條件概率、全概率公式與貝葉斯公式一、背景一種隨機事件的概率,確切地說,是指在某些給定的條件下,事件發生的也許性大小的度量.但假如給定的條件發生變化之後,該事件的概率一般也隨之變化.于是,人們自然提出:假如增長某個條件之後,事件的概率會怎樣變化的?它與本來的概率之間有什么關系?顯然此類現象是常有的.[例1]

設有一群共人,其中個女性,個是色盲患者.

個色盲患者中女性占個.

假如={從中任選一種是色盲},

={從中任選一種是女性},此時,

.假如對選用規則附加條件:只在女性中任選一位,換一句話說,發生之後,發生的概率(暫且記為)

自然是.[例2]

將一枚硬幣拋擲,觀測其出現正背面的狀況.設事件為“兩次擲出同一面”,事件為“至少有一次為正面H”.目前來求已知事件已經發生的條件下事件發生的概率.這裏,樣本空間.易知此屬于古典概型問題.已知事件已發生,有了這一信息,懂得不也許發生,即知試驗所有也許成果所成的集合就是.中共有3個元素,其中只有屬于.于是,在發生的條件下,發生的概率為對于例1,已知輕易驗證在發生的條件下,發生的概率對于例2,已知輕易驗證發生的條件下,發生的概率對一般古典概型,

輕易驗證:只要,則在發生的條件下,

發生的概率,總是成立的.在幾何概率場所,假如向平面上單位正方形內等也許任投一點,則當發生的條件下,

這時發生的概率為由此可知對上述的兩個等也許性的概率模型,總有成立.其實,還可以驗證,

這個關系式對頻率也是成立的.于是,從這些共性中得到啟發,引入下面的一般定義.二、條件概率若是一種概率空間,,若,則對于任意的,稱為已知事件發生的條件下,

事件發生的條件概率.[例3]

一盒子中裝有4只產品,其中有3只是一等品,1只是二等品.從中取產品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣,設事件為“第二次取到的是一等品”,事件為“第一次取到的是一等品”,試求條件概率解:易知此屬古典概型問題.將產品編號：1,2,3號為一等品,4號為二等品.以表達第一次、第二次分別取到第號、第號產品.試驗E(取產品兩次,記錄其號碼)的樣本空間為={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}由條件概率公式得,[例4]

一種家庭中有兩個小孩,已知其中有一種是女孩,問這時另一種小孩也是女孩的概率?(假定一種小孩是女孩還是男孩是等也許的)解:據題意樣本空間為={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}={已知有一種是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}={另一種小孩也是女孩}={(女,女)}于是,所求概率為三、條件概率的性質(1)非負性:對任意的(2)規范性:

(3)可列可加性:若為一列兩兩不相交的事件,有證明:(1)

由于因此(2)由于,因此(3)由于兩兩不相交,因此也必然兩兩不相交,因此四、乘法公式由條件概率的定義知:

設,則.于是,這就是概率的乘法公式.假如,同樣有設且則證明

由于,依條件概率的定義,上式的右邊五、乘法公式的應用例子[例5]設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下時未打破,

第二次落下時打破的概率為7/10,

若前兩次時未打破,

第三次落下時打破的概率為9/10,試求透鏡落下三次而未打破的概率.解:以表達事件“透鏡第次落下時打破”,以表達事件“透鏡三次落下而未打破”.

由于,故有[例6]設袋中裝有只紅球,只白球.每次自袋中任取一只球,觀測其顏色後放回,并再放入只與所取出的那個球同色的球.若在袋中持續取球四次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解:以表達事件“第次取到紅球”,分別表達事件第三、四次取到白球.所求概率為[例7](卜裏耶模型)罐中有只黑球,只紅球,隨機地取一只之後,把原球放回,并加進與抽出的球同色之球只,再摸第二次,這樣下去共摸次.問前次出現黑球,背面次出現紅球概率是多少?解:以表達事件“第k次取到黑球”,

表達事件“第次取到紅球”,則由一般乘法公式,

1.

在例7中,最終答案與黑球和紅球出現的次數有關,而與出現的次序無關.2.卜裏耶模型被卜裏耶用來描述傳染病的數學模型.當時,它是有放回的摸球模型.當時,它是不放回的摸球模型.思索題:

在卜裏耶模型中,取次,問恰好出現次紅球概率是多少?[例8]

一批產品共100件,對其進行抽樣調查,整批產品看作不合格的規定是:在被檢查的5件產品中至少有一件是廢品.假如在該批產品中有5%是廢品,試問該批產品被拒絕接受的概率是多少?解:設表達被檢查的第件產品是正品.表達該批產品被接受.則且因此,

該批產品被拒絕接受的概率是0.23。作業:P55EX29,30,31六、全概率公式設是兩個事件,那么可以表達為顯然,,假如則[例1]1號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱,然後從2號箱隨機取出一球,問從2號箱取出的紅球的概率是多少?解:令

:最終從2號箱中取出的是紅球;:從1號箱中取出的是紅球.則由上面的公式,上例采用的措施是概率論中頗為常用的措施,為了求復雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個互不相容的簡樸事件之并,然後運用條件概率和乘法公式,求出這些簡樸事件的概率,最終運用概率可加性,得到最終止果,這一措施的一般化就是所謂的全概率公式.設為試驗的樣本空間,為的事件,為的一組事件.若(1)

(2)

則稱為樣本空間的一種分割.若為樣本空間的一種分割,那么,對每一次試驗,事件必有一種且僅有一種發生.[例2]

設試驗為“擲一顆骰子觀測其點數”.它的樣本空間.的一組事件是樣本空間的一種分割.而事件組不是樣本空間的一種分割,由于[例3]

甲、乙、丙三人向同一飛機射擊.設樣本空間={無人命中飛機,一人命中飛機,二人命中飛機,全命中}.的一組事件={三人如下命中飛機},={全命中飛機}是樣本空間的一種分割.設試驗E的樣本空間,為的事件,

為的一種分割,且

,則上式被稱為全概率公式.證明:

,因此由假設,且因此由條件概率公式,得代入上式,即得[例4]

甲、乙、丙三人向同一飛機射擊.設甲、乙、丙射中的概率分別為0.4,0.5,0.7.又設若只有一人射中,飛機墜落的概率為0.2,若有二人射中,飛機墜落的概率為0.6,若有三人射中,

飛機必墜落.求飛機墜落的概率.解:記={飛機墜落},={個人射中飛機},=(甲射中,乙丙未射中)+(乙射中,甲丙未射中)+(丙射中,甲乙未射中)再由題設,運用全概率公式,[例5]

播種用的小麥種子混有2%的二等種子,1.5%的三等種子,1%的四等種子,用一等、二等、三等、四等種子長出的麥穗具有50顆麥粒以上的概率為0.5,0.15,0.1,0.05,求這批所結出的麥穗具有50顆麥粒以上的概率.解:

設={從這批種子任選一顆種子是等種子},

.={從這批種子任選一顆,所結出的麥穗具有50顆麥粒以上}則由全概率公式在例題5中,

,這對于農業技術人員來說,這個數據是重要的,但對育種專家來說,僅有這個數據是不夠的.由于他們更感愛好的是下面的問題.[例6]

在例題5中,問由這批所結出的具有50顆麥粒以上麥穗中是一等、二等種子長出的概率.解:在上面的計算中,實際上建立了一種著名的公式——Bayes公式.七、貝葉斯公式設試驗的樣本空間,為的事件,

為的一種分割,且

,則上式稱為貝葉斯公式.證明:由條件概率,知和全概率公式[例7]

某電子設備廠所用的元件是由三家元件廠提供的,根據以往的記錄,這三個廠家的次品率分別為0.02,0.01,0.03,提供元件的份額分別為0.15,0.8,0.05,設這三個廠家的產品在倉庫是均勻混合的,且無區別的標志.(1)在倉庫中隨機地取一種元件,求它是次品的概率.(2)

在倉庫中隨機地取一種元件,若已知它是次品,為分析本次品出自何廠,需求出此品由三個廠家生產的概率是多少?解:設取到的元件是次品,表達取到的元件是由第個廠家生產的.(1)由全概率公式,(2)

由貝葉斯公式,以上成果表明,這只產品來自第2家工廠的也許性最大.八、貝葉斯措施從這道題中我們看出，“取一種元件”是進行一種試驗,那么是在試驗此前就已經懂得的,因此習慣地稱它們為先驗概率.實際上它是過去已經掌握的生產狀況的反應,對試驗要出現的成果提供了一定的信息.在這個例子中,試驗成果出現次品,這時條件概率反應了在試驗後來,對A發生的來源的多種也許性的大小,一般稱為後驗概率.假如是病人也許患的n種疾病,在診斷此前先檢查與這些疾病有關的某些指標(如體溫,血壓,白血球等),若病人的某些指標偏離正常值,要問病人患的是哪一種疾病,從概率論的角度考慮,若較大,而為了計算

,就可以運用上述的貝葉斯公式,并把由過去的病例中得到的先驗概率值代入,也就是醫學上所說的發病率,人們常常喜歡找有經驗的醫生給自已治病,由于過去的經驗能協助醫生作出比較精確的診斷,可以更好地做到對癥下藥,而貝葉斯公式正是運用了經驗的知識,由此,讀者可以直覺地認識到這個公式的意義.也正因如此,此類措施在過去和目前,都受到人們的普遍重視,并稱為貝葉斯措施.[例8]

用甲胎蛋白法普查肝癌,令={被檢查者患肝癌}={甲胎蛋白檢查呈陽性}{被檢查者未患肝癌}{甲胎蛋白檢查呈陰性}由資料已知,,又已知某地居民的肝癌發病率,在普查中查出一批甲胎蛋白檢查呈陽性的人,求這批人中真的患肝癌的概率.解:由貝葉斯公式可得,由此可見,經甲胎蛋白檢查呈陽性的人群中,其中真正患肝癌的人還是很少的,只占0.0038,把與對比一下是很故意思的.當已知病人患肝癌或未患肝癌時,

甲胎蛋白檢查的精確性應當說是比較高的,這從可以肯定這一點.但假如病人患肝癌或未患肝癌時,而要從甲胎蛋白檢查成果與否為陽性這一事件出發,來判斷病人與否患肝癌,那么它的精確性還是很低的,由于

.這個問題看來似乎有點矛盾.一種