PAGEPAGE1高考必考題突破講座(六)1．已知某班n名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成果(單位：分，滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，且成果在[90,100]內(nèi)的有6人．(1)求n的值；(2)若成果在[40,50)內(nèi)的人數(shù)是成果在[50,60)內(nèi)的人數(shù)的eq\f(1,3)，規(guī)定60分以下為不及格，從不及格的人中隨意選取3人，求成果在50分以下的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解析(1)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，,2b＝a＋c))?b＝0.01，因?yàn)槌晒赱90,100]內(nèi)的有6人，所以n＝eq\f(6,0.01×10)＝60.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝0.02，,c＝3a))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.005，,c＝0.015，))于是成果在[40,50)及[50,60)內(nèi)的人數(shù)分別為3和9，即不及格的人數(shù)為12，從中任選3人，則成果在50分以下的人數(shù)X的全部可能取值為0,1,2,3.且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(0,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(21,55)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,55)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,9)C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)，所以X的分布列如下X0123Peq\f(21,55)eq\f(27,55)eq\f(27,220)eq\f(1,220)故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(21,55)＋1×eq\f(27,55)＋2×eq\f(27,220)＋3×eq\f(1,220)＝eq\f(3,4).2．下圖是某市11月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇11月1日至11月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天．(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)ξ是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．解析設(shè)Ai表示事務(wù)“此人于11月i日到達(dá)該市”(i＝1，2，…，12)．依題意知，P(Ai)＝eq\f(1,12)，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．(1)設(shè)B為事務(wù)“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝eq\f(5,12).即此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率為eq\f(5,12).(2)由題意可知，ξ的全部可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,6)－eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,6)eq\f(1,6)故ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,4).3．(2024·焦作模擬)某單位共10名員工，他們某年的收入如下表.員工編號(hào)12345678910年薪/萬(wàn)元33.5455.56.577.5850(1)求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)；(2)從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于5萬(wàn)的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和期望；(3)已知員工年薪收入與工作年限成正線性相關(guān)關(guān)系，若某員工工作第一年至第四年的年薪分別為3萬(wàn)元，4.2萬(wàn)元，5.6萬(wàn)元，7.2萬(wàn)元，預(yù)料該員工第五年的年薪為多少？附：線性回來(lái)方程eq\o(y,\s\up18(^))＝eq\o(b,\s\up18(^))x＋eq\o(a,\s\up18(^))中系數(shù)計(jì)算公式eq\o(b,\s\up18(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up18(－))yi－\o(y,\s\up18(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up18(－))2)，eq\o(a,\s\up18(^))＝eq\o(y,\s\up18(－))－eq\o(b,\s\up18(^))eq\o(x,\s\up18(－))，其中eq\o(x,\s\up18(－))，eq\o(y,\s\up18(－))表示樣本均值．解析(1)平均值為10萬(wàn)元，中位數(shù)為6萬(wàn)元．(2)年薪高于5萬(wàn)的有6人，低于或等于5萬(wàn)的有4人，ξ取值為0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(2,15)eq\f(8,15)eq\f(1,3)數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×eq\f(2,15)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(6,5).(3)設(shè)xi，yi(i＝1,2,3,4)分別表示工作年限及相應(yīng)年薪，則eq\o(x,\s\up18(－))＝2.5，eq\o(y,\s\up18(－))＝5，eq\i\su(i＝1,4,)xi－eq\o(x,\s\up18(－)))2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，eq\i\su(i＝1,4,)xi－eq\o(x,\s\up18(－)))(yi－eq\o(y,\s\up18(－)))＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，eq\o(b,\s\up18(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)xi－\o(x,\s\up18(－))yi－\o(y,\s\up18(－)),\i\su(i＝1,4,)xi－\o(x,\s\up18(－))2)＝eq\f(7,5)＝1.4，eq\o(a,\s\up18(^))＝eq\o(y,\s\up18(－))－eq\o(b,\s\up18(^))eq\o(x,\s\up18(－))＝5－1.4×2.5＝1.5，因此線性回來(lái)方程為y＝1.4x＋1.5，可預(yù)料該員工第5年的年薪收入為8.5萬(wàn)元．4．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再依據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果確定是否對(duì)余下的全部產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)．②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解析(1)由題意知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2(1－p)18.因此，f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17·(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí)，f′(p)>0；當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí)，f′(p)＜0，所以f(p)的最大值點(diǎn)p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù)．依題意知，Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490.②假如對(duì)余下的全部產(chǎn)品作檢驗(yàn)，那么這一箱產(chǎn)品所須要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元．由于E(X)>400，因此應(yīng)當(dāng)對(duì)這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗(yàn)．5．(2024·甘肅蘭州診斷)“中國(guó)式過(guò)公路”是網(wǎng)友對(duì)部分中國(guó)人集體闖紅燈現(xiàn)象的一種調(diào)侃．即“湊夠一撮人就可以走了，和紅綠燈無(wú)關(guān)”，某校探討性學(xué)習(xí)小組對(duì)全校學(xué)生按“跟從別人闖紅燈”“從不闖紅燈”“帶頭闖紅燈”等三種形式過(guò)公路進(jìn)行調(diào)查，獲得下表數(shù)據(jù)：跟從別人闖紅燈從不闖紅燈帶頭闖紅燈男生98041060女生34015060用分層抽樣的方法，從全部被調(diào)查的人中抽取一個(gè)容量為n的樣本，其中在“跟從別人闖紅燈”的人中抽取了66人．(1)求n的值；(2)在所抽取的“帶頭闖紅燈”的人中，任選2人參與星期天社區(qū)組織的“文明交通”宣揚(yáng)活動(dòng)，求這2人中至少有1人是女生的概率．解析(1)由題意得，eq\f(66,980＋340)＝eq\f(n,980＋340＋410＋150＋60＋60)，解得n＝100.(2)因?yàn)槿繀⑴c調(diào)查的人數(shù)為980＋340＋410＋150＋60＋60＝2000，所以從“帶頭闖紅燈”的人中用分層抽樣的方法抽取的人數(shù)為(60＋60)×eq\f(100,2000)＝6，其中男生有60×eq\f(100,2000)＝3人，女生有60×eq\f(100,2000)＝3人，將這3名男生用A1，A2，A3表示，3名女生用B1，B2，B3表示，則從這6人中任選2人的全部基本領(lǐng)件為A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共15個(gè)．這2人均是男生的基本領(lǐng)件有A1A2，A1A3，A2A3，共3個(gè)，記“這2人中至少有1人是女生”為事務(wù)M，則M包含的基本領(lǐng)件共有12個(gè)，所以P(M)＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).故從這6人中任選2人，至少有1個(gè)是女生的概率為eq\f(4,5).6．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由．(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表中：超過(guò)m不超過(guò)m第一種生產(chǎn)方式其次種生產(chǎn)方式(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解析(1)其次種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少為82min；用其次種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多78min.因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5min；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5min.因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80min；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80min.因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于