第24頁（共24頁）2024-2025學年下學期初中數學北師大新版九年級期中必刷常考題之利用三角函數測高一．選擇題（共5小題）1．（2025?南山區校級一模）如圖，一枚運載火箭從地面L處發射，雷達站R與發射點L水平距離為8km，當火箭到達A點時，雷達站測得仰角為53°，則這枚火箭此時的高度AL為（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° D．2．（2024秋?威縣期末）如圖，從點P觀測點B的俯角是（）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA3．（2024秋?榆樹市校級期末）南湖大橋是長春的重要橋梁，某同學在校外實踐活動中對此開展測量活動，在橋外點A測得大橋主架與水面的交匯點C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測量點與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時大橋主架頂端離水面的高CD為（）A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D．acotα+acotβ4．（2024秋?宿松縣期末）如圖，小明先在涼亭A處測得湖心島C在其北偏西15°的方向上，又從A處向正東方向行駛200米到達涼亭B處，測得湖心島C在其北偏西60°的方向上，則涼亭B與湖心島C之間的距離為（）A．400米 B．（1003+100）米C．（1002+100）米 D．（1003-5．（2025?汕頭模擬）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽為“現代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結構斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”，寓意“揚帆起航”，某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走160米（BC＝160米），到達C處，此時看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．80米 B．803米 C．160米 D．80二．填空題（共5小題）6．（2024秋?博山區期末）如圖，無人機在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為30°，底部C的俯角為60°，無人機與旗桿的水平距離AD為6m，則該校的旗桿高約為m．（結果保留根號）7．（2024秋?煙臺期末）有一輪船由東向西航行，在A處測得西偏北15°有一燈塔P，繼續航行10海里后到B處，又測得燈塔P在西偏北30°，如果輪船航向不變，則燈塔與船之間的最近距離是海里．8．（2024秋?棲霞市期末）如圖，已知點C與某建筑物底端B相距220米（點C與點B在同一水平面上），某同學從點C出發，沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡頂D處，斜坡CD的坡比i＝1：2.4，在D處測得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為．（精確到1米，參考數據：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）9．（2024秋?通遼期末）數學興趣小組在測量教學樓高度的活動中需要測量觀察教學樓頂P的視線與水平線的夾角，他們制作了一個簡易測角儀，使用方法如下：如圖1所示，量角器的圓心O在垂直于地面的支桿OM一端上，量角器90°刻度線ON與支桿OM重合．如圖2所示，繞點O轉動量角器，使教學樓頂P與直徑兩端點A，B在同一條直線上，此時視線OP與水平線OC的夾角∠POC＝∠MON．請用你學過的一個幾何知識解釋簡易測角儀的工作原理：．10．（2024秋?臨泉縣期末）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，AB，BC，CD在同一平面內，點C，D在同一水平線上．從點C測得楊樹底端B點的仰角是30°，BC長6米，在距離C點4米處的D點測得楊樹頂端A點的仰角為45°，則楊樹AB的高度為米．三．解答題（共5小題）11．（2025?碑林區校級一模）“綠水青山就是金山銀山”．為了解學校附近山坡邊一棵直立的大樹的高度，該校數學興趣小組進行實地測量，如圖，在坡頂的點C處測得大樹頂端A的仰角為53°，大樹底端B的俯角為45°；又在同一水平線上的點D處，測得頂端A的仰角為26.5°．已知CD＝4米，求大樹AB的高度．（結果精確到1米）（參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50）12．（2025?南山區校級一模）2024年，中國國產游戲3A大作《黑神話：悟空》一經上線，即火爆全球，反映了中國文化的對全世界的吸引力．作為重要取景地的濟南四門塔是中國現存唯一的隋代石塔，也是中國現存最早、保存最完整的單層亭閣式佛塔，某興趣小組利用所學知識開展以“測量四門塔的高度”為主題的活動，并寫出如下報告：課題測量四門塔的高度測量工具測角儀、無人機等測量示意圖測量過程如圖②，測量小組使無人機在點A處以10m/s的速度豎直上升8s后，飛行至點B處，在點B處測得塔頂D的俯角為20°，然后沿水平方向向左飛行至點C處，在點C處測得塔頂D和點A的俯角均為45°．說明點A，B，C，D，E均在同一豎直平面內，且點A，E在同一水平線上，DE⊥AE．結果精確到1m．（參考數據：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求無人機從點B到點C處的飛行距離；（2）求四門塔DE的高度．13．（2024秋?河北區期末）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為80m，從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為50°，測得底部C處的俯角為62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC（結果取整數）．參考數據：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88．14．（2024秋?寧強縣期末）宜賓五糧液集團公司的鵬程廣場有五糧液標志性建筑物——五糧液瓶樓，2003年被大世界基尼斯評定為“全球規模最大的實物廣告”．小張學習了解直角三角形后，想用所學知識測量五糧液瓶樓的高度．在垂直地面的五糧液瓶樓前階梯下有一廣場，小張在階梯CD前26米A處（AC＝26米）測得瓶樓頂B的仰角為45°，走上階梯CD，在D處測得瓶樓頂B的仰角為60°，又知道階梯CD的坡度i＝1：2，階梯CD的坡面長度為65（1）求階梯CD的垂直高度；（2）求瓶樓高度．15．（2024秋?渝北區期末）如圖，一艘貨船從A港口出發，需要運至其正北方向260海里處的港口B，由于航道條件限制，貨船有兩種可能的航行路線：①由港口A出發，經港口C，D休整，最后駛向港口B；②由港口A出發，經港口E休整，最后駛向港口B（休整時間忽略不計）．經勘測，港口C在港口A東北方向，港口D在港口C正北方向80海里處，港口D在港口B東南方向，港口E在港口B南偏西60°方向，港口E在港口A北偏西30°方向.(（1）求港口A和港口E之間的距離．（結果保留根號）（2）考慮到航行時間和成本，貨船需要選擇路程更短的路線，請通過計算說明是選擇路線①還是路線②．（結果精確到個位）

2024-2025學年下學期初中數學北師大新版九年級期中必刷常考題之利用三角函數測高參考答案與試題解析題號12345答案DBCBB一．選擇題（共5小題）1．（2025?南山區校級一模）如圖，一枚運載火箭從地面L處發射，雷達站R與發射點L水平距離為8km，當火箭到達A點時，雷達站測得仰角為53°，則這枚火箭此時的高度AL為（）km．A．8sin53° B．8cos53° C．8tan53° D．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】根據題意可得：AL⊥LR，然后在Rt△ALR中，利用銳角三角函數的定義進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：AL⊥LR，在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°，∴AL＝LR?tan53°＝8tan53°（km），∴這枚火箭此時的高度AL為8tan53°km，故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．2．（2024秋?威縣期末）如圖，從點P觀測點B的俯角是（）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】B【分析】根據俯角的定義求解即可．【解答】解：∵水平線與視線的夾角，即是俯角，∴從點P觀測點B的俯角為∠CPB，故選：B．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解答本題的關鍵要明確：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．3．（2024秋?榆樹市校級期末）南湖大橋是長春的重要橋梁，某同學在校外實踐活動中對此開展測量活動，在橋外點A測得大橋主架與水面的交匯點C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測量點與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時大橋主架頂端離水面的高CD為（）A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D．acotα+acotβ【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識．【答案】C【分析】根據直角三角形銳角三角函數求出BC、BD，即可求解．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，tanα=BC∴BC＝AB?tanα＝atanα，在Rt△ABD中，tanβ=BD∴BD＝AB?tanβ＝atanβ，∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ．故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數定義是解題的關鍵．4．（2024秋?宿松縣期末）如圖，小明先在涼亭A處測得湖心島C在其北偏西15°的方向上，又從A處向正東方向行駛200米到達涼亭B處，測得湖心島C在其北偏西60°的方向上，則涼亭B與湖心島C之間的距離為（）A．400米 B．（1003+100）米C．（1002+100）米 D．（1003-【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應用；幾何直觀．【答案】B【分析】過點A作AD⊥BC于點D．由題意可得∠ABD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，sin30°=ADAB=AD200=12，cos30°=BDAB=BD200=32，解得AD＝100，BD=1003，在Rt△ACD【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D．由題意可得∠ABD＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABD中，AB＝200米，∠ABD＝30°，∴sin30°=ADAB=AD200解得AD＝100，BD=1003在Rt△ACD中，∠ACB＝45°，則AD＝CD＝100米，∴BC＝BD+CD＝（1003+故選：B．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣方向角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵．5．（2025?汕頭模擬）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽為“現代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結構斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”，寓意“揚帆起航”，某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走160米（BC＝160米），到達C處，此時看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．80米 B．803米 C．160米 D．80【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】過點A作AD⊥CB，垂足為D，先根據三角形的外角性質可得∠BAC＝∠ACD＝30°，從而可得AB＝BC＝160米，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義求出AD的長，即可解答．【解答】解：過點A作AD⊥CB，垂足為D，∵∠ABD是△ABC的一個外角，∠ABD＝60°，∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ABD﹣∠ACD＝30°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，∴AB＝BC＝160米，在Rt△ABD中，AD＝AB?sin60°＝160×32=∴該主塔的高度是803米，故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?博山區期末）如圖，無人機在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為30°，底部C的俯角為60°，無人機與旗桿的水平距離AD為6m，則該校的旗桿高約為83m．（結果保留根號）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】83．【分析】分別在Rt△ABD和Rt△ACD中利用銳角三角函數關系得出BD，DC的長，進而求出該旗桿的高度．【解答】解：在Rt△ABD，AD＝6米，∠BAD＝30°，∴tan30°=BD解得：BD＝23米，在Rt△ACD，AD＝6米，∠CAD＝60°，∴tan60°=CD解得：DC＝63米，故該校的旗桿高約為：BC＝BD+DC＝23+6故答案為：83．【點評】本題主要考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握直角三角形中銳角三角函數關系是解題關鍵．7．（2024秋?煙臺期末）有一輪船由東向西航行，在A處測得西偏北15°有一燈塔P，繼續航行10海里后到B處，又測得燈塔P在西偏北30°，如果輪船航向不變，則燈塔與船之間的最近距離是5海里．【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．【答案】見試題解答內容【分析】作PD⊥AB于D，則PD即為所求距離．根據已知先求得BP的長，再根據三角函數即可求得PD的長．【解答】解：由題意得，∠1＝15°，∠2＝30°，AB＝10．∴∠APB＝∠2﹣∠1＝15°．∴∠1＝∠APB＝15°．∴AB＝PB＝10．作PD⊥AB于D．在Rt△PDB中，∠2＝30°，∴PD=12PB=12【點評】此題考查的是方向角在實際生活中的運用，解答此類題目關鍵是構造直角三角形，利用解直角三角形的知識解答．8．（2024秋?棲霞市期末）如圖，已知點C與某建筑物底端B相距220米（點C與點B在同一水平面上），某同學從點C出發，沿同一剖面的斜坡CD行走130米至坡頂D處，斜坡CD的坡比i＝1：2.4，在D處測得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為14米．（精確到1米，參考數據：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】14米．【分析】過D點作DH⊥BC于H點，過A點作AE⊥DH于E點，如圖，先根據坡度的定義得到DHCH=512，則設DH＝5x米，則CH＝12x米，利用勾股定理得到CD＝13x，所以13x＝130，求出x得到DH＝50米，CH＝120米，再計算出BH＝AE＝100米，接著在Rt△ADE中利用俯角的定義和平行線的性質得到∠DAE＝20°，則利用正切的定義可計算出DE＝36.4米，然后計算出【解答】解：過D點作DH⊥BC于H點，過A點作AE⊥DH于E點，如圖，在Rt△CDH中，∵斜坡CD的坡比i＝1：2.4，∴DHCH設DH＝5x米，則CH＝12x米，∴CD=(5x)∴13x＝130，解得x＝10，∴DH＝50米，CH＝120米，∵BC＝220米，∴BH＝BC﹣CH＝100米，∴AE＝100米，在Rt△ADE中，∵∠DAE＝20°，∴tanDAE＝tan20°=DEAE∴DE＝100×0.364＝36.4（米），∴EH＝DH﹣EH＝50﹣36.4＝13.6（米），∴AB＝EH＝13.6米≈14米．答：建筑物AB的高度約為14米．故答案為：14米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角與俯角問題：解決此類問題要了解仰角與俯角的定義，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形．也考查了坡度．9．（2024秋?通遼期末）數學興趣小組在測量教學樓高度的活動中需要測量觀察教學樓頂P的視線與水平線的夾角，他們制作了一個簡易測角儀，使用方法如下：如圖1所示，量角器的圓心O在垂直于地面的支桿OM一端上，量角器90°刻度線ON與支桿OM重合．如圖2所示，繞點O轉動量角器，使教學樓頂P與直徑兩端點A，B在同一條直線上，此時視線OP與水平線OC的夾角∠POC＝∠MON．請用你學過的一個幾何知識解釋簡易測角儀的工作原理：同角的余角相等．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】線段、角、相交線與平行線；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】同角的余角相等．【分析】由圖可得∠POC與∠CON互余，∠MON與∠CON互余，得到∠POC＝∠MON是運用“同角的余角相等”，據此可解答．【解答】解：∵ON是90°刻度線，∴∠PON＝90°，∴∠POC與∠CON互余，∵支桿OM垂直地面，OC是水平線，∴∠COM＝90°，∴∠MON與∠CON互余，根據“同角的余角相等”可得∠POC＝∠MON．故答案為：同角的余角相等．【點評】本題考查等角或同角的余角相等，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．10．（2024秋?臨泉縣期末）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，AB，BC，CD在同一平面內，點C，D在同一水平線上．從點C測得楊樹底端B點的仰角是30°，BC長6米，在距離C點4米處的D點測得楊樹頂端A點的仰角為45°，則楊樹AB的高度為（1+33）米．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】（1+33）．【分析】延長AB交DC于H，得到∠AHD＝90°，解直角三角形即可得到結論．【解答】解：延長AB交DC于H，則∠AHD＝90°，∵∠BCH＝30°，BC＝6米，∴BH=12BC＝3米，CH=32BC∵∠ADC＝45°，∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+33）米，∴AB＝AH﹣BH＝（4+33-3）米＝（1+33故答案為：（1+33）米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2025?碑林區校級一模）“綠水青山就是金山銀山”．為了解學校附近山坡邊一棵直立的大樹的高度，該校數學興趣小組進行實地測量，如圖，在坡頂的點C處測得大樹頂端A的仰角為53°，大樹底端B的俯角為45°；又在同一水平線上的點D處，測得頂端A的仰角為26.5°．已知CD＝4米，求大樹AB的高度．（結果精確到1米）（參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】6米．【分析】延長DC交AB于點E，則DE⊥AB，由已知條件易得BE＝CE，AC＝DC＝4米，再利用銳角三角函數的定義即可求出AE、CE的長，進而可求出BE的長，然后根據AB＝AE+EB即可得解．【解答】解：在坡頂的點C處測得大樹頂端A的仰角為53°，大樹底端B的俯角為45°；又在同一水平線上的點D處，測得頂端A的仰角為26.5°，如圖，延長DC交AB于點E，則DE⊥AB，∴∠AED＝∠BEC＝90°，∵∠BCE＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∵∠ACE＝53°，∠ADC＝26.5°，∴∠DAC＝53°﹣26.5°＝26.5°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝DC＝4米，在Rt△ACE中，AE＝AC?sin53°≈4×0.80＝3.2（米），CE＝AC?cos53°≈4×0.60＝2.4（米），∴BE＝CE＝2.4米，∴AB＝AE+EB＝3.2+2.4＝5.6≈6（米），∴大樹AB的高度約為6米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握解直角三角形的相關計算是解題的關鍵．12．（2025?南山區校級一模）2024年，中國國產游戲3A大作《黑神話：悟空》一經上線，即火爆全球，反映了中國文化的對全世界的吸引力．作為重要取景地的濟南四門塔是中國現存唯一的隋代石塔，也是中國現存最早、保存最完整的單層亭閣式佛塔，某興趣小組利用所學知識開展以“測量四門塔的高度”為主題的活動，并寫出如下報告：課題測量四門塔的高度測量工具測角儀、無人機等測量示意圖測量過程如圖②，測量小組使無人機在點A處以10m/s的速度豎直上升8s后，飛行至點B處，在點B處測得塔頂D的俯角為20°，然后沿水平方向向左飛行至點C處，在點C處測得塔頂D和點A的俯角均為45°．說明點A，B，C，D，E均在同一豎直平面內，且點A，E在同一水平線上，DE⊥AE．結果精確到1m．（參考數據：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求無人機從點B到點C處的飛行距離；（2）求四門塔DE的高度．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】（1）80m；（2）35m．【分析】（1）根據題意求出AB，再根據等腰直角三角形的性質求出BC；（2）延長ED交BC的延長線于點F，設DE＝xm，用x表示出DF、BF，根據正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）由題意可知：AB＝10×8＝80（m），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝80m，答：無人機從點B到點C處的飛行距離為80m；（2）如圖，延長ED交BC的延長線于點F，則四邊形ABFE為矩形，∴EF＝AB＝80m，設DE＝xm，則DF＝（80﹣x）m，在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，則FC＝DF＝（80﹣x）m，∴BF＝CF+BC＝（160﹣x）m，在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，∵tan∠∴DF＝BF?tan∠FBD，即80﹣x＝（160﹣x）×0.36，∴80﹣x＝57.6﹣0.36x，x﹣0.36x＝80﹣57.6，x＝35，答：四門塔DE的高度約為35m．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．13．（2024秋?河北區期末）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為80m，從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為50°，測得底部C處的俯角為62°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC（結果取整數）．參考數據：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】甲建筑物的高度AB約為150m，乙建筑物的高度DC約為55m．【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據題意可得：DE＝BC＝80m，BE＝CD，AF∥DE∥BC，從而可得∠ADE＝∠FAD＝50°，∠ACB＝∠FAC＝62°，然后分別在Rt△ADE和Rt△ACB中，利用銳角三角函數的定義求出AE和AB的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：如圖：過點D作DE⊥AB于E，由題意得：DE＝BC＝80m，BE＝CD，AF∥DE∥BC，∴∠ADE＝∠FAD＝50°，∠ACB＝∠FAC＝62°，在Rt△ADE中，tan∠∴AE＝DE?tan∠ADE≈80×1.19＝95.2（m），在Rt△ACB中，tan∠∴AB＝BC?tan∠ACB≈80×1.88＝150.4≈150（m），∴CD＝BE＝AB﹣AE＝150.4﹣95.2≈55（m），∴甲建筑物的高度AB約為150m，乙建筑物的高度DC約為55m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．14．（2024秋?寧強縣期末）宜賓五糧液集團公司的鵬程廣場有五糧液標志性建筑物——五糧液瓶樓，2003年被大世界基尼斯評定為“全球規模最大的實物廣告”．小張學習了解直角三角形后，想用所學知識測量五糧液瓶樓的高度．在垂直地面的五糧液瓶樓前階梯下有一廣場，小張在階梯CD前26米A處（AC＝26米）測得瓶樓頂B的仰角為45°，走上階梯CD，在D處測得瓶樓頂B的仰角為60°，又知道階梯CD的坡度i＝1：2，階梯CD的坡面長度為65（1）求階梯CD的垂直高度；（2）求瓶樓高度．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）CD的垂直高度DM為6米；（2）瓶蓋高度為（48+163）米．【分析】（1）延長AC與BE相交于點H，過點D作DM垂直AH，垂足于點M．設DM為x米，則CM＝2x米，利用勾股定理構建方程求解；（2）設BE為y米，根據BH＝AH，構建方程求解．【解答】解：（1）延長AC與BE相交于點H，過點D作DM垂直AH，垂足于點M．∵CD的坡比為1：2，∴tan∠DCM=DM設DM為x米，則CM＝2x米，∴x2+（2x）2＝（65解得x＝6（﹣6舍去）所以CD的垂直高度DM為6米；（2）設BE為y米，在Rt△BED中∠BDE＝60°，∴tan60°=BE∴DE=33又∵CM＝2DM＝12，∠A＝45°，∴BH＝AH，y+6=33y解得y＝48+163，∴瓶蓋高度為（48+163）米．【點評】本題考查解直角三角形﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．15．（2024秋?渝北區期末）如圖，一艘貨船從A港口出發，需要運至其正北方向260海里處的港口B，由于航道條件限制，貨船有兩種可能的航行路線：①由港口A出發，經港口C，D休整，最后駛向港口B；②由港口A出發，經港口E休整，最后駛向港口B（休整時間忽略不計）．經勘測，港口C在港口A東北方向，港口D在港口C正北方向80海里處，港口D在港口B東南方向，港口E在港口B南偏西60°方向，港口E在港口A北偏西30°方向.(（1）求港口A和港口E之間的距離．（結果保留根號）（2）考慮到航行時間和成本，貨船需要選擇路程更短的路線，請通過計算說明是選擇路線①還是路線②．（結果精確到個位）【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題；勾股定理的應用．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】（1）港口A和港口E之間的距離為1303海里；（2）選擇路線②更短，理由見解答部分．【分析】（1）連接AB，作EF⊥AB于點F，易得∠BEA＝90°，那么可得BE的長度，進而根據勾股定理可得AE的長度；（2）作DM⊥AB于點M，CN⊥AB于點N，易得△BMD≌△ANC，那么可得BM和DN的長度，進而求出兩條路線的長度，比較即可得到較短的路線．【解答】解：（1）連