷2=255米

=120米答：貨車長25?5米，客車長12?0米。（八）年齡問題[解題指導]年齡問題也?是我們小學?數學競賽中?經常出現的?一類問題，“年齡問題”的基本特點?是：不管時間如?何變化（后推或前移?）兩個人之間?的年齡差是?永遠也不會?變的，因此，抓住“年齡差”就是我們順?利解答“年齡問題”的關鍵。例1：父親今年3?2歲，兒子今年5?歲，幾年后父親?的年齡是兒?子的4倍？分析：由題目的條?件可知，父子二人的?“年齡差”是27歲，再根據“父親的年齡?是兒子的4?倍”這一關系，作圖如下：圖形展示的?是“幾年后”的情況，盡管到那里?父親的年齡?是兒子的4?倍，但根據年齡?問題的特點?可知，那時，他們的“年齡差”仍然是27?歲，對照著這幅?示意圖來列?式解答就很?容易的。（32-5）÷（4-1）-5=4（年）（通過兒子的?年齡來推算?）（32-5）÷-32=4（年）（先計算出父?親的年齡）例2：甲、乙兩人的年?齡和是63?歲，當甲是乙現?在年齡的一?半時，乙那時的年?齡正好是甲?現在的年齡?，那么甲、乙現在各多?少歲？分析：這是一道相?當復雜的年?齡問題，甲、乙二人的“年齡差”十分隱蔽，根據題目中?第二句話聽?說的條件，我們作一些?試探性的分?析就不難發?現，甲的年齡比?乙??；并且大于乙?現在的年齡?的一半，因為，甲、乙兩人在題?目中所說的?那一段時間?里各自“減少的歲數?”是相同的，所以，即可作圖如?下：從這幅示意?圖上可以清?楚地看出：兩人的年齡?差恰好占乙?現在年齡的?1/4，若以這個“年齡差”為1份，（即單位“1”），甲的年齡則?為3份，乙的年齡則?為4份，一共7份，這樣一來，列式解答就?非常簡單了?。63÷（3+4）×363÷（3+4）×4=27（歲）=36（歲）答：甲現在27?歲，乙現在36?歲。（九）雞兔同籠[解題指導]“雞兔同籠”問題是我國?古代著名的?數學問題之?一，在小學數學?競賽中，關于“雞兔同籠”以及由“雞兔同籠”演變出來的?問題也比較?多，解答起來十?分有趣，有時也很特?殊。例1：有一個大籠?子里買了一?些雞和一些?兔子，數它們的頭?，一共有36?個；數它們的腿?，共有100?條，問雞和兔各?多少只？分析：解答此題的?方法較多，最適合我們?小學生理解?的方法是：按一種情況?來推算。解：假設36只?全是雞，就應有72?條腿（2×36），這就比題目?所說的“100條腿?”少了28條?腿，為什么“腿”會少呢？很顯然，是我們把四?條腿的兔子?當成了兩條?腿的雞，由此，即可出兔子?的只數列式?為：（100-2×36）÷（4-2）=14只雞的只數為?：36-12=22只檢驗：算算它們的?腿是不是1?00條。4×14+2×22=100條（完全符合題?意）答：略例2：肖老師和丁?老師帶領5?0名學生到?東湖公園去?劃船，他們一共租?了11條船?，其中有大船?和小船，每條大船坐?6人；每條小船坐?4人。已知每條船?都正好坐滿?了人。他們租的大?船和小船各?是多少只？分析：我們首先應?知道實際坐?船的共有5?2人（50名學生?加上兩名老?師），然后按一種情況?去推算，如果租的1?1條船全是?小船，少算的人數?就是大船多?出的，列式為（50+2-4×11）÷（6-4）=4條（大船）11-4=7條（小船）檢驗：6×4+4×7=52人（符合題意）答：略例3：有蜘蛛，蜻蜓和蟬三?種動物共1?8只，它們共有腿?118條翅?膀20對，三種動物各?是多少只？（其中，蜘蛛8條腿?，蜻蜓6條腿?2對翅膀，蟬6條腿1?對翅膀）分析：這是一道比?較復雜的“雞兔同籠”題目中有蜘?蛛，蜻蜓和蟬三?種小動物，我們在分析?解答時，首先應當把?蜻蜓和蟬這?兩種6條腿?的昆蟲看做?一種動物（暫不考慮它?們的翅膀），根據蜘蛛8?條腿、蜻蜓和蟬6?條腿，以及它們共?有118條?腿。推算如下：（118-6×18）÷（8-6）=5（只）……（蜘蛛）18-5=13（只）……蜻蜓和蟬再根據蜻蜓?和蟬的翅膀?來推算它們?各有多少只?（它們共13?只翅膀共有?20對）；（20-1×13）÷（2-1）=7（只）……蜻蜓13-7=6（只）……蟬（十）盈虧問題[解題指導]盈：就是有剩余?；虧：則是不足，顧名思義“盈虧問題”是專門研究?這類“一會多一點?，一會又不夠?分”的問題，這類問題看?上去好像挺?復雜，但掌握了解?題方法和竅?門，就會感到十?分方便。例1：將一些糖果?分給幼兒班?的小朋友，如果每人分?3粒，還余17粒?；如果每人分?5粒，又少13料?，有多少名小?朋友？有多少粒糖?？分析：“盈虧問題”可以用算術?方法進行推?算，但用方程來?解答，也許更簡捷?。題目中有“人數”和“糖粒數”兩個未知數?的量，解題時，最好設“人數”（兩個未知數?中較小的那?一個）為x；而以“糖粒數”（兩個未知量?中較大的即?一個）為等量列出?等式。解：設幼兒班有?x名小朋友?，得3x+17=5x-1317+13=5x-3xX=15算出了“人數”再來求“糖的粒數”就非常方便?了：3×15+17=62（粒）或5×15-13=62（粒）答：例2：學校規定早?晨7點到校?，黃青以每分?鐘60米的?速度上學，可提早2分?鐘到學校；若以每分鐘?50米的速?度上學，又會遲到2?分鐘，黃青的家到?學校有多少?米遠？她是幾時幾?分從家里動?身上學的？分析：題目睥第二?個問題應該?理解為：“黃青若能準?時到校，在途中應行?走多少分鐘?？并設這一未?知數為x，以“總路程”這個不變量?列方程。解：設黃青在途?中應行走x?分鐘。60x-60×2=50x+50×260x-50x=100+12010x=220X=22黃青上學應?行走22分?鐘。求總程，列式可為6?0×22-60×2=1200米?黃青由家里?動身的時間?為7時-22分=6時60分?-22分=6時38分?答：略（十一）周期規律[解題指導]“周期”現象在我們?身邊普遍存?在著，如每個星期?總是以七天?為周期一次?又一次地循?環著；每年也總是?接春夏秋冬?四季年復一?年地延續；就連機器上?活動著的部?件在運轉時?也是沿著一?定的軌跡一?次次重復運?動著……掌握和運用?“周期規律”可以解決許?多復雜而有?趣的數學問?題。例1：把化成小數?，小數點右邊?第1996?位上的數字?是幾？分析：先把這個分?數化成小數?：=0.42857?14285?71……我們可以清?楚地看出它?的小數部分?是以“42857?1”這六個數為?周期循環