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最值問題在各類考試中常以壓軸題的形式考查,逆等線模型主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類

考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的逆等線問題進行梳理及對應試題分

析，方便掌握。

目錄

例題講模型..............................................................................1

模型1.最值模型一逆等線模型（三角形邊上的逆等線）.....................................1

模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）........................................5

模型3.景值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）........................................9

模型4.就值模型一逆等線模型（樸殊平行四邊形的逆等微）...............................11

模型5.最值模型-小權逆等線模型....................................................14

習題練模型.............................................................................18

例題講模型

模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）

逆等線：△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE,即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線。

逆等線模型特點:動線段長度相等,并且位置錯開。

條件:如圖，在△48。中，/4BC=a,BC=m,力。=n,點。、E分別是AB、AC上的動點，且人。=。￡,求

CD+BE的最小值。

n

a

證明思路:①人。在△ADC中，以CE為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等；

②即過點C作CF〃AB,且CF=AC。（構造一邊一角，得全等）;③構造出2ADC也/XCEF（SAS）；證出

=CD；

④CD+BE=EF+BE,根據兩點之間，線段最短，連接BF,則BF即為所求，此時,B、E、F三點共線；

⑤求BF。構造直角三角形求出BG和FG,再利用勾股定理求出BF即可。

1.（23-24九年級上?廣東廣州?期中）在等邊三角形△ABC中，邊AB上的點D從頂點A出發，向頂點B

運動，同時，邊8。上的點E從頂點B出發，向頂點。運動，兩點運動速度的大小相等，設

40,9=AE+CD,y與C的函數圖象如圖，圖象過點（0,4）,則圖象最低點的縱坐標是（）

【答案】。

（分析】結合函數圖像，當z=0時，y=4,求得等邊三角形的邊長，證明△40。空△BE4,得出沙=AE+

CE=2AE,當時，AE最小，勾股定理即可求解.

【詳解】當立=0時，夕=AE+CD=4B+AC=4,?.?三角形ABC是等邊三角形，.?.AB=3C=2,

AD=BE,ADAC=NEBA=60°,AC=BA,：.△ADC空ABEA,

y=AE+CE=2AE,當AE，BC時，AE最小，最小值為=%AB=g

.?.g的最小值為2遍，即圖象最低點的縱坐標是2,，故選：D

【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，勾股定理，垂線段最短，求得等邊三角形的邊長是解題的關鍵.

2.(23—24九年級上?江蘇無錫?期末)如圖,在等腰△ABC中，AB=AC=5,8C=6,點D、E分別是

AB.AC上兩動點，且AD=CE,連接CD、BE,CD+BE最小值為.

【答案】何

【分析】過點A作AH//BC,且AH=BC,連接DH,由題意易得AHAD=/BCE,進而可證AHAD空

/XBCE,則有CD+BE=CD+HD,當CD+BE為最小時，即CD+為最小，當點。、。、H三點共線時

即為最小，連接CH,交AB于點、M,過點、M作MN±BC于點、N,點、A分別作AF_L8C于點F,如圖所示,

即CH的長度為CD+BE的最小值，然后可得AHAMW△CBM■，則有MN=[AF=2,BN=NF=^-BF

=',CN=CR+NP=4,然后問題可求解.

【詳解】解：由題意可得如圖所示：

過點A作AH7/BC,且4H=BC,連接如圖所示，NHAD=NABC,

■：ABAC,：./ABC=/ACB,AHAD=ZBCE,

；AD=CE,:.&HAD也/\BCE(SAS),：.HD=BE,：.CD+BE=CD+HD,

：.當CD+BE為最小時，即CD+HD為最小，

當點。、D、H三點共線時即為最小，連接CH,交AB于點、M,這點、M■作MN±BC于點N,點A分別作

4F_LBC于點F,如圖所示，即CH的長度為CD+BE的最小值，

■：AB=AC=5,BC=6,:.BF=CF=3,：.AF=s/AB2-BF2=4,

AH^BC,：.AHAM=ZB,V/HMA=2cMB,

：.AHAMm△CBAl(AAS)，,AW=BM=寺，HM=CM=

AF//MN,M是AB的中點，,MN=[AF=2,BN=NF=~^BF=,

CN=CF+NF=2，,在Rt/\MNC中,CM=y/MN2+CN2=,

：.CH=2cM=V97,：.CD+BE的最小值為V97;故答案為V97.

【點睛】本題主要考查勾股定理及等腰三角形的性質，解題的關鍵在于構造三角形全等把問題轉為兩點之

間線段最短進行求解即可.

3.(23—24九年級下?廣東廣州?階段練習)如圖，在H力△4BC中，AB=3,AC=4,ZBAC=90°,D,E

分別是邊/B,AC上的動點，且8。=AE,則CD+BE的最小值為

A

E

BC

【答案】，附

【分析】本題考查了正方形和矩形的判定與性質,勾股定理，全等三角形的判定與性質，過B作BN1.AB,

使BN=AB=3,連接DN,CN,作NM_LAC交CA延長線于點AI,證明四邊形AMNB是正方形，由勾股

定理得CN=YMNGCMZ=J32+72=底，然后證明4BAE型/\NBD(SAS),當N,D,。三點共線時，

CD+BE有最小值V58,熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】過B作BN_LAB,使BN=AB=3,連接DN,CZV,作NM_LAC交CA延長線于點M,

4AMN=4MAB=NABN=90°,：.四邊形AMNB是矩形，：.BN=AB,

：.四邊形AMNB是正方形，,AW=MN=3，二CM=7,：.CN=^MN2+CM2=V32+72=V58,

?：BD=AE,NBAE=4NBD=90°,AB=BN，:./\BAE空LNBD(SAS),

：.BD=BE,：.ND+DOCN,即CD+BE>CN,

當N,D,。三點共線時，CD+BE有最小值，故答案為：V58.

4.(24—25八年級上?四川成都?期中)如圖，在△4BC中，AABC=45°,ABAC=75°,AC=2,點E與點

D分別在射線與射線AD上，且AD=BE,則AE+的最小值為,AE+ED的最小值

為.

【分析】先根據已知條件求得各邊數據，然后根據已知一邊一角，構造全等三角形，當。在上時，BD+

AE取得最小值，如圖所示，過點河作百，AB交歷1的延長線于點N,進而勾股定理即可求解；對于AE

+ED,構造等邊三角形，進而即可求解.

【詳解】如圖所示，過人作交BC的于F,

?//ABC=45°,ABAC=75°,r.NACB=180°-45°-75°=60°ZCAF=30°,AABC=ABAF=45°,

1.147=2,：.CF=1,AF=BF=y/AC2-CF2=聰：.AB=^AF2+BF2=娓

如圖所示，作/AM。=45°且AM=4B,連接。河，BM,■：AB=AM,/LABE=AMAD=45°,=AD

△ABE空AMAD(SAS)：.AE=DM：.BD+AE=BD+DM>BM,

當。在BM上時,BD+AE取得最小值,如圖所示，過點河作MN±AB交A4的延長線于點N,

?/ZBAD=75°,ADAM=45°ZNAM=6Q°,AAMN=30°?/AB=AM：.AABM=30°

?/AM=AB=0在Rt/XANM中,AN=乎，/.MN=ViAN=

:.BM=2AlN=32,即AE+BD的最小值為3A/2;

如圖所示，作4關于BM■的對稱點J,連接AJ,則

AB=AM,4BAM=120°AB=AMJUAABM^4JBM=30°二AABJ=60°,

對稱，,BA=BJ：.AABJ,4AMJ都是等邊三角形，連接E7,DJ,

/\ABE咨/XMAD,ZBAE=/AMD,則NEAJ=ADMJ,

叉；AJ=JM,AE=MD：.^EAJ篤/^DMJ：.NEJA=ADJM,EJ=DJ

：.4EJD=/AJM=60°AAEDJ是等邊三角形，二AE1+ED=AB+EJ>AJ

.?.當E在47上時，AB+ED=A7,如圖所示

此時AE+ED取得最小值，最小值47=48=述故答案為：3，，V6.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，線段最值

問題，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

模型2.?值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）

條件：已知三角形ABC中，AB=a,BO=b,CD為高,CE=BF,求AF+BE的最小值。

證明思路:①CE在△BEC中，以BF為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點B作BG〃CE,且BG=BC=b。（構造一邊一角，得全等）;

③構造出/XBEC注/\GFB（SAS）；證出EB=FG；

@AF+BE^AF+FG,根據兩點之間，線段最短,連接AG,則AG即為所求，此時，A、F、G三點共線;

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

1.（2024.安徽合肥.一模）如圖，人。為等邊△ABC的高，E、尸分別為線段A。、AC上的動點，且45=

CF,當BF+CE取得最小值時，AAFB=

【答案】B

【分析】如圖，作輔助線，構建全等三角形，證明△ABC空^CFH,得CE=FH,將CE轉化為FH,與BF在

同一個三角形中，根據兩點之間線段最短，確定點干的位置，即F為4。與的交點時,BF+CE的值最

小，求出此時乙4FB=105°.

【詳解】解:如圖，作CH_LBC,且CH=BC,連接交AD于連接FH,

?.?△人3。是等邊三角形，4。_13。，，＞1。=3。，ZDAC=30°,:.AC=CH,

?../BCH=90°,ZACB=60",...ZACH=90°—60°=30°,二/R4C=/ACH=30°,

；AE=CF,：.4AEC當4CFH,:.CE=FH,BF+CE=BF+FH,

：.當F為AC與BH的交點時，如圖2,BF+CE的值最小，

此時2FBC=45°,ZFCB=60°，,NAFB=105°,故選B.

【點睛】此題考查全等三角形的性質和判定、等邊三角形的性質、最短路徑問題，關鍵是作出輔助線，當BF

+CE取得最小值時確定點F的位置，有難度.

2.（2023?四川成都?一模）如圖，在三角形△ABC中，ABAC=50°,AB=AC,8。，47于。，M,N分

別是線段8。，口。上的動點，8兒/=皿,當4河+4雙最小時，^MAD=.

【答案】12.5°

［分析］在BC下方作△CN4,使△CN4空/\BMA,連接AA',則AM+AN最小值為AA'，此時力、N、4三

點在同一直線上，推出乙4'47=乙4'=強與啦=37.5°,所以乙BAW=37.5°,即可得到4MAD=

ABAC-4BAM=50°-37.5°=12.5°.

【詳解】解:在BC下方作△C7VA'，使△C7WTgNBMA,連接AAr.

則NNCA'=NMBA,AW=AN.：.AM+AN=A'N+ANNAA',

即4M+AN最小值為44',此時A、N、H三點在同一直線上.

ABAC=50°,AB^AC,：.ZACB=NABC=65°,

BD±AC,：.NABD=90°-50°=40°,/.4NCA=40°,/./AC4=65°+40°=105°,

AAAC==180°”5°=37.5。，...ABAM=37.5。，

AMAD^ABAC-50°—37.5°=12.5°,故答案為：12.5°.

A

【點睛】本題考查了最短路線問題以及等腰三角形的性質的運用，凡是涉及最短距離的問題,一般要考慮線

段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點.

3.（2024.四川樂山.二模）如圖,等腰△ABC中，NBAC=100°,BD平分NABC,點N為BD上一點，點

M為上一點，且若當4W+4V的最小值為4時，AB的長度是

【分析】由等腰AABC中，ABAC=100°,可得/ABC=AACB=須-廣4。=40°,由BD平分/ABC,

可得AABD=-y/ABC=20°,如圖，作/BCE=Z.ABD=20°,使CE=AB,連接EM,則/ACE=

NACB+NBCE=60°,證明ACEMW4BAN(SAS)，則ME=AN,CE=AB,AM+AN=AM+ME,可

知當三點共線時，4Vf+4V最小，即AB=4,證明△ACE是等邊三角形，則AC=4E=4,進而

可求AB.

【詳解】解：：等腰△ABC中，NBAC=100°,NABC=AACB-180°-^-BAC=40°,

?/BD平分AABC,AAABD=。AABC=20°,如圖，作NBCE=NABD=20°,使CE=AB,連接EM,

ZACE=ZACB+ZBCE=60°,-：CE=AB,NBCE=NABD,MC=BN,

:.ACEM咨"AN(SAS),：.ME=AN,CE=AB,：.AM+AN=AM+ME,

：.當4、三點共線時，⑷W+AN最小，即AE=4,

?：CE=AC,乙4CE=60°,△ACE是等邊三角形，.?.力。=AE=4,.?.43=4,故答案為：4.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質等

知識.熟練掌握等腰三角形的性質，角平分線，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質是解

題的關鍵.

模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）

模型解讀

條件：已知在Rt/\ABC中，NACB=90°,AB=a，點E、。是線段AB上的動點,且滿足AD=BE,

求CD+CE的最小值。

模型證明

證明思路:①BE在4BEC中，以AO為一邊構造另一個三角形與之全等,這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點人作AF〃BC,且AF=BC=6。（構造一邊一角,得全等）；

③構造出ABEC名△AOF（SAS）；證出CE=FD；

④CD+CE=CD+FD,根據兩點之間，線段最短，連接CF,則CF即為所求,此時，F、D、。三點共線;

⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等證明也可。

4.（23-24八年級上.北京朝陽?期末）如圖，Rt/XABC中，乙4cB=90°,NB=30°,D,E為AB邊上的兩

個動點，且AD=BE,連接CD,CE,若AC=2,則CD+CE的最小值為.

?M

【分析】過點4B分別作A。的垂線和的垂線交于點河，連接MC,ME,先證CB篤AMBC,得AB

=MC,再證△CAD第ZWBE,得CD=ME,進而得出CD+CE^ME+CE,當C,E,M三點不共線時，

ME+CE>MC;當。，況M■三點共線時，ME+CE=MC,然后根據直角三角形中，30°的角所對的直角

邊等于斜邊的一半求出AB的值，從而得出結果.

【詳解】過點45分別作A。的垂線和的垂線交于點河，連接,ME,

^ACB=QO°,MA±AC,：.AM//CB,'：MB±BC：.AC//MB,AC=MB,：.ACAB=AMBA,

?：BC=CB,AACB=AMBC=90°,：.AACB^AMBC,：.AB=MC,

?：AD=BE,：.LCADTLMBE,：.CD=ME,：.CD+CE=ME+CE,

當三點不共線時,ME+CEAAfC;當。，三點共線時，AlE+CE=AfC.

.?.CD+CE的最小值是加。的長，：ZB=30°,乙4cB=90°,：.AB=2AC,

VAC=2,：.AB=\,：.MC=AB=^,CD+CE的最小值是4.故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形三邊關系，直角三角形的性質，正確作出輔助線

找出恰當的全等三角形是解本題的關鍵.

5.（23—24八年級下?黑龍江哈爾濱?期末）如圖,在矩形ABC?中，對角線人。上有兩動點E和F,連接

鹿和若AE=CF,AC-AB=9,AC—BC=2,則跳;+B尸的最小值是

【答案】17

【分析】如圖，連接DF,BD,由全等三角形判定(S4S)可以證得△ABEWACDF,得到。尸=BE,進而得

到BE+BF>BD,再根據題意及勾股定理求出47的值，即可得出答案.

【詳解】解:如圖，連接OF,BD,

1/四邊形ABGD是矩形，AB//CD,AB=CD,NABC=90°,/.NBAE=4DCF,

,/AE^CF,AAABE名△ODF(SAS)，,BE=DFj：BF+DF>BD,：.BE+BF^BD,

又,/AC,BD為矩形的對角線，；.AC=BO/.BE+BF^AC,

?.?△ABC是直角三角形，AC—AB=9,AC-BC=2,：.AB2+BC2^AC2,

：.(AC-9)2+(AC-2)2=AC2移項得AC2-22AC+85=0,

配方得AC2-22AC+121=121—85,{AC-ll)2=36,解得AC=17,或AC=5

?.?AC—AB=9>5,.IAC=17,，BE+BF>17,故答案為：17.

【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，兩點之間線段最短，勾股定理的應用及解一元

二次方程，熟知相關的判定與性質及解一元二次方程方法是解題關鍵.

模型4.最值模型-逆等線模型（糊味平行四邊形的逆等線）

特殊的平行四邊形的逆等線模型我們就以矩形為例來研究即可。

條件:已知在矩形ABCD中，AD=a,AB=b,點E、F是邊BC、上的動點,且滿足BE=DF,

求AF+AE的最小值。

證明思路:①BE在4ABE中，以。F為一邊構造另一個三角形與之全等,這個也叫做一邊一角造全等;

②即過點A作AFDG=ZABE=90°,且。G=AB=6。（構造一邊一角，得全等）；

③構造出4ABEn/\GDF(SAS)；證出AE=FG；

@AF+AE=AF+FG,根據兩點之間,線段最短，連接AG,則AG即為所求，此時，4F、G三點共線;

⑤求AG。先利用相似求出和HG（若四邊形為正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出兩條

線段的長度），再利用勾股定理求出AG即可。

1.（2023-山東德州?校考一模）如圖，在菱形ABCD中，AABC=60°,AB=4,E,尸分別是邊和對角

線ED上的動點，且班=。尸,則AE+4F1的最小值為

AD

【答案】

【分析】在BC的下方作/CBT=30°,截取BT,使得BT=AD,連接ET,AT.證明△ADFgZYTBE

(SAS),推出AF=ET,AE+AF=AE+ET,根據AE+ET>AT求解即可.

【詳解】解:如圖，BC的下方作/CBT=30°,截取BT,使得BT=AD,連接ET,AT.

?.?四邊形ABGD是菱形，/ABC=60°,.I/ADC=/ABC=60°,AADF=yAADC=30°,

?/AD=BT,NADF=ATBE=30°,DF=BE,：.AADF空ATBE(SAS),：.AF=ET,

?：/ABT=/ABC+ACBT=60°+30°=90°,AB=AD=5T=2,

AT=y/AB~+BT2=V42+42=472，,AE+AF^AE+ET,

：AE+ET>AT,AE+AF>42,AB+AF的最小值為42，故答案為4A/2.

【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會添

加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

2.(2023?陜西西安?模擬預測)如圖，矩形ABCD中，48=6,AD=8,點E、F分別是邊和對角線

BD上的例2.動點，且8E=。口，則AE+AF的最小值是.

［分析】設點。關于BC的對稱點為G,在BG上截取BH=AD,連接EH,可證4ADFW^HBE，從而AF

=EH,那么AE+AF=AB+EH>AH,A、H都是固定點，過點H作HM±AB于點M,結合相似三角形

和勾股定理即可求得，

【詳解】如圖，設點D關于B。的對稱點為G,在BG上截取AO,連接EH,過點、H作HM±AB于點

M,

?.?四邊形ABCD是矩形，AB=GD=6,BC=AD=8,AD〃BC,ZADF=2DBC,

?：DC=CG,BC±DG,：.BD=BG,：.NDBC=ACBG,：.ZADF=AHBE,

?：DA=BH,DF=BE,：./\ADF=AHBE,：.AF=EH,：.AE+AF=AE+EH>AH,

在RtdBCD中，BD=〃6?+82=10,-：HM_LAB,：.ABHM=ZG=ABDC=90°-ACBG：.

ADBC,

:,蟹=^=端，，皇=^=今,:，BM=^，MH=*：.AM=AB+BM=6*=

54

V,

在RtAAMH中，-JAM-+MH2=J（普），+（喇，=區等里,.-.AE+AF的最小值是空警.

故答案為：絲亙.

5

【點睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質.這里根據=把AE+AF的最小值轉

化為40+力尸=4后+9）人8是關鍵.

3.（2024.福建南平.一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,乙4BC=120°,點E,尸分別在AB,CD上，且

DF=BE,^DE,人尸，則瓏+人尸的最小值為.

【答案】4

（分析】如圖，連接CE,作。關于直線AB的對稱點N,連接CN,BN,NE,DB,可得DE=NE,DK=

NK,ON_LAB,證明四邊形ABCF為平行四邊形，可得AF=CE,則DE+AF=A?+CE<CN,當E,

N,C三點共線時，此時取等于號，DE+AF最小，證明當E,N,C三點共線時，E,B重合，從而可得答案.

【詳解】解:如圖，連接CE,作D關于直線AB的對稱點N,連接CN,BN,NE,DB,

:.DE=NE,DK=NK,DN工AB,菱形ABCD,；.AB=CD,ABIICD,ADIIBC,

D

F

N

DF=BE,AABC=120°,r.AE=CF,4DCB=/DAB=60°,

四邊形AECF為平行四邊形，:.AF=CE,：.DE+AF=NE+CE《CN,

當E,N,C三點共線時，此時取等于號，DE+AF最小，

?/菱形ABCD,AABC=120°,/.AB^AD,NABD=60°,A/XABD為等邊三角形，二AD=，

:DN工AB,：.AK=BK,；DK=NK,AAKD=ABKN,：./\ADK^/\BNK,

4NBK=4DAB=60°,BN=AD=2,ZABC=120°,/.ZAKK+ZABC=180°,

.?.N,B,C三點共線,/.當區N,C三點共線時，重合，

:BN=BC=2,.?.3/r=4,即。￡+4尸最小值為4.故答案為4

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，作

出合適的輔助線是解本題的關鍵.

模型5.最值模型一加權逆等線模型

條件：已知在4ABC中，/ACB=a,AB=a,AC=b，點、E、D是線段AB,BC上的動點,且滿足BE=k-

AD,

求+的最小值。

證明思路:①AD在XADC中，以BE為一邊構造另一個三角形與之相似，這個也叫做一邊一角造相似；

②即過點口作NEBF=ADAC=90°,且=%?AC=初。（構造一邊一角，得相似）;

③構造出^EBF衛ADAC（SAS）；證出EF=k?。。；

④46+%?。0=人后+￡產,根據兩點之間,線段最短,連接人干,則4F即為所求，此時，A、F、E三點共線;

⑤求AF。先確定/33歹=/力。8=],再利用三角函數求出BG和FG,最后利用勾股定理求出AF即可。

1.（24—25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，在等邊△ABC中，BC=6,E,F分別是邊AB、AC1.

的動點，且滿足CF=28E,則BF+2CE的最小值為；

【答案】6/

【分析】取BC、CF的中點D、G,連接AD、DG,則可得DG=BF+2CE=21BF+CE）=2（DG

+CE）,因此轉而求DG+CE的最小值；過4作AM±4。,且AM=AD,連接ME、CE,可證明△AME

空A4DG,則有_ME=OG,進而轉化為求ME+CE的最小值，當點E在線段CM上時，取得最小值，在

次△⑷WC中由勾股定理即可求得最小值，從而求得BF+2CE的最小值.

【詳解】解:如圖，取BC、CF的中點D、G,連接AD、DG,

；△ABC是等邊三角形，:.CD=：BC,CG=FG=；CF,

根據三角形中位線可得DG=得BF,：.BF+2CE=2居BF+CE）=2（DG+CE）,

BF+2CE的最小值轉化為求_DG+CE的最小值，

在等邊三角形4BC中，BC=6,.?.AB=J4C=BC=6,ABAC=60°,：.CD=3,ACAD=30°,

,:CF=2BE,：.BE=CG,；.AE=AG;過力作AW_LAC,且40,連接AiE、CE,

則AMAE=9Q°-ABAC=30°=ACAD,：.AAME^ADG（SAS）,：.ME=DG,

DG+CE=ME+CE,：.當點E在線段CM上時，Affi；+CE取得最小值，

且最小值為線段CM的長，AM=AD=~JAC2-CD2=3A/3,

在Rt^AMC中，由勾股定理得：CM=y/AM2+AC2=3V7,

.?.萬尸+26?的最小值=2（。3+無）=2（1石+2￡；）=2乂3，7=6".故答案為：6?.

【點睛】本題考查了求線段和的最小值問題，等邊三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，三角

15

形中位線定理，把求BF+2CE的最小值轉化為求。G+CE的最小值,進而轉化為求7WE+CE的最小值,

是本題的難點與關鍵所在.

2.（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,E、尸分別為

CD上的動點，且BE=2DF，則。E+2AF的最小值為.

【答案】

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，矩形的性質，延長AB到X,使得=2AD,

連接EH,OH,證明ZXADF?AHBE,得到則DE+2AF=DE+HE,故當H、E、D三點共線

時，+HE最小，即此時DE+2AF最小，最小值即為07/的長，據此利用勾股定理求出DH■的長即可得

到答案.

【詳解】解:如圖所示，延長AB到H,使得BH=240,連接EH,DH,

?.?四邊形ABCD是矩形，/.NABC=/ADF=AHBE=ABAD=90°,AD=BC=6,

?：BE=2DF,BH=2AD,：.馨=嗯=2,，AADF?^HBE,：.第=售=2,

DrADArUr

:.HE=2AF,：.DE+2AF=DE+HE,

.?.當H、E、。三點共線時，DE+m最小，即此時DE+2AF最小，最小值即為的長,

在Rt/\ADH中，AD=6,AH=AB+BH=5+2x6=17,

DH=^AD2+AH2=5V13,DE+2AF的最小值為5力3,故答案為：5，*.

3.（2024.四川成都.校考一模）如圖，平行四邊形ABCD,AB>AD,AD=4：,2408=60°,點E、R為對

角線上的動點，DE=2BF,連接入夙CF,則AE+2CF的最小值為.

【答案】4V7

【分析】如圖，在直線OB的上方作乙8。7=60°,且使得。7=23。.過點T作7H_LAD交AD的延長線

于H.首先利用相似三角形的性質證明ET=2CF,解直角三角形求出AT,根據AE+2CF=AE+ET,

推出AB+2c4V7,即可解決問題.

【詳解】解:如圖，在直線DB的上方作ABDT=60°,且使得DT=2BC.

過點T作TH_LAD交AD的延長線于連接ET、AT.

■：四邊形ABGD是平行四邊形，.?.BC7/AO,AD=BC=4,AADBADBC=60°,：.4CBF=NTDE,

..BC_BF_1..CF_BC

?EL灰—萬’..△的???衍—玩y,：.ET=2CF,

■：NTDH=180°-60°-60°=60°,NH=90°,DT=2BC=8,：.DH=DT-cos600=4,HT=聰DH=

4V3,

/.AH=AD+DH=8,：.AT=y/AH2+HT2=A/82+(4V3)2=477,

?：AE+2CF=AE+ET,AE+ET>AT,：.AE+2CF>4V7,4B+2CF的最小值為4—.故答案

為：4/7.

【點睛】本題屬四邊形綜合題目，考查平行四邊形的性質，兩點之間線段最短，勾股定理，相似三角形的判定

與性質，解直角三角形，作輔助線構造直角三角形和相似三角形是解題的關鍵.

4.（2024.吉林.模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，43=4,乙48。=60°,點E,尸分別是RD,CD上的

點、，若BE=2CF,則AF+^AE的最小值是.

【答案】2祈

［分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，兩點之間線段最短，勾股定

理，會構造相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

根據題意構造相似三角形，作ADCM=30°,取CM=/AB=2,連接AC,AM,得到△ABE?/\MCF,進

而得出AF+^-AE=AF+FM,當A,F,河三點共線時，AF+FM的值最小，即”+的值最小，最

后利用勾股定理即可解出.

［詳解】作乙DCM=30°,取CW=,AB=2,連接AC,AW,如圖所示，

?M

AD

在菱形ABCD中，NABC=60°NABE=ZDCM=30°,

,；BE=2CF,AB=2CM,；.LABE?4MCF,：.AE=2FM,AE=FM：.AF+!AE=AF+FM,

當■三點共線時，AF+FM的值最小，即AF+AE的值最小，在菱形ABCD中，/ABC=60°,

ABCD=120°,△ABC是等腰三角形，NACD=60°,AB=AC=4,4ACM=90°,

在Rt^ACM中，4。=4,C7W=2,y/AC2+CM2=V42+22=2,，故答案為：2心.

習題練模型

1.（23-24九年級上?河南安陽?階段練習）如圖,在矩形4BCD中，對角線AC上有兩動點E和斤，連接

BE和BF,若AE=CF,AC—4B=4,AC—8C=2,則跳;+8F的最小值是（）

【答案】B

【分析】如圖，連接DF,BD,由全等三角形判定SAS可以證得&ABE空/XCDF,得至UDF=BE,進而得到

BE+BD,再根據題意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案.

【詳解】解:如圖，連接DF,BD,

?/四邊形ABGD是矩形，/.AB//CD,AB=CD,NABC=90°,/.ABAE=ADCF,

?：AE=CF,/\ABE空AGDF(SAS),/.BE=DF,

■：BF+DF>BD,：.BE+BF>BD,又?/AC,BD為矩形的對角線，

AC=BD：.BE+BF>AC,

?.?△ABC是直角三角形，4C—AB=4,4C—BC=2,：.AB2+BC1=AC2,

.?.(AC—4)2+(AC—2)2=AC2移項得AC2-12AC+20=0,解得力。=10,或AC=2

???AC—BC=2,則AC=2不符合題意，.?.AC=10,.?.跳；+3歹>10,故選B.

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【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，兩點之間線段最短，勾股定理的應用及解一元

二次方程，熟知相關的判定與性質及解一元二次方程的方法是解題關鍵.

2.（2024?河南商丘?八年級期中）如圖，等邊△ABC中，AD為邊上的高,點M、N分別在40、AC上,

且4W=CN,連當?W+8N最小時，的度數為（）

A.15°B.22.5°C.30°D,47.5°

【答案】。

【分析】如圖1中，作S_LBC,使得CH=BC,連摟NH,BH.證明4ABM名ACHN（SAS）,推出BM=

HN,由BN+HN>BH,可知B,N,H共線時，BM+BN=NH+BN的值最小，求出此時AMBN即可解

決問題.

【詳解】解:如圖1中，作CH工BC,使得CH=BC,連接NH,BH.

圖1

1//\ABC是等邊三角形，AD_LBC,CH_LBC,ADAC=NDAB=30°,AD//CH,

：.4HCN=ACAD=NBAM=30°,VAM^CN,AB=BC=CH,：.4ABMmACHN(SAS),：.BM=

HN,

?：BN+HN>BH,：.B,N,H共線時，BM+BN=NH+BN的值最小，如圖2中，當B,N,H共線時，

??

1.?AABM竺ACHN,：.NABM=4cHB=NCBH=45°,

VAABD=60°,：.ADBM^15°,：.ZA/B7V=45°-15°=30°,

/.當BM+BN的值最小時，/MBN=30°,故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形

解決問題.

3.（23-24八年級下?安徽安慶?期末）如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E,尸分別是BC,CD邊上的動

點，且BE=CF.（1）若BE=CR=1,則AE+AF=；（2）AE+4F的最小值為.

【答案】V17+5/5+V174V5

【分析】（1）由正方形的性質可得AB=BC=CE?=4D=4,/B=90°,從而得到。F=3,由勾股定理

計算出AE、AF的長，即可得到答案；（2）連接DE,通過證明AADF空ADCE可得DE=AF,作點力關于

BC的對稱點A',連接,則AE=HE,從而得到AE+,當。、石、4在同一直線

時，AE+力F最小，利用勾股定理進行計算即可得到答案.

【詳解】解：⑴?.?四邊形4BCD是正方形，且邊長為4,.?.>1B=BC=CD=4D=4,ZD=ZB=90°,

?:BE=CF=\,：.DF=CD-CF=4—1=3,；.AE={AB+BE?=N&+:=后,

AF^-jAD^+DF2=V42+32=5,AB+4F=Vi7+5,故答案為：VI7+5;

⑵連接DE,

?.?四邊形ABCD是正方形，且邊長為4,AB=BC=CD=AD=4.,/D=/C=90°,

?：BE=CF,：.DC-CF=BC-BE,：.DF=CE,

（AD=DC

在△ADF和ADCE中，（/ADF=ZDCE=90°,.?.△ADF篤△DCE（SAS）,.?.L（E=AF,

[DF=CE

作點A關于BC的對稱點A',連接BA\EA!,則AE=A'E,

：.AE+AF=AE+DE,：.當。、E、4在同一直線時，AE+AF最小，

AA'^2AB=8,.?.在Rt/XADA中，4。=^/AD^+AA2=V42+82=475,

r.AE+4F的最小值為：4，K,故答案為：4同.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質、三角形全等的判定與性質、最短距離問題、勾股定理，熟練掌握正方

形的性質、三角形全等的判定與性質，添加適當的輔助線，是解題的關鍵.

4.（2024.四川綿陽?三模）在Rt/\ABC中，ABAC=90°,AB=AC,點。，E分別為48,BC上的動點,

且=AB=3當AB+CD的值最小時，CE的長為.

【答案】

【分析】過點3作8?_13。,且BF=4C,連接AF,交于點廳,過點A作AH_LBF,交FB的延長線于

點H,證明△ACD經△BFE(SAS),得出CD=EF,則AB+CD=AE+班>AF,即4E+CD的最小值

即為AF的長，此時點E與點"重合，由勾股定理及相似三角形的性質可得出答案.

【詳解】過點B作BF_LBC,且B尸=47,連接4F,交BC于點身,過點人作AH_LBF,交FB的延長線于

點X,如圖所示：則/EBF=90°,在等腰直角△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,

(AC^BF

在AACD和ABFE中，(2DAC=/LFBE,/.4ACD篤ABFE(SAS),：.CD=EF,

[AD^BE

人后+⑺二鉆+即二人凡即入后+⑺的最小值即為4F的長，此時點E與點廳重合，

AB=3V2,：.AC=BF=AB=iV2,BC=V2AB=(),

?：ABAC=9Q°,：.AACB=AABC=45°,：./ABH=45°,；.NHAB=/HBA=45°,：.AH=BH,

根據勾股定理得AH2+BH2=AB2,：.2AH2=18,48=3或4H'=-3(舍去)，

BH=AH=3,HF=BH+BF=3+3V2,VZAHF=ZE'BF,AE'FB=AAFH,

A^E'BF-/\AHF,：.=器,即=3；^^,解得W=6-，

.?.CE，=6—(6—32)=32，.IAE+CD取得最小值時，CE的長度為3V2.故答案為：32.

【點睛】本題考查的是全等三角形的性質和判定，勾股定理的應用，等腰三角形的性質，三角形三條邊的關

系，相似三角形的判定與性質；熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

5.(23-24八年級下?江蘇宿遷?期末)如圖，邊長為2的菱形ABCD中，NABC=60°,E,尸分別是AD,

口。上的動點，。E=BF,連人尸，CE,則人尸+CE的最小值為.

【答案】2/