PAGEPAGE10第5講橢圓基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)整合1．橢圓的概念在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做eq\o(□,\s\up3(01))橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的eq\o(□,\s\up3(02))焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做eq\o(□,\s\up3(03))焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a(1)若eq\o(□,\s\up3(04))a>c，則集合P表示橢圓；(2)若eq\o(□,\s\up3(05))a＝c，則集合P表示線段；(3)若eq\o(□,\s\up3(06))a<c，則集合P為空集．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)續(xù)表橢圓的常用性質(zhì)(1)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上隨意一點(diǎn)P(x，y)，則當(dāng)x＝0時(shí)，|OP|有最小值b，P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)x＝±a時(shí)，|OP|有最大值a，P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處．(2)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a為斜邊，a2＝b2＋c2.(3)已知過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a(4)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦之長(zhǎng)為eq\f(2b2,a).(5)橢圓離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2)).1．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1，長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于()A．4 B．5C．7 D．8答案D解析橢圓焦點(diǎn)在y軸上，∴a2＝m－2，b2＝10－m.又c＝2，∴m－2－(10－m)＝c2＝4.∴m＝8.2．(2024·廣西模擬)若橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)等于焦距，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),4)答案C解析因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故選C.3．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,3)，則橢圓C的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1答案D解析依題意，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.4．(2024·西安模擬)已知點(diǎn)P(x1，y1)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2最大時(shí)，△PF1F2的面積是()A.eq\f(16\r(3),3) B．12C．16(2＋eq\r(3)) D．16(2－eq\r(3))答案B解析∵橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝eq\r(25－16)＝3，∴F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．依據(jù)橢圓的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，∠F1PF2最大，此時(shí)△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×2×3×4＝12，故選B.5．橢圓3x2＋ky2＝3的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，eq\r(2))，則k＝________.答案1解析方程3x2＋ky2＝3可化為x2＋eq\f(y2,\f(3,k))＝1.a2＝eq\f(3,k)>1＝b2，c2＝a2－b2＝eq\f(3,k)－1＝2，解得k＝1.6．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．答案eq\f(\r(3),3)解析設(shè)|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝eq\r(3)x.又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.∴2a＝3x,2c＝eq\r(3)x，∴C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).核心考向突破考向一橢圓定義的應(yīng)用例1(1)(2024·湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則eq\f(|PF2|,|PF1|)的值為()A.eq\f(5,14) B.eq\f(5,13)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)答案B解析由題意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，則有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(5,3).又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f(13,3)，∴eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,3)×eq\f(3,13)＝eq\f(5,13).故選B.(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周長(zhǎng)為16.則|AF2|＝________.答案5解析由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3.∵△ABF2的周長(zhǎng)為16，∴4a＝16，∴a＝4.則|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，∴|AF2|＝8－|AF觸類旁通橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通過(guò)整體代入可求其面積等.即時(shí)訓(xùn)練1.(2024·甘肅聯(lián)考)設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,2)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C與圓M：x2＋y2＝10的一個(gè)交點(diǎn)，則||PA|－|PB||＝()A．2eq\r(2) B．4eq\r(3)C．4eq\r(2) D．6eq\r(2)答案C解析由題意知，A，B恰好在圓M上且AB為圓M的直徑，∴|PA|＋|PB|＝2a＝4eq\r(3)，|PA|2＋|PB|2＝(2c)2＝40，∴(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA||PB|，解得2|PA||PB|＝8，∴(|PA|－|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA||PB|＝32，則||PA|－|PB||＝4eq\r(2)，故選C.2．已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點(diǎn)M與橢圓C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于橢圓C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在橢圓C上，則|AN|＋|BN|＝________.答案12解析取MN的中點(diǎn)為G，點(diǎn)G在橢圓C上．設(shè)點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的焦點(diǎn)F1的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的焦點(diǎn)F2的對(duì)稱點(diǎn)為B，則有|GF1|＝eq\f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.考向二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)(2024·杭州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r(3)，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1答案A解析由題意及橢圓的定義知4a＝4eq\r(3)，則a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.選A.(2)已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，B是圓：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________．答案x2＋eq\f(4,3)y2＝1解析如圖，由題意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋eq\f(4,3)y2＝1.觸類旁通求橢圓方程的常用方法(1)定義法，定義法的要點(diǎn)是依據(jù)題目所給的條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿意橢圓的定義．2待定系數(shù)法，待定系數(shù)法的要點(diǎn)是依據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個(gè)系數(shù)a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1m>0，n>0，m≠n，再用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.即時(shí)訓(xùn)練3.(2024·青島模擬)已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案C解析如圖，|AF2|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，|F1F2由橢圓定義，得|AF1|＝2a－eq\f(3,2).①在Rt△AF1F2|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22.②由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，應(yīng)選C.4．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為4eq\r(3)的等邊三角形，則橢圓C的方程為________．答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1解析l經(jīng)過(guò)F1垂直于x軸，得yA＝eq\f(b2,a)，在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，得eq\f(b2,a)＝eq\f(\r(3),3)×2c，eq\f(1,2)×2c×eq\f(2b2,a)＝4eq\r(3)，a2＝b2＋c2，解得a2＝9，b2＝6，c2＝3.所求的橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.考向三橢圓的幾何性質(zhì)例3(1)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)答案C解析依據(jù)題意，可知c＝2，因?yàn)閎2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2eq\r(2)，所以橢圓C的離心率為e＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故選C.(2)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距為c，且滿意c2－b2＋ac<0，則該橢圓的離心率e的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析∵c2－b2＋ac<0，∴c2－(a2－c2)＋ac<0，即2c2－a2＋ac<0，∴2eq\f(c2,a2)－1＋eq\f(c,a)<0，即2e2＋e－1<0，解得－1<e<eq\f(1,2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(1,2).∴橢圓的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).觸類旁通橢圓離心率的求解方法求橢圓的離心率，常見(jiàn)的有三種方法：一是通過(guò)已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過(guò)取特別值或特別位置，求出離心率．即時(shí)訓(xùn)練5.(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則CA．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\r(3)－1答案D解析在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，設(shè)|PF2|＝m，則2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝eq\r(3)m，又由橢圓定義可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)m，則離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2m,\r(3)＋1m)＝eq\r(3)－1.故選D.6．(2024·江蘇模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)且AB⊥BF，則這個(gè)橢圓的離心率等于________．答案eq\f(\r(5)－1,2)解析由題意得A(－a,0)，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)，∵AB⊥BF，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，∴(a，b)·(c，－b)＝ac－b2＝ac－a2＋c2＝0，∴e－1＋e2＝0，解得e＝eq\f(\r(5)－1,2).考向四直線與橢圓的位置關(guān)系角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))弦的中點(diǎn)問(wèn)題例4(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1交于A，B兩點(diǎn)．線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m>0)．(1)證明：k<－eq\f(1,2)；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且Feq\o(P,\s\up6(→))＋Feq\o(A,\s\up6(→))＋Feq\o(B,\s\up6(→))＝0.證明：|eq\o(FA,\s\up6(→))|，|eq\o(FP,\s\up6(→))|，|eq\o(FB,\s\up6(→))|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．解(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),3)＝1.兩式相減，并由eq\f(y1－y2,x1－x2)＝k得eq\f(x1＋x2,4)＋eq\f(y1＋y2,3)·k＝0.由題設(shè)知eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝m，于是k＝－eq\f(3,4m).①由題設(shè)得m<eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×3)＝eq\f(3,2)，且m>0，即0<m<eq\f(3,2)，故k<－eq\f(1,2).(2)由題意得F(1,0)．設(shè)P(x3，y3)，則由(1)及題設(shè)得(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)，x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m又點(diǎn)P在C上，所以m＝eq\f(3,4)，從而Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，|Feq\o(P,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2).于是|Feq\o(A,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－12＋y\o\al(2,1))＝eq\r(x1－12＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),4))))＝2－eq\f(x1,2).同理|Feq\o(B,\s\up6(→))|＝2－eq\f(x2,2).所以|Feq\o(A,\s\up6(→))|＋|Feq\o(B,\s\up6(→))|＝4－eq\f(1,2)(x1＋x2)＝3.故2|Feq\o(P,\s\up6(→))|＝|Feq\o(A,\s\up6(→))|＋|Feq\o(B,\s\up6(→))|，即|eq\o(FA,\s\up6(→))|，|eq\o(FP,\s\up6(→))|，|eq\o(FB,\s\up6(→))|成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|＝||eq\o(FB,\s\up6(→))|－|eq\o(FA,\s\up6(→))||＝eq\f(1,2)|x1－x2|＝eq\f(1,2)eq\r(x1＋x22－4x1x2).②將m＝eq\f(3,4)代入①得k＝－1.所以l的方程為y＝－x＋eq\f(7,4)，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋eq\f(1,4)＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1,28)，代入②解得|d|＝eq\f(3\r(21),28).所以該數(shù)列的公差為eq\f(3\r(21),28)或－eq\f(3\r(21),28).角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))弦長(zhǎng)的問(wèn)題例5(2024·陜西咸陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且離心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為eq\f(1,2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．求△PAB面積的最大值．解(1)∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.又橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋m，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.∵Δ＝4m2－8m∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2則|AB|＝eq\r(1＋\f(1,4))×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(54－m2).點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq\f(2|m|,\r(5)).∴S△PAB＝eq\f(1,2)d|AB|＝eq\f(1,2)×eq\f(2|m|,\r(5))×eq\r(54－m2)＝eq\r(m24－m2)≤eq\f(m2＋4－m2,2)＝2.當(dāng)且僅當(dāng)m2＝2，即m＝±eq\r(2)時(shí)取得最大值．觸類旁通1解決直線與橢圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，解決相關(guān)問(wèn)題.(3)直線與橢圓相交時(shí)常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法涉及問(wèn)題處理方法弦長(zhǎng)根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式(直線與橢圓有兩交點(diǎn))中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)點(diǎn)差法(結(jié)果要檢驗(yàn)Δ>0)即時(shí)訓(xùn)練7.(2024·廣西聯(lián)考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>1)的焦距為2，過(guò)短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的面積為eq\f(4π,3)，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)P垂直于AB的直線與x軸交于點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，0))，求k的值．解(1)由題易得，過(guò)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的半徑為eq\r(\f(4,3)).設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,0)，依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2c＝2，,a2＝b2＋c2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\r(\f(4,3))))2＋c2＝\f(4,3).))又因?yàn)閎>1，解得a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由題意，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l的方程為y＝k(x－1)，將其代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝eq\f(－6k,3＋4k2).因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,3＋4k2)，\f(－3k,3＋4k2))).又因?yàn)橹本€PD的斜率為－eq\f(1,k)，所以直線PD的方程為y－eq\f(－3k,3＋4k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4k2,3＋4k2))).令y＝0，得x＝eq\f(k2,3＋4k2)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2,3＋4k2)，0))，則eq\f(k2,3＋4k2)＝eq\f(1,7)，解得k＝±1.8．(2024·云南昆明模擬)已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過(guò)點(diǎn)C(0,1)，離心率為eq\f(\r(2),2).(1)求橢圓E的方程；(2)直線l過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為eq\f(2,3)，求直線l的方程．解(1)設(shè)橢圓E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝2，b2＝1，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由已知，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F(－1,0)．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，此時(shí)|AB|＝eq\r(2)，則S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),2)，不滿意條件．當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1))得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－2,1＋2k2).因?yàn)镾△OAB＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)|y1－y2|，由已知S△OAB＝eq\f(2,3)得|y1－y2|＝eq\f(4,3).因?yàn)閥1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝k·eq\f(－4k2,1＋2k2)＋2k＝eq\f(2k,1＋2k2)，y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq\f(－k2,1＋2k2)，所以|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(4k2,1＋2k22)＋\f(4k2,1＋2k2))＝eq\f(4,3)，所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.1．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓x2＋2y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．0 B．1C．2 D．2eq\r(2)答案C解析解法一：設(shè)P(x0，y0)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\r(4x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0))＝2eq\r(2－2y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2eq\r(－y\o\al(2,0)＋2).因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以0≤yeq\o\al(2,0)≤1，所以當(dāng)yeq\o\al(2,0)＝1時(shí)，|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|取最小值2.解法二：由eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OF1,\s\up6(→))＋eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))求解．故選C.2．已知F是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是肯定點(diǎn)，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由題意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2，F(xiàn)(－2,0)．設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′，則|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.當(dāng)P，A，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝eq\r(2)，或者最小值－|AF′|＝－eq\r(2).所以|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2).3．在橢圓eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,8)＝1上求一點(diǎn)，使它到直線2x－3y＋15＝0的距離最短．解設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為A(3eq\r(2)cosθ，2eq\r(2)sinθ)，θ∈R，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|6\r(2)cosθ－6\r(2)sinθ＋15|,\r(22＋－32))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋15)),\r(13))，當(dāng)θ＝2k