七年級數學上冊知識點歸納第一章有理數1.1正數和負數⒈正數和負數的概念負數：比0小的數正數：比0大的數0既不是正數，也不是負數注意：①字母a可以表達任意數，當a表達正數時，-a是負數；當a表達負數時，-a是正數；當a表達0時，-a仍是0。（假如出判斷題為：帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡樸判斷）②正數有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。因此省略“+”的正數的符號是正號。2.具有相反意義的量若正數表達某種意義的量，則負數可以表達具有與該正數相反意義的量，例如：零上8℃表達為：+8℃；零下8℃表達為：-8℃3.0表達的意義（1）0表達“沒有”，如教室裏有0個人，就是說教室裏沒有人；（2）0是正數和負數的分界線，0既不是正數，也不是負數。（3）0表達一種確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準，例如以海平面為基準，則0米就表達海平面。1.2有理數有理數的概念⑴正整數、0、負整數統稱為整數（0和正整數統稱為自然數）⑵正分數和負分數統稱為分數⑶正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。理解：只有能化成分數的數才是有理數。①π是無限不循環小數，不能寫成分數形式，不是有理數。②有限小數和無限循環小數都可化成分數，都是有理數。3，整數也能化成分數，也是有理數注意：引入負數後來，奇數和偶數的范圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數，-1,-3,-5…也是奇數。有理數的分類⑴按有理數的意義分類⑵按正、負來分正整數正整數整數0正有理數負整數正分數有理數有理數0（0不能忽視）正分數負整數分數負有理數負分數負分數總結：①正整數、0統稱為非負整數（也叫自然數）②負整數、0統稱為非正整數③正有理數、0統稱為非負有理數④負有理數、0統稱為非正有理數3.數軸⒈數軸的概念規定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。注意：⑴數軸是一條向兩端無限延伸的直線；⑵原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可；⑶同一數軸上的單位長度要統一；⑷數軸的三要素都是根據實際需要規定的。2.數軸上的點與有理數的關系⑴所有的有理數都可以用數軸上的點來表達，正有理數可用原點右邊的點表達，負有理數可用原點左邊的點表達，0用原點表達。⑵所有的有理數都可以用數軸上的點表達出來，但數軸上的點不都表達有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應關系。（如，數軸上的點π不是有理數）3.運用數軸表達兩數大小⑴在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；⑵正數都不小于0，負數都不不小于0，正數不小于負數；⑶兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。4.數軸上特殊的最大（小）數⑴最小的自然數是0，無最大的自然數；⑵最小的正整數是1，無最大的正整數；⑶最大的負整數是-1，無最小的負整數5.a可以表達什么數⑴a>0表達a是正數；反之，a是正數，則a>0；⑵a<0表達a是負數；反之，a是負數，則a<0⑶a=0表達a是0；反之，a是0,，則a=04.相反數⒈相反數只有符號不一樣的兩個數叫做互為相反數，其中一種是另一種的相反數，0的相反數是0。注意：⑴相反數是成對出現的；⑵相反數只有符號不一樣，若一種為正，則另一種為負；⑶0的相反數是它自身；相反數為自身的數是0。2.相反數的性質與鑒定⑴任何數均有相反數，且只有一種；⑵0的相反數是0；⑶互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a+b=03.相反數的幾何意義在數軸上與原點距離相等的兩點表達的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相反數對應原點；原點表達0的相反數。闡明：在數軸上，表達互為相反數的兩個點有關原點對稱。4.相反數的求法⑴求一種數的相反數，只要在它的前面添上負號“-”即可求得（如：5的相反數是-5）；⑵求多種數的和或差的相反數時，要用括號括起來再添“-”，然後化簡（如；5a+b的相反數是-（5a+b）。化簡得-5a-b）；⑶求前面帶“-”的單個數，也應先用括號括起來再添“-”，然後化簡(如：-5的相反數是-（-5），化簡得5)5.相反數的表達措施⑴一般地，數a的相反數是-a，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數）當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數）當a=0時，-a=0，（0的相反數是0）5.絕對值⒈絕對值的幾何定義一般地，數軸上表達數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。2.絕對值的代數定義⑴一種正數的絕對值是它自身；⑵一種負數的絕對值是它的相反數；⑶0的絕對值是0.可用字母表達為：①假如a>0，那么|a|=a；②假如a<0，那么|a|=-a；③假如a=0，那么|a|=0。可歸納為①：a≥0，<═>|a|=a（非負數的絕對值等于自身；絕對值等于自身的數是非負數。）②a≤0，<═>|a|=-a（非正數的絕對值等于其相反數；絕對值等于其相反數的數是非正數。）經典考題如數軸所示，化簡下列各數|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|解：由題懂得，由于a>0，b<0，c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0，因此|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-(b+c)=-b-c3.絕對值的性質任何一種有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。因此，a取任何有理數，均有|a|≥0。即⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數是0.即：a=0<═>|a|=0；⑵一種數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0.即：|a|≥0；⑶任何數的絕對值都不不不小于原數。即：|a|≥a；⑷絕對值是相似正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；⑺若幾種數的絕對值的和等于0，則這幾種數就同步為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。（非負數的常用性質：若幾種非負數的和為0，則有且只有這幾種非負數同步為0）經典考題例已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值解：由于|a+3|≥0，|2b-2|≥0，|c-1|≥0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0因此|a+3|=0，|2b-2|=0，|c-1|=0即a=-3,b=1,c=1因此a+b+c=-3+1+1=-14.有理數大小的比較⑴運用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；（總法則）⑵運用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數不小于負數。5.絕對值的化簡①當a≥0時，|a|=a；②當a≤0時，|a|=-a6.已知一種數的絕對值，求這個數一種數a的絕對值就是數軸上表達數a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一種正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。如：|a|=5，則a=土51.3有理數的加減法1.有理數的加法法則⑴同號兩數相加，取相似的符號，并把絕對值相加；⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；⑶互為相反數的兩數相加，和為零；⑷一種數與零相加，仍得這個數。2.有理數加法的運算律⑴加法互換律：a+b=b+a⑵加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以到達化簡的目的，一般有下列規律：①互為相反數的兩個數先相加——“相反數結合法”；②符號相似的兩個數先相加——“同號結合法”；③分母相似的數先相加——“同分母結合法”；④幾種數相加得到整數，先相加——“湊整法”；⑤整數與整數、小數與小數相加——“同形結合法”。3.加法性質一種數加正數後的和比原數大；加負數後的和比原數小；加0後的和等于原數。即：⑴當b>0時，a+b>a⑵當b<0時，a+b<a⑶當b=0時，a+b=a4.有理數減法法則減去一種數，等于加上這個數的相反數。用字母表達為：a-b=a+(-b)。5.有理數加減法統一成加法的意義在有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法後，再按照加法法則進行計算。在和式裏，一般把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：①按這個式子表達的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”②按運算意義讀作“負8減7減6加5”6.有理數加減混合運算中運用結合律時的某些技巧：Ⅰ.把符號相似的加數相結合（同號結合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（將減法轉換成加法）=-33+18-15-1+23（省略加號和括號）=(-33-15-1)+(18+23)（把符號相似的加數相結合）=-49+41（運用加法法則一進行運算）=-8（運用加法法則二進行運算）Ⅱ.把和為整數的加數相結合（湊整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（將減法轉換成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加號和括號）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和為整數的加數相結合）=4-10+3.8（運用加法法則進行運算）=7.8-10（把符號相似的加數相結合，并進行運算）=-2.2（得出結論）Ⅲ.把分母相似或便于通分的加數相結合（同分母結合法）--+-+-原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1Ⅳ.既有小數又有分數的運算要統一後再結合（先統一後結合）(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10Ⅴ.把帶分數拆分後再結合（先拆分後結合）-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++-Ⅵ.分組結合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆項後結合（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）1.4有理數的乘除法1.有理數的乘法法則法則一：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負”專指“兩數相乘”的狀況，假如因數超過兩個，就必須運使用方法則三）法則二：任何數同0相乘，都得0；法則三：幾種不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數；法則四：幾種數相乘，假如其中有因數為0,則積等于0.2.倒數乘積是1的兩個數互為倒數，其中一種數叫做另一種數的倒數，用式子表達為a·=1（a≠0），就是說a和互為倒數，即a是的倒數，是a的倒數。注意：①0沒有倒數；②求假分數或真分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數的倒數時，先把帶分數化為假分數，再把分子、分母顛倒位置；③正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。（求一種數的倒數，不變化這個數的性質）；④倒數等于它自身的數是1或-1,不包括0。3.有理數的乘法運算律⑴乘法互換律：一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，互換因數的位置，積相等。即ab=ba⑵乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把後兩個數相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分派律：一般地，一種數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac4.有理數的除法法則（1）除以一種不等0的數，等于乘以這個數的倒數。（2）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一種不等于0的數，都得05.有理數的乘除混合運算（1）乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然後確定積的符號，最終求出成果。（2）有理數的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照‘先乘除，後加減’的次序進行。1.5有理數的乘方1.乘方的概念求n個相似因數的積的運算，叫做乘方，乘方的成果叫做冪。在中，a叫做底數，n叫做指數。2.乘方的性質（1）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪的正數。（2）正數的任何次冪都是正數，0的任何正整多次冪都是0。3.有理數的混合運算做有理數的混合運算時，應注意如下運算次序：（1）先乘方，再乘除，最終加減；（2）同級運算，從左到右進行；（3）如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。4.科學記數法把一種不小于10的數表到達的形式（其中，n是正整數），這種記數法是科學記數法。第二章整式的加減2.1整式代數式：用基本運算符號把數和字母連接而成的式子叫做代數式，如n,-1,2n+500,abc。單獨的一種數或一種字母也是代數式。單項式：表達數與字母的乘積的代數式叫單項式。單獨的一種數或一種字母也是代數式。單項式的系數：單項式中的數字因數單項式的次數：一種單項式中，所有字母的指數和多項式：幾種單項式的和叫做多項式。每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。多項式裏次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。常數項的次數為0。整式：單項式和多項式統稱為整式。注意：分母上具有字母的不是整式。代數式書寫規范：數與字母、字母與字母中的乘號可以省略不寫或用“·”表達，并把數字放到字母前；出現除式時，用分數表達；帶分數與字母相乘時，帶分數要化成假分數；若運算成果為加減的式子，當背面有單位時，要用括號把整個式子括起來。2.2整式的加減1合并同類項同類項：所含字母相似，并且相似字母的指數也相似的項叫做同類項。合并同類項的法則：同類項的系數相加，所得的成果作為系數，字母和字母的指數不變。合并同類項的環節：（1）精確的找出同類項；（2）運用加法互換律，把同類項互換位置後結合在一起；（3）利使用方法則，把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變；（4）寫出合并後的成果。2去括號的法則（1）括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號裏各項的符號都不變；（2）括號前面是“—”號，把括號和它前面的“—”號去掉，括號裏各項的符號都要變化。3整式的加減：進行整式的加減運算時，假如有括號先去括號，再合并同類項。整式加減的環節：（1）列出代數式；（2）去括號；（3）合并同類項。第三章一元一次方程3.1一元一次方程的概念：只具有一種未知數（元）且未知數的指數是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)注意：未知數在分母中時，它的次數不能當作是1次。如，它不是一元一次方程。3.2解一元一次方程方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的過程叫做解方程。等式的性質：（1）等式兩邊都加上或減去同一種數或同一種整式，所得成果仍是等式；（2）等式兩邊都乘或除以同一種不等于0的數，所得成果仍是等式。移項移項：方程中的某些項變化符號後，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移項。移項的根據：（1）移項實際上就是對方程兩邊進行同步加減，根據是等式的性質1；（2）系數化為1實際上就是對方程兩邊同步乘除，根據是等式的性質2。移項的作用：移項時一般把含未知數的項向左移，常數項往右移，使左邊對含未知數的項合并，右邊對常數項合并。注意：移項時要跨越“=”號，移過的項一定要變號。解一元一次方程的一般環節：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1。注意：去分母時不可漏乘不含分母的項。分數線有括號的作用，去掉分母後，若分子是多項式，要加括號。解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）3.3方程處理問題列一元一次方程解應用題的基本環節：審清題意、設未知數（元）、列出方程、解方程、寫出答案。關鍵在于抓住問題中的有關數量的相等關系，列出方程。處理問題的方略：運用表格和示意圖協助分析實際問題中的數量關系實際問題的常見類型：行程問題：旅程=時間×速度，時間=，速度=（單位：旅程——米、仟米；時間——秒、分、時；速度——米／秒、米／分、仟米／小時）工程問題：工作總量=工作時間×工作效率，工作總量=各部分工作量的和利潤問題：利潤=售價-進價，利潤率=，售價=標價×（1-折扣）等積變形問題：長方體的體積=長×寬×高；圓柱的體積=底面積×高；鑄造前的體積=鑄造後的體積利息問題：本息和=本金+利息；利息=本金×利率第四章幾何圖形初步4.1幾何圖形1.立體圖形與平面圖形從實物中抽象出來的多種圖形，包括立體圖形和平面圖形。立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。2、點、線、面、體（1）幾何圖形的構成點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡稱體。點動成線，線動成面，面動成體。3、生活中的立體圖形圓柱柱體棱柱：三棱柱、四棱柱（長方體、正方體）、五棱柱、……生活中的立體圖形球體(按名稱分)圓錐錐體棱錐4、棱柱及其有關概念：棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線，都叫做棱。側棱：相鄰兩個側面的交線叫做側棱。n棱柱有兩個底面，n個側面，共（n+2）個面；3n條棱，n條側棱；2n個頂點。棱柱的所有側棱長都相等，棱柱的上下兩個底面是相似的多邊形，直棱柱的側面是長方形。棱柱的側面有也許是長方形，也有也許是平行四邊形。5、正方體的平面展開圖：11種6、截一種正方體：用一種平面去截一種正方體，截出的面也許是三角形，四邊形，五邊形，六邊形。7、三視圖物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。4.2直線、射線、線段1、直線、射線、線段的比較名稱不一樣點聯絡共同點延伸性端點數線段不能延伸2線段向一方延長就成射線，向兩方延長就成直線都是直的線射線只能向一方延伸1直線可向兩方無限延伸無2、點、直線、射線和線段的表達在幾何裏，我們常用字母表達圖形。一種點可以用一種大寫字母表達，如點A一條直線可以用一種小寫字母表達或用直線上兩個點的大寫字母表達，如直線l,或者直線AB一條射線可以用一種小寫字母表達或用端點和射線上另一點來表達（端點字母寫在前面），如射線l,射線AB一條線段可以用一種小寫字母表達或用它的端點的兩個大寫字母來表達，如線段l,線段AB3、點和直線的位置關系有兩種：①點在直線上，或者說直線通過這個點。②點在直線外，或者說直線不通過這個點。4、線段的性質（1）線段公理：兩點之間的所有連線中，線段最短。（2）兩點之間的距離：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。（3）線段的中點到兩端點的距離相等。（4）線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。（5）線段的比較：1.目測法2.疊合法3.度量法5、線段的中點：點M把線段AB提成相等的兩條相等的線段AM與BM，點M叫做線段AB的中點。MABMABAM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）6、直線的性質（1）直線公理：通過兩個點有且只有一條直線。（2）過一點的直線有無數條。（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。（4）直線上有無窮多種點。（5）兩條不一樣的直線至多有一種公共點。4.3角角：有公共端點的兩條射線構成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做