6/23昆明市呈貢區2024年八年級《數學》上學期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共12個小題，每小題只有一個正確選項，每小題3分，滿分36分。1．（3分）“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連…”，我國民間流傳有許多“24節氣歌”．下面四幅手繪作品，它們依次分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”四個節氣，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故A錯誤；B．不是軸對稱圖形，故B錯誤；C．不是軸對稱圖形，故C錯誤；D．是軸對稱圖形，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，解題的關鍵是熟練掌握如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．2．（3分）肺炎支原體是引起支原體肺炎的病原體，也可引起上呼吸道感染和慢性支氣管炎等疾病．某支原體的直徑為0.00000022m，數字0.00000022用科學記數法表示為（）A．2.2×10﹣6 B．0.22×10﹣7 C．2.2×10﹣7 D．22×10﹣6【分析】將一個數表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可求得答案．【解答】解：0.00000022＝2.2×10﹣7，故選：C．【點評】本題考查科學記數法表示較小的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵．3．（3分）下列各式計算正確的是（）A．a+2a＝3a2 B．（﹣a3）2＝a6 C．a3?a2＝a6 D．（a+b）2＝a2+b2【分析】根據合并同類項法則，積的乘方，同底數冪的乘法，平方差公式分別求出每個式子的值，再判斷即可．【解答】解：A、a+2a＝3a，故A選項錯誤；B、（﹣a3）2＝a6，故B選項正確；C、a3?a2＝a5，故C選項錯誤；D、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故D選項錯誤，故選：B．【點評】本題考查了合并同類項法則，積的乘方，同底數冪的乘法，平方差公式的應用，主要考查學生的計算能力．4．（3分）等腰三角形的兩邊分別為5和10，則它的周長是（）A．20 B．15 C．25 D．20或25【分析】分別從①若5是底邊長，10是腰長與②若10是底邊長，5是腰長去分析，即可求得答案，注意檢驗是否能組成三角形．【解答】解：①若5是底邊長，10是腰長，則5，10，10能組成三角形，則它的周長是：5+10+10＝25；②若10是底邊長，5是腰長，因為5+5＝10，所以5，5，10不能組成三角形，舍去；所以它的周長是25．故選：C．【點評】此題考查了等腰三角形的性質與三角形的三邊關系．此題難度不大，注意分類討論思想的應用．5．（3分）下列各式一定成立的是（）A． B． C． D．【分析】運用分式的基本性質進行逐一辨別、求解．【解答】解：A．≠，故本選項不符合題意；B．當b≠0時，＝才成立，故本選項不符合題意；C．＝，故本選項符合題意；D．≠，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查分式的基本性質，解決本題的關鍵是熟練掌握分式的基本性質：分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．6．（3分）徐光啟是中國明代數學家，他與意大利人利瑪竇合作翻譯的《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的著作．《幾何原本》第Ⅰ卷命題9：“一個角可以切分為兩個相等的角”即：作一個已知角的平分線．歐幾里得給出以下的作圖法：如圖，在AB和AC上分別取點D和E，使AE＝AD，連接DE，以DE為一邊作等邊△DEF，連接AF，則射線AF平分∠BAC．此法的關鍵是得到△ADF≌△AEF，進而得出∠FAB＝∠FAC．這里判斷△ADF≌△AEF的依據是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】由題意知，AD＝AE，DE＝DF＝EF，結合AF＝AF即可依據“SSS”判定△ADF≌△AEF．【解答】解：由題意知，AD＝AE，DE＝DF＝EF，又AF＝AF，所以△ADF≌△AEF（SSS），故選：A．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．7．（3分）下列各式中最簡分式是（）A． B． C． D．【分析】一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式，據此求解可得．【解答】解：A、該分式的分子與分母沒有公因式，是最簡分式，符合題意；B、該分式的分子與分母有公因式（a﹣b），不是最簡分式，不符合題意；C、該分式的分子與分母有公因式a，不是最簡分式，不符合題意；D、該分式的分子與分母有公因式（1+x），不是最簡分式，不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查最簡分式，解題的關鍵是掌握一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．8．（3分）下列因式分解正確的是（）A．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） B．3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x﹣y）2 C．2x2+3x3+x＝x（2x+3x2） D．m2+n2＝（m+n）2【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式進而得出答案．【解答】解：A、﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），故此選項錯誤；B、3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2，正確；C、2x2+3x3+x＝x（2x+3x2+1），故此選項錯誤；D、m2+n2，故此選項錯誤；故選：B．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝6cm，則BC＝（）cm．A．12 B．15 C．18 D．21【分析】由等腰三角形的性質推出∠B＝∠C＝30°，由三角形內角和定理求出∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，由垂直的定義得到∠BAD＝90°，求出∠DAC＝120°﹣90°＝30°，得到∠C＝∠DAC，推出DC＝AD＝6cm，由含30度角的直角三角形的性質推出BD＝2AD＝2×6＝12（cm），即可求出BC＝BD+CD＝18（cm）．【解答】解：因為AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30°，所以∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，因為AB⊥AD，所以∠BAD＝90°，所以∠DAC＝120°﹣90°＝30°，所以∠C＝∠DAC，所以DC＝AD＝6cm，因為∠BAD＝90°，∠B＝30°，所以BD＝2AD＝2×6＝12（cm），所以BC＝BD+CD＝18（cm）．故選：C．【點評】本題考查等腰三角形的性質，含30度的直角三角形，關鍵是由含30度角的直角三角形的性質得到BD＝2AD．10．（3分）若x2+2（m+3）x+16是完全平方式，則m的值為（）A．4 B．1 C．4或﹣4 D．1或﹣7【分析】根據完全平方公式得到x2+2（m+3）x+16＝（x+4）2或（x﹣4）2，展開得到2（m+3）＝±8，然后解關于m的兩個一次方程即可．【解答】解：因為x2+2（m+3）x+16是一個完全平方式，所以x2+2（m+3）x+16＝（x+4）2或（x﹣4）2，所以2（m+3）＝±8，所以m＝1或﹣7．故選：D．【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．11．（3分）已知，則的值為（）A．14 B． C．7 D．4【分析】先根據完全平方公式得出＝（x+）2﹣2?x，再代入求出答案即可．【解答】解：因為，所以＝（x+）2﹣2?x＝42﹣2＝16﹣2＝14．故選：A．【點評】本題考查了分式的化簡求值和完全平方公式，能根據完全平方公式得出＝（x+）2﹣2?x是解此題的關鍵．12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分別以點A和點B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN分別交AB，AC于點F，D，作DE⊥BC于點E．有下列三個結論：①BD平分∠ABC；②DE＝DF；③BC+CD＝2AF．其中錯誤的結論有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】利用基本作圖得到DF垂直平分AB，則DA＝DB，AF＝BF，利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出∠DBA＝∠A＝36°，∠ABC＝72°，則可對①進行判斷；再利用角平分線的性質可對②進行判斷；接著計算出∠BDC＝72°，則∠BDC＝∠BCD，所以BD＝BC＝DA，然后利用等線段代換可對③進行判斷．【解答】解：由作法得DF垂直平分AB，所以DA＝DB，AF＝BF，所以∠DBA＝∠A＝36°，因為AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，所以∠DBA＝∠ABC，即BD平分∠ABC，所以①正確；因為BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，所以DE＝DF，所以②正確；因為∠BDC＝∠A+∠DBA＝72°，所以∠BDC＝∠BCD，所以BD＝BC，因為DB＝DA，所以BC＝AD，所以BC+CD＝AD+CD＝AC，因為AB＝AC＝2AF，所以BC+CD＝2AF，所以③正確．故選：D．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了角平分線的性質和等腰三角形的性質．二、填空題本大題共4個小題，每小題2分，滿分8分。13．（2分）使分式有意義的x的取值范圍是x≠2024．【分析】根據分母不為零的條件進行解題即可．【解答】解：要使分式有意義，則x﹣2024≠0，即x≠2024．故答案為：x≠2024．【點評】本題考查分式有意義的條件，掌握分母不為零的條件是解題的關鍵．14．（2分）分解因式：4xy2﹣16x＝4x（y+2）（y﹣2）．【分析】先提公因式4x，再根據平方差公式進行解答即可．【解答】解：原式＝4x（y2﹣4）＝4x（y+2）（y﹣2）．故答案為：4x（y+2）（y﹣2）．【點評】本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的關鍵．15．（2分）如圖，已知等腰Rt△ABC的直角頂點C在y軸的負半軸上，頂點B在x軸的正半軸上，頂點A在第二象限，若C（0，﹣4），B（6，0），則點A的坐標是（﹣4，2）．【分析】過點A作AD⊥y軸于點D，根據△ADC≌△COB（AAS）得出AD＝OC＝4，CD＝OB＝6即可得出結果．【解答】解：如圖，過點A作AD⊥y軸于點D，所以∠ADC＝∠BOC＝90°，因為C（0，﹣4），B（6，0），所以OB＝6，OC＝4，因為△ACB是等腰直角三角形，所以∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠ACO+∠BCO＝90°，又所以∠ACO+∠CAD＝90°，所以∠CAD＝∠BCO，所以△ADC≌△COB（AAS），所以AD＝OC＝4，CD＝OB＝6，所以OD＝CD﹣OC＝6﹣4＝2，所以A（﹣4，2），故答案為：（﹣4，2）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．16．（2分）若關于x的方程無解，則m的值是﹣1或2．【分析】先按照解分式方程的一般步驟解方程，然后根據分式方程無解，列出關于m的方程，解方程即可．【解答】解：，方程兩邊同時乘x﹣2得：mx＝4﹣（x﹣2），mx＝4﹣x+2，mx+x＝6，（m+1）x＝6，，因為關于x的方程無解，所以m+1＝0，，解得：m＝﹣1或2，故答案為：﹣1或2．【點評】本題主要考查了分式方程的解，解題關鍵是熟練掌握分式方程無解的兩種情況：①整式方程無解；②分式的分母為0．三、解答題本大題共8個小題，滿分56分。17．（6分）（1）計算：；（2）化簡：（a﹣b）2+2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）．【分析】（1）根據零指數、負整數指數冪的運算法則計算即可；（2）先根據乘法公式，單項式乘多項式以及去括號法則去掉括號，再合并同類項即可．【解答】解：（1）＝1﹣3＝﹣2；（2）（a﹣b）2+2b（a﹣b）﹣（a+b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2+2ab﹣2b2﹣（a2﹣b2）＝a2﹣2ab+b2+2ab﹣2b2﹣a2+b2＝0．【點評】本題考查實數的運算與整式的混合運算，涉及零指數、負整數指數冪的運算、完全平方公式和平方差公式，是基礎題．18．（6分）解方程：（1）；（2）．【分析】（1）利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可；（2）利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．【解答】解：（1）原方程去分母得：2（x﹣1）＝x+3，整理得：2x﹣2＝x+3，解得：x＝5，檢驗：當x＝5時，（x﹣1）（x+3）≠0，故原方程的解為x＝5；（2）原方程去分母得：x+5＝10，解得：x＝5，檢驗：當x＝5時，x2﹣25＝0，則x＝5是分式方程的增根，故原方程無解．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．19．（7分）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．A、B、C三點在格點上．（1）作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；（2）在y軸上找點D，使得AD+BD最小，直接寫出點D的坐標．【分析】（1）直接利用關于y軸對稱點的性質得出對應點位置進而得出答案；（2）連接A1B，交y軸于點D，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，點C1的坐標為：（﹣3，2）；（2）如圖所示：點D的坐標為：（0，2）．【點評】此題主要考查了軸對稱變換，正確得出對應點位置是解題關鍵．20．（7分）先化簡，再從﹣2，﹣1，0，1中選擇一個合適的數代入求值．【分析】先把各個分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，然后按照混合運算順序，先算括號里面的，再算括號外面的，最后根據分式的分母不能為0，選取x＝﹣1代入化簡后的式子求值即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，因為當a＝﹣2，1，0時，分式的分母為0，此時分式無意義，所以a只能是﹣1，當a＝﹣1時，原式＝＝＝．【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，解題關鍵是熟練掌握幾種常見的分解因式的方法和分式有意義的條件．21．（7分）列分式方程解應用題：寶珠梨是昆明市首個國家地理標志保護產品，2023年12月16日，呈貢區寶珠梨作為參展產品之一亮相2023全國“土特產”集中推薦活動．某網店從甲、乙兩農戶手中各花600元購進兩種不同品質的寶珠梨進行網上銷售，從乙農戶手中所購的寶珠梨單價比從甲農戶手中所購的單價高出，且最終從甲農戶手中所購的寶珠梨數量比從乙農戶手中所購的多25千克，求分別從甲、乙農戶手中所購的寶珠梨的單價．【分析】設從甲農戶手中所購的寶珠梨的單價是x元，則從乙農戶手中所購的寶珠梨的單價為（1+）x元，根據“從甲農戶手中所購的寶珠梨數量比從乙農戶手中所購的多25千克”列出方程并解答．【解答】解：設從甲農戶手中所購的寶珠梨的單價是x元，則從乙農戶手中所購的寶珠梨的單價為（1+）x元，則：﹣＝25．解得x＝6．經檢驗x＝6是所列方程的解，且符合題意．所以（1+）x＝8．答：從甲農戶手中所購的寶珠梨的單價是6元，則從乙農戶手中所購的寶珠梨的單價為8元．【點評】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，列出等量關系．22．（7分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E為線段AB上一點，連接CE交AD于點F，已知BD＝DF，AD＝CD．（1）求證：△ABD≌△CFD；（2）若CF＝2BE，求∠BCE的度數．【分析】（1）根據SAS證明三角形全等即可；（2）根據△ABD≌△CFD可推出∠AEC＝∠ADC＝90°，再結合CF＝2BE可判斷CE垂直平分AB，進而得出結果．【解答】（1）證明：因為AD⊥BC于D，所以∠ADB＝∠CDF＝90°，在Rt△ABD與Rt△CFD中，，所以△ABD≌△CFD（SAS）；（2）解：因為∠ADC＝90°，AD＝CD，所以∠ACD＝∠CAD＝45°，因為△ABD≌△CFD，所以∠BAD＝∠ECB，AB＝CF，因為∠AFE＝∠CFD，所以∠AEC＝∠ADC＝90°，因為AB＝CF＝2AE，所以CE垂直平分AB，所以CE平分∠ACB，所以．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．23．（8分）【閱讀理解】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，請解答下列問題：【類比應用】（1）①若xy＝8，x+y＝6，則x2+y2的值為20；②若x（5﹣x）＝6，則x2+（5﹣x）2＝13；【遷移應用】（2）兩塊完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一塊三角板的面積．【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2計算即可；②令a＝x，b＝5﹣x，從而得到a、b的和與積，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2計算即可；（2）將三角板的兩直角邊分別用字母表示出來，從而寫出這兩個字母的和、平方和，利用題目中給出的等式計算這兩個字母的積，進而求出一塊三角板的面積．【解答】解：（1）①由題意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，因為xy＝8，x+y＝6，所以x2+y2＝62﹣2×8＝20，故答案為：20．②令a＝x，b＝5﹣x，所以a+b＝5，ab＝6，所以x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，故答案為：13．（2）設三角板的兩條直角邊AO＝m，BO＝n，則一塊三角板的面積為mn，所以m+n＝14，（m2+n2）＝54，即m2+n2＝108，因為2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88，所以mn＝44，所以mn＝×44＝22，所以一塊三角板的面積是22．【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握并靈活運用完全平方公式是本題的關鍵．24．（8分）我們知道在解與角平分線有關的問題時，通常過角平分線上的一點作角兩邊的垂線，構造全等三角形，請完成下列問題．【初步探究】（1）如圖1，∠MAN＝120°，AP平分∠MAN，點C是射線AP上一點，∠BCD＝60°，且與AM，AN分別交于點D，B，求證：CD＝CB．【類比探究】（2）如圖2，其他條件不變，將圖1的∠BCD繞點C逆時針旋轉使點D落在AM的反向延長線上．請探究線段AB，AC和AD之間的數量關系，寫出結論并證明．【拓展應用】（3）如圖3，其他條件不變，將圖1的∠BCD