高三最后一次模擬數學理試題

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

(1)若(1+25?=1—6，其中a、辰匕，是虛數單位，則|a+Oi|=()

(A)-+z(B)75(C)—(D)-

224

x

(2)已知全集U=R,A={x\y=\l2-1},則CuA=()

(A)[0,+oo)(B)(-oo,0)(C)(0,+oo)(D)(-oo,0]

3x-y-2<0,

(3)設x,y滿足約束條件，x-yNO,則z=-2x+y的最小值為()

”0,

4

(A)---(B)-1(C)0(D)1

3

(4)已知{4}為等差數列，若%+%+。6=9,則$9=()

(A)24(B)27(C)15

(5)下列直線中，平行于極軸且與圓夕=2cos6相切的是

(A)pcos^=l(B)psin0=1

(C)pcos0=2(D)psin^=2

(6)執行如右圖所示的程序框圖，輸出

的S值為()

(A)-1(B)1(C)-(D)2

2

(7)已知函數y=/lsin(。入+。)+"的最大值為4,最小值為0.兩個對稱軸間最短距離為

方，直線x=關"是其圖象的一條對稱軸，則符合條件的解析式為()

TT7T

(A)y=4sin(2x+—)(B)y=-2sin(2x+—)+2

66

TTn

(C)y=-2sin(x+y)(D)y=2sin(2x+§)+2

(8)一個棱長為2的正方體沿其棱的中點截去

部分后所得幾何體的三視圖如

/

Ld

圖所示，則該幾何體的體積為().MH9

22

(A)7(B)

23

?2(D)

(9):iW^ABCD中，AB=1,AD=73,P為睡內一點，且AP=?士若

2

AP=AAB+//AD(2,//G/?),則2+百〃的最大值為()

3V63+V3遍+3行

(A)-------\C7--------------

2244

(10)某大學的8名同學準備拼車(共同租用兩輛出租車)去旅游，其中大一、大二、大三、

大四每個年級各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車。每車限坐4名同學(乘同一輛車的4名同學不

考慮位置)，其中大一有一對的攣生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學中恰有2名

同學是來自于同一年級的乘坐方式共有()

(A)24種(B)18種(C)48種(D)36種

二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的相應位置。

2

(11)已知實數4,，9成等比數列，則圓錐曲線一+y2=1的離心率為

m

(12)若圓C:爐+9+2%一4丁+3=0關于直線2ax+紗+6=0對稱，則由點(a/)向圓

所作的切線長的最小值是

(13)已知函數/(x)=4|a|x—2a+l.若命題："3xoe(O,l),使/(%)=0”是真命題,

則實數a的取值范圍為

(14)(ar?+j=舊的展開式中各項系數的和為243,則該展開式中常數項為

(15)給出定義：若相—(其中卬為整數)，則R叫做離實數X最近的整數，

22

記作3，即｛x｝=m.在此基礎上給出下列關于函數/(x)=\x-｛x｝\的四個命題：

①函數y=/(x)定義域是R,值域是［0，］；

_'2.

②函數y=f(x)的圖像關于直線x=g(keZ)對稱；

③函數y=/(x)是周期函數，最小正周期是1；

④函數y=/(x)在上是增函數.

_22_

則其中真命題是(寫出所有真命題的序號)

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答

題卡的指定區域內，否則不給分。

(16)(滿分12分)如凰四邊形Q4CB中，a",c為△ABC的內角AB,C的對邊，

且滿足sinB+sinC=2sin(B+C).

(I)證明：b+c=2a,

(II)若6=＜?,設ZAO3=9,

(0＜。＜萬)，Q4=2OB=2,

求四邊形。面積的最大值.

(17)(滿分12分)己知“eN*,數列｛d“｝滿足d1t=”(J).,數歹ij｛4｝滿足%=&+4+

+<；又知數列也｝中，々=2,且對任意正整數機,〃，b：=%.

(I)求數列｛4｝和數列也,｝的通項公式；

(II)將數列｛2｝中的第3后僅GN*)項刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數列

｛%｝,求數列｛c“｝的前2013項和.

(18)(滿分12分)已知拋物線C:V=2PHp>0)的焦點尸到其準線的距離為4,過F

的直線L交曲線C于A,B兩點，直線L的傾斜角&為銳角。

（I）拋物線上一點P滿足PF，》軸，P在》軸上方，求證：過點產且斜率為拋物線

離心率的直線與拋物線相切；

（口）線段AB的垂直平分線交x軸于點。.求證：班TQ^cos2a為定值，并求

出該定值。

（19）.（滿分13分）在平行六面體A8CD—A耳中，所有的棱長都為2,

（20）（滿分13分）交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念性指數

值，交通指數取值范圍為0?10,分為五個級別，0?2暢通；2?4基本暢通；4?6輕度擁堵；6~

8中度擁堵；8-10嚴重擁堵.早高峰時段，從某市交通指揮中心隨機選取了四環以內的50個交

通路段，依據其交通指數數據繪制的直方圖如右

（1）這50個路段為中度擁堵的有多少個？

（II）據此估計，早高峰四環以內的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少？

（III）某人上班路上所用時間若基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42

分鐘；嚴重擁堵為60分鐘，求此人所用的平均時間.

(21)(滿分13分)已知函數/(x)=x+Tg(x)=x+lnx,其中。＞0

x

(I)過點(1,2)作函數y=g(x)圖像的切線，求證：切線有且只有兩條；

(II)若對任意的不々elLe](e為自然對數的底數)都有/(%)之g(%)成立，求實數a

的取值范圍；

(III)若對任意的4wILe](e為自然對數的底數)且為2々，都有/(%)Zg(X2)成

立，求實數a的取值范圍。

安徽省阜陽一中2013屆高三最后一次模擬考試

數學(理科)參考答案

-、選擇題：

1—5CBABB6-10ABDBA

二.埴空題：

(11).2^或萬(12).2(13).9/2(14).a>-(15).①②③

62

三、解答題：

16.sin(B+C)=sinAsinB+sinC=2sinA.........................................2分

由正弦定理得

3+c=2。......................................&分

(II)因為=b=c,所以。=b=c,所以△NBC為等邊三角形......6分

1分

SOJCB==—OA-OBsin+^-AB..........................................8

VZ4LrX>oAULr—?

24

=sin?+器(OJ2+OB2-2OA-OBcosff).................................................................9分

=-0-、/5cos0+^^=2sin(6-巧+,............................iQ分

八Z/\c亢/冗2冗、

■:。6(。，^0,3----E(-----，----),

333

當且僅.當-=—,0=7-時取■最大值，庭的最大值為2d......................12分

3264

17解：■/d=-----------,..ci=4+d-y+L+4“=-----------------分

"2"12?243

又由題知：令加=1,則仇=片=22,4=彳=23..也=邛=2"....................5分

若￡=2",則年=2?",或=2一,所以"=/恒成立....................6分

(II)由題知將數列｛￡｝中的第3項、第6項、第9項……刪去后構成的新數列｛%｝中的

奇數項與偶數項仍分別成等比數列，首項分別是4=2,為=4公比均是8,.............9分

3=(q+c3+c5+---+c20l3)+(c2+c4+c6+---+c20l2)

2x(_8i0°7)4x(l-81006)_20x8IQ06-6

12分

1-81^8―7~

18.解：易知p=4,故拋物線C的方程：y2=8x.......................2分

(1)易得P(2,4),斜率1,.?.直線方程為y=x+2,與;/=8x聯立得/—4x+4=0

,A=0,.二命題成立................5分

(2)設A(X],y),8(%2，丁2)，直線A8:x=--—y+2,......................6分

tana'

由』一"=tana得——-——=tanao設48的中點用(/凡)，則

2一12%+為

4%

v_?+必o=-^r~+28分

打一2tanatana

414

???AB的中垂線方程為：y--------=---------(X——-——2)

tanatanatan-a

4

令y=0得與=——j—+6

tan-a

：.\QF\=——+4.......................10分

tan-a

:.\QF\-\QF\cos2a=|(2F|(l-cos2a)=(——-—+4)-2cos2a=8

即???|Q同一|Q月COS2a為定值，定值為8.......................12分

19.W：(1)證明：取3c的中點F,連&F.DF.

V四邊形ABCD為菱形，且4=60°.二ABCD為等邊三角形

DF1BC，同理，在等邊三角形815c中，BiFIBC,

又?:B1FC]DF=F3。_1_平面與加尸，

又：與。平面/.B^DLBC.............，分

g3rop

(2卜分別取45,CD,ZM的中點為及G,H■多面體為兩個同底等高的四棱錐組合而成，令順次連接

平行六面體各側面中心所得四邊形為四棱錐的底面，兩底面中心分別為兩四棱錐的頂點.顯然，

該底面與四邊形即GH全等，設四棱錐的高為兒

在菱形UCD中，可得：四邊形EFG五■為矩形，且呼=石.尸6=1.

由

(1)知，BiFJ.BC,又?.?平面881GC工平面A8CZ),用尸=平面BBCC

__1石

平面BBCCn平面4?C￡>=8C,所以g平面ABC。。故：h=-B[F=-^~,

所以，多面體的體積為：丫=2*；5矩形“6”'。=1...........................8分

(3)在平面8片。|。中，作GML8C交BC的延長線于M,由(2)知：

GM■1平面ABCD,

在平面ABCD中，作MNLBO于N,連AN，GN,則NGNM就是二面角G—的

平面角，在R3C】MN中,C1M=B/=屯MN=BMsin在=巫,所以，

2

CM_2

tanZC,W}

MN~3

而所求二面角“一即一C是二面角C—BD—M的補角

故：二面角A一即一G的平面角的正切值為—2。..............13分

3

20.解析:(I)(0-2+0.16)x1x50=18

這50路段為中度擁堵的有18個.......................4分

(H)設事件A”一個路段嚴重擁堵”，則P(A)=°J

事件B“至少一個路段嚴重擁堵”，則「(歷=。-P(A)>=。.729

P(B)=1—P(B)=0.271

所以三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是°271....................................8分

(III)分布列如下表：

X2030364260

p00.10.440.360.1

EX=39.96

此人經過該路段所用時間的數學期望是39.96分鐘.......................13分

21(1)命題“對任意的不々(e為自然對數的底數)都有/(xjNgl%)成立”等

價于“當Xe[1,e]時，ZninWNgmax(%)”。

由g(x)=x+lnx知g(x)在［l,e］上遞增，所以g.(x)=g(e)=e+l

【解法一】:/(x)=x+—>e+\等價于。*2-x?+(e+])x

x

而一一+化+<(e；D在，e]上恒成立，所以。之彳.........4分

【解法二】：由/(x)=x+《得f(x)=]_W=(x_a'x+a),又「a〉。

XXX

可知“X)在(0,a)上遞減，在(a,+8)上遞增。

當aWl時，九na)="l)=l+a2,由Znin(X”gmax(x),得1+力1+1,即

矛盾；

當l<a<e時，篇<)=〃a)=2a,由<向(力2gmax(力，得2a1+l,即。2苫工

所以e>aN紀史；

2

22

當〃之6時，京n(元)=f(e)=e+-—，由Znin(x)Ngmax(x)，得e+〈Ne+l，即。之右，

ee

所以a>?.

綜上可知，

a>.................4分

2

(2)證明：^(x)=14-—?設切點為(%>了0)，則過點Q2)的切線方程為

X

y-2=g'(勺X%_D，BPy=(l+—)(x-l)+2

不

又二?點(玉,了0)在切線上，必=與+加%)，代人切線方程得In七+上=2，即

j^ln-2x^4-1=0o令身(jc)=xlajc—2x+I,A(x)=inx—1

易知當x>g時，風力迷噌，當。<“<?時，樂力遞減

XA(4)=-4+1>0,M?=l-e<0>A(e2)=l>0

ee.

所以方程以x)=0在(0,+8)上有且僅有兩個解，故切線有且只有兩條。9分

（3）：巧通￡［3,毛之專由（2）知鼠X）在［L%］上述噌，.g”（"）=g（x）=jq+ln巧

所以原命題”對任意的不，巧e［L。］（?為自然對數的底數）且％A巧，都有/Qq）Ag（巧）

成立”等價于“對V%句時/（%）之％+加%恒成立”。即

VJ^E［J2，?1,%+幺Ajq+lnjq恒成立，也即。？之不憶均對^值,司恒成立.

令f（x）=xlnjc，易知￡（工）在［巧,0］上怛增,所以￡.其工）=￡（€）=<?，所以02Ag

故。之?..........13分

高三強化訓練（二）

數學（文）試題

一.選擇題（每小題5分，共60分）

1.復數z滿足z（l+i）=2i,則復數z的實部與虛部之差為（）

A.0B.-1C.-3D.3

2.觀察下列各式：5=5,5=25,5=125,5=625,55=3125,56-15625,57=78125,…，則S?。“

的末四位數字為（）

A.3125B.5625C.0625D.8125

3.數列｛a“｝是等差數列，其前n項和為S.，若平面上的三個不共線的向量而，麗,反滿足

。3=4。4+。2012。0，且人、B、C三點共線，則Szoi2=()

A.1006B.1010C.2006D.2010

TT

4.不等式logax>sin2x(。>0且。。1)對任意XE(0,1)都成立，則a的取值

范圍為()

A.(0,二)B.f—,1)C.(—,1)VJ(1,—)D.(0,1)

4442

5.己知向量°=(sin(a+馬,1),方=(4,4cosa-百)，若Q-L力，則sin(a+&3等于()

63

A6R1c百n1

n.------D.----L.----U.一

4444

6.在區間［0,2］上任取兩個實數a,。，則函數/（幻=/+以-力在區間上有且只有

一個零點的概率是)

A.1B.1C.2D.Z

8448

7.等比數列｛%｝中，4=2,約=4,函數/1(x)=x(x—aJ(x-a2)L(x-%)，則/(。)=

()

A.26B.29C.212D.215

8.下圖a是某市參加2012年高考的學生身高條形統計圖，從左到右的各條形表示的學生人

數依次記為4、A2、…、AJ如用表示身高（單位：cm）在［150,155］內的學生人數］。圖b

是統計圖a中身高在一定范圍內學生人數的一個算法流程圖。現要統計身高在160?180cm

（含160cm,不含180cm）的學生人數，那么在流程圖中的判斷框內應填寫的條件是

（）

A.i<9B.i<8C.i<7D.?<6

9.定義：數列｛4｝,滿足色處一%=d（〃wN*）d為常數，我們稱｛4｝為等差比數列,

%an

已知在等差比數列｛4｝中，q=%=1，。3=2,則色”的個位數（）

“2006

A,3B,4C,6D,8

22

10.已知拋物線y2=4px（p〉0）與雙曲線=_與=1（4>0#>0）有相同的焦點F，點A

a2b2

是兩曲線的交點，且AFJLR軸，則雙曲線的離心率為（）

A./+1B.V2+1C.V3+1D.2—+1

22

11.y=/（x-l）的圖像關于（1,0）對稱，且當xe（-oo,0）時，/（x）+#'（x）<0（其中

尸（無）是/（x）的導函數），若。=（3°）/（3°）力=（噬.3卜/（噬.3）,

=丹《】吟豺則”,b,c的大小關系是()

A.a>b>cB.c>b>aC,c>a>bD.a>c>b

12.在直角坐標平面上的點集M

N=｛（羽那么MAN的面積是（）

A.三B.三C.71

42

D.2萬

二.填空題（每小題5分，共20分）

13.在aABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、co若a、b、

c成等差數列，則于+咤。=___________。

14-cosAcosC

14.已知某個幾何體的三視圖如右圖所示，

根據圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個

幾何體的體積是cm3*5o

15.已知拋物線y=/上有一條長為2的動弦AB,則AB中點M到x軸的最短距離為

16.已知函數/（彳）=奴3+法2+M+4370）的對稱中心為Ma。/。），記函數/（x）

的導函數為/'（X）,//（x）的導函數為/"（x）,則有/“。0）=0。若函數

f(x)=x3-3x*2,則可求得:4023

人卜鳥》”（篝）2012

三、解答題，本大題共5小題，滿分60分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

3

設△A3C的內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且。cosB—bcosA==c.

5

八、__tanA.....

(1)求-----的值；

tanB

(2)求tan(A-B)的最大值。

18.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐產一4時的底面能力是直角梯形，NDAB=NABC=90",

用_L底面4a。，PA=AB=Ag2,BC=\,￡為陽的中點.

（1）求證：B〃平面用6；

（2）求處與平面4龍所成角的正弦值；

19.（本小題滿分12分）

由世界自然基金會發起的“地球1小時”活動，已發展成為最有影響力的環?；顒又?，今

年的參與人數再創新高.然而也有部分公眾對該活動的實際效果與負面影響提出了疑問.對

此，某新聞媒體進行了網上調查，所有參與調查的人中，持“支持"、“保留”和“不支持”

態度的人數如下表所示：

支持保留不支持

20歲以下800450200

20歲以上(含20歲)100150300

(I)在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取〃個人，已知從“支持”態度的

人中抽取了45人，求〃的值；

(H)在持''不支持”態度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5

人中任意選取2人，求至少有1人20歲以下的概率

20.(本小題滿分12分)

設耳、乃分別是橢圓亍+V=1的左、右焦點.

(1)若P是該橢圓上的一個動點，求PF「PF：的最大值和最小值；

(2)設過定點M(0,2)的直線/與橢圓交于不同的兩點A、B,且NAO3為銳角(其中O

為坐標原點)，求直線/的斜率攵的取值范圍。

2L(本小題滿分12分)

已知函數f(x)=e'T-x

(1)求y=f(x)在點(l,f(D)處的切線方程；

(2)當x?()時，f(x)2fx2恒成立，求’的取值范圍。

請從第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對

應的題號右側方框涂黑，按所涂題號進行評分；多涂、多答，按所涂的首題進行評分；不涂,

按本選考題的首題進行評分。

22、(本小題滿分10分)選修4T:幾何證明選講

如圖，△45。是內接于。。，AB^AC,直線MN切。。于點C,弦BDHMN,

AC與BD相交于點E.一

(1)求證：AABE絲AACD；/

(2)若3001,求AE。[/興]7

BC

23.(本小題滿分10分)選修4一4：坐標系與參數方程

以直角坐標系的原點。為極點，X軸的正半軸為極軸，己知點P的直角坐標

7T7T

(1,-5),點M的極坐標為(4,—),若直線/過點P,且傾斜角為一，圓C以M為圓心、

23

4為半徑。

(1)寫出直線/的參數方程和圓C的極坐標方程；

(2)試判定直線/和圓C的位置關系。

24.(本小題滿分10分)選修4一5：不等式選講

已知函數f(x)=\2x-a\+ao

(1)若不等式/(x)W6的解集為{x|-2WxW3},求實數。的值；

(2)在(1)的條件下，若存在實數〃使成立，求實數m的取值范圍。

參考答案

一.選擇題1.A2.D3.A4.B5.B6.D7.C8.B9.C10.B11.C12.C

一皿480003

二.填空題13.—，14.-----,15.-,16.-8046

534

三、解答題

3

17.解析：(1)在△A8C中，由正弦定理及acos3-Z?cosA=」c

5

,3333

可得sinAcosB-sinSeosA=—sinC=—sin(A+B)=—sinAcos3+—cosAsinB

5555

即sinAcos8=4cosAsin8,則如3=4；

tanB

(2)由tanAcot8=4得tanA=4tan5>0

.tanA-tanB3tan3313

tanz(A-B)=-----------------=--------------=-----------------W-

1+tanAtanBl+4tan-BcotB+4tanB4

當且僅當4tanB=cot8,tanB=J,tanA=2時，等號成立，

13

故當tanA=2,tanB=—時，tan(A-B)的最大值為-.

24

18.解(1).證明：取序的中點凡連結咫FB,則

FE//BC,宜FE=；AD=BC,...8。卯是平行四邊形，

CE//BF,而配平面PAB,：.龍〃平面PAB.

(2)解；取4〃的中點G,連結房則問題轉為求用與平面/以所成角的大小.

又設點G到平面/位的距離為。/，〃為垂足，連結必則N陽/為直線而與平面力龍所成

的角.現用等體積法來求成

3

%-松=勺％1弦?EG=1,又AE=y[2fAC=CE=#,易求得加.

1312

???VC-AEC=-x-xGH=:.GH=~

?J

HG22

在Rt△加G中，sin/GEH=---=;，即為與平面所成的角正弦值為三.

GE33

19.解：(2)設所選取的人中，有用入20歲以下，則20°=吧,解得加=2.....6

200+3005

分

也就是20歲以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分別記作A“A2；B”B2)B：(,

則從中任取2人的所有基本事件為(A.,B.),(A”B2),(A?B3),(A2,B,),(A2,B2),

(A2,B3),(Ai,A2),(B1,B2),(B2,B3),(B.,B3)共10

個......8分

其中至少有1人20歲以下的基本事件有7個：(Ai,B.),(Ai,Ba),(AbBj,(A2,B.),

(A2,B2),(A2,B；t),(AbAJ,........10

分

7

所以從中任意抽取2人，至少有1人20歲以下的概率為一?..........12

10

分

20.解：(1)解法一：易知a=2,b=l,c=g

所以由-百,0)心(百,0),設P(x,y),則

21

P^M=(-V3-x,-y),(^-x,-y)=x2+/-3=x2+l-^--3=^-(3x2-8)

因為xe[—2,2],故當x=0,即點P為橢圓短軸端點時，兩?電有最小值—2

當尤=±2,即點P為橢圓長軸端點時，所?%有最大值1

解法二：易知a=2,b=l,c=6,所以耳卜6,0),居(0,0),設P(x,y),則

麗=|西，質「cosN-Pg=|訪"'叫?

'+/++/-12=x2+y2-3（以下同解法一）

~2卜叫2

（2）顯然直線尤=0不滿足題設條件，可設直線/:曠=履+2,4（苞，必）,8（々，為），

y=kx+2

公+：

聯立4一，消去y,整理得:f+4米+3=0

—+y=1

I4-

.4k3

..X]+X,=-------------,X].X,=---------

公+!?-k2+-

44

1八

由A=(4Z)2—4伏2+；)*3=4攵2—3>0得：k<氣或k>-V3

T

又0°<ZAQB<90°=cosZAOB>O^OAOB>0

二=+乂%〉0又

3kz-8k2-k2+1

yy,=(kx、+2)(5+2)=k2xx+2Z(X]+々)+4A

12公+，++4=

k2+r-k2+-r